高等数学等价无穷小替换_极限的计算
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。
它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。
而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。
下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。
我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。
2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。
3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。
5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。
这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。
6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。
7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。
这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。
在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。
一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。
那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。
下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。
一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。
举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。
如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。
实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。
再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
用等价无穷小代换求幂指函数的极限
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
例析等价无穷小代换求极限的方法
例析等价无穷小代换求极限的方法微积分是数学中的一个重要的分枝。
就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。
微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。
极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。
求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。
在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。
用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。
对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。
无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,, 恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。
那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。
或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。
下面就各种情况意义说明。
1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有证明:例如:求解:当时,推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有例如:求解:当时,推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,例如:2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则∴例如:求解:定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若则∴例如:求解:当时,3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误例如:代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。
高数求极限的方法小结
解令 ,则原式 ，
所以在 时， 与 等价，因此，原式 .
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高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法
2.1利用等价无穷小求极限
#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
例36 ，求 .
解 .
例37若函数 有连续二阶导数且 ， ， ，
则 .
A:不存在B：0 C：-1D：-2
解 .
所以，答案为D.
例38若 ，求 .
解
.
2.16利用连续性求极限[1]
例39设 在 处有连续的一阶导数，且 ，求 .
解原式
.
2.17数列极限转为函数极限求解
数列极限中是 趋近，而不是 趋近.面对数列极限时，先要转化成求 趋近情况下的极限，当然 趋近是 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的 当然是趋于正无穷的）.[1]
（1）定积分中值定理：如果函数 在积分区间 上连续，则在 上至少有一个点，使下列公式成立： ；
（2）设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即 ；
设 在区间 上连续且 ，求以曲线 为曲线，底为 的曲边梯形的面积 ，把这个面积 表示为定积分： 的步骤是：
首先，用任意一组的点把区间 分成长度为 的 个小区间，相应地把曲线梯形分成 个窄曲边梯形，第 个窄曲边梯形的面积设为 ，于是有 ；
其次，计算 的近似值 ；
等价无穷小替换公式加减使用条件
等价无穷小替换公式加减使用条件1.当常数a为有限值时，有以下等价无穷小替换公式：-a*ε≈0（其中ε为无穷小量）-ε/a≈0（其中ε为无穷小量）2.当函数f(x)为有界函数时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)*ε≈0（其中ε为无穷小量）3.当函数f(x)在其中一点x=a处连续且不为零时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)≈f(a)（当x趋近于a时）-ε/f(x)≈0（当x趋近于a时）在加减运算中使用等价无穷小替换公式的条件如下：1.替换公式的使用要满足数学定义的条件。
例如，进行除法运算时，被除数不能为零。
2.进行替换时，需要将等价无穷小放在有界函数或常数的前面进行替换。
即等价无穷小应该在乘法或除法运算中作为因子，而不是作为被乘数或被除数。
3.在进行替换时，需要注意确保替换后的函数与原函数在极限点处的极限值是相等的。
如果替换后的函数与原函数的极限值不相等，可能导致计算结果的误差。
举例说明，在计算极限的过程中使用等价无穷小替换公式：例题1：计算极限lim(x->0) (3x - sinx) / x由于sin(x)是一个连续函数且lim(x->0) sinx = 0，因此可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0。
即lim(x->0) (3x - sinx) / x ≈ lim(x->0) (3x - 0) / x =lim(x->0) 3 = 3例题2：计算极限lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx)由于lim(x->0) sinx = 0且lim(x->0) 1 - cosx = 0，所以可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0，cosx替换为1即lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx) ≈ lim(x->0) (0 - 0) / (1 - 1) = 0在以上例题中，都是通过使用等价无穷小替换公式简化计算过程，但在应用中需要注意使用等价无穷小替换公式的条件，确保计算结果的准确性。
无穷小量替换
若 c≠0, 则 lim
ΑΑ′-
ΒΒ′=
lim
Α ΒΑ′Β-
Β′1 Β=
cc-
11= 1。
若 c= 0, 则 lim
ΑΑ′-
ΒΒ′=
lim
Α ΒΑ′Β-
Β′1 Β=
00-
11= 1。
若 lim
ΒΑ=
0, 则 lim
ΑΑ′-
ΒΒ′=
lim
1Α′Α-
ΒΒ′ΑΑ=
11-
00= 1。
(2) 以例 2 为例, 当 x →0 时, tanx 与 x 等价, sinx 与 x 等价, 但 tanx - sinx 与 x - x 并不等
解 利用定理 2, 于是
Ξ 收稿日期: 2001—06—12。 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 5 卷第 3 期 李秀敏、王灵色: 等价无穷小在求极限过程中的应用 37
x →∞
1 2x
2
)
2x
2
]
1 2
=
e-
1
2.
