等式的基本性质
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x y a a
( ×) ( ) (× ) ( ) (× ) ( )
5) 如果 x y，那么 6) 如果 x y， a 1
x y 那么 a 1 a 1
例1：已知2x-5y=0，且y≠0。判断下列等式是否
成立，并说明理由。
(1) 2 x 5 y x 5 (2) y 2
2x-5y+5y=0+5y（等式的性质1）
1. 什么叫做一元一次方程？ 方程两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的指数是一次的方程叫一元一次 方程。 2. 下列各式中，哪些是一元一次方程？ （1）7+8=15 （2）x+3=8 （3）3x-1 （5）2x-y=3x+1 （4）x=0 （6）3x 2 1 5
一、我会估算
知识 准备
解：两边除以-5，得
-5 x 20 -5 5
于是
x 19
于是
x 4
小试牛刀
1、利用等式的性质解下列方程并检验 (2) 0.3 x 45 (1) x 5 6
解：两边加5，得 解：两边除以0.3，得
0.3 x 45 x 55 65 0 .3 0 .3 于是 x 11 于是 x 150 检验：把 x 11代入 检验：把 x 150 代入 方程 x 5 6，得： 方程 0.3 x 45，得： 左边 11 5 6 右边 左边 0.3 150 45 右边 所以 x 11 是方程的解 所以 x 150 是方程的解
例2、解方程：
－4x＋8＝－5x －1
方程的解是否正确可以检验。 例如：(1)把x=－9代入方程： 左边=－4×（－9）＋8=44； 右边=－5×（－9）－1＝44. 左边=右边 所以x＝－9是方程－4x＋8＝－5x －1 的解。
1. 已知a-b=0,下列等式成立吗？请说明理由。 （1）a=b （2）2a=2b
1 5.由方程 3 x 2 x 1 变形可得（ ） 2 1 3 B. 3x 2 x 1 A. 3 x 2 x 2 2
1 C. 1 3 x 2 x 2
D.1 3x 22 x 1
6.如果ma=mb，那么在下列等式中不一定成立的是（ ）
A.ma 1 mb 1
a a b b
a
a
b b
a b _____=_____
3a 3b _____=_____
a
b
a aa
b bb
a b _____=_____
3a 3b _____=_____
从右到左呢？ 从左到右，等式发生了怎样的变化？
由此你发现了等式的哪些性质？
除数不能为0
除以 等式的两边都乘以同一个数，等式仍然成立
本节课你学到什么知识？
1、等式的基本性质。 2、运用等式的基本性质解方程。
在探索的过程中你用到了什么数学思想？
1、从特殊到一般 2、类比
注意：当我们获得了方程解的后还应
检验，要养成检验的习惯。
1. 等式的基本性质 (1) 等式的两边都加上（或都减去）同一 个数或式所得结果仍是等式。 (2) 等式的两边都乘（或都除以）同一个 数或式（除数不能为0）所得结果仍是等 式。 2. 方程变形的依据是等式的性质,利用 等式的性质解一元一次方程，并会检验 方程的解
(4)、如果-0.2ｘ＝6，那么ｘ= -30 ， 根据 等式性质2，在等式两边同除-0.2或乘-5 。
2、下列变形符合等式性质的是（ D ）
A、如果2x-3=7，那么2x=7-3 B、如果3x-2=1，那么3x=1-2 C、如果-2x=5，那么x=5+2 3、依据等式性质进行变形，用得不正确的是（ D ）
1 1 C. ma mb 2 2
B.ma 3 mb 3 D.a b
练一练：判断对错，对的请说出根据等式的哪 一条性质，错的请说出为什么。
1) 2) 3) 4)
如果 x y，那么 x 1 y 3 如果 x y，那么 x 5 a y 5 a x 3y 如果 x y，那么 2 x y 如果 x y，那么 2 2
等 式 的 性 质
【等式性质１】 【等式性质2】
如果a b，那么a c b c
如果a b，那么ac bc
如果 a bc 0 , 那么 a b c c
注意
1、等式两边都要参加运算，并且是作同 一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是 同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除 数或分母.
