圆周角例题讲解

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圆例题讲解

圆例题讲解（圆的基本元素～圆周角）资料编号:202212121934例1. 如图所示,以□ABCD 的顶点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,分别交AD 、BC 于点E 、F ,延长BA 交⊙A 于点G . 求证: 弧GE =弧EF . 证明: 连结AF∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC AD //∴32,1∠=∠∠=∠B ∵AF AB = ∴3∠=∠B ∴21∠=∠ ∴弧GE =弧EF .例2. 如图,AB 、AC 是⊙O 的两条弦,弧AB =弧AC . （1）求证: AO 平分BAC ∠;（2）若8,54==BC AB ,求半径OA 的长. （1）证明: 连结OB 、OC ∵弧AB =弧AC ∴AC AB =在△AOB 和△AOC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===OC OB OA OA AC AB ∴△AOB ≌△AOC （SSS ） ∴OAC OAB ∠=∠ ∴AO 平分BAC ∠;（2）解:延长AO 交BC 于点D . ∵AC AB =, AD 平分BAC ∠∴BC AD ⊥,421==BC BD 在Rt △ABD 中,由勾股定理得:()84542222=-=-=BD AB AD设r OB OA ==,则r OD -=8 在Rt △BOD 中,由勾股定理得:222OB OD BD =+∴()22284r r =-+解之得:5=r ∴5=OA .例3. 如图,在⊙O 中,弧AC =弧CB ,OB CE OA CD ⊥⊥,. 求证:BE AD =.证明:连结OC ∵弧AC =弧CB ∴BOC AOC ∠=∠ ∴OC 平分AOB ∠ ∵OB CE OA CD ⊥⊥, ∴CE CD =在Rt △COD 和Rt △COE 中∵⎩⎨⎧==CE CD OC OC∴Rt △COD ≌Rt △COE （HL ）∴OE OD = ∵OB OA =∴OE OB OD OA -=- ∴BE AD =.证明二: 连结OC 、AC 、BC ∵弧AC =弧CB∴BOC AOC ∠=∠,BC AC = ∴OC 平分AOB ∠ ∵OB CE OA CD ⊥⊥, ∴CE CD =在Rt △ACD 和Rt △BCE 中∵⎩⎨⎧==CE CD BC AC∴Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ） ∴BE AD =.例4. 如图,C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点,且BC OD //. 求证:DC AD =.证明:连结OC ,∵OC OB = ∴1∠=∠B ∵BC OD //∴1,∠=∠∠=∠COD B AOD ∴COD AOD ∠=∠ ∴DC AD =.图 1图 2例5. 如图,︒=∠90AOB ,点C 、D 是弧AB 的三等分点,连结AB 分别交OC 、OD 于点E 、F .求证:CD BF AE ==.FEC DAO B证明:连结AC 、BD∵点C 、D 是弧AB 的三等分点∴︒=∠=∠=∠=∠3031AOB BOD COD AOC ,BD CD AC ==∵OC OA = ∴︒=︒-︒=∠-︒=∠752301802180AOC ACE∵OB OA =,︒=∠90AOB ∴︒=∠45OAE∴︒=︒+︒=∠+∠=∠753045AOC OAE AEC ∴ACE AEC ∠=∠ ∴AC AE = 同理可证:BD BF =∴CD BF AE ==.例6. 如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,弧AC =弧CB . （1）若D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点,如图1, 求证:CE CD =;（2）如图2,⊙O 的半径为4,︒=∠90AOB ,P 是线段OA 上的一个动点（与点A 、O 不重合）,将射线CP 绕点C 逆时针旋转︒90,与OB 相交于点Q ,连结PQ ,求出PQ 的最小值.图 5图3图 4（1）证明:连结OC ,如图3所示. ∵弧AC =弧CB∴BOC AOC ∠=∠,即EOC DOC ∠=∠ ∵D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点,OB OA = ∴OE OD =在△COD 和△COE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OE OD EOC DOC CO CO ∴△COD ≌△COE （SAS ） ∴CE CD =;（2）解:由题意可知:︒=∠90PCQ取PQ 的中点D ,连结CD 、OD 、OC ,如图4所示.∴PQ CD 21=∵︒=∠90AOB∴PQ OD 21=∵PQ PQ PQ OD CD =+=+2121≥OC∴当O 、D 、C 三点共线时,PQ 取得最小值,最小值为4==OC PQ . 点评当PQ 取得最小值时,如图5所示,此时四边形OPCQ 是正方形. （图5中︒=∠=∠45BOC AOC ）垂径定理的应用例7. 如图,在⊙O 中,直径6=AB ,BC 是弦,︒=∠30ABC ,点P 在BC 上,点Q 在⊙O 上,且PQ OP ⊥.（1）如图1,当AB PQ //时,求PQ 的长;（2）如图2,当点P 在BC 上移动时,求PQ 的长的最大值.图 1图 2解:（1）连结OQ .321===AB OB OQ ∵PQ OP ⊥,AB PQ // ∴AB OP ⊥在Rt △BOP 中,∵︒=∠30ABC ∴333tan ===∠OP OB OP ABC ,∴3=OP 在Rt △QOP 中,由勾股定理得:()6332222=-=-=OP OQ PQ ;（2）易知,当OP 取得最小值时,PQ 的长取得最大值. 当BC OP ⊥时,OP 取得最小值,此时23213sin =⨯=∠⋅=ABC OB OP ∴2332332222=⎪⎭⎫⎝⎛-=-==OP OB PB PQ∴PQ 的长的最大值为233.例8. 如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度60=AB 米,拱高18=PD 米. （1）求圆弧所在圆的半径r 的长;（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即4=PE 米时,是否要采取紧急措施?分析认真审题,读懂题目的意思,弄清题目所给的条件,是我们解决问题的先决条件和关键所在.在解决圆中弦长、半径或弦心距的问题时,常常通过连半径或作弦心距来构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理来解决. 解:（1）连结OA . 由题意可得:AB OP ⊥ ∴3021==AB AD 米在Rt △AOD 中,由勾股定理得:222OA OD AD =+∴()2221830r r =-+解之得:34=r∴圆弧所在圆的半径r 的长为34米; （2）连结'OA由（1）可知:30434=-=-=PE OP OE 米在Rt △OE A '中,由勾股定理得:163034''2222=-=-=OE OA E A 米 ∴32'2==E A AB 米30>米∴当4=PE 米时,不需要采取紧急措施.例9. 如图,在⊙O 中,DE 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的弦,AB 的中点C 在直径DE 上.已知8=AB cm,2=CD cm. （1）求⊙O 的面积;（2）连结AE ,过圆心O 向AE 作垂线,垂足为F ,求OF 的长.解:（1）连结OA ∵点C 是AB 的中点 ∴AB DE ⊥,421==AB AC cm 设x OD OA ==cm,则()2-=x OC cm 在Rt △AOC 中,由勾股定理得:222OA OC AC =+∴()22224x x =-+解之得:5=x ∴5=OA cm∴S ⊙O ππ2552=⨯=cm 2;（2）由（1）可知:8210=-=-=CD DE CE cm 在Rt △ACE 中,由勾股定理得:54842222=+=+=CE AC AE cm ∵AE OF ⊥ ∴5221==AE AF cm 在Rt △ACE 中,由勾股定理得:()552522=-=OF cm.例10. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 为⊙O 上的点,且AD 平分CAB ∠,过点D 作AB DE ⊥于点E . （1）求证:OD AC //; （2）若4=OE ,求AC 的长.B（1）证明:∵AD 平分CAB ∠ ∴OAD CAD ∠=∠ ∵OD OA = ∴ODA OAD ∠=∠ ∴ODA CAD ∠=∠ ∴OD AC //;（2）解:作AC OF ⊥,则AF AC 2=. 由（1）可知:OD AC // ∴DOE OAF ∠=∠ ∵AC OF ⊥,AB DE ⊥ ∴OED AFO ∠=∠ 在△AOF 和△ODE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DO OA OED AFO DOE OAF ∴△AOF ≌△ODE （AAS ） ∴4==OE AF ∴82==OE AC .例11. 如图,D 是⊙O 的弦BC 的中点,A 是⊙O 上的一点,AO 与BC 交于点E ,已知12,8==BC AO . （1）求线段OD 的长;（2）当BE OE 2=时,求DE 的长.解:（1）连结OB . ∵D 是弦BC 的中点 ∴621,==⊥BC BD BC OD 在Rt △BOD 中,由勾股定理得:72682222=-=-=BD OB OD ; （2）设x BE =,则x DE x OE -==6,2 在Rt △DOE 中,由勾股定理得:222OE DE OD =+∴()()()2222672x x =-+解之得:16,421-==x x （舍去） ∴2466=-=-=x DE .例12. 如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,且︒=∠53COB ,OB CD ⊥,当AB OD 21= 时,求OBA ∠的度数.解:作AB OE ⊥,则AB BE 21= ∵AB OD 21=∴OD BE =在Rt △BOE 和Rt △OCD 中∵⎩⎨⎧==ODBE OC BO ∴Rt △BOE ≌Rt △OCD （HL ）∴︒=∠=∠53COD OBE ,即︒=∠53OBA . 圆周角定理及其推论的应用例13. 如图,AB 为⊙O 的直径,AC AB =,BC 交⊙O 于点D ,AC 交⊙O 于点E ,连结BE ,︒=∠45BAC . （1）求EBC ∠的度数; （2）求证:CD BD =.（1）解:（1）∵AC AB =,︒=∠45BAC ∴︒=︒-︒=∠-︒=∠5.672451802180BAC ABC∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠90AEB∴︒=∠-︒=∠4590BAC ABE∴︒=︒-︒=∠-∠=∠5.22455.67ABE ABC EBC ; （2）证明:连结AD . ∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠90ADB ,即BC AD ⊥∵AC AB =,BC AD ⊥ ∴CD BD =.例14. 如图,在△ABC 中,BC AB =,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,交BC 于点E ,连结ED .（1）求证:DC ED =;（2）若34,6==EC CD ,求AB 的长.（1）证明:∵BC AB = ∴C A ∠=∠∵︒=∠+∠︒=∠+∠180,180BED DEC BED A ∴DEC A ∠=∠ ∴DEC C ∠=∠ ∴DC ED =; （2）解:连结BD . ∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠90ADB ∵BC AB =,AC BD ⊥ ∴122==CD AC ∵DEC A C C ∠=∠∠=∠, ∴△ABC ∽△EDC ∴34126,==AB EC AC ED AB ∴36=AB .例15. 如图, AB 为⊙O 的直径,弦AB CD ⊥于点E ,点P 在⊙O 上,弦PB 与CD 交于点F ,且FB FC =,连结PD . （1）求证:CB PD //;（2）若8,26==BE AB ,求CD 的长.（1）证明:∵FB FC = ∴21∠=∠ ∵D ∠=∠2 ∴D ∠=∠1 ∴CB PD //; （2）解:连结AC . ∵AB 为⊙O 的直径 ∴︒=∠+∠=∠901ACE ACB ∵AB CD ⊥∴CE CD CEB AEC 2,90=︒=∠=∠ ∴︒=∠+∠90ACE A ∴1∠=∠A ∴△ACE ∽△CBE ∴CECE CE AE BE CE 8268,-== ∴12=CE ∴242==CE CD .例16. 如图,⊙O 的半径为1,A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四个点,︒=∠=∠60CPB APC . （1）请判断△ABC 的形状,并说明理由;（2）当点P 在弧AB 的什么位置时,四边形APBC 的面积最大?请说明理由,并求出最大面积.备用图解:（1）△ABC 是等边三角形. 理由如下:∵︒=∠=∠60CPB APC ∴︒=∠=∠60BAC ABC ∴△ABC 是等边三角形;（2）当点P 在弧AB 的中点时,四边形APBC 的面积最大. 理由如下:易知当△ABP 的面积最大时,四边形APBC 的面积最大. 作AB PD ⊥,当PD 最大时,△ABP 的面积最大显然,当点P 在弧AB 的中点时,PD 最大,此时CP 为⊙O 的直径,且AB CP ⊥ ∴AD AB 2= 在Rt △AOD 中 ∵︒=∠30DAO∴23231cos =⨯=∠⋅=DAO OA AD ∴32==AD AB ∵AB CP ⊥ ∴3322121=⨯⨯=⋅=AB CP S APBC 四边形 ∴四边形APBC 的最大面积为3.。