例
5 求lim x →0
co sx - ex4
x2 2
解 co sx～ 1-
x2 2
+
xx2
2.
+
1 4
· x4 2.
,
所以
co sx -
～ e-
x2 2
(
1 4.
-
4
1 2.
)x4
原式=
lim
x →0
(
1 4.
原式=
lim
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
等价无穷小函数求极限
等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。
现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。
函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。
其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。
虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。
研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。
等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。
生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。
等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。
用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。
等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。
利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
用“等价无穷小替代法”求极限的研究
tan x - sin x . sin3 x tan x - sin x sin x / cos x - sin x 解 lim = lim = x→ 0 x→ 0 sin3 x sin3 x 2 1 - cos x x /2 lim = lim 2 2 = 1/ 2. x→ 0 cos x sin x x→ 0 cos x x
1 问题的提出
“等价无穷小替代法” 是指在极限运算过程中 , 某些无穷小量因子用其等价的无穷小来代替 , 以达 到简化计算的方法 . 在实际计算过程中 , 利用 “等价 无穷小替代法” 或与其它方法相结合 ,则计算极限不 失为一种行之有效的方法 , 但并非计算过程中所有 的无穷小量都能用其等价的无穷小量来代替进行计 算 . 常见用来替代的等价无穷小主要有 : 设α为某一 α α α 变化过程中的无穷小量 ,则有 [ 1 ] : ～ sin ～ arcsin ～ α 2 α α,1 - cos α α α, In ( 1 +α )～ tan ～arctan ～ / 2 ,e - 1 ～ α,
lim
量之比或无穷小量作为极限式中的乘积因子且代换 后的极限存在 ,则可利用等价无穷小进行代换 . 但有 些求极限运算过程中不能用等价无穷小进行替换 , 如求 lim
tan x - sin x [ 2 ]
x3
x→ 0
( x) .
, 若用 tan x ～ x ,sin x ～ x ( x tan x - sin x
n
极限过程都成立 . 定理 1 设 α( x ) , α 1 ( x ) , β( x ) , β 1 ( x ) 是某 一变化过程中的穷小量 , 且 α( x ) ～α 1 ( x ) , β( x ) ～ α( x ) f ( x ) β 1 ( x) , 若 li m β( x ) 存在 ,则有 : α α( x ) f ( x ) 1 ( x) f ( x) lim = lim . β β( x ) 1 ( x) α 1 ( x) f ( x) 证 明 lim lim β 1 ( x) α α( x) f ( x) β( x) 1 ( x ) α( x ) f ( x ) β( x ) = lim β( lim β β x) 1 ( x) β( x) α( x) 1 ( x)
和差运算中无穷小的等价替换方法利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求无穷小量代数和的极限
差
运
算
中
无穷小的等价替换方法
&
利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公
式求无穷小量代数和的极限
1 2 3
01 和 差 运 算 中 无 穷 小 的等价替换方法
复习：常见的求极限的方法 方法1：极限运算法则
函数和差积商的极限=极限的和差积
方法2：等价无穷小替换 无穷小的比较
常见等价无穷小
x→0
sin x ~ x tan x ~ x arcsin x ~ x
在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃， 以简化计算。(即：低阶无穷小＋高阶无穷小⇔低阶无穷小)P54定理1
为什么上一题的sin x 和xcos x要用三阶的麦克劳林公式而不用一阶或 者五阶的呢？拿到一个题目要怎么确定要用几阶的麦克劳林公式呢？有大佬总结出两个规律来自分式上下同阶原则和加减幂次最低原则
arctan x ~ x
ln(1+ x) ~ x
x＋1
x＋1
★在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意： 只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量 来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换。