化简得：
1 x 1 4
x 4
1 方程 2 x 3 ，得： 4 1 左边 2 4 4
来自百度文库两边乘-4，得：
2 1 3 右边
所以 x 4 是方程的解
方程变形的依据 是等式的性质
（1）5x=50+4x
（2）8-2x=9-4x
解方程，就是将方程一步一步变形，最后变 形成“x=a”（a为已知数）的形式，这样，就 求出了未知数的值，即方程的解。
解：（1）成立。理由如下：已知2x-5y=0，
两边都加上5y，得 ∴2x=5y
（2）成立。 理由如下：由（1）知2x=5y，而y≠0， x 5 两边都除以2y，得 （等式的性质2）
y 2
例2：利用等式的性质解下列方程
(1) x 7 26
(2) -5 x 20
解：两边减7，得
x 7 7 26 7
1 (3) x 5 4 3
解：两边加5，得
1 x 55 45 3 1 x9 化简得： 3
两边同乘-3，得 x 27
小试牛刀 1、利用等式的性质解下列方程并检验 1 (3) 2 x 3 检验： 4
解：两边减2，得：
1 2 x 2 32 4
把 x 4 代入
依据：等式性质1：等式两边同时加上3.
（２）由a=b，得a－6=b＋6 （３）由m=n,得m－2x2=n－2x2
依据：等式性质1：等式两边同时减去2x2.
（４）由2x=x－5，得2x+x=－5
左边加x，右边减去x.运算符号不一致
（５）由x=y，y=5.3，得x=5.3 等式的传递性。 （６）由－2=x，得x=－2 等式的对称性。
应用等式基本性质解方程
在下面的括号内填上适当代数式
由 解： 可得 化简，得
3x 2 4
方程两边同时加上2
3x 2 2 4 2
3x = 6
方程两边同时除以3
xa
2、在解方程中， 等式基本性质的 作用是什么？
（x为未知数，a为常数）
怎样知道你 所以 的结果对不对？
x= 2
用等式的性质解方程例1
等式的性质1：
等式的两边都加上（或都减去）同一个数 或式所得结果仍是等式。 用字母可以表示为：如果a=b，那么a±c=b±c。
等式的性质2：
等式的两边都乘以（或都除以）同一个数 或式（除数不能为0）所得结果仍是等式。 a b ac=bc ，或 = (c 0) 用字母可以表示为：如果a=b，那么 c c
解： （1）成立，根据等式的性质1，两边都减去x
（2）成立，根据等式的性质2，两边都乘以-2 （3）成立，根据等式的性质2，两边都除以3 （4）成立，根据等式的性质1，两边都减去3
练习：1.下列方程变形是否正确？如果正确， 说 明变形的根据；如果不正确，说明理由。 （1）由x=y，得x+3=y+3
一试身手
解下列方程： (1) 2x – 5 = 3
别忘了检验啊！
解： 方程两边同时加上5，得
2x– 5+5 = 3+5 化简，得 2x = 8 方程两边同时除以2，得 x= 8
1. 利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程。 （1）5x-3=7 （2）4x-1=3x+3
超越自我 a 2、要把等式 (m 4)x a 化成 x m 4 ， m 必须满足什么条件？
解：根据等式性质2，在 (m 4)x a 两边同除以
a ，所以 m 4 0 即 m 4。 m 4 便得到 x m4
1 3、由 xy 1 到 x 的变形运用了那个 y 性质，是否正确，为什么？
解：变形运用了等式性质2， 即在 xy 除以 y ，因为 xy
1 两边同
7、判断下列说法是否成立，并说明理由 a b 1、由 a b, 得 （ ） （因为x可能等于0） x x 3 3 2、由 x y, y , 得x （ ） （等量代换） 5 5
3、由 2 x, 得x 2
（
）
（对称性）
1、在下面的括号内填上适当的数或者代数式 （1）∵ 2 x 6 4
1、你能估算出方程 4 x 24, x 1 3的解吗？
x 6, x 2
2、你能估算出方程 4 x 32 x 3 12 x 4的解吗？
x ？
如图，图中字母表示小球的质量，你能根据 活动一 天平的相关知识完成其中的填空吗？（图中 两个天平都保持平衡）
a b a c b c
co
.