圆周角复习讲义(知识总结+例题+练习题)

圆周角复习讲义一、基础知识点角 ] 特殊的角[] 90 0的圆周角[] 直径所对的圆周角弧 ] 半圆所对的圆周角] 等弧所对的圆周角[] 顶点、两边圆 ] 顶点在圆上，角的两边和圆相交[公共点] 顶点在角的两边上[] 圆周角是圆内接多边形的内角[ 圆 ] 顶点在圆上，两边和圆相交的角弦 ] 有公共端点的两条弦所成的角弧 ] 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半] 命题的结构]同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等] 圆周角所对的弧是半圆] 等圆中相等的圆周角所对的弧相等,所对的弦也相等等圆中相等的弧所对的圆周角相等,所对的弦也相等等圆中相等的弦所对的圆周角相等,所对的弧也相等] 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的一个外角等于它的内对角角 ] 圆心角弦切角顶点在圆上不是圆周角的角圆内角圆外角顶点与圆的位置] 圆心角角的两边圆的位置] 弦切角二、知识的应用（例题）例1 如图7—96、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．证明：由OA、OB、OC都是⊙O的半径可知，例2 如图7—97，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．解：∵⊙O是△ABC的外接圆∴∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°，∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°．例3、如下右图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．(1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB；(2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论．[过程](1)连结AB．证AE=EB．需证∠ABE＝∠BAE．(2)执果索因寻条件：要AF=EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF=∠BED，而要∠A=∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为弧PC=弧AB．[结果](1)证明：延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM．∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D．∴弧AB=弧BM．∴∠BAD＝∠BMD．又∵弧AB=弧AP，∴∠ABP=∠BMD．∴∠BAD＝∠ABP．∴AE＝BE．(2)当弧PC=弧AB时，AF=EF．证明：∵弧PC=弧AB，∴∠PBC=∠ACB．而∠AEF＝∠BED＝90°-∠PBC，∠EAF=90°-∠ACB．∴∠AEF=∠EAF．∴AF=EF．三、课堂练习：1．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°．则∠BAC＝_____2．△ABC是半径为2 cm的圆内接三角形，若BC=23 cm，则∠A的度数为 .3．在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= cm，AD= cm，BD= cm．参考答案：1．48°或132° 2．60°或120°3．8 52 52。

专题24.4 圆周角定理【十大题型】(人教版)(原卷版)

专题24.4 圆周角定理【十大题型】【人教版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 (2)【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 (3)【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 (4)【题型4 翻折中的圆周角的运用】 (5)【题型5 利用圆周角求最值】 (6)【题型6 圆周角中的证明】 (7)【题型7 圆周角中的多结论问题】 (9)【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 (10)【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 (11)【题型10 利用圆周角求取值范围】 (12)∠AB是O的直径是AB所对的圆周角90︒∠AB所对的圆周角=︒90是O的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A．12°B．22°C．24°D．44°【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（）A．100°B．70°C．55°D．65°【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（）A．2√5B．2√7C．2√153D．2√213【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°【变式2-1】（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）A．70°B．65°C．50°D．45°【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CÊ=CD̂，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O中，AB̂=BĈ，直径CD⊥AB于点N，P是AĈ上一点，则∠BPD的度数是．【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】【例3】（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4B．5C．√3D．2√3【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（）A．32°B．27°C．24°D．18°【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O的直径AB为8，D为AĈ上的一点，DE⊥AC于点E，若CE＝3AE，∠BAC＝30°，则DE的长是（）A．85B．√13−2C．√3D．32【变式3-3】（2022秋•如皋市校级期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．【题型4 翻折中的圆周角的运用】̂沿BC翻折交AB于【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BĈ沿AB翻折交BC于点E．若BÊ=DÊ，则∠BCD的度数是（）点D，再将BDA．22.5°B．30°C．45°D．60°【变式4-1】（2022秋•萧山区期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC 翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．70°【变式4-2】（2022秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【变式4-3】（2022秋•丹江口市期中）已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（）A．4√5B．2√5或4√5C．2√5D．2√5或4√3【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．̂的【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1B．√2C．√3D．2，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【题型6 圆周角中的证明】̂上运动，连接【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧ACEC，BE，交AC于点F．（1）求∠E的度数；（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．【变式6-1】（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC的长．【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中点，则从M 向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，MC，MN．小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC．任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．（2）就图3证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．【题型7 圆周角中的多结论问题】【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ̂=CD ̂=DB ̂，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝30°；②∠DOB ＝2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式7-1】（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB ＝CD ，下列结论：①∠AOC ＝∠BOD ；②∠BOD ＝2∠BAD ；③AC ＝BD ；④∠CAB ＝∠BDC ；⑤∠CAO +∠CDO ＝180°．其中正确的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式7-2】（2022秋•厦门期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 边于点D ．要使得⊙O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC ＞60°；②45°＜∠ABC ＜60°；③BD ＞12AB ；④12AB ＜DE ＜√22AB ．【变式7-3】（2022秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是．（填序号）【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y 轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（）A．（0，7）B．（0，2√10）C．（0，6）D．（0，3√5）【变式8-1】（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC ＝°．【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．【变式8-3】（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE ＝30°，则EP的长为．【题型9 圆周角与量角器的综合运用】【例9】（2022•南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（）A．100°B．110°C．115°D．130°【变式9-1】（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A＝．【变式9-2】（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为．【变式9-3】（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是°．【题型10 利用圆周角求取值范围】【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，点P不与O，D重合，连接P A．设∠P AB＝β，则β的取值范围是．̂上，∠ACB＝30°，【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在ACAC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的̂围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，BC值范围是．【变式10-2】（2022秋•台州期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由（2）如图②，设AB＝8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．若⊙O的半径是1，√2≤AB≤√3，则∠APB的取值范围为．。

《圆周角的定义及定理》

02 圆周角定理
圆周角定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：圆周角定理是几何学中的基本定理之一，它表述了圆周角与其所夹弧所对的中心角之间的关系。具体来说，对于同圆或等圆中的任意一个圆周角，其所夹的弧所对的中心角等于这个圆周角。
圆周角定理的证明
总结词：逻辑严密
详细描述：圆周角定理的证明过程涉及到了角的相等性质和圆的性质。首先，通过角的相等性质，将圆周角所夹的弧所对的中心角平分，得到两个相等的角。然后，利用圆的性质，证明这两个相等的角与圆周角相等。
多少倍？
题目2
如果一个圆周角等于45度，它所对的弦等于半径的多少倍
？
题目3
在圆中，如果一个圆周角等于 90度，它所对的弦与半径的
比值是多少？
综合练习题
总结词
考察圆周角定理与其他知识的综合运用
题目1
在圆中，如果一个圆周角等于60度，它所对的弦与半径的比值为多少？同时求出这个弦所对的弧的度数。
题目2
在圆或圆弧上选择一个点，作为角的顶点。
通过该点和圆心画出射线，作为角的边。
圆周角的分类
根据圆心与角的边的位置关系，可以将圆周角分为三种类型：优弧圆周角、劣弧圆周角和直角圆周角。
根据角的度数，可以将圆周角分为锐角、直角、钝角和优角等类型。
根据角的数量，可以将圆周角分为单角和复角等类型。
03 圆周角定理的推论
推论一：直径所对的圆周角是直角
总结词
直径所对的圆周角是直角，这是圆周角定理的一个直接推论。
详细描述
根据圆周角的定义，我们知道直径将圆分成两个相等的部分，因此直径所对的圆周角必然是直角。
推论二
总结词
在同一个圆或相等的圆中，如果两个圆周角的大小相等，那么这两个圆周角所对的弧也相等。

《圆周角》讲义

《圆周角》讲义一、圆周角的定义在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

需要注意的是，圆周角的两个特征：一是顶点在圆上；二是两边都和圆相交。

例如，在圆 O 中，∠AOB 是圆心角，而∠ACB 就是圆周角。

圆周角与圆心角是不同的概念，圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上。

二、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB，那么∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

证明圆周角定理可以通过分类讨论的方法：（1）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的一边上时，如∠ACB 的一边经过圆心 O，此时很容易证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

（2）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的内部时，连接 CO 并延长交圆于点 D，通过外角定理可以证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

（3）当圆心 O 在圆周角∠ACB 的外部时，连接 CO 并交圆于点 D，同样通过外角定理可以证明∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

三、圆周角定理的推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆周角有∠ACB、∠ADB 等，它们都相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

这是因为半圆所对的圆心角是 180°，所以圆周角就是 90°。

如果一个圆周角是 90°，那么它所对的弦就是直径。

四、圆周角定理的应用圆周角定理在解决与圆有关的几何问题中有着广泛的应用。

例如，已知圆中的一条弦和它所对的一个圆周角，可以求出圆心角的度数，进而求出其他相关角的度数。

在计算圆中的线段长度、角度大小以及证明一些几何关系时，圆周角定理也经常被用到。

比如，在一个圆中，已知一条弦的长度和它所对的圆周角的度数，可以通过圆周角定理和三角函数求出圆的半径，从而计算出其他相关线段的长度。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°，故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π．故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π．【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°．故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4，故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。

专题17 圆周角重难点题型专训(八大题型)(解析版)

第二十四章圆专题17圆周角重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一圆周角的概念辨析题型二圆周角定理题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题题型四半圆所对的圆周角是直角问题题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题题型六已知圆内接四边形求角度题型七求四边形外接圆的直径题型八圆周角综合问题【知识梳理】知识点一、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