推论：两个同阶但非等价的无穷小之差的每 一项都可以用与之等价的无穷小替换。
简单地说：替换后分子或分母不为0的均可替换
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2019.05.23
两个同号无穷小之和的每一项都可以用与之等价的无穷小替换。
运用等价无穷小的替换时，可以只替换分子或分母，也可以将 分子和分母同时替换。
02 泰 勒 公 式
泰勒公式是高等数学的核心内容之一，其基本思想是将一些
复杂的函数关系近似地表示为简单的幂级数的形式达到化繁
高等数学中求极限的常用方法
第二个重要极限 :
lim (1 +
xϖ∞
1)x x
=
e
1
lim(1 + z) z = e
z ϖ0
要应用第二个重要极限 , 必须同时满足以下四
个条件
(1) 带有“1” (2) 中间是“+”号 (3)“+”号后面跟无穷小量 (4) 指数和“+”号后面的数要互为倒数
例 8 :求 lim ( x xϖ∞
x
2)
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答 而产生的 , 例如 : 我国古代数学家刘徽 ( 公元 3 世 纪) , 利用圆内接正多边形来推 算 圆 面 积 的 方 法 ———割圆术 ,就是极限思想在几何学上的应用 。
设有一圆 ,首先作内接正六边形 ,把它的面积记 为 S1 ;再作内接正十二边形 ,其面积记为 S2 ;再作内 接正二十四边形 ,其面积记为 S3 ; 循此下去 , 每次边 数加倍 , 一般地把内接正 6 ×2 n- 1 边形的面积记为 S n ( n:N) 这样 ,就得到一系列内接正多边形的面积 :
xϖ∞ x
xϖ∞ x
5 利用等价无穷小代替求极限
常用的等价无穷小有 :当 x ϖ0 时 , sin x ～ x tg x ～ x arcsin x ～ x
用等价无穷小代换求函数极限
０
求 函数代数和的极限 ，使 问题简化 。但求 此类题时一
定要验 证 ｌ ａ 存在且 ｌ ｉ ＿ ｉ ≠一 １
８
，
。
若ｌ ＝１ ｉ ｍ三 一 则
ｐ ，
定理 ３ 若 ａ～ ａ ， ｐ～ ｐ ， ．～ ７ ｙ ，且
第１ ８卷第 ２ 期 ２０年 ６月 ０ ０
临沧 师范高等专科学校学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅｓＣ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＬｉｃｎ ａｈ ｒ＇ ｏｌ ｅ ｅ
Ｖｏ ．１ ． １ ８ Ｎｏ ２
Ｊ ｎ ．０ ９ ｕ ｅ２ ０
用等价无穷小代换求 函数极限
苏有 菊
由以上说 明等价无 穷小量的代换方法对求 函数 的 极限起到 了简化运算过 程的作用 ，将 一些 不易求解 的
极 限 问 题 化 繁 为 简 ， 化 难 为 易 ，从 而 得 到 解 决 。 因
又 啼： … “
（ ａ＋ｐ ～（ ， ， ） ａ邯 ）
， 故
ｐ
此 ，掌握 以上方法 ，可以使得 函数极 限的计算更加容
求
例 ：求 解 ：当 一 ０时 ， ｓ ｘ～ ， 卜 ＣＳ ～ ｉ ｎ ＯＸ
解：因为当 一 １ 时，
故 当 一 １时，ｎ１ ｉ （
及 ａｃ ｎ ｒ ｉ２ ｓ
一０ ，２ 厅 一 ０ ０
） ～
，
ｅ 一１ ～ ｓｎｘ ． … ｉ
，
故
，
ｃｓ ￣－ ） ｏｚ ｅ ＊ ＇ （＂ １
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ｌ ｉ ｍ
一
，
等
～２
￥ 收稿 日期 ：２０ － ３ ０ ０９ ０ － ６
作者简介 ： 苏有菊（ ８ １ 卜 ９
关于等价无穷小的代换法求极限探讨
关于等价无穷小的代换法求极限探讨作者：杨美香来源：《科技资讯》 2014年第30期杨美香(桂林电子科技大学数学与计算科学学院广西桂林 541004)摘要：利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法，如果运用得当，能起到化繁为简，化难为易的作用。
但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的应用。
虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限，但对于和差运算该方法失效。
由于对于积运算没有相应的性质定理，因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。
基于此，对等价无穷小的代换法在和差积商中应用进行探讨，明确给出了等价无穷小代换求极限的方法的适用范围，并给出了证明。
关键词：等价无穷小代换法求极限探讨中图分类号：O211.4文献标识码：A文章编号：1672-3791(2014)10(c)-0175-02利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法，如果运用得当，能起到化繁为简，化难为易的作用。
但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的运用。
虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限，对于和差运算该方法失效。
由于对于积运算没有相应的性质定理，因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。
基于此，对等价无穷小的代换法在和差积商中的运算进行探讨，明确等价无穷小代换求极限的方法的适用范围是很有必要的。
