高等数学隐函数求导

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高等数学---隐函数

3. 参数方程求导法转化极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小

《高等数学》课件5第五节隐函数的求导公式 ppt

① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx

高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数

结束
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2 y dx2

d (dy) dx dx

d ((t)) dt dt (t) dx
d2y dx 2

d dt

(t ) ( t )

dx
dt
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
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结束
x a(t sint) y a(1cost)
x a cos3 t

y

a
sin 3
t
2
2
2
x3 y3 a3
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结束
x2 y2 axa x2 y2
a(1cost)
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结束
ea
a
首页
首页
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结束
例8 一汽球从离5开 0m 0处观离察地员面铅
上升 ,其速率 14m 0为 /mi.当 n 气球高 50m 度 0时,为
观察员视线的率仰是角多 ? 增少加
解设t时刻 ,气球上升h高 ,观度察为员视线
的仰角 ,则为
tan h （相关方程）
500
四、隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
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结束
1、隐函数的导数 P102
定义: 设在方程 F(x, y) 0中,当x取某区间内的任意值 , 相时应地总有满足这的方程唯一y的值存,在那么就说方F程 (x, y) 0在该区间内确定了一函个数y隐 f (x).

高等数学9_6隐函数求导

导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
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第六节隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数的求(偏)导公式
二、由方程组所确定的隐函数组的求(偏)导法则
三、全微分法
本节讨论 :
1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求(偏)导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

高等数学第八章第4节隐函数的求导公式

求导，将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对求导方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组组
1,3

思考题
x y 为可微函数，已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况）隐函数的求导法则分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0

高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解：设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.

高等数学第8章五节隐函数的求导公式最终

d y x y x y y y x y . dx y x
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前提下进行的．并不一定都能确定一元函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解法一公式法令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy

隐函数求导

隐函数求导隐函数求导是高等数学中的一种求导方法，用于求解含有隐含变量的函数的导数。

通常来说，给定一个方程，如果它不能够被显式地表示为y=f(x)的形式，那么我们就需要使用隐函数求导的方法来求解它的导数。

隐函数求导的基本思想是在方程两边同时求导，然后根据链式法则和隐函数导数定理进行推导，最后得到隐函数的导数表达式。

让我们以一个简单的例子来说明隐函数求导的过程。

假设有一个方程：x² + y² = 1。

这是一个圆的方程，但无法明确地表示y关于x的函数形式。

首先，我们对方程两边同时求导。

对于x²，我们可以直接得到导数为2x。

而对于y²，由于y是一个关于x的隐函数，我们需要使用隐函数求导的方法来求解。

这里我们使用隐函数导数定理，即(dy/dx) = - (dy/dx) / (dx/dy)。

将方程x² + y² = 1两边同时对x求导，得到2x + 2y(dy/dx) = 0。

然后解出(dy/dx)，得到(dy/dx) = -x/y。

这样，我们就得到了方程y² = 1 - x²的导数表达式(dy/dx) = -x/y。

通过这个例子，我们可以总结出求解隐函数导数的一般步骤：1. 对于给定的隐函数方程，通常是一个关于x和y的方程，需要对方程两边同时求导。

2. 对于显式函数，可以直接求导；而对于隐函数部分，需要使用隐函数导数定理求解。

3. 使用隐函数导数定理对隐函数部分进行求导时，需要注意使用链式法则，并考虑到隐函数对x的依赖关系。

4. 解出隐函数导数的表达式。

上述步骤只是隐函数求导的一般思路，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。

因此，我们需要根据具体问题的特点和条件来确定使用何种求导方法。

在实际问题中，隐函数求导的应用非常广泛。

例如，当我们研究物理学中的运动问题时，经常会遇到含有时间和位置的方程，这时就需要使用隐函数求导的方法来求解速度和加速度等相关物理量的变化率。

高等数学：第九讲隐函数的导数

2. 隐函数求导的关键是搞清楚y是x的函数，碰到只含有x的函数，正常求导；碰到含有y的函数，先对y求导，再乘以y 对x的导数y′。
3. 在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有因变量y，通常不能也无须求得只含自变量的表达式.
谢谢
即 ey .y′ -2y .y′+(y+x y′) =0 从中解出y，得
y y' 2y xey
因为y是x的函数，
z
所以ey是x的复合函数. y
记z e y , 求 dz .
dy
dy dx
ey
y
03 小结
1. 显函数求导的四则运算法则和复合函数求导法则对于隐函数的导数同样成立。
02 隐函数的求导法则
F(x, y) 0 方程两边对 x 求导
d F(x, y) 0 dx
将方程中的y视为x 的函数y( x)(隐函数)
得到含导数 y 的方程，从而解出 y .
例题：
设方程 ey-y2+xy=0确定函数 y = y(x)，求 y.
解方程两边对x求导，得 (ey)′ - (y2 )′+ (xy )′=(0)′，
隐函数的导数
目录
01 隐函数的定义
02 隐函数的求导法则
03
小结
01 隐函数的定义
对应法则的显性和隐性函数
显函数隐函数
01 隐函数的定义
形如 y f (x) 的函数，称为显函数。例如 y sin x，y x3 ex 都是显函数。特点：方程的左边是因变量，右边是关于自变量的表达式。
隐函数
定义若如由果方二程元方F (程x,Fy)(x, 0y)可确0 可定确y 定是 yx 是的函x 的数函, 则数称, 此则函称数

高等数学(第五版)2-4 隐函数求导,参数方程求导,相关变化率

d 0.14(弧度 / 分) dt
dt
例10. 球体受热膨胀，当球半 R 10厘米时，径球半径的增加速度是2厘米 / 秒.求此时球体积 V的增加速度?
解:
4 3 V R , V、R都是 t的函数， 3
等式两边对t求导，得
dV 4 3 dR 2 dR ( R )R 4R dt 3 dt dt
2 x 2 y y 0 x
dy x dy 3 解得 . （3，） . 4 dx y dx 4
例2. 设曲线C的方程为 x y 3 xy, 求过C上
3 3
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.
解: 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3( y xy)
二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 给定参数方程 , y (t ) 把对应于同一个的x与y联系起来, 就得到 x与y t
的函数关系.
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
v2 g 2 x 2 x . 消去参数 t 得 y v1 2v1
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
4.相关变化率问题* 列出依赖于 t 的相关变量关系式
两边对 t 求导相关变化率之间的关系式
(t 2nπ, n为整数)
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为故抛射体速度大小再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设为切线倾角, 则垂直分量为
v1 (v2 gt )
2
y
2
vy
v vx
dy dy d t dx dx

隐函数求导数的五种方法

4求导"此时6是-"4的函数"求偏导数时"需要把6看作-" 4的函数#
例设方程求 3
-) P4) N* 6N$+) M%"6c$" 6" 6#
- 4
四微分法
设方程3*
-"4+
确定函数 M%"
4M!* -+
"利用微分形式
不变性"对方程两边同时求微分"此时需要将3看成关于
-"4的一个二元函数#
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)(%(%%'
科技风 "#"$ 年 % 月
隐函数求导数的五种方法
张亚龙4高改芸4刘爽
北京科技大学天津学院天津
摘4要针对隐函数求导数问题在隐函数存在定理的基础上总结出求隐函数导数的五种方法同时利用五种方法分别求解一元隐函数和二元隐函数并分析和比较每个方法的优点与缺点
解两端同时对-求导得)-N) * 6N$ + 6M%"所以 -
例设求 1 -N_-*-) P-4+M%" ,4# ,-
6M - 6N$
#
解两边同时求微分得 " ,-N-) P$-4,* -) P-4+ M%",-N
两端同时对求导得所以 4
)4N)* 6N$+ 6M%" 4
46M6N4$#
一"也是高等数学中的一个难点# 利用多元复合函数求偏导"对于初学者容易出错# 利用隐函数求导数可以求解空