【经典例题一圆周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是()A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.【详解】解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD 于点E ，对于下列说法：①圆上 AbB 是优弧；②圆上 AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD 和ADF 都是圆周角；⑤COA 是圆心角，其中正确的说法是．【答案】①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解： AbB ， AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C ∵在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；∵,,C A D 都在圆上，CAD 是圆周角而F 点不在圆上，则ADF 不是圆周角故④不正确；∵O 是圆心，,C A 在圆上COA 是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l 经过O 的圆心O ，且与O 交于A B 、两点，点C 在O 上，且30AOC ，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与O 相交于另一点Q ，如果QP QO ，则OCP .【答案】40°、20°、100°【分析】点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段AO 有三种位置关系，在线段AO 上，点P 在OB 延长线上，点P 在OA 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【详解】解：①根据题意，画出图1，在QOC 中，OC OQ ，∴OQC OCP =，在OPQ △中，QP QO =，∴QOP QPO =，又∵30AOC ＝，∴30QPO OCP AOC OCP =+=+，在OPQ △中，180QOP QPO OQC ++=，即 3030180OCP OCP OCP ++＋+=，整理得，3120OCP =，∴40OCP ．②当P 在线段OA 的延长线上，如图21180211802OC OQ OQP QOC OQ PM OPQ OQP∵∵，①，，②，在OQP 中，30180QOC OQP OPQ +++=③，把①②代入③得20QOC =，则80OQP=∴100OCP =；③当P 在线段OA 的反向延长线上，如图3，1180211802301502OC OQ OCP OQC COQ OQ PQ P OQP AOC COQ POQ P POQ P OCP OQC∵∵∵∵，①，，②，，③，，④，①②③④联立得10P =，1801501020OCP ==．故答案为：40°、20°、100°．【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：作图区域：(1)M 的半径为1cm ，AB 是M 的一条弦（AB 不经过M ），AMB 、ACB 分别是劣弧 AB 所对应的圆心角和圆周角；(2) DE 是O 中的一条弧，且 AB DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）画非直径的弦AB ，在优弧 AB 上取点C ，连接AC ，BC ，即可解答；（2）在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，即可．【详解】（1）解：如图，AMB 和ACB 为所作；作图区域：（2）解：如图，在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，根据等弦对等弧，可得 AB DE， DE即为所作，作图区域：【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可．6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）25﹣2【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝12∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠1＝∠2，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH +∠3＝∠BAD ＝90°，∴∠1+∠BAH ＝90°，∴∠AHB ＝180°﹣90°＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH ＝AO ＝12AB ＝2，在Rt △AOD 中，OD ＝22AO AD ＝2224 ＝25，根据三角形的三边关系，OH +DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值＝OD ﹣OH ＝25﹣2．故答案为：25﹣2．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．【经典例题二圆周角定理】1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，140AOC ，B 是弧AC 的中点，则D 的度数是（）A ．30B ．35C ．45D ．70【答案】B 【分析】连接OB ，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：连接OB ，如图所示，∵B 是弧AC 的中点，即 AB BC ，∴111407022AOB COB AOC ，∵D 和AOB 都对 AB ，∴1352D AOB ．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，O 是ABC 的外接圆，且AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接OD 、BD ，且BD BC ，若50BOD ，则ABC 的度数为（）A ．65B ．50C ．30D ．25【答案】A 【分析】根据BD BC 得出1252BAC BOD ，根据AB 是O 的直径，得出90ACB ，最后根据直角三角形两锐角互余，即可解答．【详解】解：∵BD BC ，50BOD ，∴1252BAC BOD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∴9065ABC ACB ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上，30AED ，10OB ，则弦AB 的长是．【答案】103【分析】根据垂径定理得到 AD BD，结合30AED 得到60BOD ，结合三角函数直接求解即可得到答案；【详解】解：∵OD AB ，∴ AD BD，2AB BC ，∵30AED ，∴60BOD ，∴30OBC ，∵10OB ，∴152OC OB ，∴2253BC OB OC ，∴103AB ，故答案为：103．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 AD BD．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知,C D 是半圆O 上的三等分点，连接,,,,AC BC CD OD BC 和OD 相交于点E ，有下列结论：①30CBA ；②OD BC ；③12OE AC；④四边形AODC 是菱形．其中正确的有（填序号）．【答案】①②③④【分析】①首先根据点C ，D 是半圆O 上的三等分，求出AOC 的度数；然后根据圆周角定理，求出CBA 的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出90BEO ，即可判断出OD BC ；③根据垂径定理判断出E 是BC 的中点，然后得到OE 是ABC 的中位线，即可判断出12OE AC ，④先证明AC OD ∥，再证明AOC 是等边三角形，得到AC OA OD ，根据菱形的判定方法可判断四边形AODC 是菱形.【详解】解：连接OC ，∵已知,C D 是半圆O 上的三等分点，∴1180603AOC COD BOD ，∴11603022CBA AOC ，故①正确；∴180180603090BEO BOD CBA ，∴OD BC ，故②正确；∴BE CE ，OB OC ，∴OE 是ACB △的中位线，∴12OE AC ，故③正确；∵AB 是半圆O 的直径，∴AC BC ，又OD BC ，∴AC OD ∥，∵OC OA ，60AOC ，∴AOC 是等边三角形，∴AC OA OD ，∴四边形AODC 是平行四边形，又AC OA ，∴四边形AODC 是菱形．故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知AB 为O 的直径，C 为O 上一点，CE AB 于E ，D 为弧BC 的中点，连接AD ，分别交CE CB 、于点F 和点G ．(1)求证：CF CG ；(2)如图2，若AF DG ，连接OG ，求证：OG AB ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AC ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ，从而可得∠CAG +∠AGC ＝90°，根据垂直定义可得90CEA ，从而可得90FAE AFE ，然后根据已知可得 DCDB ，从而可得CAG FAE ，进而可得AGC AFE ，最后根据对顶角相等可得AFE CFG ，从而可得AGC CFG 进而根据等角对等边即可解答；（2）连接,AC CD ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得AFC CGD ，然后根据SAS 证明AFC DGC ≌，从而可得AC CD ，进而可得 AC DCDB ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得ABC DAB ，从而可得GA GB ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∴90CAG AGC ，∵CE AB ，∴90CEA ，∴90FAE AFE ，∵D 为弧BC 的中点，∴ DCDB ，∴CAG FAE ，∴AGC AFE ，∵AFE CFG ，∴AGC CFG ，∴CF CG ；（2）解：连接,AC CD ，∵CFG CGF ，∴180180CFG CGF ，∴AFC CGD ，∵CF CG ，AF DC ，∴ SAS AFC DGC ≌，∴AC CD ，∴ AC DC，∵ DCDB ，∴ AC DB，∴ABC DAB ，∴GA GB ，∵OA OB ，∴GO AB ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上．(1)若50AOD Ð=°，求DEB 的度数；(2)若6OC ，10OA ，求AB 的长．【答案】(1)25(2)AB 的长为16【分析】（1）根据垂径定理的推论可得 AD DB，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出AC ，根据垂径定理的推论可得AC BC ，即可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴ AD DB，又∵50AOD Ð=°，∴11502522DEB AOD ．（2）解：∵OD AB ，∴=90AOC ，在Rt AOC 中，22221068AC OA OC ，∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴AC BC ，则216AB AC CB AC ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，ACD 是O 的内接三角形，AC CD ，连接AO 并延长交O 于点B ，连接BC ，若32BAC ，则ACD 等于（）A ．64B ．62C ．60D ．58【答案】A 【分析】先证明90ACB ，可得903258ADC ABC ，证明58CAD ADC ，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∵32BAC ，∴903258ADC ABC ，∵AC CD ，∴58CAD ADC ，∴18025864ACD ；故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解本题的关键．2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，ADC △内接于O ，BC 是O 的直径，若66A ，则BCD 等于（）A ．66B ．34C ．24D ．14【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等得到66B A ，根据直径所对的圆周角是直角得到=90BDC ，根据直角三角形两锐角互余，得到24BCD ．【详解】∵66A ，∴66B A ，∵BC 是O 的直径，∴=90BDC ，∴906624BCD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ，则ABC °．【答案】35【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：AB ∵是O 的直径，90ACB ，55A D ∵==，18035ABC ACB A ==，故答案为：35．【点睛】本题考查了考查了圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图，AB 是O 的直径，AB 垂直弦CD 于点E ，则在不添加辅助线的情况下，图中与CDB 相等的角是（写出一个即可）．【答案】CAB 或BCD 或DAB【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．【详解】∵AB CD ，AB 是O 直径，∴ BCBD ，∴CDB CAB BCD DAB ，故答案为：CAB 或BCD 或DAB ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形ABCD 内接于O ，50,25,65B ACD BAD ．求证：(1)AD CD ；(2)AB 是O 的直径．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理得125ACD ，再由50ABC 可计算出225 ，则 AD CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD CD ；（2）根据三角形内角和定理可计算出180190ADB BAD ，则根据圆周角的推理即可得到AB 为O 的直径．【详解】（1）证明：连接BD ，如图，125ACD ∵，而50ABC ，21502525ABC ，12 ，AD CD，AD CD ；（2）65BAD ∵，125 ，1801180652590ADB BAD ，AB 为O 的直径．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，且AB CD ．(1)如图1，连接AD .求证：AM DM ．(2)如图2.若AB CD ．在 BD 上取一点E ，使 BE BC ，AE 交CD 于点F ，连接AD 、DE ．判断E 与DFE 是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)E 与DFE 相等．理由见解析【分析】（1）根据AB CD 得 AB CD ，即 AC BC BC BD ， AC BD，得A D ，即可得；（2）连接AC ，根据 BEBC 得CAB EAB ，根据AB CD 得AC AF ，即ACF AFC ，根据,ACF E AFC DFE ，即可得．【详解】（1）证明：AB CD ∵，C AB D即 AC BCBC BD ， AC BD ，A D ，AM DM ．（2）E 与DFE 相等．理由如下：解：连接AC ，如图，BEBC ∵，CAB EAB ，AB CD ∵，AC AF ，ACF AFC ，,ACF E AFC DFE ∵，DFE E ．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AC BC ，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接CD 交AB 于点E ，连接OD ，若120BOD ，则BED 的度数为（）A ．60B ．75C ．100D ．105【答案】D 【分析】连接BD ，根据等腰三角形的性质得到30OBD ODB ，根据平角的定义得到18012060AOD ，根据圆周角定理得到90ACB ，求得45A ，根据圆周角定理得到45CDB A ，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：连接BD ，OD OB ∵，120BOD ，30OBD ODB ，18012060AOD ，AB ∵是O 的直径，45A ABC ，AC BC ∵，45A ，45CDB A ，15CDO CDB ODB ，1806015105BED ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A ，B ，C 在O 上，BC OA ∥，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC ，.DC 若40D ，下列结论不正确的是（）A ．50BB ．直线AO 垂直平分CDC ．12A BD ．30ACB【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得90BCD ，从而根据三角形内角和求出B ，A 选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设A ACB x ，则2BOA x ，根据三角形内角和即可求出x 的值，从而求出A ，ACB ，AOB ，从而可判断C 、D 选项；延长AO 交CD 于点E ，根据对顶角相等可得到DOE ，从而求出90OED ，再结合垂径定理可判断出AO 与CD 的关系，即可判断出选项B ．【详解】解：如图，延长AO 交CD 于点E ，BD Q 是O 的直径，90BCD ，180180904050B BCD D ，故A 选项正确，不符合题意；BC OA ∥∵，设A ACB x ，则2BOA x ，250x x x∵25x ，25ACB A ，50BOA故D 选项不正确，符合题意；50B ∵，12A B ；故C 选项正确，不符合题意；根据对顶角相等可得：50DOE BOA ，180504090OED ，OE CD ，O ∵是圆心，DE CE ，直线AO 垂直平分CD ；故B 选项正确，不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ，4AC ，则O 的直径AD ．【答案】42【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90 可得=90ACD ，根据圆周角定理可得COD COA ，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD ，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ，∵DAC ABC ，∴COD COA ，∴AC CD ，又∵4AC ，∴4CD ，在Rt ACD △中，22224442AD AC CD，故答案为：42．【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知O 的直径AB ，D 为O 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ．弦DC 平分ADB ，交AB 于点E ，过点A 作AF CD 于点F ，交O 于点G ，连接DG ，若DG AE ，则G 的度数为．【答案】67.5【分析】DG 交AB 于H ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ，则=45ADC ，再证明45DAF ，AF DF ，则可判断Rt Rt AEF DGF ≌，所以EAF GDF ，接着证明90DHE AFE ，则根据垂径定理得到 BDBG ，然后根据圆周角定理得到22.5BAG BAD ，最后利用互余可计算出G 的度数．【详解】解：DG 交AB 于H ，如图，O ∵ 的直径AB ，90ADB ，∵弦DC 平分ADB ，45ADC ，AF CD ∵，90AFD ，45DAF ，AF DF ，在Rt AEF 和Rt DGF △中，AE DG AF DF， Rt Rt HL AEF DGF ≌，EAF GDF ，AEF DEH ∵，90DHE AFE ，AB DG ，BDBG ，122.52BAG BAD DAG ，9067.5G GAH ．故答案为：67.5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E 是边长为2的正方形ABCD 中AB 边上一点（不与A 、B 重合），以CE 为直径的O 分别交DE 和CD 于点F 、M ，DH CE 于点H ．(1)求证：BE CM(2)猜想AE 与HE 的大小关系，并说明理由．(3)当DF CH 时，求DEH △的面积．【答案】(1)见解析(2)AE HE ，理由见解析(3)65【分析】（1）连接EM ，根据正方形性质得出90B BCM ，根据直径所对圆周角为直角得出90CM E ，证明四边形BEMC 为矩形，即可求证BE CM ；（2）根据题意可得90A DHE ，AD CD ，在Rt DCH △中，DH CD ，则DH AD ，根据勾股定理得出222AE DE AD ，222HE DE DH ，得出22AE HE ，则AE HE ；（3）连接CF ，证明 Rt Rt HL CDF DCH ≌，得出DCH CDE ，则DE CE ，根据三线合一得出112CM DM CD ，即可用勾股定理求出5DE CE ，根据1122DCE S DC EM CE DH ，求出455DH ，在Rt DEH △中，用勾股定理求出355EH ，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接EM ，∵四边形ABCD 为正方形，，∴90B BCM ，∵CE 为O 直径，∴90CM E ，∴四边形BEMC 为矩形，∴BE CM ；（2）解：AE HE ，理由如下，∵四边形ABCD 是正方形，DH CE ，∴90A DHE ，AD CD ，∵在Rt DCH △中，DH CD ，∴DH AD ，在Rt ADE △中，根据勾股定理可得：222AE DE AD ，在Rt HDE △中，根据勾股定理可得：222HE DE DH ，∴22AE HE ，即AE HE ；（3）解：连接CF ，∵CE 为O 直径，∴90CFE CFD ，在Rt CDF △和Rt DCH △中，CD DC CH DE，∴ Rt Rt HL CDF DCH ≌，∴DCH CDE ，则DE CE ，由（1）可得90CM E ，∴112CM DM CD ，∵四边形BEMC 为矩形，∴2EM BC ，在Rt CME △中，根据勾股定理可得：225CE CM EM ，则5DE CE ，∵1122DCE S DC EM CE DH ，∴DC EM CE DH ，即225DH ，解得：455DH ，在Rt DEH △中，22355EH DE DH，∴113545622555DEH S EH DH ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和全等三角形．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B ，C 为O 上两定点，点A 为O 上一动点，过点B 作BE AC ∥，交O 于点E ，点D 为射线BC 上一动点，且AC 平分BAD ，连接CE ．(1)求证：AD EC ∥；(2)连接EA ，若BC CD ，试判断四边形EBCA 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBCA 是矩形，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据圆周角定理可得E BAC ，再根据平行线的性质可得E ECA ，进而得到ECA DAC ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论；（2）由角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得90ACB ACD ，即90AEB ，进而得到90EBC ACD ，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，∵E BAC ，∴E DAC ，∵BE AC ∥，∴E ECA ，∴ECA DAC ，∴EC AD ∥．（2）解：四边形EBCA 是矩形，理由如下：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，又∵BC CD ，∴90ACB ACD ，∴AB 为O 的直径．∴90AEB ，又∵BE AC ∥，∴90EBC ACD ，∴四边形EBCA 是矩形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键．【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，ABC 是等边三角形，2AB ，点P 是ABC 内一点，且30BAP CBP ，连接CP ，则CP 的最小值为（）A ．12B ．32C ．23D ．31【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到60ABC ，AB BC AC ，继而推出90APB ，可得点P 在以AB 为直径的圆上，得知当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ，AB BC AC ，∵30BAP CBP ，∴ 6030BAP ABP ，整理得：90BAP ABP ，则90APB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图，设AB 的中点为D ，连接DP ，即DP 长度不变，∴CP DP CD ，∴当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，此时CD AB ，∵2AB BC AC ，∴112DP AB ，223CD BC BD ，∴CP 的最小值为31CD DP ，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出90APB ，得到点P 在以AB 为直径的圆上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 中，12AB ，点P 为边DA 上一个动点，连接CP ，点E 为CD 上一点，且4DE ，在AB 上截取点Q 使EQ CP ，交CP 于点M ，连接BM ，则BM 的最小值为（）A ．8B ．12C ．4104D ．835【答案】C 【分析】如图所示，过点E 作EF AB 于F ，当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上，即点M 在圆心为O 的半圆上运动，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，根据题意可证Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，由此可证CEM 是直角三角形，可得点M 在以CE 为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在Rt BCO △中，可求出OB 的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB 于F ，连接BO ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴12AB BC CD AD ====，90A ABC BCD D EFQ ，∵EF AB ，∴四边形AFED 是矩形，则AD EF CD ，在Rt EFQ △和Rt CDP △中，EQ CP EF CD，∴Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，∴FEQ DCP ，∵90FEQ CEM CEF +，∴90DCP CEM +，∴90EMC ，即CEM 是直角三角形，∴当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上运动，设圆心为O ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∵12,4CD DE ，∴1248CE CD DE ，则半圆的半径118422OE OC CE ，在Rt BCO △中，2222412410OB OC BC ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∴BM 的最小值为4104 ，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形ABCD 是矩形，4,6AB AD ，点E 是平面内的一个动点，连接AE DE 、，在运动的过程中，AE 始终垂直于DE ，将AE 绕点A 顺时针旋转90 得到AF ，连接CF ，则CF 的最大值为．【答案】373【分析】先通过AE DE ，则可判断点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，则点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【详解】如图，∵AE DE ，∴90AED ，∴点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，又∵AE AF ，∴由题意可知点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，∵四边形ABCD 是矩形，∴6AD BC ，4AB ，90ABC ，∵6AD AD ，M 为'AD 中点，∴3AM ，1BM ，在Rt MBC 中，由勾股定理得：22221637CM BM BC，∴CF 的最大值为：373 ．【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点E ，F 的运动路径是圆．4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE ∠∠，则线段BF 的最小值为．。

