2019年湖北省武汉市中考数学试卷(解析版)

2019 年武汉市初中毕业生考试
数学试卷
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分， 1．实数 2019 的相反数是（
）
A ． 2019
B ．－ 2019
答案：B
考点：相反数。

解析：2019 的相反数为－ 2019，选B。

2．式子x 1 在实数范围内有意义，则A ． x> 0 B． x≥－1
共 30 分）
1 1
C．D．
2019 201
9
x 的取值范围是
（
）
C． x≥1D．x≤1
答案：C
考点：二次根式。

解析：由二次根式的定义可知， x－1≥0，所以， x≥ 1，选 C。

3．不透明的袋子中只有 4个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（）
A．3 个球都是黑球B． 3个球都是白球
C．三个球中有黑球D．3 个球中有白球
答案：B
考点：事件的判断。

解析：因为袋中只有 2 个白球，所以，从袋子中一次摸出 3个都是白球是不可能的，选 B。

4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）
A ．诚B．信C．友D．善
答案：D 考点：轴对称图形。

解析：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称
图形，
如图，只有 D 才是轴对称图形。

5．如图是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（）
答案：A
考点：三视图。

解析：左面看，左边有上下 2个正方形，右边只有 1个正方形，所以， A 符合。

6．“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t 表示漏水时
间， y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示 y 与 x 的对应关系的是（）
答案：A 考点：函数图象。

解析 ：因为壶是一个圆柱，水从壶底小孔均匀漏出，水面的高度 所以，只有 A 符合。

7．从 1、2、3、4 四个数中随机选取两个不同的数，分别
记为
程 ax 2＋ 4x ＋c ＝0 有实数解的概率为（ ）
答案：C 考点 ：概率，一元二次方程。

解析：由一元二次方程 ax 2
＋4x ＋c ＝0 有实数解，得： △＝ 16－4ac ＝4（4－ac ）≥ 0， 即满足： 4－ac ≥ 0，
随机选取两个不同的数 a 、c ，记为（ a ， c ） ,所有可能为：
共有 12 种，
满足： 4－ ac ≥ 0 有 6 种， 所以，所求的概率为： 6
＝1
，选 C 。

12 2 k 8．已知反比例函数 y k
的图象分别位于第二、第四象限， A （x 1， y 1）、B （x 2，y 2）两点在该图象
x 上，下列命题：
①
过点 A 作AC ⊥x 轴， C 为垂足，连接 OA ．若△ ACO 的面积为 3，则 k ＝－6； ②
若 x
1<0<x 2，则 y 1> y 2； ③
若 x
1＋ x 2＝ 0，则 y 1＋y 2＝0。

其中真命题个数是（ ） y 是均匀的减少，
a 、 c ，则关于 x 的一元二次方
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2
答案：D 考点 ：反比例函数的图象。

k
解析 ：反比例函数 y k
的图象分别位于第二、第四象限， x 所以， k 〈0，设 A （x ，y ），
1
则△ ACO 的面积为： S ＝ ｜xy| 3，
2
又因为点 A 在函数图象上，所以，有： xy ＝k ，
1 所以， ｜k | 3，解得： k ＝－ 6，①正确。

2
对于②，若 x 1<0< x 2，则 y 1> 0， y 2〈 0，所以， y 1> y 2成立，正确；
对于③ ，由反比例函数的图象关于原点对称，所以，若 x 1＋ x 2＝ 0，则 y 1＋ y 2＝ 0 成立，正确，
的角平分线交⊙ O 于点 D ，∠ BAC 的平分线交 CD 于点 E ．当点 C 从点 M 运动到点 N 时，则
C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）
B ．
2
D ．
C 是弧 MN 上一动点， ∠
ACB A 、B ）上两点，
3 C ．
2
答案：A 考点 ：轨迹问题，弧长的计算。