2
二、我会应用
1
1 1 （ 1 ）、如果 x 0.5，那么 2 x 2x0.5 . 、 2 2
根据 等式性质2，在等式两边同时乘2 (2)、如果x-3=2，那么x-3+3= 2+3 ， 根据 等式性质1，在等式两边同加3 。 。
(3)、如果4x=-12y，那么x= -3y ，
根据 等式性质2，在等式两边同时除以4 。
∴2 x 6 6 4 6
（2）∵3x 2 x 8
想一想、练一练
3x 2 x ∴
2x 8 2x
9
（3）∵
10 x 9 8 9 x ∴ 10 x 9 x 9 9 8 9 x 9 x
a b 5、如果 a b, 且 ，那么 c应满足的条件是 c c
a b _____=_____
a+c b+c _____=_____
a
b
ac
bc
a b _____=_____
a+c b+c _____=_____
从右到左呢？ 从左到右，等式发生了怎样的变化？
由此你发现了等式的哪些性质？ 减去 等式的两边都加上同一个数，等式仍然成立
等式的性质1：
等式的两边都加上（或都减去）同一 个数或式所得结果仍是等式。 用字母可以表示为： 如果a=b，那么a±c=b±c。
用字母可以表示为：如果a=b，那么 ac=bc ，或
1、如果 2、如果
ac=bc， 那么 a=b，
a b = (c 0) c c
，或 ，或
a=b，那么
已知x+3=1，下列等式成立吗？根据是什么？ （1）3 1 - x
x3 1 （ 3） 3 3
（ 2） - （ 2 x 3） -2 （ 4） x 1 - 3
1 ，所以 y 0 ，所以变形正确。
经过对原方程的一系列变形 (两边同加减、乘除)，最终把方 程化为最简的 式：
x = a(常数）
即方程左边只一个未知数 项、且未知数项的系数是 1,右 边只一个常数项.
55x 4 0 1 6 2 x 2 6
练习:解方程并检验: -6x+3=2-7x
1 D，如果 x 1, 那么 x 3 3
A、如果x y 5, 那么x 5 y B、如果x y 5, 那么x y 5 0
1 5 C、如果 x y 5, 那么 x y 2 2 x y 5 D、如果 x y 5, 那么 a a
已知y+4=2，下列等式成立吗？根据是什么？ （1）y=2-4 （2）4=2-y （3）y=2-y
解： （1）成立，根据等式的性质1，等式两边都减去4
（2）成立，根据等式的性质1，等式两边都减去y
（3）不成立，根据等式的性质1
活动二 如图，图中字母表示小球的质量，你能根据
天平的相关知识完成其中的填空吗？（图中 两个天平都保持平衡）
( ×) ( ) (× ) ( ) (× ) ( )
5) 如果 x y，那么 6) 如果 x y， a 1
x y 那么 a 1 a 1
例1：已知2x-5y=0，且y≠0。判断下列等式是否
成立，并说明理由。
(1) 2 x 5 y x 5 (2) y 2
2x-5y+5y=0+5y（等式的性质1）
1. 什么叫做一元一次方程？ 方程两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的指数是一次的方程叫一元一次 方程。 2. 下列各式中，哪些是一元一次方程？ （1）7+8=15 （2）x+3=8 （3）3x-1 （5）2x-y=3x+1 （4）x=0 （6）3x 2 1 5
一、我会估算
知识 准备
解：两边除以-5，得
-5 x 20 -5 5
于是
x 19
于是
x 4
小试牛刀
1、利用等式的性质解下列方程并检验 (2) 0.3 x 45 (1) x 5 6
解：两边加5，得 解：两边除以0.3，得
0.3 x 45 x 55 65 0 .3 0 .3 于是 x 11 于是 x 150 检验：把 x 11代入 检验：把 x 150 代入 方程 x 5 6，得： 方程 0.3 x 45，得： 左边 11 5 6 右边 左边 0.3 150 45 右边 所以 x 11 是方程的解 所以 x 150 是方程的解
例2、解方程：
－4x＋8＝－5x －1