圆周角---定义、圆周角定理

24.1.4（1）圆周角---定义、圆周角定理一．【知识要点】1.定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。

2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

二．【经典例题】2.直线AB与⊙O相切于点B，已知点C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B,C 不重合），若∠A=40°，则∠BDC=_____________.3.如图，O中，直径CD⊥弦AB于E，AM BC⊥于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD AN=；（2）若AE=1ON=，求O的半径．三．【题库】【A】1. 如图,AB为⊙O的直径，CD为弦，AB ⊥ CD，如果∠BOC =70°,那么∠D的度数为（）A .70° B. 35° C. 55° D. 20°2.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°3.如图，已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则 ∠C 的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°【B 】 1.下列语句中,正确的个数是( )个.①相等的圆心角所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等；③一边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形；④等弧所对的圆周角相等； ⑤一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半A.2B.3C.4D.52．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，OC=DE.(1)若∠E=16°，则∠C=______；（2）若∠AOC =54°，则∠C=______.【C】1.如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上, BD=BC, 则∠D的度数为__________。

沪科版九年级数学下2圆周角(第1课时圆周角及其推论)课件

圆周角定理推论
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的两个圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等
D
B E
●O
A
C
A
B O
B′ C
C′
思考：1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 90°
2. 90°的圆周角所对的弦是否是直径？
C
AB是直径
A
推论2：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于
90°(直角).反过来也是成立的,即90°的
不是有一边和圆不相交。
问题：⊙O是等边△ABC的外接圆，完成下列填空
A
（1）∠BAC= 60
°
新知探究
（2）∵AB= AC = BC
O B
C ∴ AB= AC = BC ∴∠BOC= 120 °
BC对的圆心角是 ∠BOC ，对的圆周角 ∠BAC
猜想：BC对的圆心角是对的圆周角 2 倍
讨论：同弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有几种？
用于找相等的弧
用于判断某条线是否过圆心
用于判断某个圆周角是否是直角
练一练. 试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
︵︵例2、在⊙O中,AB是直径, CB = CF 弦 CG⊥AB于D,交BF于E,求证:BE=EC
证明：连结CB ∵AB是直径， CG⊥AB于D ︵︵ ∴CB = BG ︵︵ ∵CB = CF ︵︵ ∴BG = CF ∴∠FBG=∠GCB
BAC
B
1
C BOC
BOC BAC C
2

九年级数学圆第五节圆周角知识梳理及典例分析

第五节圆周角知识点梳理【知识点一】圆周角定理1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半【知识点二】圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直径；90o的圆周角所对的弦是直径推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等典例分析【题型一】圆周角的识别【例1】如图，指出图中的圆周角。

A.1个B.2个C.3个D.4个【题型二】利用圆周角定理求交的度数【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD，BC为弦，CD∥AB，∠BOD=50°，求∠CPD的度数。

【题型三】利用圆周角定理及其推论判断角之间的数量关系【例1】如图AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C,D重合) ,求证: ∠CPD= ∠COB(2)点P'在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP'D与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的结论。