解析 ：连结 BE ，
因为点 E 是∠ ACB 与∠ CAB 的交点， 所以，点 E 是三角形 ABC 的内心， 所以， BE 平分∠ ABC ，
因为 AB 为直径，所以，∠ ACB ＝ 90°，
1
所以，∠ AEB ＝180°－ (∠ CAB+∠ CBA)＝ 135°，为定值，
2
所以，点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧，圆弧所以圆的圆心一定在弦 AB 的中垂线上， 如下图，过圆心 O 作直径 CD ⊥AB ， ∠ BDO ＝∠ ADO ＝45°， 在 CD 的延长线上，作 DF ＝ DA ， 则∠ AFB ＝ 45°， 即∠ AFB+∠ AEB ＝180°， A 、E 、B 、F 四点共圆，
所以，∠ DAE ＝∠ DEA ＝ 67.5 °， 所以， DE ＝ DA ＝DF ，
所以，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心， 设圆 O 的半径为 R ，
则点 C 的运动路径长为： R ， DA ＝ 2 R
，
10．观察等式： 2＋ 22＝ 23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25
－2⋯已知按一定规律排 列的一组数： 250
、251
、252
、⋯、299
、2100
．若 250
＝ a ，用含 a 的式子表示这组数的和是 （ ） A ．2a 2－2a B ．2a 2－2a －2 C ． 2a 2－a D ．2a 2＋a
答案：C
考点 ：找规律，应用新知识解决问题。

解析 ：250＋251＋252＋ ⋯＋299＋2100
＝a ＋2a ＋22a ＋⋯＋250a ＝a ＋（ 2＋22＋⋯ ＋ 250） a ＝a ＋（ 251－ 2）a ＝a ＋（ 2 a －2） a ＝2a 2－a
点 E 的运动路径为弧 AEB ，弧长为： 90 2R 180
R
，
C 、E 两点的运动路径长比为：
2 ，选 A 。

R
2
、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18 分）
11．计算16 的结果是_______
答案：4
考点：算术平方根。

解析：16的意义是求 16的算术平方根，所以16 ＝4
12．武汉市某气象观测点记录了 5 天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、 18、23、
这组数据的中位数是_______
答案：23
考点：中位数。

解析：数据由小到大排列为：
18、20、23、 25、27，
所以，中位数为 23.
13．
2a 1 的结果是a2 16 a 4
答案：1
a4
考
点
：分式的运算。

解析：2a 1 ＝
2a a4 a2 16 a 4 (a 4)(a 4) (a 4)(a 4)
a4
(a 4)(a 4)
1
＝a 4
14．如图，在□ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点， AE＝EF＝CD，∠ ADF ＝90 °，∠
27，BCD
＝ 63°，则∠ ADE 的大小为____
b a 解得：
c 12a
所以，关于 x 的一元二次方程 a （x － 1）2＋ c ＝ b － bx 为：
2
a(x 1)2 12a a ax
即： （x 1）2 12 1 x ， 化为： x 2
3x 10 0 ，
解得： x ＝－2或 5 16．问题背景 ：如图 1，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ ADE ，
答案 ：21
考点 ：等边对等角，三角形的内角和定理，直角形斜边上的中线定理。

解析：因为 AE ＝EF ，∠ ADF ＝90°， 所以， DE ＝AE ＝ EF ， 又 AE ＝EF ＝CD ， 所以， DC ＝DE ，
设∠ ADE ＝ x ，则∠ DAE ＝x ， 则∠ DCE ＝∠ DEC ＝ 2x ， 又 AD ∥BC ，
所以，∠ ACB ＝∠ DAE ＝x ， 由∠ ACB+ ∠ ACD ＝ 63°， 得： x+2x ＝ 63°，
解得： x ＝ 21°，所以，∠ ADE 的大小为 21° 15．抛物线 y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过点 A （－3，0）、B （4，0）两点，则
关于 x 的一元二次方程 a （x －1）2＋c ＝b －bx 的解是 _ 答案 ： x ＝－ 2 或 5
解析 ：依题意，得：
9a 3b c 0
16a 4b c 0
DE 与 BC 交于点 P，可推出结论： PA＋ PC＝ PE 问题解决：如图 2，在△ MNG 中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4 2．点 O是△ MNG 内一点，
则点 O 到△ MNG 三个顶点的距离和的最小值是_____
图1
答案：2 29
考点：应用新知识解决问题的能力。

