求复数平方根的一种特殊方法

求复数平方根的一种特殊方法

惠州市惠台学校 李云梦

在求一个复数的平方根时，经常采用的方法是先将此复数化为三角式，再求其平方根，此法虽好，但其过程一定要借助三角式，其结果仍用三角式表示；可能否在求根的过程不借助三角式，笔者在平时的解题过程中，发现这种方法是有的。现将我摸索出的方法介绍如下： 题目：求z=a ＋bi 的平方根

解：设z ’=x ＋yi 是z=a ＋bi 的一个平方根。r’是z ’的模，r 是z 的模，依题意有： (x+yi)2=a+bi

把等式左边展开：

x 2＋2xy －y 2=a ＋bi

显然有： x 2－y 2=a ……①

2xy=b ……②

因为r ’是z ’的模，r 是z 的模，所以r ’z ’是z 的平方根，故有：

r’2=r

x 2＋y 2

由①和③组成方程组：

x 2－y 2=a ……④

x 2＋y 2

这里只要分别求x ，y 的值，便能得到z 的平方根。

由④＋⑤得：

2x 2=a

∴x=12由⑤－④得：

2y 2 a

∴y= 这样，我们得到x ，y 的解：

x=，y= 这里的值有四组，可我们知道z 的平方根仅有两个，那么如何确定是哪两组数值呢？ 我们注意到②中，有2xy=b ，所以x ，y 的符号由b 的符号决定。也就是b>0时，x ，y 同号，b<0时，x ，y 异号。这样我们就能确定的数值最终是哪两组。

所以z=a=bi 的平方根是：

如果b>0，则为：

i i 如果b<0，则为：

i i 现在举几个例子，进一步具体地说明如何用这方法求一个求复数的平方根。 举例一：求9＋40i 的平方根

解：设x ＋yi 是9＋40i 的一个平方根。依题意有：

(x ＋yi)2=9＋40i

把等式左边展开

x 2＋2xy －y 2=9＋40i ，

由上式得： x 2－y 2=9

x 2＋y 2=41

解得：x=±5，y=±4

因为b=40>0，x ，y 同号，所以我们就能确定x ，y 的数值是：

x=5 x=－5

y=4 y=－4

∴9＋40i 的平方根是5＋4i 和－5－4i 。

以上过程和结果均可检验，这里限于篇幅，笔者就从略，留与读者自行检验。 举例二：求11－60i 的平方根

解：设x ＋yi 是11－60i 的一个平方根。依题意有：

(x ＋yi)2=11－60i

显然有：

x 2－y 2=11

x 2＋y 2=61

解得：x=±6，y=±5

因为b=－60<0，x ，y 异号，

∴11－60i 的平方根是6－5i 和－6＋5i 。

最后，再举例教材中的一例。

举例三：人教版的高级中学课本，代数（乙种本）中的一道练习题，P169第三题第2小题。

求122

+i 的平方根

解：设x ＋yi 是

12+的一个平方根。依题意有：

(x ＋yi)2=12+

显然有： x 2－y 2=12

x 2＋y 2=1

解得：x=±

12，y=

因为，x ，y 同号，

∴122+i 的平方根是122+i 和12

－2i 从上面几例中可看出，此方法确能用于求一个复数的平方根。也是我在工作中的心得，在此发表，愿与各位同行就这个问题再探讨。有不确之处，还望诸君指正。

2014年5月13日