高考数学一轮复习 第八章 第七节 抛物线 理
新高考数学人教版一轮课件第八章第七节抛物线
则d1＝
t2＋1，d2＝
2 t2＋1 .
因此，四边形ADBE的面积
S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) t2＋1.
设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12. 因为E→M⊥A→B，而E→M＝(t，t2－2)，A→B与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4 2. 因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.
1．(易错题)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( B )
1 A.4
B．－14
C．4
D．－4
2．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( A ) A．y2＝－92x或x2＝34y B．y2＝29x或x2＝43y C．y2＝29x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则 |PQ|＝________.
35 A. 5
B．2
11 C. 5
D．3
2．(多选题)(2021·山东济宁模拟)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆
C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧
上不同
于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则下 列说法正确的是( BCD )
A．点P的纵坐标的取值范围是(2 3，5) B．|PN＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离
A．(0,0) C．(1， 2)
B．21，1 D．(2,2)
考法(二) 点与准线的距离之和最小问题 [例2] (2021·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y
上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是 __________． [解析] 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l： y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA| ＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA| ＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1 的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，
新高考数学一轮复习第八章立体几何8.7抛物线课件
A．1
B．2
C．4
D．6
(2)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，以 F 为圆心的圆与抛物线交于
M，N 两点，与抛物线的准线交于 P，Q 两点，若四边形 MNPQ 为矩形，
则矩形 MNPQ 的面积是( A )
A．16 3
B．12 3
C．4 3
D．3
【解析】 (1)当|MO|＝|MF|时，有 2 个点 M 满足题意；当|OM| ＝|OF|时，有 2 个点 M 满足题意．所以点 M 的个数为 4，故选 C.
(2)根据题意，四边形 MNPQ 为矩形，可得|PQ|＝|MN|，从而 得圆心 F 到准线的距离与到 MN 的距离相等，所以有 M 点的横 坐标为 3，代入抛物线方程，从而求得 M(3,2 3)，N(3，－2 3)， 所以|MN|＝4 3，|NP|＝4，所以矩形 MNPQ 的面积 S＝4×4 3＝ 16 3.
方法技巧 1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可 相互转化；2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考， 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几 何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.
1．若抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，准线是 l，点 M(4，m)是抛物线
方法技巧 1.应用抛物线定义的两个关键点 1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转 化. 2注意灵活运用抛物线上一点 Px0，y0到焦点 F 的距离|PF|＝|x0| ＋\f(p,2)或|PF|＝|y0|＋p2. 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点 位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( D )
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.7 抛物线
2
1 +2
P(- ,
),
2
2
所以点 P 必在抛物线的准线上,且 PM 平行于 x 轴,所以①⑤正确.
两条切线的斜率之积为 k1k2= · =-1,
1 2
所以 AP⊥PB,故②正确.
因为 PM 平行于 x 轴,
所以
1
1 21 +22
∵点 A(1,1)在抛物线 C
1
上,∴1=2p,∴p= .
2
∴抛物线 C 的方程为 x =y,∴抛物线 C 的准线为
∵点 A(1,1),B(0,-1),∴直线 AB 的方程为 y=2x-1.
2
1
y=-4,故
A 错误.
= 2-1,
联立抛物线 C 与直线 AB 的方程,得 2
消去 y,
= ,
解题心得在涉及抛物线的焦点、顶点、准线的问题中,要注意利用几何
图形直观、形象地解题.涉及抛物线上的关键点时,应运用代入的技巧,从
代数的角度进行定量分析.
对点训练2
(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,M
为AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2相交于点P,△PAB常被称
1
因为|PA|= |AB|,所以
2
9
C.
7
D.2
3(1 + 2) = 2 + 2,
31 = 2 .
12 = 41 ,
2
又 2
易得 x1=3.
2 = 42 ,
故点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为
2
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.7抛物线
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【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的
特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
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变式2（1） 设为坐标原点，直线 = 2与抛物线: 2 = 2 > 0 交于，两点.
若 ⊥ ，则的焦点坐标为(
A. 1,0
焦点
准线
叫做抛物线.点叫做抛物线的______，直线叫做抛物线的______.
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2.抛物线的标准方程和简单几何性质
简单几何性质
标准方程
2 = 2
>0
2 = −2
>0
图形
开口
向右
_____
向左
焦点
,0
_______
2
− ,0
2
准线
=
−
2
=
______
2
范围
对称轴
4 = 4 3,解得 =
3
.故所求抛物线的方程为 2
3
=
2 3
.故选A.