方程的解是否正确可以检验。 例如：(1)把x=－9代入方程： 左边=－4×（－9）＋8=44； 右边=－5×（－9）－1＝44. 左边=右边 所以x＝－9是方程－4x＋8＝－5x －1 的解。
1. 已知a-b=0,下列等式成立吗？请说明理由。 （1）a=b （2）2a=2b
1 5.由方程 3 x 2 x 1 变形可得（ ） 2 1 3 B. 3x 2 x 1 A. 3 x 2 x 2 2
1 C. 1 3 x 2 x 2
D.1 3x 22 x 1
6.如果ma=mb，那么在下列等式中不一定成立的是（ ）
A.ma 1 mb 1
a a b b
a
a
b b
a b _____=_____
3a 3b _____=_____
a
b
a aa
b bb
a b _____=_____
3a 3b _____=_____
从右到左呢？ 从左到右，等式发生了怎样的变化？
由此你发现了等式的哪些性质？
除数不能为0
除以 等式的两边都乘以同一个数，等式仍然成立
本节课你学到什么知识？
1、等式的基本性质。 2、运用等式的基本性质解方程。
在探索的过程中你用到了什么数学思想？
1、从特殊到一般 2、类比
注意：当我们获得了方程解的后还应
检验，要养成检验的习惯。
1. 等式的基本性质 (1) 等式的两边都加上（或都减去）同一 个数或式所得结果仍是等式。 (2) 等式的两边都乘（或都除以）同一个 数或式（除数不能为0）所得结果仍是等 式。 2. 方程变形的依据是等式的性质,利用 等式的性质解一元一次方程，并会检验 方程的解
(4)、如果-0.2ｘ＝6，那么ｘ= -30 ， 根据 等式性质2，在等式两边同除-0.2或乘-5 。
2、下列变形符合等式性质的是（ D ）
A、如果2x-3=7，那么2x=7-3 B、如果3x-2=1，那么3x=1-2 C、如果-2x=5，那么x=5+2 3、依据等式性质进行变形，用得不正确的是（ D ）
1 1 C. ma mb 2 2
B.ma 3 mb 3 D.a b
练一练：判断对错，对的请说出根据等式的哪 一条性质，错的请说出为什么。
1) 2) 3) 4)
如果 x y，那么 x 1 y 3 如果 x y，那么 x 5 a y 5 a x 3y 如果 x y，那么 2 x y 如果 x y，那么 2 2
等 式 的 性 质
【等式性质１】 【等式性质2】
如果a b，那么a c b c
如果a b，那么ac bc
如果 a bc 0 , 那么 a b c c
注意
1、等式两边都要参加运算，并且是作同 一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是 同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除 数或分母.
化简得：
1 x 1 4
x 4
1 方程 2 x 3 ，得： 4 1 左边 2 4 4
来自百度文库两边乘-4，得：
2 1 3 右边
所以 x 4 是方程的解
方程变形的依据 是等式的性质
（1）5x=50+4x
（2）8-2x=9-4x
解方程，就是将方程一步一步变形，最后变 形成“x=a”（a为已知数）的形式，这样，就 求出了未知数的值，即方程的解。
解：（1）成立。理由如下：已知2x-5y=0，
两边都加上5y，得 ∴2x=5y
（2）成立。 理由如下：由（1）知2x=5y，而y≠0， x 5 两边都除以2y，得 （等式的性质2）
y 2
例2：利用等式的性质解下列方程
(1) x 7 26
(2) -5 x 20
解：两边减7，得
x 7 7 26 7
1 (3) x 5 4 3
解：两边加5，得
1 x 55 45 3 1 x9 化简得： 3
两边同乘-3，得 x 27
小试牛刀 1、利用等式的性质解下列方程并检验 1 (3) 2 x 3 检验： 4
解：两边减2，得：
1 2 x 2 32 4
把 x 4 代入
依据：等式性质1：等式两边同时加上3.
（２）由a=b，得a－6=b＋6 （３）由m=n,得m－2x2=n－2x2
依据：等式性质1：等式两边同时减去2x2.
