全国大学生数学建模比赛答辩储油罐的变位识别与罐容表标定.

3.1油罐没有倾斜变位时的研究
卧式储油罐为两边平头的椭圆柱体图像：
3.1油罐没有倾斜变位时的研究
讨论储油罐平卧未变位时，某一液面高度下，油罐内油品体积与油
液面高度的关系式 V f H ,设储油罐里的油的高度为H，图中阴影为储油
横截面，设椭圆弓形面积为。sH
V f H 积分求解过程如下：
y2 z2
高度 / c m 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
容积/L
281.9 309.8 338.5 368.1 398.5 429.7 461.5
494 527.1 560.9 595.2 630.1 665.6 701.5
3.2小椭圆油罐倾斜变位模型
设油罐轴线与与水平线的夹角为 （小椭圆型油罐
绕水平线逆时针旋转角），情况如下图所示：
3.2.1求解椭圆弓形面积
讨论储油罐平卧纵向倾斜 角变位后，油罐内油品体积与油液面高度的函数关
系式V f H ,设储油罐里的油位高度为 H ,图中阴影为储油横截面，设椭圆弓
形面积为 sH ， sH 积分求解过程如下：
sH 2 hz a b2 z 2 dz b b
hx tan x H b
（5） （6）
s z 2 a x tan H b b2 z 2 dz
bwk.baidu.com
b
2 a x tan H b b 2 z 2 dz b b
（7）
3.2.2油罐内油品体积与油液面高度的关系式
对储油体积与油位高度几何关系的分析，发现的被积函数 椭圆弓形面积的积分域随高度的变化而发生变化，分五种情况 讨论
高度 /c m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
容积 / L
不定 3.5 6.3 10 14.8 20.7 27.9 36.3 46.1 57.4 70.1 84.4
100.3 117.7 136.9 157.8 180.3
204 228.9 254.9
L
V(H) 0 S(H) dz
a b
LH
b
2bH
H
2
b2
arcsin
H b b
1 2
b
2
（4）
由上式油罐内油品体积与油液面高度的关系式可以确定罐 内油品体积是随着油品液面高度的增高而增多，降低而减 少。
3.1.1结果分析：椭圆储油罐水平实测值与理论值的对比
由下图我们可以看出实测值与理论值能够较好的吻合，说 明我们建立的模型精度较好。（程序见附录一）
椭圆方程为 a 2 b2 1
则得到 z a b2 y2 b
sH 2 a Hb b2 y2 dy b b
ab H b
1
H
b
2
arcsin
H
b
2 b
b
b
（1） （2）
（3）
设 z H b 由0 H 2b,可知1 z 1，油罐长度为L ，
b 储油体积为 V(H) ,可得到
（1）当H=0，即储油量非常少，油浮子处油位高度为零，V 不能确定。具体情况如下图所示：
(2)当H=2b,即储油罐几乎装满，油浮子处的高度达到 上限，V不能确定。具体情况如下图所示：
(3)当0 H (L d ) tan时，即最右端油液面的 最高时刚好通过
右端最下方的点具体情 况如下图所示
(4)
高度 / c m 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
b d
tan x H b
b
b2 z 2 dzdx
（5）当2b d tan H 2b,即油浮子的最高点为 2b，
具体情况如下图所示
可以求得
V
H cota
s x dx
d
a H cota
2
tanxH b b2 z 2 dzdx （10）
b d
b
3.2.3模型求解
根据油罐内油品体积与油液面高度的 关系式，带入数据求得油位高度间隔为 1cm的罐容表如下：
(4)
V
H cot
s x dx
d
（9） 2 a H cot
b d
tan x H b
b
b2 z 2 dzdx
（8）
(4)当(L d) tan H 2b d tan时，即油面左端的最高点为
左端面最上方的点,具体情况如下图所示
（9）可以求得
V Ld sxdx d
2 a Ld
第二问在第一问的基础上，进一步分 析加上横向倾角变位后油位高度与油量的 关系。
通过几何关系分析和数值计算，得到 油位高度与油量的一般关系，最后将实际 数据代入关系式求出变位参数，并将理论 值与实际值比较，检验模型。
3．模型的建立与求解 模型假设 1 忽略油罐内总油量由于非进出油因素引起 的总油量的变化 2 油罐里的油质均匀 3 油罐上方的三个管口直径忽略不计 4 在较短时间内纵向和横向倾角可认为不变
738 774.9 812.2
850 888.2 926.7
高度 / c m 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
容积/L
965.7 1005 1044.6 1084.5 1124.8 1165.3 1206.2 1247.2 1288.6 1330.1 1371.9 1413.9 1456 1498.4 1540.9 1583.5 1626.3 1669.2 1712.2 1755.3
2．问题分析
2.1问题一的分析
本文关键是求出储油罐变位参数和罐 容表之间的关系，因同时考虑油位高度与 变位参数较复杂，故将问题分步讨论。
第一问根据几何关系进行积分，首先 讨论小椭圆储油罐无变位情况，得到油位 高度与油量的关系；然后讨论纵向倾斜变 位时油位高度与油量的函数关系，并作出 罐容表。
2.2问题二的分析
储油罐的变位识别与罐容表标定
目录
1 引言 2 问题分析 3 模型的建立与求解 4 结果的分析与检验 5 结论 6 模型的推广与改进
1. 引言
储油罐在使用一段时间后，由于地基 变形等原因，使罐体变位，需对罐容表重 新标定。
针对卧式储油罐油量与变位参数、油 位高度关系，进行几何分析，建立储油罐 的油位高度与储油量的函数关系的微分方 程模型，列出罐容表，并作出误差图像， 检验模型的精度和稳定性。