3
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（3）已知是抛物线 2 = 8的焦点，点 4,2 ，为抛物线上一点，点不在直线
上，则△ 的周长的最小值是(
A.4
B.6
)
C.6 + 2
√
2
D.6 + 2
解：抛物线 2 = 8的焦点 2,0 ，准线为 = −2.
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第7讲抛物线pptx课件
则△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM 等，且 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42. (2)|AF|＝1－cpos α，|BF|＝1＋cpos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α 为弦 AB 的倾斜角)；x1＋x2≥2 x1x2＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p. (3)|A1F|＋|B1F|＝2p.
(4)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝2spin2 θ＝12|AB||d|＝12 |OF|·|y1－y2|.
(5)以 AB 为直径的圆与准线相切． (6)焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°. (7)A、O、D 三点共线；B、O、C 三点共线．
(8)已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过点 P(2p,0)作直线与抛物线交于 A，
若抛物线的对称轴为 x 轴，设其标准方程为 y2＝2px(p>0)，则 16＝ 10p，∴p＝85，抛物线方程为 y2＝156x，故选 BC.
题组三 走向高考
4．(2023·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C
上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( D )
A．7
B．6
第七讲 抛物线
知识梳理 · 双基自测
知识点一 抛物线的定义 平面内_与__一__个__定__点__F_和__一__条__定__直__线__l_(l_不__经__过__点__F_)_的__距__离__相__等____ 的点 的轨迹叫抛物线．点___F____叫抛物线的__焦__点____，直线____l ____叫抛 物线的____准__线______. 注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂 直的一条直线．
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2= ( + ) + -1-2=2.
当且仅当N,M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时,两个等号成立,
因此,|MN|+d的最小值为2.故选D.
(1)两个距离的转化:“到焦点的距离”和“到准线的距离”可以
互相转化,解题时要做到“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
当x≥0时,因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所
以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动
点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛
物线的方程为y2=8x.
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
求抛物线的标准方程的方法
根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2=-20y或
x
(2)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程为
y2=-60x
.
解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0),
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
考点二
抛物线的标准方程
[例2] (1)如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为
(
)
2
A.y =x
B.y2=9x
2
C.y =x
√
D.y2=3x
解析:(1)如图,设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,
(广东专用)高考数学一轮复习 第八章第七节抛物线配套课件 文
(2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(－ ( 2，0)， ∴p＝2 2， ∴抛物线的方程为y2＝4 2x或y2＝－4 2x.
2
，0)或
【答案】
(1)C
(2)D
设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的 焦点，以 F 为圆心、 |FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相 交，则y0的取值范围是( A．(0，2) ) B．[0，2]
2 ∴x1＋x2＝1＋ 2， k 25 又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝ ， 12 2 13 因此x1＋x2＝1＋ 2＝ ，k2＝24. k 12 则方程(*)为12x2－13x＋3＝0， 1 3 又|AF|＜|BF|，∴x1＝ ，x2＝ . 3 4 p 1 1 5 ∴|AF|＝x1＋ ＝ ＋ ＝ . 2 3 2 6
) B．y2＝8x D．y2＝4x
p 因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以 ＝ 2
【答案】
B
3．(2012· 四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶 点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线 焦点的距离为3，则|OM|＝( ) A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 5
由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M p p 到焦点的距离为xM＋ ＝2＋ ＝3，∴p＝2，∴y2＝4x. 2 2 【解析】
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【解析】
由抛物线C：x2＝8y知p＝4，
【答案】
4
(1)(2013·惠州质检)设圆C与圆 C′：x2＋ (y －3)2＝ 1外 切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( A．抛物线 C．椭圆 B．双曲线 D．圆 )
(2)(2012· 重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛 25 物线于A，B两点，若|AB|＝ ，|AF|＜|BF|，则|AF|＝ 12 ________．
高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2____x ＝p 2____y ＝－p 2____y ＝p 2__范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p2__|PF |＝__－x 0＋p2__|PF |＝__y 0＋p2__|PF |＝__－y 0＋p2__重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a4．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p24,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ) A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2,可得标准方程为x 2＝－14y ,则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116,准线方程为y ＝116,设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1,解得y 0＝－1516．故选B ． 题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴3p －p ＝p 24,∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切,且和直线x ＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设动圆的圆心为C ,则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1,而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ,所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1,即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x ＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D ．角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|P A|＋|PO|的最小值为(B)A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2),过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1)＝3,故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4,∴y A＝2,代入x2＝8y,得x A＝±4,不妨取A(4,2),又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4),∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．[引申]本例(2)①中,(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4,圆心C的坐标为(－3,－4)．由抛物线定义知,当d＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上,过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线,垂足分别为G ,H ,则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线,焦点F (1,0),由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |,∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号,∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __． (2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ,y ),则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此,|P A |＋|PF |的最小值,即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|P A |＋|PD |最小,此时P (94,3),且|PF |＝94＋1＝134,故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示．