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D，使DC=CB,延长DA与⊙O 的另一个交点为E,连结AC,CE.则∠B与∠D 的大小关系怎样?请说明理由.【题型四】利用圆周角定理及其推论证明弧相等【例1】如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作OA,分别交BC,AO于E,F两点,交BA=的延长线于点G，证明: EF FG=【变式1】如图，AB，CD是⊙O的弦，∠A=∠C，求证：AB CD【题型五】利用圆周角定理及其推论证明线段相等【例1】如图,AB是⊙O的直径，D是BC的中点，AC，BD的延长线相交于点E，证明：AE=AB【变式1】如图,AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于点D，求证：AC=DC【题型六】利用圆周角定理及其推论求线段的长度【例1】如图，在⊙O中，AD为直径，OB⊥AD交弦AC于点B，∠A=30°，OB=5，求BC的长。

专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)

专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲乙丙4.圆周角和直径的关系概念规律重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。

专题4 巧用圆周角定理解题（含答案）

专题4 巧用圆周角定理解题知识解读圆周角是指顶点在圆心，并且两边都与圆相交的角，它是圆中最灵活多变的角，也是解决圆中相关问题最活跃的元素之一．常常用到以下定理：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；⑤圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角．培优学案典例示范例1如图1-4-1，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．(1)求证：△ADP∽△BDA；(2)试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AD＝2，PD＝1，求线段BC的长．【提示】(1)通过圆的切线，证明∠PAD＝∠ABD或∠APD＝∠BAD即可；(2)利用“截长”或“补短”的原理，证明三条线段PA、PB、PC之间具有和差关系；(3)利用相似三角形的性质，先求出BD的长，再利用相似三角形或锐角三角函数求等边三角形ABC的边长．【解答】ADPOCB图1-4-1【拓展】本题容易出错的地方是想当然地认为∠D＝90°，∠PAD＝30°，作直径AE后，没有作任何推理就直接下结论AE是BC的垂直平分线．本题的三个小题，每个小题都有很多种做法，下面略作介绍：第1问：先证明△ABC是等边三角形．①如图1-4-2①，作直径AE ，连接BE ，得R t△ABE ，由∠2＝∠ACB ＝60°，得∠1＝30°，从而∠BAD ＝60°＝∠APD ．P OD CBAP OD CBAABCD OP E5432145212145②如图1-4-2②，连接OA ，OB ，由∠3＝2∠ACB ＝120°得∠1＝∠2＝30°，从而∠BAD ＝60°＝∠APD ． ③如图1-4-2③，连接Q A 、OB 、OC ，证明△OAB ≌△OAC ，得∠1＝∠2＝30°，从而∠BAD ＝60°＝∠APD ．第2问：①如图1-4-3①，在PC 上截取PG ＝PA ，连接AG ，先证△APG 为等边三角形，再证△APB ≌△AGC ；或者在PC 上截取CG ＝PB ，连接AG ，先证∠ABP ＝∠ACG 得△APB ≌△AGC ，再证△APG 为等边三角形．G HGA BCD OP ABC D OP ABCDOP123455421②如图1-4-3②，在PA 的延长线上截取AG ＝PB (延长PA 到点G ，使AG ＝PB )，连接CG ，证△ACG ≌△BCP ，得∠G ＝∠4＝60°，再证△CPG 为等边三角形．③如图1-4-3③，在AP 的延长线上截取PH ＝PB (延长AP 到点H ，使PH ＝PB )，连接BH ，证△ABH ≌△CBP ，得∠H ＝∠4＝60°，再证△BPH 为等边三角形．第3问：由第(1)问△ADP ∽△BDA ，先求出BD ＝4．①如图1-4-4①，作DK ⊥AB 于点K ，在Rt△ADK 中，由AD ＝2和∠DAB ＝60°，求得AK 、DK 的长，再在Rt△BDK 中，由DK 、BD 求得BK 的长，从而BC ＝AB ＝AK ＋BK ．图1-4-3图1-4-2①② ③①② ③K MHFEABCD O PABCD OP A BCD OP②如图1-4-4②，作DM ⊥AP 于点M ，在R t△PDM 中，由PD ＝1和∠DPM ＝60°，求得PM 、DM 的长，再在Rt△ADM 中，由DM 、AD 求得AM 的长，从而AP ＝AM ＋PM ；由第(1)问△ADP ∽△BDA ，可求得AB 的长，得BC ．③如图1-4-4③，若直径AE 交BC 于点F ，则BF ＝12BC ，再作DH ⊥BC 于点H ，可得矩形ADHF ，则 3,DH AF BF ==设BF ＝x ，则BC ＝2x ，BH ＝x －2，在Rt△BDH 中，根据勾股定理构建方程，求得x 的值，进而得到BC 的长．跟踪训练如图1－4－5，已知AB 是O 的直径，CD 平分∠AC B ．试判断线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．【提示】延长CA 到E ，使AE ＝BC ，连接DE ．设法证明△CDE 是等腰直角三角形．图 1-4-6图 1-4-5D DBOOACABC【拓展】如图1－4－6，四边形ACBD 内接于O ，且CD 平分∠ACB ，则AC ＋BC ＝2CD ·cos 12∠AC B ．【解答】图1-4-4①② ③例2正方形ABCD 的四个顶点都在O 上，E 是O 上的一点．（1）如图1－4－7①，当点E 在AB 上时，求证：DE －BE 2；（2）如图1－4－7②，当点E 在AD 上时，EA ECEB是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．图 1-4-7②①DBCDBCOOAEAE【解答】跟踪训练如图1－4－8，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交△ABC 的三边，交点分别是G ，F ，E ．GE ，CD 的交点为M ，且ME ＝46，MD :CO ＝2：5．（1）求证：∠GEF ＝∠A ；（2）求O 的直径CD 的长．图 1-4-8M DGAFOEC B【解答】跟踪训练例3 AB 是O 的直径，C ，P 是AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5．（1）如图1－4－9①，若点P 是AB 的中点，求PA 的长；（2）如图1－4－9②，若点P 是BC 的中点，求PA 的长．图 1-4-9②①B B O OAP CAC P【提示】（1）直接根据直径所对的圆周角是直角和等腰直角三角形的三边关系确定答案；（2）连接OP 交BC 于D 点，连接P B ．根据点P 是BC 的中点，利用垂径定理得到OD 和DB 的长，再利用勾股定理计算PB 的长，根据直径所对的圆周角是直角将所求的线段AP 放到Rt△APB 中，利用勾股定理计算即可得到答案．【解答】跟踪训练如图1－4－10，在半径为6cm 的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝63cm ；③sin∠AOB ＝32；④四边形ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是_____________．图 1-4-10BAOCD【提示】分别根据垂径定理、圆周角定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．例4 如图1－4－11，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，EF :FD ＝4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos∠AED 的值；（3）如果BD ＝10，求半径CD 的长．【提示】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，∠B ＝∠CAE ，易证得∠ADE ＝∠DAE ，即可得ED ＝EA ，又由ED 是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF ⊥AD ，由三线合一的知识，即可判定点F 是AD 的中点；（2）首先连接DM ，设EF ＝4k ，DF ＝3k ，然后由勾股定理求得ED 的长，继而求得DM 与ME 的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得△AEC ∽△BEA ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：25(5)(105)2k k k =⋅+，解此方程即可求得答案．【解答】图 1-4-11MEFDCAB跟踪训练已知：如图1－4－12，在△ABC 中，以AC 边为直径的O 交BC 于点D ，在劣弧AD 上有一点E ，使∠EBC ＝∠DEC ，延长BE 依次交AC 于点G ，交O 于点H ．（1）求证：AC ⊥BH ；（2）若∠ABC ＝45°，O 的直径为10，BD ＝8，求CE 的长．【提示】（1）只需证明∠EBC ＋∠DCA ＝90°；（2）构造直径所对的圆周角，连接AE ，易证2CE AC CG =⋅，问题转化为求CG ，这通过△BCG ∽△ACD 可获解．【解答】图 1-4-12D HECOAGB例5如图1－4－13，△ABC 为等边三角形，边长为a ，DF ⊥AB ，EF ⊥A C ．（1）求证：△BDF ∽△CEF ；（2）若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 的面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时，S 取最大值；（3）已知A ，D ，F ，E 四点共圆，已知tan∠EDF 3，求此圆直径．【提示】（1）只需找到两组对应角相等即可；（2）四边形ADFE 面积S 可以看成△ADF 与△AEF 的面积之和，借助三角函数用m 表示出AD ，DF ，AE ，EF 的长，进而可以用含m 的代数式表示S ，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题；（3）易知AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF 转化为∠EAF ．在△AFC 中，知道tan∠EAF ，∠C ，AC ，通过解直角三角形就可求出AF 长．【解答】图 1-4-13ED CABF跟踪训练已知：AB 是O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为G ，E 是直径AB 上一动点（不与点A ，B ，G 重合），直线CF 交直线AB 于点P ，设O 的半径为r ．（1）如图1－4－14①，当点E 在直径AB 上时，求证：OE ·OP ＝2r ；（2）如图1－4－14②，当点E 在直径AB （或BA ）的延长线上时，以图中点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【提示】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明．观察图形，此题显然要连半径OF ，构造OE ，OP 所在的三角形，这样问题便转化为证明△FOE ∽△POF 了．而要证明△FOE ∽△POF ，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证，且方法不唯一；（2）同（1）类似．图 1-4-14②①GG DAEFDAOOBP CBEC【解答】竞赛链接例6如图1－4－15，已知ABCD 为O 的内接四边形，E 是BD 上一点，且有∠BAE ＝∠DA C ．求证：（1）△ABE ∽△ACD ；（2）AB ·DC ＋AD ·BC ＝AC ·B D ．【解答】图 1-4-15BOADC培优训练直击中考1．如图1－4－16，点A ，B ，C ，D 在O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝_______________．图 1-4-18图 1-4-17图 1-4-16CEDCOCOABDBAAD B2．如图1－4－17，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则弧BD 的度数为_________． 3．如图1－4－18，A ，B ，C ，D 四个点均在O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（）A ．40°B ．45° C．45° D．55°挑战竞赛1.如图1-4-19，△ABC内接于圆O，点D在AC边上，AD＝2CD，在BC弧上取一点E，使得∠CDE＝∠ABC，连接AE，则等于（）A．B．C．D．2图1-4-192.如图1-4-20，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB＝BD，且PC＝0.6，求四边形ABCD的周长．图1-4-203.如图1-4-21，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．图1-4-21。

