国家开放大学电大本科《离散数学》2022-2023期末试题及答案(试卷号：1009)

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国家开放大学《离散数学(本)》形考任务1-3参考答案

到 C 的函数 g={<1，5>,<2，4>}，则下列表述正确的是（
）。
A.f°g={<a，5>, <b，4>}
B.g° f ={<a，5>, <b，4>}
C.f°g={<5，a >, <4，b >}
D.g° f ={<5，a >, <4，b >}
19.设集合 A={1,2,3}上的函数分别为：f={<1,2>，<2,1>，<3,3>}，g={<1,3>，<2,2>，
（
）个。
A.0
B.2
C.1
D.3
13.设集合 A={1,2,3,4}上的二元关系 R={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S={<1,1>，
<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}，则 S 是 R 的（
）闭包。
A.自反
B.传递
C.对称
D.自反和传递
14.设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R 是 A 上的整除关系，B={2,4,6}，则集合 B 的最大元、
（
）。
A.自反的
B.对称的
C.传递且对称的
D.反自反且传递的
11.集合 A={1,2,3,4}上的关系 R={<x，y>|x=y 且 x,y∈A}，则 R 的性质为（
A.不是自反的
）。
B.不是对称的
C.传递的
D.反自反
12.如果 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，则 R1∪R2，R1∩R2，R1-R2 中自反关系有

国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案

最新国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案《离散数学》题库及答案一一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.若集合A = （l,2,3,4）,则下列表述不正确的是（）•A.16AB. {1,2,3}CAC. （1.2.3J6AD. 0UA2.若R和R?是A上的对称关系，则中对称关系有（〉个・A. 1B. 2C. 3D. 43.设G为连通无向图，则］）时,G中存在欧拉回路・A. G不存在奇数度数的结点B. G存在偶数度数的结点C. G存在一个奇数度数的结点D. G存在两个奇数度数的结点4.无向图G是棵树，边数是10,则G的结点度数之和是（）.A.20B. 9C. 10D. 115.设个体域为整数集，则公式V z3y（x+y = 0）的解释可为（）.A-存在一整数z有整数丁满足x+y = 0B.对任意整数z存在整数財满足x+y = 0C.存在一整数z对任意整数'满足工+y・0D.任意整数工对任意整数，满足x+y=0得分评卷人--------------- 二、填空題（毎小通3分，本題共15分）6.设集合A = {1.2,3),B = (2,3,4}.C=(3.4.5，则A (J (C - B )等于7-设 A = （2,3},B-{l,2}.C-{3,4}.从 A 到 B 的函ft/-{<2,2>,<3,1>}.从 B 到C 的函数R = <V1.3>,V2.4>）,则Dom（g"）等于.8.已知图G中共有】个2度结点,2个3度结点,3个4度结点，则G的边数是・9.设G是连通平面分别衰示G的結点数.边数和面数，u值为5/值为4,则r的值为・-10-设个体域D = （1.2.3,4hA（x）为七大于5”，则调词公式（Vz）AGr）的真值为11. 将语句“学生的主要任务是学习”翻译成命题公式. 12.将语句“今天天暗，昨天下雨.”翻译成命题公式.四、判斷说明題（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共1413. 空集的圳:集是空集. 14.完全图K,不是平面图.15.设集合A = <1,2,3,4｝上的关系：R-«1.2>.<2.3>.<3,4>}.S = (<1.1>,<2,2>,<3,3>), 试计算(DR • S t (2)7? (3)r(J?nS).16.图 G=<V,E>.其中 V=S ，6,c,d}.E=((a,6),S,c),(a,d),(5,c),0,d),(c,d)},对应边的权值依次为2、3、4、5、6及7,试（1）画出G 的图形, （2）写岀G 的邻接矩阵;（3）求出G 权最小的生成树及其权值. 17.求PTQPR ）的析取范式与主合取范式.18.试证明：r -1 (P-*Q) An R A(QfR)=>i P.试题答案及评分标准仅供參考一、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）l.C2.D3. A4. A5. B2OZZ«r-2O23^ttM三、逻辑公式翻译（毎小題6分，本题共】2分）分）五、计鼻16（每小JS 12分，本贓共36分）六、证明85（本楚共8分）2022集・2U23年股*二、壊空題（每小题3分，本题共15分）6. {1,2,3,5)7. {2,3}(或 A)8.109.110. 假（或F,或0）三、逻辑公式B!译（毎小题6分，本題共12分）11.设P ：学生的主要任务是学习. 则命题公式为:P.12.设今天夭晴，Q ：昨天下雨. 则命题公式为:PAQ.四、判断说明題（每小題7分，本题共14分）13.借误.空集的專集不为空集，为{0}. 14. 错误.完全图K,是平面图，如K,可以如下图示嵌入平面.五、计算题（每小题12分，本題共36分）15. 解：(!)/? • S = (V1,2>,V2,3>* (2)J?-* = «2,1>,<3,2>,<4,3>}» (3)r(RnS)={Vl,l>,V2,2>,V3,3>,V4,4>} 16. 解.（DG 的图形表示为:《7分）（2）邻接矩阵:（3分）（6分）（2分）（6分）（2分）（6分）（3分）（4分）（8分）2022 集-2U23 年股*(3)粗线与结点表示的是最小生成树,(10 分)权值为9 (12分)17.解:P-(QAR)PV(QAR) 析取范式(2分)PVQ)A(q PVR) (5 分)g PVQ〉V(RA")A("VR) (7 分)PVQ)V(R A-i R)A(i PVR)V(QAr Q) (9 分)«(n PVQVR) A("VQV")A(i P VRVQ)A("VRVr Q)⑴分)PVQVR) A(i PVQV-i R) A(n P Vn QVR) 主合取范式 (12 分)六、证明JH(本■共8分)18.证明：(1)n □ (P-*Q) P(1 分)(2)P-*Q T(1)E (3 分)(3)(Q々) P(4 分)(On R P(5 分)(5>-| Q T(3)(4)7 (6 分)(6)n P T(2)(5)r (8 分)说明：(1)因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得.出有效结论得1或2分，最后得岀靖论得2或1分.(2)另，可以用真值表验证.《陽散数学〉题库及答案二的关系R = {<=，3>M£A，3£B,且工+ » = 5}.则R=( ).A・(V1,2>,V1,3>,V2,3>} B. (VI,4>,V2,3>,V3,2>}C. (<1,1>,<2,2>,<3,2>}D. (<3.2>,<2,4>,<3,4»2.若集合A = {a,6,c,d},则下列表述正确的是( )•B. (a}£AD・("匕A2DZZ 邮-2023 邮3.设个体域为整数集期公式（七）（功）（工一，・2）的解释可为（）•A.存在一整数1有整数，満足工一》=2R存在一整散工对任意整數：，満足工一>・2G对任一整数工存在整数:y满足上一y=2D.任一整数］对任意幣数》满足x-y-24.”阶无向完全图K.的边數及每个结点的度数分别是（）・A. n（n —1）与mB. n（n —1）与C.n — 1 与nD. n（n —1）/2 与“一】5.设G为连通无向ffl.MC 〉时,G中存在欧拉回路•A.G不存在奇数度数的靖点B・G存在一个奇数度數的靖点C.G存在两个奇数度数的结点D.G存在偶数度数的结点得分|评卷人二、壊空順（毎小H 3分.本顕共15分）6.设集合A = {x|x是小于4的正整数）.用集合的列挙法A=・7.设 A = U,2）,B-{a.6}.C-{l,2）.从 A 到 B 的函»/= {<1 .a>.<2,6>）.从 B 到C的函数g-«a.2>,<6,l>）,则复合函数g./- ・8.设G = <V,E>是一个图，结点度数之和为30,MG的边数为・9.设G是具有r,个結点责条边4个面的连通平面图.JRn+4-2-・10.设个体域D-（2,3.4},A（x ）为—小于3■，则调词公式< Vx）A（x>的真值为得分评卷人三、遂梅公式翻译（毎小題6分，本■共12分）11-将语句•如果今天下頂•那么明天的比賽就要延期译成命，公式.12.将语句•地球是圆的，太阳也是圆的.”翻洋成命題公式.得分呼卷人----- 四、判断说明題（判斷各IH正讓•井说明理由.毎小願7分.本■共 14 分）13.设A = {a,6.c.</}.R-«a.6>,<6,a>,<a ,a>,<b,b> ,<（.€>}.则R是等价关系.2OZZ«r-2O23^ttM14.<Vz)(P(x)AQ(y»-R(x)中量伺V 的辖域为(PGr〉AQ(y)).得分评卷人-------------- 五、计算题(每小題12分，本題共36分)15.设集合A^{a,b,c}t B^{b t c,d}t试计算(DAUB; (2) A-Bi(3MXB.16.设G = VV,E>,V= {vi. v a. vj»v4).E =* ((vi»)» (vi»v s)» (t>i»v4). (v,,v>)»(V1 ,。

