复变函数-共性映射

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因此, 映射w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 变为方程 d(u2+v2)+bu−cv+a=0 当然, 可能是将圆周映射为圆周(当a≠0,d≠0); 圆周映射成直线(当a≠0,d=0); 直线映射成圆周 (当a=0,d≠0)以及直线映射成直线(当a=0,d=0). 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者 说, 映射w=1/z具有保圆性.
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O x u | w− w0 | 伸 缩率| f ′(z) |≈ 由 此看 出映 w = f (z) 射 | z − z0 |
也将 很小 的圆| z − z0 |= δ近似 地映 射成圆 | w− w0 |=| f ′(z0 ) | δ .
17
O
§2 分式线性映射
18
分式线性映射
33
§3 唯一决定分式线性映射的条件
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分式线性映射 az + b
cz + d
中含有四个常数a,b,c,d. 但是, 如果用这四个数中的 一个去除分子和分母, 就可将分式中的四个常数化 为三个常数. 所以, 上式中实际上只有三个独立的常 数. 因此, 只需给定三个条件, 就能决定一个分式线 性映射. 定理 在z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3, 在w 平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3, 则存在唯 一的分式线性映射, 将zk(k=1,2,3)依次映射成 wk(k=1,2,3).
z' R C z0 z 1 z2
Γ
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定理三 设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点, 则在分式线性映射下, 它们的象点w1与w2也是 关于C的象曲线Γ的一对对称点. [证] 设经过w1与w2的任一圆周Γ '是经过z1与z2 的圆周Γ 由分式线性映射过来的. 由于Γ 与C 正交, 而分式线性映射具有保角性, 所以Γ '与 C '(C的象)也必正交, 因此, w1与w2是一对关于 C '的对称点.
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2. 共形映射的概念 定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一对应 的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映 射w=f(z)在z0是共形的, 或称w=f(z)在z0是共形 映射. 如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共 形的, 就称w=f(z)是区域D内的共形映射.
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定理二 如果函数w=f(z)在z0解析, 且f '(z0)≠0, 则映射w=f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表 示这个映射在z0的转动角, |f '(z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f(z)在D内处处有f '(z)≠0, 则映 射w=f(z)是D内的共形映射.
7
即 Arg w '(t0)−Arg z '(t0)=Arg f '(z0) (6.1.1) 如果假定x轴与u轴, y轴与v轴的正向相同, 而 且将原来的切线的正向与映射过后的切线的 正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射 后在z0处的转动角, 则(6.1.1)式表明: 1)导数f '(z0)≠0的辐角Arg f '(z0)是曲线C经过 w=f(z)映射后在z0处的转动角; 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 所以这种映射具有转动角的不变性.
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y
(z) C2 z0
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O O x u 定理一的几何意义. 在D内作以z0为其一个顶 点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其 一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对 应边长之比近似为|f '(z0)|, 有一个角相等, 则 这两个三角形近似相似.
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y
(z) C2 z0
i) ii ) iii )
w = z + b; w = az; 1 w= z
下面讨论三种映射, 为了方便, 暂且将w平面 看成是与z平面重合的.
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i) w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加 可以化为向量相加, z沿向量b的方向平移一段 距离|b|后, 就得到w. (z)=(w) w b
8
y
z0
(z)
v
(w)
w0
O
x
O
u
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每 一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲 线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0).
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y
(z) C2 z0
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O O x u 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹 角, 在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射 后C1与C2对应的曲线Γ1与Γ2之间的夹角, 所 以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不 变的性质.这种性质称为保角性
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1.保角性
而i)与ii)构成的复合映射w=az+b经过类似的 处理后也可以看作是在整个扩充复平面上共 形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而 构成的,因此有 定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一 对应的, 且具有保角性.
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2.保圆性 映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周 的特性, 这里将直线看作是无穷大半径的圆, 这种性质称作保圆性. 映射w=az+b显然, 下面说明w=1/z具有保圆性. 1 令 = x + iy, w = = u + iv z z −y x 则 = 2 ,v = 2 u 2 2 x +y x +y u −v 或 = 2 2 ,y= 2 2 x u +v u +v
分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射。
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两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性 映射. 例如 αζ + β w= (αδ − βγ ≠ 0), γζ +δ
α' z + β' ζ= (α'δ '−β'γ ' ≠ 0), γ ' z +δ
则 az + b w= cz + d 式 (ad −bc) = (αδ − βγ )(α'δ '−β'γ ' ) ≠ 0 中
(6.1.3)
11
此极限值称为曲线C在z0的伸缩率.
(6.1.3)表明: |f '(z)|是经过映射w=f(z)后通过点z0的任何曲线 C在z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
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定理一 设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内 的一点, 且f '(z0)≠0, 则映射w=f(z)在z0具有两个 性质: 1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经 过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向 上保持不变 2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线 的伸缩率均为|f '(z0)|而与其形状和方向无关.
5
z(t0 +∆t) − z(t0 ) z′(t0 ) = lim ∆t →0 ∆t
1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f(z) 在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f '(z0)≠0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲 线, 它的参数方程是: z=z(t), α≤t≤β, 它的正向相应于参数t增大的方向, 且z0=z(t0), z '(t0)≠0, α<t0<β. 则映射w=f(z)将C映射成w平 面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光 滑曲线Γ, 它的参数方程是 w=f[z(t)], α≤t≤β 正向相应于参数t增大的方向.
及
(z3 − zk )(ad −bc) w − wk = . (k =1 ,2) 3 (cz3 + d)(czk + d)
z O
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ii) w=az, a≠0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的 映射. 设a=λeiα将z先转一个角度α, 再将|z|伸长 (或缩短)λ倍后, 就得到w. (z)=(w) w
α
O
z
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圆周的对称点 T C O r P' P与P'关于圆周 C互为对称点 P
OP•OP'=r2, 因为∆OP'T相似于∆OPT. 因此, OP':OT=OT:OP, 即OP•OP'=OT2=r2.
3
事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的 正向对应于t增大的方向, 则这个方向与表示 的方向相同. y P0 z(t0)
z(t0 +∆t) − z(t0 ) ∆t
(z) P z(t0+∆t) C
O
x
4
当点P沿C无限趋向于点P0, 割线P0P的极限位 置就是C上P0处的切线. 因此, 表示 的向量与C相切于点z0=z(t0), 且方向与C的正 向一致. 如果我们规定这个向量的方向作 为C上点z0处的切线的正向, 则我们有 1) Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向 间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的 夹角就是它们交点处切线正向间夹角
第六章 共形映射
1
§1 共形映射的概念
2
z平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), α≤t≤β 表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一条连续函数. 如果z '(t0)≠0,α<t0<β, 则表示z '(t)的向量(把起 点取在z0. 以下不一一说明)与C相切于点 z0=z(t0). z '(t0) z(t0) z(α) z(β)