解析：如下图，将△ MOG 绕点 M 逆时针旋转 60°，得到△ MPQ，显然△ MOP 为等边三角形，
所以， OM ＋OG＝OP＋ PQ，
所以，点 O 到三顶点的距离为： ON＋OM ＋OG＝ON＋OP＋PQ＝NQ，所以，当点 N、O、P、Q在同一条直线上时，有 ON＋OM＋OG 最小。

此时，∠ NMQ＝ 75° +60°＝135°，
过Q作QA⊥NM 交NM 的延长线于 A，
则∠ AMQ＝45°， MQ＝ MG＝4 2 ，
所以， AQ＝ AM＝4，
NQ＝AN 2AQ2(4 6)2422 29
三、解答题(共 8 题，共 72 分) 17．(本题 8 分)计算： (2x2)3－ x2·x4 考点：整式的运算。

解析：
18．(本题 8 分)如图，点 A 、B 、C 、D 在一条直线上， CE 与 BF 交于点 G ，∠A ＝∠ 1，CE ∥ DF ， 求证：∠ E ＝∠ F
考点 ：两直线平行的性质与判定。

解析：
19．(本题 8 分)为弘扬中华传统文化，某校开展 “双剧进课堂 ”的活动，该校童威随
机抽取部
分学生，按四个类 A 表示“很喜欢 ”，B 表示“喜欢”，C 表示“一般”，D 表示查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息， 解决下列问题：
(1) 这次共抽取 ______ 名学生进行统计调查，扇形统计图中， D 类所对应的扇形圆心角的
大小为 _______ (2) 将条形统计图补充完整
考点 ：统计图。

解析：
(3) 该校共有 1500 名学生，估计该校表示 各类学生人数条形统计图 “喜欢 ”的 B 类的学生大约有多少人？ 各类学生人数扇形统计图
20．(本题 8 分)如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 ABCD 的顶点在格点上，点 E 是边 DC 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由
(1)如图 1，过点 A 画线段 AF，使 AF ∥DC，且 AF＝ DC
(2)如图 1，在边 AB 上画一点 G，使∠ AGD＝∠ BGC
(3)如图 2，过点 E 画线段 EM，使 EM ∥AB ，且 EM ＝AB
21．(本题 8分)已知 AB 是⊙ O 的直径， AM 和BN 是⊙O 的两条切线， DC 与⊙ O 相切于点 E ，分别交 AM 、BN 于 D 、C 两点 (1) 如图 1，求证： AB 2＝ 4AD ·BC (2) 如图 2，连接 OE 并延长交 AM 于点 F ，连接 CF ．若∠ ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴 影部分的面积
考点 ：圆的切线的性质，三角形相似，三角形的全等。

解析：
22．（本题 10 分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）
是售价 x（元 /件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如下表：
售价 x（元 / 件）50 60 80
周销售量 y（件）100 80 40
周销售利润 w（元）1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
（1）① 求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
② 该商品进价是_____ 元/件；当售价是___ 元/件时，周销售利润最大，最大利润是________ 元
（2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（ m>0），物价部门规定该商品售价不得超过
65 元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大
利润是 1400 元，求 m 的值
考点：应用题，二次函数。

解析：
考点 ：三角形的全等 ，两直线平行的性质。

解析：
23． 本题 10 分)在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，
AB BC
n ，M 是 BC 上一点，连接 AM
(1) 如图 1，若 n ＝1，N 是 AB 延长线上一点， CN 与 AM 垂直，求证： BM ＝BN
(2) 过点 B 作BP ⊥AM ，P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点 Q ① 如图 2，若 n ＝ 1，求证： CP BM
② 如图 3，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan ∠BPQ 的值(用含 n 的式子表示)
24．(本题 12分)已知抛物线 C 1 ：y ＝ (x － 1)2－ 4和 C 2：y ＝x 2
(1) 如何将抛物线 C 1 平移得到抛物线 C 2？
4
(2) 如图 1，抛物线 C 1与 x 轴正半轴交于点 A ，直线 y 4
x b 经过点 A ，交抛物线 C 1于另
3
一点 B ．请你在线段 AB 上取点 P ，过点 P 作直线 PQ ∥y 轴交抛物线 C 1于点 Q ，连接 AQ ① 若 AP ＝AQ ，求点 P 的横坐标 ② 若 PA ＝ PQ ，直接写出点 P 的横坐标 (3) 如图 2，△MNE 的顶点 M 、N 在抛物线 C 2上，点 M 在点 N 右边，两条直线 ME 、NE 与抛 物线 C 2均有唯一公共点， ME 、NE 均与 y 轴不平行．若△ MNE 的面积为 2，设 M 、N 两点的
横坐标分别为 m 、n ，求 m 与 n 的数量关系
考点 ：二次函数，直线与抛物线的相关问题，解决问题的综合能力。