离散数学期末考试试题与答案

离散数学试题(B卷答案1〕一、证明题〔10分〕1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R证明:左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取X式和主合取X式〔10分〕。

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))〔P∧(Q∨R)〕∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题〔10分〕1〕C∨D，(C∨D)E，E(A∧B)，(A∧B)(R∨S)R∨S证明：(1)(C∨D)EP(2)E(A∧B)P(3)(C∨D)(A∧B)T(1)(2)，I(4)(A∧B)(R∨S)P(5)(C∨D)(R∨S)T(3)(4)，I(6)C∨DP(7)R∨ST(5)，I2)x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x)P(2)P(a)T(1)，ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3)，US(5)Q(y)∧R(a)T(2)(4)，I(6)Q(y)T(5)，I(7)R(a)T(5)，I(8)P(a)∧R(a)T(2)(7)，I(9)x(P(x)∧R(x))T(8)，EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学(本)-国家开放大学电大学习网形考作业题目答案

离散数学（本）一、单项选择题1.集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, yA}，则R的性质为（）．A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的正确答案: B2.如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A.0B.2C.1D.3正确答案: B3.设集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，C={5, 6, 7}，则A∪B–C =( )．A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 5}C.{2, 3, 4, 5}D.{4, 5, 6, 7}正确答案: A4.若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．A.{a，{a}}AB.{1，2}AC.{a}AD.A正确答案: C5.若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A.1024B.10C.100D.1正确答案: A6.设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．A.f存在反函数B.f是双射的C.f是满射的D.f是单射函数正确答案: D7.设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B = {3, 4, 5}，则元素3为B的（）．A.下界B.最小上界C.最大下界D.最小元正确答案: B8.设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A.最大元B.最小元C.极大元D.极小元正确答案: C9.设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1,1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．A.自反B.传递C.对称D.自反和传递正确答案: C10.集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, yA}，则R的性质为（）．A.不是自反的B.不是对称的C.传递的D.反自反正确答案: C11.图G如图三所示，以下说法正确的是 ( )．A.a是割点B.{b,c}是点割集C.{b, d}是点割集D.{c}是点割集正确答案: B12.设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A.e－v＋2B.v＋e－2C.e－v－2D.e＋v＋2正确答案: A13.图G如图四所示，以下说法正确的是 ( ) ．A.{(a, d)}是割边B.{(a, d)}是边割集C.{(a, d) ,(b, d)}是边割集D.{(b, d)}是边割集正确答案: C14.设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )．A.6B.5C.4D.3正确答案: B15.无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．A.G中所有结点的度数全为偶数B.G中至多有两个奇数度结点C.G连通且所有结点的度数全为偶数D.G连通且至多有两个奇数度结点正确答案: C16.无向完全图K4是（）．A.欧拉图B.汉密尔顿图C.非平面图D.树正确答案: B17.无向树T有8个结点，则T的边数为( )．A.6B.7C.8D.9正确答案: B18.若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A.平面图B.对偶图C.欧拉图D.连通图正确答案: D19.若G是一个欧拉图，则G一定是( )．A.平面图B.汉密尔顿图C.连通图D.对偶图正确答案: C20.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．图五A.（a）是强连通的B.（b）是强连通的C.（c）是强连通的D.（d）是强连通的正确答案: A21.命题公式为( )A.矛盾式B.可满足式C.重言式D.合取范式正确答案: B22.设个体域为整数集，则公式的解释可为( )．A.存在一整数x有整数y满足x+y=0B.任一整数x对任意整数y满足x+y=0C.对任一整数x存在整数y满足x+y=0D.存在一整数x对任意整数y满足x+y=0正确答案: C23.设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是 ( )．A.0, 0, 0B.0, 0, 1C.0, 1, 0D.1, 0, 0正确答案: D24.设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．A.B.C.D.正确答案: D25.下列公式 ( )为重言式．A.┐P∧┐Q↔P∨QB.(Q→(P∨Q)) ↔(┐Q∧(P∨Q))C.Q→(P∨(P∧Q))↔Q →PD.(┐P∨(P∧Q)) ↔Q正确答案: C26.下列等价公式成立的为( )．A.┐P∧P┐Q∧QB.┐Q→P P→QC.P∧Q P∨QD.┐P∨P Q正确答案: A27.谓词公式(x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。