结合抛物线的定义,有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2,即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __,准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2),∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0,得y ＝－2,令y ＝0,得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,－2)． 当焦点为(4,0)时,p2＝4,∴p ＝8,此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0,－2)时,p2＝2,∴p ＝4,此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y , 对应的准线方程分别是x ＝－4,y ＝2．(3)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则由已知得|BC |＝2a ,由定义得|BD |＝a ,故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中,∵|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, ∴3＋3a ＝6,从而得a ＝1．∵BD ∥FG ,∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |,即1p ＝23,求得p ＝32,因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |＝1,则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,－3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1,∴p ＝23,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ,故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0),所以3＋p2＝5,即p ＝4,所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ,故选D ．考点三 抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点(点A 在第一象限),过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段,垂足分别为M 、N ,若|MF |＝4,|NF |＝3,则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9,解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)由抛物线定义知|AM |＝|AF |,|BN |＝|BF |,∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°,∴∠MFN ＝90°, 又|MF |＝4,|NF |＝3, ∴|MN |＝5,∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125, 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ,∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |＝4|BF |,则|AB |＝__254__．(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |＝9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1,∴p ＝2,不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1,得y 2－4my －4＝0, ∴y 1y 2＝－4,又|AF |＝4|BF |,∴y 1＝－4y 2, ∴y 2＝－1,从而x 2＝14,∴|BF |＝1＋14＝54,∴|AB |＝5|BF |＝254．(2)设P (x 0,y 0),由抛物线y 2＝4x , 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 故|PM |＝x 0＋1＝9,解得x 0＝8, 故P 点坐标为(8,42), 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四 直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合,直线y ＝x －4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8． ①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点,与直线x ＝－1交于H 点,过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点,求证：直线MN 过定点． [解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8,故抛物线方程为y 2＝16x ,易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0,故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2,知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2, ∴AB 的方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0,故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1,消x 可得y 2－2py －2p ＝0,∴y 1＋y 2＝2p ,y 1y 2＝－2p ,∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8,解得p ＝2或p ＝－4(舍去),∴p ＝2,②由①可得y 2＝ 4x ,设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0, ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x , 当x ＝－1时,∴y H ＝－4y 0, 代入抛物线方程y 2＝4x ,可得x N ＝4y 20, ∴N ⎝⎛⎭⎫4y 20，－4y 0, ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4, 直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上),可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知|AF |＝4,CB →＝3BF →,则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2． ①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|,求直线l 的方程．[解析] (1)过A ,B 分别作准线的垂线交准线于E ,D 两点,设|BF |＝a ,根据抛物线的性质可知,|BD |＝a ,|AE |＝4,根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |, 即a 4＝3a 3a ＋a ＋4,解得a ＝2, 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |,即a p ＝3a 4a, 解得p ＝43a ＝83,故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2,即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2,解得p ＝2,所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0),设直线l ：y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ,整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k2, ① x 1x 2＝1,②又由|AB →|＝3|BP →|,得AB →＝3BP →,可得x 1＝4x 2,③ 由②③,可得x 1＝2,x 2＝12, 代入①,可得2＋4k 2＝52,解得k ＝±22, 所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ,节选)已知曲线C ：y ＝x 22,D 为直线y ＝－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2,双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2),联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ,易知在M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0,其与切线平行,所以m p ＝33,即m ＝33p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0,得p ＝433或p ＝0(舍去)． (2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12,A (x 1,y 1),则x 21＝2y 1,由于y ′＝x , ∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t＝x 1, 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0,即y －12＝tx ． ∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),过点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ,过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0,－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0,即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2)设A ,B 的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),∵y ＝x 28,y ′＝x4,∴P A ,PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1),y －y 2＝x 24(x －x 2),由y 1＝x 218,y 2＝x 228,可得y ＝x 14x －y 1,y ＝x 24x －y 2,∵切线P A ,PB 都过点P (b,4),∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2,故可知过A ,B 两点的直线方程为4＝b4x －y ,当x ＝0时,y ＝－4,∴直线AB 恒过定点(0,－4)．故选C ．。
2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线【课件】
x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
提醒：(1)焦点在 x 轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2，焦点在 y 轴上时，方程的 右端为±2py，左端为 x2.