解析：
2
⑶设Λ/(力,∙ N(”」r ) • /ME :»・■ ⅛(.r-w)÷∕υ
.4∙ Λ2 - kx^km- nr = O ∙
∙'∙ Δ = ⅛β4
-4∣Am 一 W j =≡ O ∙ ∙'∙ (A - 2m)∙ = O ・∙'∙上=2/ra ∙ ∙,
∙ I U ς ιy≈2ntx -nΓ 同S ： (¾∑ :>，= 2∕LV -M 2> 5ΔAZVI =； EK ∙(m-n) ■
又.,》2m 2fw -φ + (w + nMn -W) = Ot [y = 2m_ fΓ
Λ y ≡∣ ∕I + ΛT )(X - ∕w)⅛ nΓ
；•川黑”.•••％=三上,又M
2 12 .
n -m Z X
• /.wvJ = ------ ∖x-m)^m n-nτ ∙*∙ Sd 沁
m + n - mn
2
).口二2,解得—2・
4
Λ! ÷Λ W +M*
2019年武汉中考数学答案
二、填空题
II. d 12 23
14. 21。

15. X =-2或5
三. 解答题
!7.ftV: J⅛∙Λ = 8.v4∙-τ6=7∕∙
1&证明：V Zzl = ZI
J.AEf/HF
.,.Zf=Z2
VC∕Γ√∕)∕∙
ΛZΓ=Z213. —!—
α《4 16. 2√29
A ZE= ZF
19•解：＜ I) 50：72°
¢2)条形统计图力组5人(3)竺Xloo%X 1500=690 (人 >
5()
答：佔计该校农示“ J⅛炊”的B类的学生大约仃690人.
20 •解：
21. iιtJfl: (I) Rl^AOi^Ht^EOD (///.)
Λf∆OEC Rl∆ OliC ( UL>
ΛZl = Z2fc Z3=Z4
AD^l)E. fK^CE
ΛZ∕XX⅛90α
山射觀定FIM恥OFmEQ
Λ JS2∙(2OEF - AD^I)C
(2)V ZJ∕½=2乙Oin>2乙(HC
：• ZoIm)I
：.ZDoF^ZDCF ( 8 字T!) ≡ZO( QF
WilEΔ<;CZi^∆FC,Λ∙ (ZtEf>
ΛΓM⅛H∖OE=FE
VOE丄(刀
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\：JMAoAFg4()EC(∕1ΛS>
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.9.ΔObC训形
.∙.α=30φ
ΛZtfCΔ=60* ■ Z ΛOE= 120,
・'• •'引Iy= •'W 1Λ< r βΛl:
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22.慣(I)(Dy =-2.v + 200<2)40∙ 70. IS(K)
(2)n = (-2N÷ 2<X)Kx-4()-W l = -2x：+(28O÷ 2切X -MMN)-200”；
■ c140 +w
对称轴乂 = 一-—
■
①节竺H<6$ 吋 5)(D⅛!±LL^>65!I∙∣.Λ=65∣M・"∙1U放丿m 1400. f*Lv=5
24
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CE F 点£过点Cfl CF IBE •：4AH\"W1〔 /. iU P.∖^k. 2nk. . IP- 4∕Γk
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C∕∙ 2∕<W -2Λ・ JiP-FP=2nk ••• Ian 厶 BFQ = Um 乙 CPF =—=-
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