2021国开大学电大本科《离散数学》期末试题及答案(试卷号：1009)

国家开放大学电大本科《离散数学〕》期末试题及答案〔试卷号:1009〕I 比W fj 人一(a M ・c)・1H 卜W *述正晚的压' >・A. 6 A B,。

Q A C C AD.S.,r,d} £ A2 .设陞合 A U,2.3.4・5.6>M_U ・2.3)M 到 H 的美 <R> I-r t A .y 6 HB«-(>.A.{< 1.1 >.< 2.4 >) H ・(V 1.1 >• <,,2>} C. (< !.!>.< 6.3 >)D. (< !.!>•< 2.1 >)3.ea tPiin G 的靖点度敢之和为io.PN 〔;图的也数为〔〕•A. IQH,2OI 设G 是连通平分则表示G 的靖点敷、边敢桁阖林,则方,和,满足关系式C 1A.v-f-Fr-2B. v + e + r-2Co — — r ・2H25.世人〔"u ftA.H 〔x 〕U 是学4.则命《T 不是所宵人都站学生 "诃符与化为〔〕・A.n ( 3GWG A B (J )> C n O J XA(J ) A -1 E ))评卷人二、判断18〔每小18 4分,本题共20分〕6 .设堡合人=3,2},B = 〔2,3〕,C = <3.4} .则 A U B-C«H.2h 〔〕A ・正琥 B.错诅 7 .如果R,和&是人上的自反关系.MiJ R, fl R,是自反的.《〕 A ・£* B.铺误&设集合八-<a.A,r 〕.B = {1,2.3} .伟/M — H.则不同的函数个数为9.〔〕A.正确 H 错误 9. 两个图同何的必要条件是结点数相等、边数相等,度以相同的结成数相等.〔〕 x 正输a 悟溪10. 设个体域D=〔l,2,3・4〕,AGr 〕为,任等于3〞,则调伺公式Ox 〕A 〔x 〕的真值为F,CA ・正确a 惜误怦检人一顼最择BU 粗小■!」分.本u 共2。