(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，长等于 2p，是过焦点最短的弦．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通 径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( √ ) (5)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0， 准线方程是 x＝－a4.( × )
易错点睛：(1)求抛物线方程时容易忽视 p 的几何意义致错，解题时应注意． (2)直线与抛物线相交时，忽视与抛物线的对称轴平行的直线致错，如 6 题中忽视对 k ＝0 的讨论．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 抛物线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的
的点的轨迹
2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第七节 抛物线课件 文 新人教A版
图形
y2＝2px 标准方程 (p＞0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F__p2_，__0_ _ F__－__p2_，_0__ F_0_，__p2__ F_0_，__－__p2__
离心率
答案：B
2．以双曲线
x2 3
－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛
物线方程是
()
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝－4 2x
D．y2＝－8x
解析：由题意知抛物线的焦点为(－2,0)，又顶点在原 点，所以抛物线的方程为y2＝－8x. 答案：D
3．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋ y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺 次与上述两曲线交于点A，B，C， D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD| 的值的说法中，正确的是 ( ) A．等于1 B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2016·赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y2＝2x
的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小
值的 M 的坐标为
()
A．(0,0)
B．12，1
C．(1， 2)
D．(2,2)
解析：过 M 点作左准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA|
考点二 抛物线定义及应用 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和 最小等等．
高考数学一轮专题复习 第八章 第7讲 抛物线
1.(1)(2015·云南省统一检测)设经过抛物线 C 的焦
点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么抛物线 C 的
准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( B )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心
D．相交且经过圆心
(2)(2015·浙江杭州模拟)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的动
4．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的 轨迹方程为__y_2＝__4_x__． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距 离与到直线 x＝－1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动 圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
考点一 抛物线的定义及其应用 考点二 抛物线的标准方程及性质(高频考点) 考点三 直线与抛物线的位置关系
x＝－1，则抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的
距离之和的最小值是( B )
35 A. 5 C.151
B．2 D．3
[解析] (1)∵F→P＝4F→Q， ∴|F→P|＝4|F→Q|，∴||PPQF||＝34.如图，过 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，设 l 与 x 轴的交点为 A， 则|AF|＝4， ∴||PPQF||＝|Q|AQF′| |＝34， ∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3， 故选 C.
离心率
准线方 程
x＝－p2
e＝____1____
x＝p2
y＝－p2
x＝p2
标准 y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px(p ＞0)
x2＝2py(p＞ 0)
x2＝－ 2py(p＞0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
范围 x≥0，y∈R
高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第八章第7讲抛物线