《圆周角定理典型例题及练习》

《圆周角定理典型例题及练习》圆周角定理典型例题及练
引言
圆周角定理是解决与圆相关的几何问题的重要工具之一。

本文将介绍一些典型的圆周角定理例题，并提供相关练，以帮助读者加深对圆周角定理的理解和应用。

例题
例题 1
已知圆 O 的半径为 r，圆心角为α 度，求圆周角的大小。

解答
根据圆周角定理，圆周角的大小等于圆心角的两倍，即圆周角= 2 * α 度。

例题 2
已知弧 AB 的长度为 l，圆心角为α 度，求弧 AC 的长度。

解答
根据圆周角定理，圆心角所对应的弧长与圆心角成正比。

设弧AC 的长度为 x，则根据比例关系有l / α = x / 360°。

解得 x = l * (360° / α)。

练
1. 已知圆 O 的半径为 5 cm，圆心角为 60°，求圆周角的大小。

2. 已知弧 BC 的长度为 8 cm，圆心角为 120°，求弧 AB 的长度。

请在纸上计算后，再比较答案。

总结
圆周角定理是解决与圆相关的问题的重要定理。

通过学习典型
例题和进行相关练习，可以加深对圆周角定理的理解和应用能力。

希望读者通过本文的学习，能够更好地掌握圆周角定理，并能够灵
活运用到实际问题中去。

圆周角_

C O
B
回忆
1.什么叫圆心角? O
.
顶点在圆心的角叫圆心角
A
B
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C，观察得到的∠ACB有什么特征？ C
O A B
.
顶点在圆上两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。 Nhomakorabea问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P 不是顶点不在圆上。是顶点在圆上，两边和圆相交。不是两边不和圆相交。不是有一边和圆不相交。
观察思考：
在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
问题２如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？
相等。发现：同弧所对的圆周角都相等
问题探讨：
问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线AO交⊙O于D。
O A
由第1种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD 2
1 ∠BAD＝ ∠ BOD 2
C D B
1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
问题解决：
综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B O C A
1 即∠A= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况 A O B D C

九年级数学下册 26.4 圆周角讲解与例题沪科版(1)

圆周角1．圆周角(1)圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆还另有一个交点的角叫做圆周角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．此概念应注意两个方面：一是它相对于圆心角而言，圆心角是顶点在圆心，而圆周角是顶点在圆上；二是它的两边必须与圆相交．如果除顶点外，其他的部分都在圆外，这样的角就不叫圆周角．如图，在O 中，∠BAC 的顶点在圆上，两边分别与圆相交于B ，C 两点，∠BAC 就是圆周角，而∠BOC 是圆心角，∠BDC 既不是圆周角也不是圆心角．判断一个角是不是圆周角，必须同时具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，二者缺一不可．【例1】如图所示的图形中，∠BAC 是圆周角的是( )．解析：依据圆周角的定义来判断，∠BAC 如果是圆周角，点A 必须在圆周上，故排除D ；另外除点A 外，边AB ，AC 必须分别与圆有交点，A ，C 都不符合，故排除A ，C ，只有选项B 的角符合要求．答案：B2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．如图所示，在O 中，∠BAC ＝12∠BOC .(1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值大小上来看，圆周角是圆心角的一半；(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．定理沟通了同一条弧所对的圆心角与圆周角之间的关系，它为证明圆中的角相等提供了更直接的思路，同时在计算角的度数时，定理也是一个非常重要的计算依据．【例2－1】如图，△ABC 内接于O ，∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )．A ．20°B ．40°C ．60° D．80°解析：可由同弧所对的圆周角、圆心角的关系求出∠BOC 的度数． ∵∠BOC ，∠A 是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOC ＝2∠A ＝80°. 答案：D【例2－2】如图，已知BD 是O 的直径，O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD ＝60°，则∠DBC 的度数为( )．A ．30° B．40° C ．50° D．60°解析：已知一圆心角，欲求∠DBC ，可利用圆周角与圆心角的关系求解． ∵O 的直径BD ⊥AC ，∴»»AD CD =(垂径定理)， ∴∠DBC ＝12∠DOC ＝12∠AOD ＝30°(等弧所对的圆周角是圆心角的一半)．答案：A3．圆周角定理的推论(1)推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．如下图，同一条弧»BC所对的∠D ＝∠A ＝∠E ；如右下图，如果»»AB AC =，则它们所对的圆周角∠BCA ＝∠ADC .利用此结论，可以帮助我们证明两个圆周角相等或者两条弧相等．(2)推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图，如果AB是圆O的直径，则∠ACB是直角，△ACB是直角三角形；反之，如果∠ACB 是直角或者△ACB是直角三角形(AB是斜边)，则AB是圆O的直径．本推论的应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径，往往作出直径所对的90°圆周角；如果需要直角或证明垂直，往往作出直径即可解决问题．【例3－1】如图，AB是O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是( )．A．∠A＝∠DB．CE＝DEC．∠ACB＝90°D．CE＝BD选项正误理由A√根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A＝∠DB√由上面的分析得出C√根据直径所对的圆周角是直角即可得到D×CE＝DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，则该项不成立【例3－2】已知：如图，O的两条弦AE，BC相交于点D，连接AC，BE，AO，BO，若∠ACB＝60°，则下列结论中正确的是( )．A．∠AOB＝60° B．∠ADB＝60°C．∠AEB＝60° D．∠AEB＝30°解析：由于已知的是圆周角的大小，则由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，可以确定圆周角∠AEB 和圆心角∠AOB 的大小，于是问题即可求解．因为∠ACB ＝60°，所以圆周角∠AEB ＝60°，圆心角∠AOB ＝120°.答案：C【例3－3】如图，O 是△ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为6，sin B ＝13，则线段AC 的长是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析：连接CD ，则∠DCA ＝90°.由圆周角定理可得到两个条件：①∠D ＝∠B ，②∠DCA ＝90°.在Rt△ACD 中，根据∠D 的正弦值及斜边AD 的长即可求出AC 的值．在Rt△ACD 中，sin D ＝sin B ＝13，AD ＝12，则AC ＝AD ·sin D ＝12×13＝4.答案：B【例3－4】如图所示，已知AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E .连接AC ，OC ，BC .(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若EB ＝8 cm ，CD ＝24 cm ，求O 的直径．分析：(1)根据垂径定理和圆的性质，同弧所对的圆周角相等，又因为△AOC 是等腰三角形，即可求证．(2)根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．解：(1)证明：∵AB 为O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于E ，∴CE ＝ED ，»»CBDB . ∴∠BCD ＝∠BAC .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ． ∴∠ACO ＝∠BCD ．(2)设O 的半径为R cm ，则OE ＝OB －EB ＝(R －8) cm ，CE ＝12CD ＝12×24＝12 cm.在Rt△CEO 中，由勾股定理可得OC 2＝OE 2＋CE 2，即R 2＝(R －8)2＋122，解得R ＝13， ∴2R ＝2×13＝26 cm. ∴O 的直径为26 cm.【例3－5】如图，在O 中半径OA ⊥OB ，C 是OB 延长线上一点，AC 交O 于点D ．求证：∠DOA ＝2∠C .分析：要证明∠AOD ＝2∠C ，由于是2倍关系易想到可延长AO 交圆于E ，连接DE ，构造与∠AOD 同弧的圆周角∠E ，只要证明∠C ＝∠E 即可．证明：延长AO 交O 于点E ，连接DE ，则∠ADE ＝90°.∵OA ⊥OB ，∴∠AOC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠AOC .又∠DAE ＝∠OAC ，∴∠E ＝∠C ， ∴∠AOD ＝2∠E ＝2∠C .当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．4．利用圆周角和圆心角解答的几类问题圆周角和圆心角是圆中两类极其重要的角，它们之间有下列关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．巧妙运用上述关系，可以解决与圆中的角有关的许多问题．主要有以下几类问题：(1)由圆心角求圆周角； (2)由圆周角求圆心角； (3)由圆周角求圆周角； (4)解决实际问题．【例4】如图，O 中OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为__________．解析：连接OC .∵OA ⊥BC ，∴»»AB AC ， ∴∠AOB ＝∠AOC . ∵∠CDA ＝25°，∴∠AOC ＝2∠CDA ＝50°， ∴∠AOB ＝50°. 答案：50°5．利用圆周角与圆心角关系解题技巧若已知的是圆周角的大小，则由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，可以确定圆周角和圆心角的大小，于是问题即可求解．圆心角和圆周角是借助它们所对的弧联系起来的，所以在圆中进行有关角的计算时，通常找到已知角所对的弧，看看怎样通过弧和未知角建立联系．在解与圆有关的角相等、弧相等、弦相等的问题中，圆周角的“同弧或等弧所对的圆周角相等”这一性质往往起到十分重要的作用．事实上，“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”也是圆中证明弧相等或弦相等的重要方法，解题时要注意充分利用．分类讨论是研究与圆有关问题的重要思想方法．当给出的问题不够明确时，一定要考虑分情况来解决，以防漏解．【例5】如图，AB 是O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E ，点P 在O 上，∠1＝∠DCB ，(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求O 的直径．分析：(1)要证明CB ∥PD ，需证∠1＝∠P ，根据»»BDBD =BD 可以确定∠DCB ＝∠P ，又知∠1＝∠DCB ，即可得∠1＝∠P ；(2)根据题意可知∠P ＝∠CAB ，则sin∠CAB ＝35，即BCAB＝35，所以可以求得圆的直径．解：(1)证明：∵»»BDBD =， ∴∠DCB ＝∠P .又∵∠1＝∠DCB ，∴∠1＝∠P ， ∴CB ∥PD ． (2)连接AC .∵AB 为O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴»»BCBD =， ∴∠P ＝∠CAB ，∴sin∠CAB ＝35，即BC AB ＝35.又BC ＝3，∴AB ＝5，∴直径为5.6．利用直径解答问题在圆中，有“直径所对的圆周角等于90°”、“90°的圆周角所对的弦是直径”，利用这两个性质，可以构造直径所对的圆周角解决含有直径或含有直角的圆的问题，这也是圆中作辅助线最常见的方法之一．主要有三类问题： (1)用来求角的度数； (2)用来求线段的长； (3)用来解答说理题．通过直径所对的圆周角是直角，得出直角三角形，在直角三角形中，综合利用直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等相关知识解决问题．【例6】如图，直径为10的A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )．A ．12B ．34C ．32 D ．54解析：连接CA 并延长到圆上一点D ．∵直径为10的A 经过点C (0,5)和点O (0,0)， ∴CD ＝10，CO ＝5，∴DO ＝5 3.∵∠B ＝∠CDO ，∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值，∴cos∠OBC ＝cos∠CDO ＝5310＝32. 答案：C7．圆内接多边形(1)圆内接多边形的定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做多边形的外接圆．如图所示，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 是四边形ABCD 的外接圆．(2)圆内接四边形的性质：由圆周角定理知，∠DAB ＝12∠1，∠C ＝12∠2，∴∠DAB ＋∠C ＝12(∠1＋∠2)＝12×360°＝180°. 又∠BAE ＋∠DAB ＝180°， ∴∠BAE ＝∠C .于是，可得圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角．圆内接四边形的某一外角的内对角是指与其相邻的内角的对角．【例7－1】如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BAD 的度数为__________，∠BCD 的度数为__________．解析：∵∠BOD ＝100°，由圆周角的性质定理可知，∠BAD ＝12∠BOD ＝12×100°＝50°.又∵四边形ABCD 为O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°.∴∠BCD ＝180°－50°＝130°. 答案：50° 130°【例7－2】如图，等腰梯形ABCD 内接于半圆O ，且AB ＝1，BC ＝2，则OA ＝( )．A ．1＋32B ． 2C ．3＋23D ．1＋52解析：如图所示，连接AC ，作CE ⊥AD ，由于直径所对的圆周角是直角，那么△ACD 是直角三角形，根据△CDE ∽△ADC 可以知道CD DE ＝AD CD，然后设DE ＝x ，则AD ＝2＋2x ，这样得到一个关于x 的方程，求出方程的解就可以求出AO 的值．答案：A。