大学离散数学期末考试题库和答案

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。

国家开放大学电大本科《离散数学》2020-2021期末试题及答案（试卷号：1009）

国家开放大学电大本科《离散数学》2020-2021期末试题及答案（试卷号：1009）国家开放大学电大本科《离散数学》2020-2021期末试题及答案（试卷号：1009）一、单项选择题（每小题3分，本题共16分）1. 若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是（）.A. 16AB. {1,2,3}UAC. （1,2,3}6AD. 0CA2. 若R ）和殆是A 上的对称关系，则殆11殆，殆0殆，殆一殆次2—殆中对称关系有（）个. A. 1 B. 2 C. 3D. 43. 设G 为连通无向图，则（）时,G 中存在欧拉回路.A. G 不存在奇数度数的结点B. G 存在偶数度数的结点C. G 存在一个奇数度数的结点D. G 存在两个奇数度数的结点4. 无向图G 是棵树，边数是10,则G 的结点度数之和是（）.A. 20B. 9C. 10D. 115. 设个体域为整数集，则公式Vz 3yG+y = 0）的解释可为（）.A. 存在一整数工有整数了滴足x+y = 0B. 对任意整数］存在整数'满足i + y = 0C. 存在一整数工对任意整数y 满足x+y = 0D. 任意整数1对任意整数，满足x + y=06-设集合 A = <1, 2, 3}, B = {2, 3, 4). C = {3, 4, 5},则 A U (C —B )等于7. ______________________________________________ 设 A = <2,3},B = (1,2},C={3,4},从 A 到 B 的函数 /= (<2,2>, V3,l>},从 B 到C 的函数g = ,V2,4>),则 Dom(go/)等于 .8. 已知图G 中共有1个2度结点,2个3度结点,3个4度结点，则G 的边数是 _______ . 9. 设G 是连通平面图，p,e,r 分别表示G 的结点数，边数和面数g 值为5,e 值为4,则r 的值为 _______ .10. 设个体域D = {l,2.3,4},A （x ）为七大于5”，则谓词公式（Vz ）A （z ）的真值为11-将语句“学生的主要任务是学习”翻译成命题公式. 12.将语句“今天天晴，昨天下雨.”翻译成命题公式.二、填空题（每小题3分，本题共15分）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）得分四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共14------ -------- 分）13. 空集的幕集是空集. 14. 完全图K<不是平面图. 15.设集合A = (1,2,3,4}上的关系：R = {V1,2>,V2,3>?<3,4>},S =《V1,1>,V2,2>,V3,3>}, 试计算(DJ? ? S ；(2)R-?j (3)r(RDS). 16. 图G=,其中g{a,5,c,G,E=（（a,6）,S,<="" ）,』,q,0,d="" ）,（c,d="" ）},对=""> （1）画出G 的图形；（2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值. 17. 求PTQAR ）的析取范式与主合取范式.n 1 (P-*Q) Ah R A (Qf R)=>i P.鲸答耘所标准（仅卧考）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）I. C2. D3. A4. A二、填空题（每小题3分，本题共15分）6. {1,2,3,5}7. <2,3）（或 A ）8. 10 9.110.假（或F,或0）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）II. 设P ：学生的主要任务是学习. 则命题公式为:P.六、证明题（本题共8分）评卷人五、计算题（每小题12分,本题共36分）5. B（2分）12.设P：今天夭晴,Q：昨天下雨. 则命题公式为:P A Q.四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13.错误.空集的寒集不为空集，为{0}.14.错误.完全图K,是平面图，如K,可以如下图示嵌入平面.五、计算题（每小题12分，本题共36分）15.解：（1）R ? S = {V1,2>,V2,3>}；（2）RT = {V2,1>,V3,2>,V4,3>）；（3）r（RnS）u（Vl,l>,V2,2>,V3,3>，V4,4>} 16.解：（1）G的图形表示为:0_（3）粗线与结点表示的是最小生成树,<7分）<3分）（2）邻接矩阵:11（6分）（10分）17.解：PTQAR）PV（QAR）析取范式PVQ）A（i PVR）（12分）<2分）（5分）（2分）（3分）（7分）（3分）（4分）（8分）(n PVQ) V(R Ai R)A(" VR) (7 分)?(-i PVQ)V(R An R)A(-i PVR)V(QA~i Q) (9 分)(-i P VQVR) A(" VQVi R) A(" VR VQ) A(" VR Vr Q) (1】分)<=>(-> PVQVR) A(r PVQVr R)A(i PVi QVR) 主合取范式(12 分) .A六、证明题(本题共8分)18.证明：(1)-i -I (P-Q) P(1 分)(2)PfQ T(1)E (3 分)(3)(QfR) P(4 分)<4)-i R P(5 分)(5)n Q T(3)(4)；(6 分)(6)-| P T(2)(5)/ (8 分)(1)因证明过程中.公式引用的次序可以不同，--般引用前提正确得1分，利用两个公式得,出有效结论得1或2分，最后得出结论得2或1分.(2)另，可以用真值浪验证.。

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3. 设 R 是实数集合，,,是 R 上的三个映射，(x) = x+3, (x) = 2x, (x) ＝ x/4, 试求复合映射•，•, •, •，••.
4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
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一、填空题 1 设集合 A,B，其中 A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则 A - B＝____________________;
(A)
- (B)＝ __________________________ . 2. 设有限集合 A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合 A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从 A 到 B 的所有映射是 __________________________ _____________, 其中双射的是
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0 1 1 1 1
15. 设图 G 的相邻矩阵为 1 0 1 0 0 ，则 G 的顶点数与边数分别为(
).
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
(A)4, 5 (B)5, 6 三、计算证明题
(C)4, 10
(D)5, 8.
1.设集合 A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)一、单项选择题(每小题3分，本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树，结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x)：x是人,B(x)：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路，则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图，结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分，本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分，本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集，其中B = 试(1)写出R的关系表达式；(2)画出关系R的关系图；(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出图G的补图的图形，17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合，试证明：若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分，本题共］5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共】2分）H,设P ：昨天下雨. 则命题公式为:P ，12. 设P ：小王今天上午去看电影 Q ：小王今天上午去打球则命题公式为：r （PiQ ）. 或者（rPAQ ）V 〈PA rQ ）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13. 正确.例：设 A = {a} t H — {a,{a}）则有且ACI3.说明：举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图，如K,可以如下图示嵌入平面.（7分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）15. （l ）R = {Va ，a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>，V&，d>，VQ,d >}. （4 分）（2）关系图(8分)（3）集合B 无最大元，极大元为6与c.无上界. 16, 解: （1）关系图（2分）（6分）（2分）（6分）（3分）（517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式六、证明题（本意共8分）18. 证明：V2（2）邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0（6分）(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图（9分）（】2分）（2分）（5分）（7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,（1 分）因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, （3 分）因此AGB. （5分）设xQB,则Vx,x>€BXB,（6 分）因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. （7 分）故得A=B. （8分）。

