初三数学提高练习1(附答案)

1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，将△BEF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处．如图1，当B ′ 在AD 上时，B ′ 在AD 上可移动的最大距离为_________；如图 2，当B ′ 在矩形ABCD 内部时，AB ′ 的最小值为______________．2 ； 34－5解：如图1，当点F 与点C 重合时，B ′D ＝22CD C B－ ＝22AB BC－＝2235－＝4 AB ′＝5－4＝1如图2，当点E 与点A 重合时，AB ′＝AB ＝3 所以B ′ 在AD 上可移动的最大距离为3－1＝2如图3，当B ′ 在对角线AC 上时，AB ′ 最小（连结AC 、AB ′ 、B ′C ，则AB ′ ≥AC －B ′C ，当且仅当点B ′ 在线段AC 上时取等号，所以AB ′ 的最小值为AC －B ′C ，即AC －BC ）AB ′＝2235＋－5＝34－5解：当a＞0时，a 值越大，抛物线开口越小设正方形的四个顶点为A 、B 、C 、D （如图），显然抛物线经过A （2，2）和C （3，1）时，分别得到a 的最大值和最小值把A （2，2）和C （3，1）分别代入y ＝ax2－2ax －1＋a ，得a ＝21和a ＝3，∴21≤a≤3x ＝1，y ＝2代入y ＝ax2，得a ＝2；把x ＝2，y ＝1代入y ＝ax2，得a ＝41，故A D BC B ′E F 图1A DBCB ′EF图2A DB C B ′ E (F ) 图1 AD B C B ′F图2 (E ) ADB C B ′E (F ) 图32 13．如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________．122+π解：添加辅助线如图4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________．r ＝512或3＜r ≤4解：过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD ＝512 当r ＝CD ＝512时，圆与斜边AB 只有一个公共点D ； 当512＜r ≤AC ＝3时，圆与斜边AB 有两个公共点； 当3＜r ≤BC ＝4时，圆与斜边AB 也只有一个公共点 当r ＞4时，圆与斜边AB 没有公共点综上所述，r ＝512或3＜r ≤45．如图，四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝7，CD ＝2，AD ＝x ，则x 的取值范围是________________．1＜x ＜13解：考虑图1和图2的两种极端情形6．已知正数a 、b 、c 满足a2＋c2＝16，b2＋c2＝25，则k ＝a2＋b2的取值范围是_________________．9＜a2＋b 2＜41解：∵a2＋c2＝16，∴c2＝16－a2，∴0＜c2＜16 同理，由b2＋c2＝25得，0＜c2＜25，∴0＜c2＜16 两式相加，得a2＋b2＋2c2＝41，a2＋b2＝41－2c2 由0＜c2＜16得9＜41－2c2＜41，即9＜a2＋b2＜41AxDB C742 A D B C 7 4 2 图1x A DB C 7 42 图2 x8．函数y ＝2x2＋4|x |－1的最小值是____________．－1解：y ＝2x2＋4|x |－1＝2(|x |＋1)2－3＝⎪⎩⎪⎨⎧31231222－－－＋)()(x x 其图象如图，由图象可知，当x ＝0时，y 最小为－19．已知抛物线y ＝ax2＋2ax ＋4（0＜a＜3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上两点，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，则y 1 __________ y 2（填“＞”、“＜”或“＝”）＜解：由题意得：y 1＝ax12＋2ax 1＋4，y 2＝ax22＋2ax 2＋4y 1－y 2＝a (x12－x22)＋2a (x1－x2)＝a (x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a (x1－x2)(3－a )∵x 1＜x 2，0＜a＜3，∴y 1－y 2＜0，∴y 1＜y 210．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝6，AC ＝4，∠A ＝60°，则AD 的长为___________．5312 解：过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 于G∵S △ABC ＝21AB ·CE ＝21AB ·AC ·sin60°S △ABC＝S △ABD ＋S △ADC＝21AB ·DF ＋21AC ·DG ＝21AB ·AD ·sin30°＋21AC ·AD ·sin30°∴21AB ·AC ·sin60°＝21AB ·AD ·sin30°＋21AC ·AD ·sin30° 解得AD ＝5312ADBC（x ≥0） （x ≤0） ADBCE FG11．如图是一个矩形桌子，一小球从P 撞击到Q ，反射到R ，又从R 反射到S ，从S 反射回原处P ，入射角与反射角相等（例如∠PQA ＝∠RQB 等），已知AB ＝8，BC ＝15，DP ＝3．则小球所走的路径的长为_____________．34解：方法一：易知四边形PQRS 是平行四边形．由△QBR ≌△SDP 及△SDP ∽△SCR ，得DS 3＝DS 8315--，∴DS ＝58SP ＝22583)(+＝517，PQ ＝22588315)()(-+-＝4×517因而小球所走的路径长为：2(SP ＋PQ )＝10×517＝34 方法二：利用轴对称可发现SP ＋PQ ＝DB ＝22815+＝17 所以2(SP ＋PQ )＝3412．如图，△ABC 中，BC ＝8，高AD ＝6，矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上，其余两个顶点G 、H 分别在边AC 、AB 上，则矩形EFGH 的面积最大值为___________．12解：设FG ＝x ，则AK ＝6－x ∵HG ∥BC ，∴△AHG ∽△ABC ∴8HG ＝66x -，HG ＝34(6－x ) S 矩形EFGH ＝34(6－x )x ＝－34(x －3)2＋12当x ＝3时，矩形EFGH 的面积取得最大值1213．已知AC 、BD 是半径为2的⊙O 的两条相互垂直的弦，M 是AC 与BD 的交点，且OM ＝3，则四边形ABCD 的面积最大值为___________．