江苏省扬州中学2015届高三上学期12月月考数学(文)试题

高 三 数 学 [文] 2014.12

一、

填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分

1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=⋃B A _________.

2.函数)4

2cos(2)(π

+-=x x f 的最小正周期为_________.

3.复数1z i =+，且

)(1R a z

ai

∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 4.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为,2

1

x y =则m 的值为_______.

5.在ABC ∆中，,2,105,4500=

==BC C A 则AC =________.

6.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

7.已知函数tan(

)42

y x π

π

=-的部分图象如图所示，则

()OA OB AB +⋅=

8.已知,m n 为直线，,αβ为平面，给出下列命题：

①||m n m n αα⊥⎧⇒⎨

⊥⎩ ； ②||m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ； ③||m m α

αββ

⊥⎧⇒⎨⊥⎩

④||||m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩ ； ⑤,m n n m n αβαββα⊥⎧⎪

=⇒⊥⎨⎪⊂⊥⎩

其中正确的命题是 （填写所有正确的命题的序号）

9. 设,x y 满足约束条件,0

13x y x y x y ≥⎧⎪

-≥-⎨⎪+≤⎩

，则2z x y =-的取值范围为

10. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0,2(-∈x 时，,2)(x

x f = 则=++)2013()2014()2015(f f f _________.

11. 若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______.

y

x

A O

12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

4y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方。若点P 到坐标原点O 的距离为42F,O,P 三点的圆的方程是 13.若函数

()sin cos f x x x =+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数

2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值是

14.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为

3

2

的等比数列.记),(12*N n a a b n n

n ∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.

二． 解答题：本大题共6小题，共计90分 15.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；

（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

16.（本小题满分14分）

已知函数,)(n m x f ⋅=其中向量),cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=

),sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=,0>ω若)(x f 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

.π

（1）求ω的取值范围；

（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,3=

a 当ω最大时，,1)(=A f 求

ABC ∆的面积最大值.

17.（本小题满分14分）

水库的储水量随时间而变化，现用

t 表示时间，以月为单位，以年初为起点，根据历年数据，某水库的储水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为：

21

(1551)50,09()240

4(9)(341)50,912t t t e t v t t t t ⎧-+-+<≤⎪

=⎨⎪--+<≤⎩

（1）该水库的储水量小于50的时期称为枯水期。以表示第i 个月份（i =1，2，...，12），问：一年内哪几个月份是枯水期？ （2）求一年内该水库的最大储水量（取3

20e =计算）

18.（本小题满分16分）

如图，F 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点，A,B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率

为

1

2

。已知点C 在x 轴上，且,,,BC BF B C F ⊥三点确定的圆M 恰好与直线1:330l x ++=相切。

（1） 求椭圆的方程；

（2） 若过点A 的直线2l 与圆M 交于P,Q 两点， 且2MP MQ ⋅=-，求直线2l 的方程。

19. （本小题满分16分）

已知数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，2

12n n n a a a k ++=+（k 为常数）

。 （1） 若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列； （2） 若0k =，且245,,a

a a 成等差数列，求

2

1

a a 的值； （3） 已知12,a a a

b ==（,a b 为常数），是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意

*n N ∈都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。