1 无穷小的和、差、积、商运算中等价无穷小的代换法2 结语通过以上分析探讨，在用等价无穷小代换法求极限时，如果是无穷小的商的极限，可直接对分子或分母整体进行等价代换；如果无穷小是分子或分母的乘积因式，也可以对分子、分母中的无穷小乘积因式用等价代换；如果是无穷小的和差运算，在满足定理条件的情况下，也可以用等价无穷小的代换计算极限，如果不满足定理的条件，可以通过适当的化简，化成乘积因式，然后再用等价无穷小的代换或其它方法求出极限。
从而对等价无穷小的代换法求极限问题得到很好的解决，明确了使用该方法求极限的范围。
大学高等数学等价无穷小
那个问题很多人都弄不明白，很多自以为明白的人也不负责任地说一句“乘除能够，加减不行”，包括很多高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要明白其中的道理，而不是记住结论。
1•做乘除法的时候必然能够替换，那个大伙儿都明白。
若是f(x)〜u(x), g(x)〜v(x),那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)o关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)苴中两项的极限是1,因此就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也能够替换！可是注意保留余项。
f(x)〜u(x)不能推岀f(x)+g(x)〜u(x)+g(x),那个是很多人说不能替换的缘故，可是若是你如此看：f(x)〜u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x)),那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)),注意那个地址是等号,因此必然是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成髙阶的无穷小量，现在余项o(f(x))成为主导，因此不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是能够忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是能够替换的，因为ln(1 +x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x),因此ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
可是若是碰着ln(1+x)-x,那么ln(1 +x)+x=[x+o(x)]-x=o(x),现在发生了相消，余项o(x)成了主导项。
现在那个式子仍然是成立的！只只是用它来作为分子或分母的极限问题可能取得不定型而无法直接求出来罢了。
碰着这种情形也不是说就不能替换，若是你换一个高阶近似：ln(1 +x)=x-x A2/2+o(x A2)那么ln(1 +x)-x=-x A2/2+o(x A2)那个和前而ln(1+x)-x=o(x)是相容的，可是是更成心义的结果，现在余项0(x^2)能够忽略。
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
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讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0lim ()()(),xx xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x →例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20xx x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=- 原式2215()()2lim3()xx o x x o x x o x xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2= 又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373limlim142422xxxx x x x x x x ，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，()0131arctan lim2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求 解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03==由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin xyx x当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0 ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例xx f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x.01lim==+∞→A x x 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =xxx g sin )(=都是无穷小量 但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x （2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。