5解：如图，过O 分别作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BD 于F ，则四边形MEOF 为矩形 ∴OE 2＋OF 2＝MF 2＋OF 2＝OM 2＝3S 四边形ABCD ＝21AC ·BM ＋21AC ·DM ＝21AC ·BD≤21×21( AC 2＋BD 2)＝41( 4AE 2＋4BF 2) ＝AE 2＋BF 2＝OA 2－OE 2＋OB 2－OF 2 ＝2OA 2－(OE 2＋OF 2)＝2×22－3＝5故四边形ABCD 的面积最大值为5PD E FD14．如图，半径为r 1的⊙O 1内切于半径为r 2的⊙O 2，切点为P ，⊙O 2的弦AB 过⊙O 1的圆心O 1，与⊙O 1交于C 、D ，且AC :CD : DB ＝3 :4 :2，则21r r ＝___________．31资料个人收集整理，勿做商业用途解：如图，过O 2作O 2H ⊥AB 于H ，连结O 2A 、O 2O 1设AC ＝3k ，则CD ＝4k ，DB ＝2k ，∴r 1＝2k ，AO 1＝5k ，O 1B ＝4k ，AB ＝9k ，O 2O 1＝r 2－r 1＝r 2－2k ∴HO 1＝5k －29k ＝21k在Rt △O 2AH 中，O 2H 2＝O 2A2－AH 2＝r 22－(29k )2在Rt △O 2HO 1中，∵O 2H 2＋HO 12＝O 2O 12∴r 22－(29k )2＋(21k )2＝(r 2－2k )2，解得r 2＝6k∴21r r ＝k k 62＝3115．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为____________．2资料个人收集整理，勿做商业用途解：如图，作点A 关于MN 的对称点A ′，连结A ′B ，交MN 于点P ，连结OB 、OA ′，则PA ＋PB 最小易证∠A ′OB ＝90°，所以△A ′OB 是等腰直角三角形 故PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B ＝2OB ＝22MN ＝216．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ； ②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BCAB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．C A BD O 2O 1 AB NMO PC A BD O 2O 1H ABNMOP A ′解：（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ． ∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ， ∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ， ∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ． （2）①连结AO ，交BC 于点F ， ∵ AB ＝AC ，∴＝，∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．在Rt △ABF 中，BFAF＝tan ∠ABF ， 又 tan ∠ABF ＝tan C ＝tan ∠ABE ＝21，∴ BF AF ＝21，∴ AF ＝21BF ．∴ AB ＝22BF AF +＝2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ．∴452==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==ECEA BE BC ABEB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0，∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝1110．17．如图，已知 (4,0)A -，(0,4)B ，现以A 点为位似中心，相似比为9:4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ．（1）求C 点坐标及直线BC 的解析式;（2）抛物线经过B 、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线AB 距离为32的点P ．222125454a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩111144a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩解： （1）过C 点向x 轴作垂线，垂足为D ，由位似图形性质可知：△ABO ∽△ACD ， ∴49AO BO AD CD ==．由已知(4,0)A -，(0,4)B 可知： 4,4AO BO ==． ∴9AD CD ==．∴C 点坐标为(5,9)． 直线BC 的解析是为：409450y x --=--，化简得： 4y x =+ 2(0)y ax bx c a =++>，由题意得：（2）设抛物线解析式为24925540c a b c b ac =⎧⎪=++⎨⎪-=⎩， 解得：∴解得抛物线解析式为2144y x x =-+或22144255y x x =++． 又∵22144255y x x =++的顶点在x 轴负半轴上，不合题意，故舍去． ∴满足条件的抛物线解析式为244y x x =-+（准确画出函数244y x x =-+图象）（3） 将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，设P 到 直线AB 的距离为h ， 故P 点应在与直线AB平行，且相距1l 和2l 上． 由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC的距离也为 如图，设1l 与y 轴交于E 点，过E 作EF ⊥BC 于F 点，在Rt △BEF中EF h ==，45EBF ABO ∠=∠=，∴6BE =．∴可以求得直线1l 与y 轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线2l 与y 轴交点坐标为(0,2)-∴两直线解析式1:10l y x =+；2:2l y x =-．根据题意列出方程组： ⑴24410y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩；⑵2442y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩∴解得：11616x y =⎧⎨=⎩；2219x y =-⎧⎨=⎩；3320x y =⎧⎨=⎩；4431x y =⎧⎨=⎩ ∴满足条件的点P 有四个，它们分别是1(6,16)P ，2(1,9)P -，3(2,0)P ，4(3,1)P。