2.4 圆周角（解析版)

2.4圆周角知识点一：圆周角概念1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．题型一：圆周角的概念【例题1】（2021·全国九年级课时练习）如图，其中圆周角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，AEP，CPE∠是圆周角，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．变式训练【变式1-1】（2021·全国九年级课时练习）下列四个图形的角是圆周角的是（）A．B．C．D．知识点管理归类探究【答案】A【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．【变式1-2】（2021·浙江温州·）如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°【答案】A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB⊙CD，⊙⊙ADC+⊙BAD=90°，⊙⊙ADC=35°，⊙⊙BAD=90°﹣35°=55°，故选：A．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．【变式1-3】（2021·江西九年级期末）如图，AB是O的直径，C为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．AC是O的弦B．BOC是圆心角+<C．C∠是圆周角D．AC OC AB【答案】B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、点C不在O上，所以AC不是O的弦，故错误，不符合题意；B、因为点O是圆心，所以⊙BOC是圆心角，故正确，符合题意；C、点C不在O上，所以⊙C不是圆周角，故错误，故不符合题意；+<成立，则AC+OC＜OA+OB，D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若AC OC AB⊙AC＜OA，与题干矛盾，⊙D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．【变式1-4】（2021·全国）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做____________．圆周角的特征：⊙顶点在_____上；⊙两边都和圆_________．【答案】圆周角圆相交圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．题型二：同弧所对圆周角等于圆心角一半【例题2】（2021·湖南长沙市·明德华兴中学九年级开学考试）如图，圆周角⊙ACB的度数为48°，则圆心角⊙AOB的度数为（）A．48°B．24°C．36°D．96°【答案】D【分析】同圆中，同弧所对的圆周角=圆心角的一半．【详解】解：由题意得，圆周角⊙ACB的度数为48°，⨯=︒，圆心角⊙AOB的度数为48°296故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．变式训练【变式2-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，已知CD 是O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】A【分析】根据平行线的性质和圆周角定理计算即可；【详解】⊙//OA DE ，50D ∠=︒， ⊙50AOD ∠=︒，⊙12C AOD ∠=∠，⊙150225C ︒∠=⨯=︒．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质，准确计算是解题的关键．【变式2-2】（2021·黑龙江九年级期末）如图，O 是ABC 的外心，42ABC ∠=︒，72ACB ∠=︒，则BOC ∠=______．【答案】132°【分析】先利用三角形内角和计算出⊙BAC =66°，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到⊙BOC 的度数．【详解】解：⊙⊙ABC =42°，⊙ACB =72°， ⊙⊙BAC =180°-42°-72°=66°，⊙O 是⊙ABC 的外心，⊙以O 为圆心，OB 为半径的圆是⊙ABC 的外接圆， ⊙⊙BOC =2⊙BAC =132°．故答案为：132°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．【变式2-3】（2021·全国九年级课时练习）如图，BC 是O 的弦，D 是BC 上一点，DO 交O 于点A ，连接AB ，OC ，若20A ∠=︒，30C ∠=︒，则AOC ∠的度数为________．【答案】100︒【分析】设⊙AOC =x °，根据圆周角定理得到⊙B 的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设⊙AOC =x °，则⊙B =12x °， ⊙⊙AOC =⊙ODC +⊙C ，⊙ODC =⊙B +⊙A ， ⊙x =20°+30°+12x ，解得x =100°．故选A ．【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．题型三：同弧所对圆周角【例题3】（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，⊙C ＝40°，⊙AED ＝100°，则⊙D ＝______．【答案】60°【分析】首先根据圆周角定理的推论，得⊙C =⊙ABD ，再根据三角形外角的性质即可求得⊙D 的度数．【详解】解：⊙⊙C =40°， ⊙⊙C =⊙B =40°． ⊙⊙AED =100°，⊙⊙D =⊙AED -⊙B =100°-40°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，O 是ABC 的外接圆，65CAB ∠=︒，P 是O 上的一点，则CPB ∠等于________．【答案】65°【分析】根据圆周角定理（同弧所对在圆周角相等）进行解答．【详解】解：根据同弧所对的圆周角相等，得CPB CAB ∠=∠．⊙65CAB ∠=︒， ⊙65CPB ∠=︒．故答案为：65°【点睛】本题考查了圆周角定理．注意：圆周角必须满足两个条件：⊙定点在圆上．⊙角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．【变式3-2】（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB CD=，⊙CAD ＝30°，⊙ACD＝50°，则⊙ADB＝_____．【答案】70°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出⊙ACB=⊙ADB=180°-⊙CAB-⊙ABC，进而得出答案．【详解】解：⊙CB CD=，⊙CAD=30°，⊙⊙CAD=⊙CAB=30°，⊙⊙DBC=⊙DAC=30°，⊙⊙ACD=50°，⊙⊙ABD=50°，⊙⊙ADB=⊙ACB=180°-⊙CAB-⊙ABC=180°-50°-30°-30°=70°．故答案为：70°．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出⊙ABD度数是解题关键．【变式3-3】（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，⊙CAB＝55°，则⊙D的度数是___．【答案】35°【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出⊙ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到⊙B＝90°﹣⊙CAB ＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出⊙D ＝⊙B ＝35°．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ACB ＝90°， ⊙⊙CAB ＝55°，⊙⊙B ＝90°﹣⊙CAB ＝35°， ⊙⊙D ＝⊙B ＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．题型四：直径所对圆周角是直角【例题4】（2021·江苏九年级期末）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠=︒，则ADC ∠=________°．【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到⊙ADC =⊙ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到⊙ACB =90°，再根据⊙BAC =40°即可求解. 【详解】解：如图所示，连接BC ⊙⊙ADC =⊙ABC ⊙AB 是直径 ⊙⊙ACB =90° ⊙⊙BAC =40°⊙⊙ABC =180°-90°-40°=50° ⊙⊙ADC =⊙ABC =50° 故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式训练【变式4-1】（2021·湖南九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，8cmAC，BD=，则AB的长为________cm．3cm【答案】10AC＝4cm．然后利用勾股定理求解．【分析】利用圆周角定理和三角形中位线定理求得OD＝12【详解】解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，又⊙OD⊙BC，即⊙ODB＝90°，⊙AC⊙OD，⊙点O是AB的中点，⊙OD是⊙ABC的中位线，AC＝4cm，⊙OD＝12⊙BD＝3cm，⊙OB22+5cm，BD OD⊙AB＝2OB＝10cm．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理和圆周角定理，根据题意推知OD是⊙ABC的中位线是解题的关键．【变式4-2】（2021·四川九年级期末）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝1，AB＝3，点D在圆O 上且平分BC，则DC的长为__．5【分析】先利用圆周角定理得到⊙A＝⊙D＝90°，再利用勾股定理计算出BC10接着证明⊙BCD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求DC的长．【详解】解：⊙BC是直径，⊙⊙A＝⊙D＝90°，在Rt⊙ACB中，⊙AC＝1，AB＝3，⊙BC22+10，13⊙点D平分BC，即BD＝BC，⊙⊙BCD＝⊙CBD，⊙⊙BCD为等腰直角三角形，⊙DC221055【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．BC OA，连接BO并延【变式4-3】（2021·苏州市立达中学校九年级二模）如图，点A、B、C在O上，//长，交O于点D，连接AC、DC．若24∠的大小为________︒．∠=︒，则DA【答案】42【分析】利用平行线的性质求出⊙ACB ＝24°，再利用圆周角定理求出⊙AOB ＝48°，利用平行线的性质可得⊙CBO ＝48°，再证明⊙DCB ＝90°可得结论．【详解】解：⊙//BC OA ， ⊙⊙ACB ＝⊙A ＝24°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝48°， ⊙//BC OA ，⊙⊙CBO ＝⊙AOB ＝48°， ⊙BD 是直径， ⊙⊙DCB ＝90°， ⊙⊙D ＝90°﹣48°＝42°，故答案为：42．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-4】（2021·宁夏九年级一模）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，40ACD ∠=︒，则BAD ∠的度数为_______．【答案】50°【分析】由同弧所对的圆周角相等可知40ABD ACD ∠=∠=︒，再由直径所对的圆周角为直角即可得到答案．【详解】解：连接BD ，⊙40ACD ∠=︒， ⊙40ABD ∠=︒， ⊙AB 为O 的直径， ⊙90ADB ∠=︒， ⊙90BAD ABD ∠+∠=︒， ⊙904050BAD =︒-︒=︒∠，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，掌握基础知识是解题的关键．题型五：90°圆周角所对弦是直径【例题5】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8cm ，OF ＝6cm ，则圆的直径为__________【答案】10cm【分析】由题意可知OE OF ⊥，利用90º圆周角所对的弦为直径，确定EF 是该圆的直径，利用勾股定理求该圆的直径即可．【详解】连结EF ，⊙OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直， ⊙OE⊙OF ，即⊙EOF=90º， ⊙EF 为直径，在Rt⊙EOF 中，由勾股定理2222OE +OF =6810EF +=， ⊙圆的直径为10．故答案为：10．【点睛】本题考查圆周角的性质与勾股定理的应用，掌握圆周角的定理，通过构造直角三角形用勾股定理是解题关键．变式训练【变式5-1】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图，Rt ABC 中，6AC =，8BC =，点E 是ABC 外接圆上任意一点，点M 是弦AE 的中点，当点E 在ABC 外接圆上运动一周时，点M 运动的路径长为______．【答案】5π【分析】作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，M 是弦AE 的中点，可证O 为ABC 外接圆的圆心，OM⊙AE ，可证点M 在以AO 为直径的圆上运动，求出AO 的长度，进而求出点M 的运动路径长度．【详解】解：作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，如图：⊙ABC 是直角三角形，点E 是ABC 外接圆上任意一点， ⊙AB 为ABC 外接圆的直径，（90°圆周角所对的弦是直径），点O 为ABC 外接圆的圆心，AE 为ABC 外接圆上的弦， ⊙点M 是弦AE 的中点，⊙OM⊙AE （平分弦的直径垂直于这条弦，注：该弦不是直径）， ⊙点M 在以AO 为直径的圆上运动（90°圆周角所对的弦是直径）， ⊙在Rt ABC 中，6AC =，8BC =， ⊙22226810ABAC BC ，⊙AO＝5，⊙点M运动的路径长为5π．故答案为：5π．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理的运用及勾股定理，灵活运用垂径定理的推论是解题关键．【变式5-2】（2018·山东济南·中考真题）如图，⊙O的半径为1，⊙ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．32C3D3【答案】C【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得⊙BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得⊙A=60°，于是利用圆周角定理得到⊙BOC=2⊙A=120°，易得⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=12BD=1，33解．【详解】连结BD、OC，如图，⊙四边形BCDE为矩形，⊙⊙BCD=90°，⊙BD为⊙O的直径，⊙BD=2，⊙⊙ABC为等边三角形，⊙⊙A=60°，⊙⊙BOC=2⊙A=120°，而OB=OC，⊙⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD 中，CD=12BD=1，33 ⊙矩形BCDE 的面积3C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合性比较强．合理利用圆的基本性质是解题的关键．【变式5-3】（2021·江苏苏州市·九年级开学考试）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AC =，P 是ABC 所在平面内一点，且满足PA PC ⊥，则PB 的最大值为________．221【分析】由于⊙APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P 在以AC 为直径的圆上，取AC 的中点O ，连接BO ，然后根据点与圆的位置关系确定PB 的最大值．【详解】解：⊙⊙ACB=90°,⊙BAC=30°, ⊙AB=2BC ，又AC=4， ⊙()22242BC BC +=，解得：43⊙PA⊙PC ，即⊙APC=90°， ⊙点P 在以AC 为直径的圆O 上，如图，当P 、O 、B 三点共线时，PB 最大， 43，OC=12AC=2， 22BC OC +221221，221．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，利用90°的圆周角所对的弦是直径构造圆O是解题的关键．知识点四：圆内接四边形圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．题型六：圆内接四边形【例题6】（2020·温州市实验中学九年级期末）如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，⊙AOC=140°，则⊙ABC的度数为（）A．70°B．110°C．120°D．140°【答案】B【分析】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由⊙AOC=140︒求出⊙ADC=1702AOC∠=︒，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC=180︒，即可求出⊙ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，⊙⊙AOC=140︒，⊙⊙ADC=1702AOC∠=︒，⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙ADC+⊙ABC=180︒，⊙⊙ABC=110 ，故选：B．【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．变式训练【变式6-1】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙A＝115°，则⊙BOD＝_______．【答案】130°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出⊙C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙A=115°，⊙⊙C=180°-⊙A=180°-115°=65°，⊙⊙BOD=2⊙C=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．【变式6-2】（2021·江苏南京·）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若⊙AEC＝87°，则⊙ADC＝__°．【答案】62【分析】连接BD 、BC ，由圆周角定理可得⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ，再根据圆內接四边形的性质可得⊙EBC=⊙ADC ，由切线的性质得出⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC ，最后根据三角形内角和定理解答即可．【详解】解：连接BD 、BC ， ⊙B 是AC 的中点， ⊙AB BC =⊙⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙EBC=⊙ADC, ⊙EC 是⊙O 的切线， ⊙⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC⊙⊙AEC=87°，⊙AEC+⊙BCE+⊙EBC=180°， ⊙87°+12⊙ADC+⊙ADC=180°，解得⊙ADC=62°．故答案为62°．．【点睛】本题主要考査了圆的切线性质、圆內接四边形的性质、圆周角的定理等知识点，灵活运用圆的相关性质定理是解答本题的关键．【变式6-3】（2020·云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AB AD = ，若72C ∠=︒，则ABD ∠的度数是______．【答案】36°【分析】根据圆内接四边形的性质求出⊙A ，根据等边对等角的性质得到⊙ABD=⊙ADB ，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙⊙A ＝180°﹣⊙C ＝108°， ⊙AB ＝AD ， ⊙∠ABD=∠ADB ，⊙⊙ABD ＝()()113180180108622A ⨯=⨯∠︒︒︒=︒--故答案为36°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【真题1】（2021·江苏南京·）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙BOD ＝130°，则⊙A 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．115°D ．130°【答案】C【分析】先根据圆周角定理求出BCD ∠的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果．【详解】解：⊙130BOD ∠=︒，链接中考⊙1652BCD BOD ∠=∠=︒，⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙180A BCD ∠+∠=︒， ⊙115A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．【真题2】（2021·西藏中考真题）如图，⊙BCD 内接于⊙O ，⊙D ＝70°，OA ⊙BC 交⊙O 于点A ，连接AC ，则⊙OAC 的度数为（）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到⊙BOC ＝2⊙D ＝140°，根据垂径定理得到⊙COA 1702BOC =∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB ，OC ， ⊙⊙D ＝70°，⊙⊙BOC ＝2⊙D ＝140°， ⊙OA ⊙BC ，⊙⊙COA 1702BOC =∠=︒，⊙OA ＝OC ， ⊙⊙OAC ＝⊙OCA 12=（180°﹣70°）＝55°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【真题3】（2021·辽宁鞍山·）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒【答案】B 【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【真题4】（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE中，⊙EAB⊙+⊙C+⊙CDE+⊙E＝430°，则⊙CDA＝_____度．【答案】70【分析】先利用多边的内角和得到⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，则可计算出⊙B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求⊙CDA的度数．【详解】解：⊙五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，⊙⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，⊙⊙EAB+⊙C+⊙CDE+⊙E=430°，⊙⊙B=540°-430°=110°，⊙四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙⊙B+⊙CDA=180°，⊙⊙CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．【拓展1】（2020·浙江绍兴市·）如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则ACD的度数为__________．【答案】67°【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是46°，利用圆周角定理求解即可求得⊙BCD的度数，继而求得答案．【详解】解：连接OD，满分冲刺⊙直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，⊙点A ，B ，C ，D 共圆，⊙点D 对应的刻度是46°，⊙⊙BOD ＝46°，⊙⊙BCD ＝12⊙BOD ＝23°，⊙⊙ACD ＝90°-⊙BCD ＝67°，故答案为：67°．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【拓展2】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图．在⊙ABC 中，⊙A ＝60°，BC ＝5cm ．能够将⊙ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm ．103 【分析】根据题意作出ABC 的外接圆，然后根据圆的相关知识即可求得⊙ABC 外接圆的直径，本题得以解决．【详解】解：将ABC 完全覆盖的最小覆盖圆就是ABC 的外接圆，如解图，作ABC 的外接圆，作直径BD ，连接CD ，则60D A ∠=∠=︒，BD 是O 的直径，90BCD ∴∠=︒，30DBC ∴∠=︒，⊙BD=2CD ，在Rt BDC 中，2225BD CD -=，⊙22354BD =， ⊙103BD =（取正值）．所以能够将⊙ABC 103cm ． 103 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆周角定理的推论，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．【拓展3】（2017·湖北十堰·中考真题）如图，⊙ABC 内接于⊙O ，⊙ACB =90°，⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD 2，则BC 的长为_____．【答案】8【分析】连接AD ，根据CD 是⊙ACB 的平分线可知⊙ACD=⊙BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知⊙ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt⊙ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，⊙⊙ACB=90°，⊙AB 是⊙O 的直径．⊙⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，2．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ABD是等腰直角三角形，22+．AD BD⊙AC=6，2222AB AC-=-．106故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．备考无忧系列26。