国开电大2024秋《离散数学》形考任务1-6以及大作业

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国开电大2024秋《离散数学》形考任务1-6以及大作业离散数学（本）·形考任务一1.若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A.{a，{a}}ÎAB.{1，2}ÏAC.{a}ÍAD.ÆÎA正确答案：C2.若集合A＝{1, 2, 3, 4}，则下列表述正确的是()．A.{1, 2}ÎAB.{1, 2, 3 } Í AC.AÌ{1, 2, 3 }D.{1, 2, 3}ÎA正确答案：B3.若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A.{a，{ a }}ÎAB.ÎAC.{2}ÎAD.{ a }ÍA正确答案：D4.若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A.AÌB，且AÎBB.BÌA，且AÎBC.AÌB，且AÏBD.AËB，且AÎB正确答案：A5.若集合A={a，b}，B={a，{a，b}}，则下列表述正确的是( )．A.AÌBB.BÌAC.AÏBD.AÎB正确答案：D6.若集合A的元素个数为5，则其幂集的元素个数为（）．A.5B.16C.32D.64正确答案：C7.设集合A＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，B={1, 2, 3}，A到B的关系R＝{<x,y>| x A,yB且x=y2}，则R=( )．A.{<1, 1>, <2, 4>}B.{<1, 1>, <4, 2>}C.{<1, 1>, <6, 3>}D.{<1, 1>, <2, 1>}8.设集合A={2, 4, 6, 8}，B={1, 3, 5, 7｝，A到B的关系R={<x,y>|xA, y B且 y=x +1｝，则R= ()．A.{<2, 3>, <4,5>, <6, 7>}B.{<2, 1>, <4, 3>, <6, 5>}C.{<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}D.{<2, 2>, <3, 3>, <4, 6>}正确答案：A9.设A＝｛1, 2, 3｝，B={1, 2, 3, 4}，A到B的关系R＝｛〈x,y〉| xÎA,yÎB，x=y｝，则R= ( ) ．A.{<1, 2>, <2, 3>}B. {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>}C. {<1, 1>, <2, 1>}D.{<1, 1>, <2, 2>, <3, 3 >}正确答案：D10.设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）A.2B.3C.6D.8正确答案：D11.空集的幂集是空集．（）A.正确B.错误12.存在集合A与B，可以使得AÎB与AÍB同时成立．A.正确B.错误正确答案：A13.集合的元素可以是集合．A.正确B.错误正确答案：A14.如果A是集合B的元素，则A不可能是B的子集．A.正确B.错误正确答案：B15.设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{Æ, {a}}A.正确B.错误正确答案：A16.若集合A的元素个数为4，则其幂集的元素个数为16A.正确B.错误正确答案：A17.设A={1, 2, 3｝，B ={1, 2, 3, 4}，A到B的关系R ={<x,y> |xÎA,yÎB，x>y｝，则R ={<2,1>, <3, 1>, <3, 2 >}A.正确B.错误正确答案：A18.设A＝｛1, 6,7｝，B={2, 4,8,10}，A到B的关系R＝｛〈x,y〉|xÎA,yÎB，且x=y｝，则R={<2, 2>, <4, 4>, <8, 8>, <10, 10>}A.正确B.错误正确答案：B19.设A={a，b，c}，B={1，2，3}，作f：A→B，则共有9个不同的函数.A.正确B.错误正确答案：B20.设A={1，2}，B={ a,b,c }，则A´B的元素个数为8．（）A.正确B.错误正确答案：B离散数学（本）·形考任务二1.n阶无向完全图Kn的边数是（）．A.nB. n(n-1)/2C. n-1D.n(n-1)正确答案：B2.n阶无向完全图Kn每个结点的度数是（）．A.nB. n(n-1)/2C.n-1D.n(n-1)正确答案：C3.已知无向图G的结点度数之和为20，则图G的边数为（）．A.5B.15C.20D.10正确答案：D4.已知无向图G 有15条边，则G的结点度数之和为（）．A.10B.20C.30D.5正确答案：C5.图G如图所示，以下说法正确的是( ) ．A.{(a, e)}是割边B.{(a, e)}是边割集C.{(a, e) ,(b, c)}是边割集D.{(d,e)}是边割集正确答案：D6.若图G=<V,E>，其中V={ a,b,c,d }，E={ (a,b), (b,c) , (b,d)}，则该图中的割点为（）．A.aB.bC.cD.d正确答案：B7.设无向完全图K有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，K 中存在欧拉回路．A.m为奇数B.n为偶数C.n为奇数D.m为偶数正确答案：C8.设G是欧拉图，则G的奇数度数的结点数为( )个．A.0B.1C.2D.4正确答案：A9.设G为连通无向图，则（）时，G中存在欧拉回路．A.G不存在奇数度数的结点B.G存在偶数度数的结点C.G存在一个奇数度数的结点D.G存在两个奇数度数的结点正确答案：A10.设连通平面图G有v个结点，e条边，r个面，则．A.v + e - r=2B.r +v - e =2C.v +e - r=4D.v +e – r = –4正确答案：B11.已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．( )A.正确B.错误正确答案：A12. 设G是一个无向图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|．( )A.正确B.错误正确答案：A13. 若图G=<V,E>，其中V={ a,b,c,d }，E={ (a,b), (a,d),(b,c), (b,d)}，则该图中的割边为(b,c)．( )A.正确B.错误正确答案：A14. 边数相等与度数相同的结点数相等是两个图同构的必要条件.A.正确B.错误正确答案：A15. 若图G中存在欧拉路，则图G是一个欧拉图．A.正确B.错误正确答案：B16. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．( )A.正确B.错误正确答案：A17. 设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则n-m=2-k.A.