小学数学教材中数学概念的呈现方式与影响

小学数学教材中数学概念的呈现方式与影响

数学概念是一类数学对象的本质属性的反映,同时它也是数学基础知识的基石。《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《数学课程标准》)的前言部分强调:“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。”推理能力发展的基础是概念,所以,概念的学习对于学生来说至关重要。然而在小学实际教学中,学生对于数学概念的理解和掌握存在许多困难,而教科书作为学生学习数学概念的主要资源,是如何呈现概念的呢?它对概念的学习有怎样的影响呢?

一、概念在教科书中的呈现

数学是研究数量关系和空间形式的科学,因此数学概念是数量关系和空间形式的本质属性的反映。对于数学来说,只有掌握了数学基础知识,实现知识之间联系,才能在活动中提高基本技能,发展基本思想。下面以北京师范大学出版社出版的《新世纪(版)义务教育课程标准数学实验教科书·数学》(1~12册)(以下简称北师版教科书)为对象,从概念的结构、概念的分类、概念的定义类型、概念的呈现方式方面来具体分析。

1.概念的结构

概念的结构是指概念由哪些部分组成,一般来说,概念是由名称、属性、定义和例证组成的(如表1所示)。概念的名称一般由词汇构成,例如三角形、四边形等。概念的形成并不一定必须用一个特定的词说出来,例如婴儿无法使用语言表达概念,但能够从许多人中辨认

出妈妈,说明“妈妈”的概念已经形成。实际教学中有的学生说不出“周长”的概念是什么,但他能够清晰地指出物体中的边界的长,这表明学生对于“周长”的概念已经形成。概念的属性指的是概念的关键特征,例如物体的颜色、气味、材料、大小、形状、位置等。数学概念只研究物体的大小、形状、位置、数量关系等属性。逻辑学中,概念的定义就是以简短的形式揭示概念、命题的内涵或外延,使人们明确它们的意义及其使用范围的逻辑方法。

概念的例证大致分为两种:一种是正例(positive instances),即与概念要求相符,例如,4是正数的正例,等腰三角形是三角形的正例;另一种是反例(negative instances),即与概念要求不符合或违背要求的,例如,-2是正数的反例,平行四边形是三角形的反例。

2.概念的分类

根据不同的分类标准可以将概念分为不同的类型,例如,奥苏贝尔根据是否经过观察正反例子揭示概念的特征把概念分为初级概念和二级概念(如表2所示)。例如,三角形是初级概念,等腰三角形是二级概念。

《数学课程标准》将义务教育阶段数学课程内容划分为四大部分:数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。其中的前三部分包括许多数学基本概念,综合与实践是对概念的应用。依据前三部分内容的分类,对北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标

准实验教科书·数学》1~12册中的数学概念进行梳理,结果如表3所示。

3.概念的定义类型

对概念的不同定义类型进行分析,不仅能够促进学习者对概念的更好理解,更重要的是能够让学习者领会概念定义的不同种类及含义。北师版教科书中的有些概念没有明确定义,而是采用直接给出的形式,这在低年级教科书中比较普遍。通过梳理教科书中明确定义的概念并从逻辑学角度对概念的定义类型进行分析,可以将北师版教科书中数学概念的定义概括为:发生定义、关系定义、语境定义、列举定义、实指定义、描述性定义。

发生定义是指从被定义的词项所指称的事物的发生、来源方面揭示种差定义的形式。例如最小公倍数,通过从公倍数中选择最小的倍数来定义;关系定义是指以事物之间的特殊关系作为种差的定义,例如,倒数是以两个数的乘积为的特殊关系来定义的;语境定义是指将定义项放在一定的语言环境之中,然后用一个意义相同但被定义项在其中不出现的语句来给被定义项下定义,这种定义强调具体的上下文语境;列举定义属于一个概念的外延的对象数目很大,或者种类很多,无法穷尽地列举,于是就举出一些例证,以帮助人们获得关于该概念所指称对象的一些了解;实指定义通过用手指指着某个对象,从而教会儿童去认识事物和使用语言,这种定义能够通过具体事物来帮助学生理解概念;描述性定义是指对被定义语词既有用法的报道或描述(如表4

所示)。

4.概念的呈现方式

这里所讲的概念的呈现方式是指教科书中以什么材料来呈现概念:有些概念只用文字语言来呈现,例如长方体的表面积;有些概念的呈现可能既有文字又包括图形,在不同的概念呈现中二者的比重不同。通过总结,可以把呈现方式大致分为三种:图形主导文字辅助型、图文并茂型和文字描述型。

图形主导文字辅助的这种呈现方式主要分布在北师版低年级教科书中,这个阶段的儿童具有皮亚杰关于儿童的发展理论中的具体运算阶段的特点,抽象思维能力薄弱,对于文字的认识、理解、使用等方面的能力尚处于较低水平,不能在头脑中很好地实现文字与其所代表的具体事物的转化。采用直观图形为主,文字辅助的方式(如图1所示)有利于学生从直观的图形获得对于概念的有效理解。这种呈现方式的概念有:长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、圆、线段、射线、直线、角、平角、周角等。

图文并茂呈现方式(如图2)指的是图形与文字在呈现概念时不分主次,处于同等的地位,这种呈现方式大多分布在中、高年级的教科书中。随着学生年龄的增长,对于文字的理解力也逐渐增强,从图形和文字不同方面对概念进行理解,有利于对概念的不同角度的理解,实现文字与图形之间的联系,这有利于发展学生的图形语言和文字语言。

这种呈现方式的概念有:锐角、直角、钝角、等腰三角形、等边三角形、梯形、平行四边形、垂直、周长、面积等。

文字描述的呈现方式是指仅采用文字语言来描述概念,没有搭配对应的图形。这种概念呈现方式一般分布在高年级的教科书中,这个阶段的学生的思维水平和使用文字的能力进一步提升,这为理解文字奠定了基础。文字描述的概念呈现方式能够帮助学生实现文字与概念对应的原型之间的转换,从而发展学生的抽象思维能力。这种呈现方式的概念有:表面积、体积、容积、小数、分数、速度、正数、负数、循环小数、自然数、整数、倍数、因数、最小公倍数、最大公因数、偶数、奇数、质数、合数、倒数、中位数、众数、约分、通分、方程、比、正比例、反比例、比例尺等。

二、对概念呈现现状的分析及建议

根据小学生的年龄特征和认知水平,教科书中的概念有些仅给出了概念的名称,有的只是描述了概念外延的一部分,有的则是采取了定义的方式,这些不同的形式,有利于学生从不同角度去理解概念;同时,北师版教科书概念的呈现情况中也存在一些问题,对问题进行分析从而更好地促进概念的学习。

1.概念的结构方面

对北师版教科书中呈现的概念的结构进行分析后发现,书中对于概念的反例的呈现数量明显少于正例,甚至很多概念没有呈现反例。例如,在方程的概念结构中,只给出了像x+5=10,4y=380这样的正例,对于不是方程的反例却没有给出。又如,在最简分数的概念结构中