（４）由2x=x－5，得2x+x=－5
左边加x，右边减去x.运算符号不一致
（５）由x=y，y=5.3，得x=5.3 等式的传递性。 （６）由－2=x，得x=－2 等式的对称性。
应用等式基本性质解方程
在下面的括号内填上适当代数式
由 解： 可得 化简，得
3x 2 4
方程两边同时加上2
3x 2 2 4 2
3x = 6
方程两边同时除以3
xa
2、在解方程中， 等式基本性质的 作用是什么？
（x为未知数，a为常数）
怎样知道你 所以 的结果对不对？
x= 2
用等式的性质解方程例1
等式的性质1：
等式的两边都加上（或都减去）同一个数 或式所得结果仍是等式。 用字母可以表示为：如果a=b，那么a±c=b±c。
等式的性质2：
等式的两边都乘以（或都除以）同一个数 或式（除数不能为0）所得结果仍是等式。 a b ac=bc ，或 = (c 0) 用字母可以表示为：如果a=b，那么 c c
解： （1）成立，根据等式的性质1，两边都减去x
（2）成立，根据等式的性质2，两边都乘以-2 （3）成立，根据等式的性质2，两边都除以3 （4）成立，根据等式的性质1，两边都减去3
练习：1.下列方程变形是否正确？如果正确， 说 明变形的根据；如果不正确，说明理由。 （1）由x=y，得x+3=y+3
一试身手
解下列方程： (1) 2x – 5 = 3
别忘了检验啊！
解： 方程两边同时加上5，得
2x– 5+5 = 3+5 化简，得 2x = 8 方程两边同时除以2，得 x= 8
1. 利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程。 （1）5x-3=7 （2）4x-1=3x+3
超越自我 a 2、要把等式 (m 4)x a 化成 x m 4 ， m 必须满足什么条件？
解：根据等式性质2，在 (m 4)x a 两边同除以
a ，所以 m 4 0 即 m 4。 m 4 便得到 x m4
1 3、由 xy 1 到 x 的变形运用了那个 y 性质，是否正确，为什么？
解：变形运用了等式性质2， 即在 xy 除以 y ，因为 xy
1 两边同
7、判断下列说法是否成立，并说明理由 a b 1、由 a b, 得 （ ） （因为x可能等于0） x x 3 3 2、由 x y, y , 得x （ ） （等量代换） 5 5
3、由 2 x, 得x 2
（
）
（对称性）
1、在下面的括号内填上适当的数或者代数式 （1）∵ 2 x 6 4
1、你能估算出方程 4 x 24, x 1 3的解吗？
x 6, x 2
2、你能估算出方程 4 x 32 x 3 12 x 4的解吗？
x ？
如图，图中字母表示小球的质量，你能根据 活动一 天平的相关知识完成其中的填空吗？（图中 两个天平都保持平衡）
a b a c b c
co
.
2
二、我会应用
1
1 1 （ 1 ）、如果 x 0.5，那么 2 x 2x0.5 . 、 2 2
根据 等式性质2，在等式两边同时乘2 (2)、如果x-3=2，那么x-3+3= 2+3 ， 根据 等式性质1，在等式两边同加3 。 。
(3)、如果4x=-12y，那么x= -3y ，
根据 等式性质2，在等式两边同时除以4 。
∴2 x 6 6 4 6
（2）∵3x 2 x 8
想一想、练一练
3x 2 x ∴
2x 8 2x
9
（3）∵
10 x 9 8 9 x ∴ 10 x 9 x 9 9 8 9 x 9 x
a b 5、如果 a b, 且 ，那么 c应满足的条件是 c c
a b _____=_____
a+c b+c _____=_____
a
b
ac
bc
a b _____=_____
a+c b+c _____=_____
从右到左呢？ 从左到右，等式发生了怎样的变化？
由此你发现了等式的哪些性质？ 减去 等式的两边都加上同一个数，等式仍然成立
等式的性质1：
等式的两边都加上（或都减去）同一 个数或式所得结果仍是等式。 用字母可以表示为： 如果a=b，那么a±c=b±c。
用字母可以表示为：如果a=b，那么 ac=bc ，或
1、如果 2、如果
ac=bc， 那么 a=b，
a b = (c 0) c c
，或 ，或
a=b，那么
已知x+3=1，下列等式成立吗？根据是什么？ （1）3 1 - x
x3 1 （ 3） 3 3
（ 2） - （ 2 x 3） -2 （ 4） x 1 - 3
1 ，所以 y 0 ，所以变形正确。
经过对原方程的一系列变形 (两边同加减、乘除)，最终把方 程化为最简的 式：
x = a(常数）
即方程左边只一个未知数 项、且未知数项的系数是 1,右 边只一个常数项.
55x 4 0 1 6 2 x 2 6
练习:解方程并检验: -6x+3=2-7x
1 D，如果 x 1, 那么 x 3 3
A、如果x y 5, 那么x 5 y B、如果x y 5, 那么x y 5 0
1 5 C、如果 x y 5, 那么 x y 2 2 x y 5 D、如果 x y 5, 那么 a a
已知y+4=2，下列等式成立吗？根据是什么？ （1）y=2-4 （2）4=2-y （3）y=2-y
解： （1）成立，根据等式的性质1，等式两边都减去4
（2）成立，根据等式的性质1，等式两边都减去y
（3）不成立，根据等式的性质1
活动二 如图，图中字母表示小球的质量，你能根据
天平的相关知识完成其中的填空吗？（图中 两个天平都保持平衡）