正确B.错误正确答案：A18.设G是一个有6个结点13条边的连通图，则G为平面图．A.正确B.错误正确答案：B19. 完全图K5是平面图．A.正确B.错误正确答案：B20. 设G是汉密尔顿图，S是其结点集的一个子集，若S的元素个数为6，则在G-S中的连通分支数不超过6A.正确B.错误正确答案：A离散数学（本）·形考任务三1.无向图G是棵树，边数为12，则G的结点数是（）．A.12B.24C.11D.13正确答案：D2.无向图G是棵树，边数是12，则G的结点度数之和是（）．A.12B.13C.24D.6正确答案：C3.无向图G是棵树，结点数为10，则G的边数是（）．A.9B.10C.11D.12正确答案：A4.设G是有10个结点，边数为20的连通图，则可从G中删去（）条边后使之变成树.A.12B.9C.10D.11正确答案：D5.设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A.m-n+1B.m-nC.m+n+1D.n-m+1正确答案：A6.设A(x)：x是金属，B(x)：x是金子，则命题“有的金属是金子”可符号化为（）．A.(x)(A(x)∧B(x))B.┐("x)(A(x)→B(x))C.(x)(A(x)∧B(x))D.┐(x)(A(x)∧┐B(x))正确答案：C7.设A（x）：x是学生，B（x）：x去跑步，则命题“所有人都去跑步”可符号化为（）．A.($x)(A(x)∧B(x))B.("x)(A(x)→B(x))C.($x)(A(x)∧┐B(x))D.("x)(A(x)∧B(x))正确答案：B8.设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（）．A.┐("x)(A(x)→B(x))B.┐($x)(A(x)∧B(x))C.("x)(A(x)∧B(x))D.┐($x)(A(x)∧┐B(x))正确答案：A9.("x)( P(x，y)∨Q(z))∧($y) (R(x,y) → ("z) Q(z))中量词“"”的辖域是()．A.P(x,y)B.P(x,y)∨Q(z)C.R(x,y)D.P(x,y)∧R(x,y)正确答案：B10.设个体域D={a,b,c}，那么谓词公式($x)A(x)∨("y)B(y)消去量词后的等值式为( )．A.(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))B.(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(c))C.(A(a)∨A(b)∨A(c))∨(B(a)∨B(b)∨B(c))D.(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))正确答案：A11.若无向图G的边数比结点数少1，则G是树．A.正确B.错误正确答案：B12.无向图G是树当且仅当无向图G是连通图．A.正确B.错误正确答案：B13.无向图G是棵树，结点度数之和是20，则G的边数是9A.正确B.错误正确答案：B14.设G是有8个结点的连通图，结点的度数之和为24，则可从G中删去5条边后使之变成树．A.正确B.错误正确答案：A15.设个体域D＝{1,2,3}，则谓词公式("x)A(x)消去量词后的等值式为A(1)∧A(2)∧A(3)．A.正确B.错误正确答案：A16.设个体域D＝{1, 2, 3, 4}，则谓词公式($x)A(x)消去量词后的等值式为A(1 ) ∨A(2) ∨ A(3) ∨ A(4)A.正确B.错误正确答案：A17.设个体域D＝{1, 2}，则谓词公式("x)P(x) ∨（$x）Q（x）消去量词后的等值式为(P (1)∧P (2)) ∨(Q（1）∨Q（2)).A.正确B.错误正确答案：A18.("x)(P(x)∧Q(y)→R(x))中量词“"” 的辖域为(P(x)∧Q(y))．A.正确B.错误正确答案：B19. ("x)(P(x)∧Q(y))→R(x)中量词“"” 的辖域为(P(x)∧Q(y))．A.正确B.错误正确答案：A20.设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为┐( x)(A(x)∧┐B(x))A.正确B.错误正确答案：B大作业1. 在线提交word文档第一部分一、公式翻译题（每小题2分，共10分）1.将语句“我会英语，并且会德语．”翻译成命题公式．参考答案：设p.我学英语Q:我学法语则命题公式为:pΛQ2.将语句“如果今天是周三，则昨天是周二．”翻译成命题公式．参考答案：设P：今天是周三Q：昨天是周二则命题公式为：P→Q3.将语句“小王是个学生，小李是个职员．”翻译成命题公式．参考答案：设P：小王是个学生Q：小李是个职员则命题公式为：P∧Q4.将语句“如果明天下雨，我们就去图书馆.”翻译成命题公式．参考答案：设P：如果明天下雨Q：我们就去图书馆则命题公式为：P→Q5.将语句“当大家都进入教室后，讨论会开始进行．”翻译成命题公式．参考答案：设P：当大家都进入教室后Q：讨论会开始进行则命题公式为：P→Q二、计算题（每小题10分，共50分）1．设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，C={2, {3}}，试计算（1）A-C；（2）A∩B；（3）(A∩B)×C．参考答案：（1）A-C={l,3}；（2）A∩B={2,3}；（3）(A∩B)×C= { <2,2>,<2, {3} > ,<3,2> ,<3, {3} >}.2. 设G=<V，E>，V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={(v1,v3) , (v1,v5) , (v2,v3) , (v3,v4) , (v4,v5) }，试（1）给出G的图形表示；（2）求出每个结点的度数；（3）画出其补图的图形．参考答案：（1）关系图编辑（2）deg(v1)=3deg(v2)=2deg(v3)=3deg(v4)=2deg(v5)=2（3）补图编辑3．试画一棵带权为1, 2, 3, 3, 4的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．参考答案：编辑权为1×3+2×3+3×2+3×2+4×2=294．求出如下所示赋权图中的最小生成树（要求写出求解步骤），并求此最小生成树的权．编辑参考答案：解：用Kruskal 算法求产生的最小生成树,步骤为:w（v2,v6）=1 选(v2,v6)w（v4,v5）=1 选(v4,v5)w（v1,v6）=2 选(v1,v6)w（v3,v5）=2 选(v3,v5)w（v2,v3）=4 选(v2,v3)最小生成树如图所示:编辑最小生成树的权w(T)=1+1+2+2+4=10. 5. 求P→(Q∧R) 的析取范式与合取范式. 参考答案：解:(P∨Q)→R⇔┐(P∨Q)∨R⇔(┐P∧┐Q)∨R(析取范式)⇔(┐P∨R)∧(┐Q∨R)(合取范式)。