圆周角

圆周角主要内容：（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。

如图，∠BAC强调圆周角与圆心角的区别。

2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

强调：（1）定理的证明思路和方法，强调分类、归纳的数学思想。

（2）圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧。

推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。

（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。

说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。

（2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。

如图中，∠ACB＝∠ADB∠ACB＋∠AEB＝180°∠ADB＋∠AEB＝180°（二）圆的确定1. 过一点的圆有无数个。

2. 过两点的圆有无数个。

3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。

4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。

5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。

它到三角形三个顶点的距离相等。

锐角三角形的外心在三角形内部。

直角三角形的外心是斜边中点。

钝角三角形的外心在三角形的外部。

【典型例题】例1.分析：则∠C＝∠D，易解。

解：作直径AD，连结BD则∠ABD＝90°，∠D＝∠C即⊙O的半径长为10例2. 如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD，连结AD、BC，OE⊥BC于点E。

分析：略证明：作直径BF，连结FA、FC则∠BCF＝∠BAF＝90°∵OE⊥BC，∴CE＝BE又OB＝OF，∴OE为△BCF的中位线又AB⊥CD，FA⊥AB∴FA∥CD例3.且DG⊥AB于点G。

分析：略（1）证明：如图∴∠1＝∠A又∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB又AB为直径，∴∠ADB＝90°例4.分析：略解：（1）当点A在弦BC所对的优弧上时，如图（1）连OB、OC，过O作OD⊥BC于D（2）当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图（2）求∠BOC＝120°的方法同前。

《圆周角》解题技巧

《圆周角》解题技巧在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”．在研究与圆周角有关的问题时，常进行等角间的转化．【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC ，OC ，BC ．（1）求证：∠ACO =∠BCD ．（2）若EB =8 cm ，CD =24 cm ，求⊙O 的直径．【分析】（1）欲证∠ACO =∠BCD ，关键是进行等角间的转化：∠ACO =∠OAC ，∠BCD =∠OAC ，转化的依据是等腰三角形的性质定理和圆周角的“等弧所对的圆周角相等”；（2）借助勾股定理构建方程即可求得⊙O 的直径．解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，∴CE =ED ，︵CB =︵DB ．∴∠BCD =∠BAC ．∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ．∴∠ACO =∠BCD ．（2）设⊙O 的半径为R cm ，则OE =OB －EB =R －8．∴CE =21CD =21×24=12．在Rt △CEO 中，由勾股定理可得OC 2=OE 2＋CE 2，即R 2=(R －8)2＋122．解得R =13．所以2R =2×13=26．【例2】如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．求证：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD．【分析】（1）欲证CD⊥DF，可转化为证明∠FCD+∠CFD=90°．由圆周角的性质有∠FCD=∠ABD，再联系条件∠BAD=2∠CFD，不难向等腰△ABD的内角和定理进行联想，从而找到解题的切入点；（2）欲证BC=2CD，现在还有一个条件∠BFC=∠BAD没有用，注意到∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，从而有∠ABF=∠CAD，而∠CAD=∠CBD，故∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，从而∠FBC=∠FCB，于是得FB=FC．思考到这里，不妨再回头看看证题目标BC=2CD，可考虑取BC的中点G，于是问题转化为证明CG=CD，即证△FGC≌△FDC．证明：（1）∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．在△ABD中，∠BAD+2∠ABD=180°．又∠BAD=2∠DFC，∠FCD=∠ABD，∴2∠DFC+2∠FCD=180°．∴∠DFC+∠FCD=90°．∴∠FDC=90°．∴CD⊥DF．（2）∵∠BFC=∠ABF+∠BAC，∠BAD=∠CAD+∠BAC，∴∠ABF=∠CAD．又∠CAD=∠CBD，∴∠ABF=∠CBD，即∠ABD=∠FBC，而∠ABD=∠ADB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC．取BC的中点G，连接FG．∴FG⊥BC．∴∠FGC=90°．∵AB=AD，∴︵AB=︵AD，∴∠ACB=∠ACD．∵∠FGC=∠FDC=90°，FC=FC，∴△FGC≌△FDC．∴CG=CD．∵BC=2CG，∴BC=2CD．。

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圆周角例题
第1课时圆周角定理及推论
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
A
教学过程一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知
问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在»EF
所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1
2
∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12
∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．
（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=
1
2
∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12
∠AOD-
12∠COD=1
2
∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
C
C
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习
1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习．四、应用拓展
例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半
径为R ，求证：
sin a A =sin b B =sin c
C
=2R ．分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b
B
=2R ，
sin c C =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c R
，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D
在Rt △DBC 中，sinD=
BC DC ，即2R=sin a
A
同理可证：sin b B =2R ，sin c
C
=2R
∴sin a A =sin b B =sin c
C
=2R
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握： 1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．。