高等数学_第八章_多元微分_第五节_隐函数求导

Fx F v Gx Gv
课本P34课本P34-P35 P34
Fy F v GyGv
F Fx u Gu Gx F u Gu
参见二元线性方程组的求解公式
Fy Gy
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例4. 设 x = e
u+v
, y =e
u+v
u−v
, z = uv , 求
u−v
解现在 z = uv , 式中 u = u(x, y), v = v(x, y)由方程由方程
z
z
F′⋅ 1 1 z
∂z =− y ∂y ′ F′⋅ (− x ) + F2 ⋅ (− 2 ) 1 2
z z
F′ ⋅ 1 2 z
′ z F2 = ′ x F′ + y F2 1
故
Fx ∂z ∂z ∂z z dz = dx + dy = =− (F′dx + F′dy) 1 2 ∂x ∂y x F′ + y F′ ∂x Fz 1 2
再对 x 求导
2+
∂z 2 1+ ( ) ∂x
∂2z −4 2 = 0 ∂x
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结束
解二利用隐函数求导公式设则
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4z
Fx = 2x,
Fz = 2z − 4
∴
x x Fx ∂z = =− =− z −2 2− z ∂x Fz
两边对 x 求偏导
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微分法. 解二微分法对方程
两边求微分: 两边求微分
x y F′⋅ d( ) + F′ ⋅ d( ) = 0 2 1 z z zdx − xdz zdy − ydz F′⋅ ( ) + F′ ⋅( ) =0 1 2 z2 z2 ′ xF′+ yF2 F′dx +F′ dy 1 2 整理得 dz = 1 2 z z z dz = (F′dx + F′dy) 解得 1 2 x F′ + y F′ 1 2

高等数学隐函数求导法则

高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。

这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。

高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。

这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。

高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。

例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。

最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。

隐函数的求导方法通俗易懂

隐函数的求导方法一、引言隐函数是高等数学中的一个重要概念，它是指由一个方程所确定的函数。

在求解隐函数的导数时，我们需要采用一些特殊的方法来处理。

本文将介绍几种通俗易懂的隐函数求导方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、隐函数与显函数的区别在开始介绍隐函数的求导方法之前，我们先来回顾一下隐函数与显函数的区别。

显函数是指以自变量直接表示的函数，例如y=f(x)，其中y能够通过x的值来唯一确定。

而隐函数则是由一个方程所确定的函数，例如F(x,y)=0，其中y不能直接用x 的值来表示，需要通过方程进行求解。

三、常用的隐函数求导方法1. 隐函数微分法隐函数微分法是求解隐函数导数的一种常用方法。

它的基本思想是将隐函数的方程两边同时微分，并利用链式法则和隐函数的导数定义进行求解。

具体步骤如下： 1. 对隐函数方程两边同时取微分，记隐函数关于自变量的导数为dy dx ； 2. 利用链式法则，将dydx表示为dydt和dxdt的乘积形式； 3. 将dxdt换为1（这一步利用了隐函数的导数定义）； 4. 化简表达式，求得dydt ； 5. 如果需要求解dydx，则将dydt 与dxdt相除。

2. 雅可比行列式法雅可比行列式法适用于多元隐函数的求导问题，它利用了雅可比行列式的性质进行计算。

该方法在部分场景下比隐函数微分法更加简便。

具体步骤如下： 1. 将多元隐函数方程表示为向量形式F(x,y)=0，其中x为自变量向量，y为隐函数向量； 2. 对向量方程求导，得到雅可比矩阵J=∂F∂(x,y)； 3.根据隐函数定理，当雅可比行列式|J|≠0时，可以求得隐函数的导数； 4. 通过分块矩阵的形式，将雅可比矩阵拆分为[A B]的形式； 5. 隐函数的导数为−A −1B|A|。

四、隐函数求导实例为了更好地理解上述方法，我们通过一个实例来演示隐函数的求导过程。

假设有一个隐函数方程e x+y2+2xy=1，我们希望求解该方程所确定的隐函数的导数dydx。

高等数学-隐函数求导

y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
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②
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注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
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u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程在点某一邻域足并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,

隐函数求导公式

隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。

隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。

隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。

它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。

隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。

以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。

这就是隐函数求导的基本原理。

除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。

它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。

例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。

极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。

它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。

极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。

例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。

柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。