第7讲第八章平面解析几何抛物线教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知,只梳理,1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线(1)在平面内;(2)动点到定点F的距离与到定直线I的距离相等;(3)定点不在定直线上.2.抛物线的标准方程和几何性质產D；、做二做［I.（I, 0）,且与直线兀=一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为上竺_• 解析：设动圆的圆心坐标为（小y）,则圆心到点（1,0）的距离与到直线X=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为/=4x.2.已知抛物线的焦点坐标是(0, -3),则抛物线的标准方程解析：因为^=3,所以p = 6,所以x2= — 12y.要点整食1.必明辨的2个易错点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件.(2)抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0,才能说明其几何意义是焦点F到准线I的距离.2.常用的5个结论与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)，设A(x19yi)9B(x2922 pWyiy2=—p，兀1*2—4 •(2)AB =x{ +x2+p=s-^f e(0为4B 的倾斜角).(3圧+磊为定值；(4)以AB为直径的圆与准线相切.(5)以4F或BF为直径的圆与y轴相切.1.抛物线兀〜尹的焦点F到其准线I的距离是上解析：因为2p=|, p=\,所以由抛物线的定义可知所求的距离为2.若点P到直线丿=一1的距离比它到点(0, 3)的距离小2, 则点P的轨迹方程是上竺解析：由题意可知点P到直线J = -3的距离等于它到点(0, 3)的距离，故点P的轨迹是以点(0, 3)为焦点，以j = -3为准线的抛物线, 且P=6,所以其标准方程为x2=12y.3.己知抛物线y2=2px(p>Q)的焦点弦AB的两端点坐标分别为如，力)，盼2,乃)，则器的值一定等于—解析：①若焦点弦4〃丄兀轴，则兀1=兀2—2，贝y x i x2— 4 ；②若焦点弦AB不垂直于兀轴,可设直线AB：y=kx则yij2=—加.故誥—4.名师导悟以例说法考点一抛物线定义的运用(2016•泰州调研)设P是抛物线J2=4X上的一个动点，F为其焦点.(1)求点P到点A(-l, 1)的距离与点P到直线兀=一1的距离之和的最【小值;(2)若3(3, 2),求PB+PF的最小值.［解］⑴抛物线的焦点为F(l, 0),准线方程为工=一1・因为点P到准线工=—1的距离等于P到焦点F(1,0)的距离, 所以问题转化为：求点P到A(-l, 1)的距离与点P到F(l, 0)的距离之和的最小值.显然，当P是A, F的连线与抛物线的交点时，所求的距离之和最小，为(2)由抛物线定义知，PF等于点P到准线兀=一1的距离,所以PB+PF等于点P到点B的距离与点P到直线x=-l 的距离之和，其最小值为点B到直线x=-l的距离为4, 即PB+PF 的最小值为4.(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 利用“两点之间线段最短”，使问题得解.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”的原理解决.1•已知抛物线的方程为X2=8J,F是焦点，点A(-2, 4),在此抛物线上求一点P,使PF+PA的值最小.解：因为(-2)2<8X4,所以点A(-2, 4)在抛物线x2=Sy内部.如图，设抛物线的准线为人过点P作陀丄/于点0过点A作AB丄2于点B,由抛物线的定义可知PF+PA =PQ^PA^AB,当且仅当P, 0, A三点共线时，PF+PA取得最小值，即为AB・因为A(—2, 4),所以不妨设PF+PA的值最小时,点P的坐标为(一2, jo)，代入x2=8y f得为=专・故使PF+PA的值最小的抛物线上的点p的坐标为| 一2,考点二抛物线的标准方程与几何性质（高频考点）（2016•长沙调研）已知抛物线顶点在原点，焦点在兀轴上.又知此抛物线上一点P（l,加倒焦点的距离为3.⑴求此抛物线的方程;（2）若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点5. AB中点的横坐标为2,求A:的值.消去y 得 A:2x 2—(4Zr+8)x+4=0,因为直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A 、B 9解得k>—l 且EHO.解得k=2或氐=一1（舍去）.所以所求疋的值为2・则有 卩HO,[^>0,又因为唏=4,⑵由（2016•九江质检）在平面直角坐标系兀Oy 中，直线2与抛物线y2=4x相交于不同的厶B两点.⑴如果直线Z过抛物线的焦点，求石•亦的值；⑵如果厉•乔=—4,证明直线？必过一定点，并求出该定点.［解］⑴由题意知，抛物线焦点为（1, 0）,设人x=（y + l, 代入抛物线方程/=4x,消去小得y2-4ty-4=0.设Ag yi）、B（X29乃），则丿1+丿2 = 4仃丿卩2= —4,“0=什_心7_”母"孚撚7+心=尤：?疑々）乙/0«+1 +（«+【心+加/< ）=乙皿《+（1+⑷）（【+【◎）=血+"々=00 • vo 则Ji+j2=46丿卩2=—4方・因为03 • OB=x l x2^ryiy2=（切+"）（”2+方）+y〃2=t2yiy2+bt（y l-\-y2）+b2+y i y2=一4加2+4加2+沪一4b=沪一4方，令沪一4方=一4,所以方2一4方+4=0, 所以b=29所以直线2过定点(2, 0).涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征, 体现了数形结合思想解题的直观性.求抛物线方程应注意的问题: ⑴当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种;(2)要注意把握抛物线的顶点.对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题•通关练习2.抛物线J2=24«X(«>0)±有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为匸解析：由题意知，3+也=5, a=|,则抛物线方程为y2=8x.33.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为八点A(0, 2).若线段E4的中点〃在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为3边4/ 、解析：抛物线的焦点F的坐标为£, 0)线段皿的中点B的坐标为纟，"，代入抛物线方程得l=2pX%解得p=迈, 故点B的坐标为呼，1J,故点B到该抛物线准线的距离为乎考点三抛物线的综合问题如图，点O为坐标原点，直线I经过抛物线C：y2 =4兀的焦点F.(1)若点O到直线Z的距离为求直线？的方程；(2)设点A是直线？