人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)

函数的奇偶性

1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；

2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；

一、函数奇偶性定义 1、图形描述：

函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；

函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述

一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。

特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论

1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。

2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。

3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1

2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：

奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇

5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

6、多项整式函数110()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零。

类型一 函数奇偶性的判断

例1：判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)f (x )＝2x 4＋3x 2

； (2)f (x )＝1x

＋x ；

解析：(1)函数f (x )的定义域为R ，

又∵f (－x )＝2(－x )4＋3(－x )2

＝2x 4＋3x 2

＝f (x )，

∴函数f (x )＝2x 4＋3x 2

是偶函数．

(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又∵f (－x )＝1－x －x ＝－(1

x ＋x )＝－f (x )，

∴函数f (x )＝1

x

＋x 是奇函数．

答案：（1）偶函数 （2）奇函数 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2

＋1；

(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；

答案：（1）偶函数 （2）奇函数

练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x 2

C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

答案：D

类型二 分段函数奇偶性的判定

例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2

＋

x x 2

－

x

的奇偶性．

解析：任取x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝(－x )2

－1＝x 2

－1 ＝－(－x 2

＋1)＝－f (x )． 又任取x <0，则－x >0.

∴f (－x )＝－(－x )2

＋1＝－x 2

＋1 ＝－(x 2

－1)＝－f (x )．

对x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )成立．∴函数f (x )为奇函数． 答案：奇函数

练习1：判断函数f (x )＝

⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2

＋2 x 0

x ＝－x 2－

x

的奇偶性．

答案：奇函数.

练习2：如果F (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x －3

x f x x

是奇函数，则f (x )＝________.的单调性

答案：2x ＋3

类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式

例3：若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求：当x ≥0时，函数f (x ) 的解析式．

解析：当x >0时，－x <0， ∵当x <0时，f (x )＝x (1－x )， ∴f (－x )＝－x (1＋x )，

又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x (1＋x )，∴f (x )＝x (1＋x )， 又f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0， ∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x )

练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________．

答案： f (x )＝

⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋1 x 0

x ＝2x －1

x

练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的表达式为( )

A ．f (x )＝x ＋1

B ．f (x )＝x －1

C ．f (x )＝－x ＋1

D ．f (x )＝－x －1

答案：D

类型四 抽象函数奇偶性的证明

例4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证： f (x )为奇函数．

解析：令a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，

∴f (0)＝0，再令a ＝－x ，b ＝x ，

则f (0)＝f (－x )＋f (x )，∴f (－x )＝－f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称，∴f (x )是奇函数． 答案：见解析

练习1：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．

答案：令x 1＝0，x 2＝x ， 得f (x )＋f (－x )＝2f (0)·f (x )，

① 令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (0)·f (x )，

②

由①②得， f (－x )＝f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称， ∴函数f (x )为偶函数．

2：已知()f x 是定义在R 上的任意一个增函数，()()()G x f x f x =--，则()G x 必定为（ ） A 、增函数且为奇函数 B 、增函数且为偶函数 C 、减函数且为奇函数 D 、减函数且为偶函数