《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）及答案

《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟⼀、选择题（每题2分，共20分）1. 下述命题公式中，是重⾔式的为( )（A ）)()(q p q p ∨→∧（B ）q p ∨))()((p q q p →∨→?（C ）q q p ∧→?)(（D ）q q p →?∧)(2. 对任意集合A,B,C,下列结论正确的是（）（A ）若A ?B,B ∈C,则A ?C ；（B ）若A ∈B,BC,则A ?C ；（C ）若A ?B,B ∈C,则A ∈C ；（D ）若A ∈B,B ?C,则A ∈C ； 3. 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系, ,则由R 产⽣的S S ?上⼀个划分共有( )个分块。

（A ）4（B ）5（C ）6（D ）94. 下列偏序集( )能构成格5. 连通图G 是⼀棵树当且仅当G 中( )（A ）有些边是割边（B ）每条边都是割边（C ）所有边都不是割边（D ）图中存在⼀条欧拉路径6. 有n 个结点)3(≥n ，m 条边的连通简单图是平⾯图的必要条件( )（A ） 63-≤n m（B ）63-≤m n （C ）63-≥n m （D ） 63-≥m n7. 设P,Q 的真值为0,R,S 的真值为1,则下⾯命题公式中真值为1的是（）（A ）R →P （B ）Q ∧S （C ）P S （D ）Q ∨R 8. 在图G=中,结点总度数与边数的关系是（）（A ）deg()2||i v E =（B ）deg()||i v E =（C ）deg()2||iv Vv E ∈=∑（D ）deg()||iv Vv E ∈=∑9. 设有33盏灯,拟公⽤⼀个电源,则⾄少需有五插头的接线板数（）（A ）７（B ）８（C ）９（D ）１４ 10. 设集合A 上有四个元素,则A 上的不同的等价关系的个数为（）（A ）11 （B ）14 （C ）17（D ）15⼆、填空题（每题2分，共20分）1. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则R= 。