与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心，E4为半径的圆与兀轴的交点，试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明.［解］⑴易知抛物线的焦点F(l, 0),当直线I的斜率不存在时，即x = l不符合题意.当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为：y=k(x-l)9即kx—y—k=Q.所以寸］+&2 = £，解得无=土斗^故直线/的方程为：y=±¥(x—1),即x±V3y—1=0.⑵直线A"与抛物线相切，证明如下^设 yo)9 则 jo =4xo<因为 BF=AF=xo^l,所以 B(~X 09 0).所以直线AB 的方程为：『=蠢（兀+兀0）， 把方程①代入 J 2=4X 得：Joy 2—8xQy+4xQy o =O.A =64XQ —16xQyo =64xo _ 64xg=0,所以直线AB 与抛物线相切.整理得:Jo设抛物线方程为y 2=2px(p>0)f 直线4r+By+C=0,将直 线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于j 的方程my 2+ny~\~q=^.⑴若加工0,当J=0时，当/V0时， (2)若税=0,直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛 物线的对称轴平行或重当/>0时，直线与抛物线有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点； 直线与抛物线没有公共点.合.4•女口图，已知两条抛物线Ei： y2=2pix（pi>o）和Eiz y2=2p2x(p2>0)^过原点O的两条直线?1和?2,Z1 与E1，艮分别交于旳，人2两点，仏与E，左2分别交于血,场两点.(1)证明：A\B\//A2B29（2）过O作直线2（异于Zi,仏）与E\, E2分别交于G, C2两点•记CAA01C1与厶4必2（2的面积分别为S1与S2,求寸的值.解:⑴证明：易知G 仏的斜率存在，不妨设直线S ‘2的方 程分别为y=kix 9 y=k^（ki ，^2^0）,由忙二得赠翘 同理可得B鹽,豐）,B2僧,翘灯丿' 得Ai 他,所如iBi人2〃2 ==2P2愿一蛙k~k^ 葩血唱4赢，所以佔〃8・⑵由⑴知A l B1//A2B2, 同理可得B1C1//B2C2,C1A1//C2A2.所以/SA2B2C26 尸名师讲坛▼素养提升*觀洌 ⑴过抛物线y 2=Sx 的焦点F 作倾斜角为135。
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第七节 抛物线课
则该抛物线焦点坐标为
()
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
解析：抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p2且过点(－1,1)，故
－p2＝－1，解得 p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：B
2．以双曲线
x2 3
－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛
物线方程是
解析
解析
解析
解析：过 M 点作左准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA| ＝|MN|＋|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|＋|MA|取 得最小值，此时 M(2,2)．
答案：D
解析：依题意，由点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝－1
引垂线，垂足为 M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条 件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直 线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p＞0，才能证明其 几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
解析：由题意知抛物线的标准方程为x2＝1ay，所以准线 方程y＝－41a＝1，解得a＝－14. 答案：B
第七节
抛物线
相等 不在
标准 方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
y2＝2px 标准方程 (p＞0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0)
(p>0)
(p>0)
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E 2 分别交于 B 1， B 2 两点，
（ 1）证明： A 1 B 1 // A 2 B 2；
（ 2 ）过 O 作直线 l （异于 l 1 , l 2）
与 E 1， E 2 分别交于 C 1 C 2 两点，记
△ A 1 B 1C 1与△ A 2 B 2 C 2的面积分别
为 S 1，S直线与抛物线的位置关系
[ 典题例析 ]
如图， 已知两条抛物线
E 1 : y 2 2 p 1 x（ p 1 0 ）
和 E 2 : y 2 2 p 2 x（ p 2 0 ），过原点 O 的两条直线，
l 1 和 l 2， l 1 与 E 1， E 2 分别交于 A 1， A 2 两点， l 2 与 E 1，
3.若抛物y2线 4 x2的准线经过x椭 2 圆
m
7
y2 1的左焦点，则 m的 实值 数为 ___. 3
考点二 抛物线的定义及应用
[多 角 探 明 ] 角 度 一到，焦 点 与 定 点 距 离最之小和问 题 1.已 知 抛 物 线 的 方x程2 为8y, F是 焦 点 ， 点A（-2，4） ， 在 此 抛 物 线 上点求P， 一使 | PF| | PA|的 值 最 小 .
考点一 抛物线的标准方程及几何性质
[题组练透] 1. 抛物线y 1 x2的准线方程是
4 A. y 1 B. y 2 C. x 1 D. x 2
2. 若抛物线y2 2 px上一点P（2，y0）到 其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为 A. y2 4x B. y2 6x C. y2 8x D. y2 10x