立体几何练习题及答案

数学立体几何练习题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为

A 1

B 和上

的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定

2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60

D.90

3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线

与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12

B 。

3

C 。

3 D 。

6

4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是

A ．15

B 。13

C 。12

D 。

3

5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、

F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．

5

10

B ．32

C ．

5

5 D ．

5

15

6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离

为（ ） A ．

4

3 B ．

2

3 C ．

4

33 D ．3

7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为

（ ） º

B. 90º

º

D. 75º

8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对

角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则

〈CM ，1D N 〉的值为.

10．如图，正方体的棱长为1，C 、D

分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，

那么点M 到截面的距离是 .

11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ．

12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则

直线与平面B 1所成角的正弦值为 .

13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面，

且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离为 ．

14．棱长都为2的直平行六面体—A 1B 1C 1D 1中，∠60°，则对角线

A

B M

D

C

A

B

C

D

P A 1C 与侧面1D 1所成角的余弦值为.

三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.

15．如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，＝＝1，

90=∠BCA ，

棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求的长； (2) 求〉〈1

1

,cos CB BA 的值；

(3) 求证：N C B A 11⊥．

16．如图，三棱锥P —中， ⊥平面，2，，D 是上一点， 且⊥平面．

(1) 求证：⊥平面；

(2) 求异面直线与所成角的大小； (3)求二面角的大小的余弦值．

17．如图所示，已知在矩形中，1，（a >0），⊥平面，且1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标； （2）问当实数a 在什么范围时，边上能存在点Q ，

Q

P

D

C

B

A

x

y

使得⊥

（3）当边上有且仅有一个点Q 使得⊥时， 求二面角的余弦值大小．

18. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，

,,60a AC PA ABC ===∠ a

PD PB 2==，点E 在PD 上，且PE :

(1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；

(2) 求以为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ(3) 在棱上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC 证明你的结论．

19. 如图四棱锥P —中，底面是平行四边形，⊥平面，垂足为G ，

G 在上，且＝4，GD AG 3

1=，⊥，＝＝2，E 是的中点．

(1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面的距离； (3)若F 点是棱上一点，且⊥，求

FC

PF

的值． C B P

A

G D

F

20.已知四棱锥S－的底面是正方形，⊥底面

，E是上的任意一点．

(1)求证：平面⊥平面；

(2)设＝4，＝2，求点A到平面的距离；

(3)当的值为多少时，二面角B－－D的大小为120°

理科立体几何训练题（B）答案

题

号

12345678

答

案

B D D A D B B C

二、填空题

9. 10． 11. 45° 12．4

5 13．

3

3

2 14