离散数学期末考试试题及答案详解

离散数学期末复习例题讲解一、考核说明考核对象：本课程考核说明适用于国家开放大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生．考核依据：本考核说明是以本课程的教学大纲（2015年3月修改）和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是由胡俊、顾静相编写，国家开放大学出版社出版的《离散数学（本科）》第2版．考核方式：本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式．其中终结性考核采用半开卷、笔试方式，试卷满分100分．半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸（统一印制），考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场，作为答卷时参考．考试时间：90分钟．试题类型及结构：单项选择题的分数占15％，填空题的分数占15％，公式翻译题的分数占12％，判断说明题的分数占14％，计算题的分数占36％；证明题的分数占8％．二、例题讲解（一）集合论1．单项选择题（1）若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A答：B（2）若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B⊄ A，且B∉AC．B ⊂ A，但B∉A D．B∈ A，但B⊄A答：D（3）设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}答：C（4）设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．对称的B．自反的C．对称和传递的D．反自反和传递的答：A（5）设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对答：C（6）设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图1所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（）．A ．最小上界B ．最大下界C ．下界D ．以上答案都不对图1 答：A2．填空题（1）设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为．答：2n（2）设集合A ={0,1,2},B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的集合表示式为．答：{<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}（3）设集合A =｛a ,b ,c ,d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, , , <c , d >}，则R 的自反闭包是．答：r (R )= {<a , b >, , , <c , d >}∪I A（4）设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为．答：无、2、无、2（5）设集合A ={1, 2},B ={a , b }，那么集合A 到B 的不同函数的个数有．答：4因为：f ：{<1, a >, <2, a >}, {<1, b >, <2, b >}{<1, a >, <2, b >}, {<1, b >, <2, a >}3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的”是否成立？并说明理由．答：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2．由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆ R 1-1；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．注： R 1-R 2是自反的吗？4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图2所示，则集合 A 的最大元为a ；最小元不存在．答：错a 是集合A 的极大元，最大元不存在．图2 5．设集合A ＝{a ,b , { a , b }}，B ={{a }, {b }, b }，求a f5（1）B ⋂A ；（2）A －B ；（3）A ⨯B ．解：（1）B ⋂A ={a , b , { a , b }}⋂{{a }, {b }, b }={b } （2）A －B = {a , b , { a , b }}－{{a }, {b }, b }={a , { a , b }} （3）A ⨯B ＝{a , b , { a , b }}⨯{{a }, {b }, b }＝{<a , {a }>, <a , {b }>, <a , b >，, , , <{ a , b }, {a }>, <{ a , b }, {b }>, <{ a , b }, b >}6．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R ︒S ，R -1，S -1，r (R )，s (R )，t (R )，r (S )，s(S )，t (S )．解：R =∅，S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ︒S =∅，R -1=∅，S -1= S ；r (R )= I A ，s (R )= ∅，t (R )= ∅；r (S )=S ∪{<2,2>，<3,3>,<4,4>}，s (S )= S ；t (S )= S ∪{<1,3>，<2,2>,<2,3>,<3,1>，<3,2>,<3,3>} 7．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )．因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )． 8．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系． ∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故∈R ；又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，∈R ⇒<a , a >∈R ；由元素a 的任意性，知R 是自反的．所以，R 是等价关系．（二）图论1．单项选择题（1）设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4 答：D（2）设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答：C（3）设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图3所示，则下列结论成立的是 ( )．图3A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的答：A（4）给定无向图G 如图4所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（）． A ．{b , d } B ．{d }C ．{a , c }D ．{g , e } 答：A 图4（5）图G 如图5所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集答：C 图5 （6）设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 答：A2．填空题（1）已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是．答：15 （1⨯1+2⨯2+3⨯3+4⨯4）/2（2）设无向图G ＝<V ,E >是汉密尔顿图，则V 的任意非空子集V 1，都有 ≤∣V 1∣．答：W （G - V 1）（3）设无向图G 为欧拉图，则图G 连通且．答：每个结点的度数为偶数（4）设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ．答：n -1（5）连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．答：4οο οο (a )οο οο (b ) οοοο (c )οοοο(d )a gb d fc e οο ο οο οο ο a ο οο ο ο b c f d e（6）给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素，则该序列集合构成前缀码．答：1 3．给定图G （如图6所示）: （1）试判断它们是否为欧拉图？并说明理由．（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．答：（1）图G 是欧拉图，因为图G 是连通图且每个结点的度数是偶数．（2）欧拉回路为： v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e 5v 5 e 7 v 2 e 8v 6 e 6 v 4 e 4v 1 注意：回路是不惟一4．试判断“设G 是一个有5个结点、10条边的连通图，则G 为平面图”是否正确，为什么？答：错误．因为它不满足定理4.3.3，即“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”5．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={(a 1, a 2)，(a 2, a 4)，(a 3, a 1)，(a 4, a 5)，(a 5, a 2)}（1）试给出G 的图形表示；（2）求G 的邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．解：（1）图G 是无向图，图形如图7所示：图7 （2）图G 的邻接矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010010000011100100110)(G A（3）结点a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的度数分别为：2，3，1，2，2．（4）图G 的补图的如图8所示：图86．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ),ο οο ο οa 1a 2 a 3a 4a 5v 1 v 2 v 3v 4 v 5v 6 e 1 e 2e 3 e 4 e 5 e 6e 7 e 8 οο ο ο ο ο图6 ο ο ο ο οa 1a 2 a 3a 4 a 5οο ο ο οa 1 a 2 a 3a 4a 5(d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形；（2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．解：（1）G 的图形如图9所示：（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011000101111110010010001011001010110 图9（3）粗线表示最小的生成树（见图10）：最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12．图107．设有一组权为2,3,6,9,13,15,试（1）画出相应的最优二叉树；（2）计算它们的权值．解：最优二叉树如图11所示：图11 权值： 2⨯4+3⨯4+6⨯3+9⨯2+13⨯2+15⨯2 =8+12+18+18+26+30 =1128．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．οο ο ο οc a b e dοf1 5 22 61 9 38 ο ο ο ο οc a b ed οf 15 22 61 938 οοο οο ο ο ο ο32 9 135 6 1115 20 ο ο 48289．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k条边到图G 才能使其成为欧拉图．（三）数理逻辑1．单项选择题（1）下列命题公式是等价公式的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．A →(⌝B →A ) ⇔⌝A →(A →B )C ．Q →(P ∨Q ⇔⌝Q ∧(P ∨Q )D ．⌝A ∨(A ∧B ) ⇔B 答：B 因为A →(⌝B →A ) ⇔ A →(B ∨A ) ⇔⌝A ∨(B ∨A ) ⇔ A ∨ (⌝A ∨B ) ⇔ A ∨ (A →B )⇔⌝A →(A →B )（2）下列公式 ( )为重言式．A ．⌝(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔QB ．(B →(A ∨B )) ↔(⌝A ∧(A ∨B ))C ．A ∧⌝B ↔A ∨BD ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 答：D 因为(P →(⌝Q →P ))⇔⌝P ∨(Q ∨P )) ⇔1 (⌝P →(P →Q )) ⇔P ∨(⌝P ∨Q )) ⇔1 （3）命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( )． A ．Q P ⌝∧ B Q P ∧⌝ C ．Q P ∨⌝ D ．Q P ⌝∨答：A 因为⌝ (P →Q ) ⇔⌝ (⌝P ∨Q ) ⇔P ∧⌝Q（4）设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B ．))()((x G xC x ⌝→⌝∀C ．))()((x G x C x ⌝→⌝∃D ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∃答：D（5）表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )． A ．P (x , y ) B ．P (x , y )∨Q (z ) C ．R (x , y ) D ．P (x , y )∧R (x , y ) 答：B2．填空题（1）命题公式()P Q P →∨的真值是．答：1 因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨ P ) ⇔1（2）含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是．答：(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )因为P ∧Q ⇔ P ∧Q ∧(⌝R ∨R ) ⇔(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )（3）设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为．答：(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))（5）谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为．答：x3．请将语句翻译成命题公式：（1）今天不是天晴．（2）你去听课，他也去听课．（3）如果天下雪，则我明天就不去市里．（4）尽管他参加了考试，但他没有通过考试．解：（1）设P ：今天是天晴；命题公式为： ⌝ P ．（2）设P ：你去听课，Q ：他去听课：命题公式为：P ∧Q ．（3）设P ：天下雪，Q ：我明天去市里；命题公式为：P →⌝Q ．（4）设P ：他参加了考试，Q ：他没有通过考试；命题公式为：P ∧⌝ Q ．4．请将语句翻译成谓词公式：（1）所有人都不去上课．（2）有人不去工作．解：（1）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课．谓词公式为： (∀x )(P (x )→ ┐Q (x ))．（2）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作，谓词公式为： (∃x )(P (x) ∧┐Q (x ))． 5．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式．（2）求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表，并判断它的类型. 解：（1）该公式是永真式．因为 R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()( R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)( 1⇔（2）6．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．（2）下面的推理是否正确，请给予说明． ① P （a ） P ② （∀x ）P （x ） US ① 解：（1）该公式是永真式．因为 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀⇔))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP（2）错误．② 应为（∀x ）P （x ） UG ① 全称指定规则与全称推广规则不能混淆．7．求公式R Q P →∧)(的析取、合取、主合取\主合取范式．解：R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔ （析取、合取、主合取范式）⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )（主析取范式）8．用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式．解：列真值表取真值为1的项，所求主析取范式为：(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )9．试求谓词公式),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀中，∀x ，∃x ，∃y 的辖域，试问G (x , y )和B (x , y )中x ，y 是自由变元，还是约束变元？解：∀x 的辖域：)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧ ∃x 的辖域：H (x ,y )∃y 的辖域：G (x ,y ) G (x , y )中的x ，y 是约束变量，B (x , y )中的x , y 是自由变量. 10．证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R ) ⇔⌝P ∧Q （吸收律） ⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）9．构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃．分析：前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：))()((x Q x P x →∀证：(1) )()(x xQ x xP ∀→∃ P(2) )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T (1)E(3) )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T (2) E (量词与否定的关系) (4) ))()((x Q x P x ∨⌝∀(5) ))()((x Q x P x →∀ T (4) E上面这些例题供大家复习参考．。