一元多项式的定义和运算讲解

0 f x 0 f1 x 0 g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 0 f k x 0 g x ，于是
qx q1 x qk x 及r x f k x
2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)
2.1.3 多项式的次数
a n x 叫做多项式 a0 a1 x a 2 x a n x
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式的整除概念
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
定义1 设f x, g x F[ x] ，如果存在 hx F[ x] ，使得
f x g x hx ，则称 g x 整除 f x ，记为
若是 f1 x 0且 f1 x g x . 则对 f1 x 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
0 0
f1 x , f 2 x ,, f k x , 及 q1 x , q2 x ,, qk x ,
使得
而
f k 1 x f k x qk 1 x g x
2.2.3 多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
qx , r x F[ x], 使得 f x g xqx r x
这里 r x 0 ，或者 r x g x .
多项式 令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或 一元多项式指的是形式表达式
a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
这里n是非负整数而 ai i 0, 1, , n 都是R中的数. 一元多项式常用符号 f x, g x, 来表示.
注
在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
便给出了所说的表示。
现在证明定理的后一部分．假设f (x)有两种符合定 理中要求的表示法：
f x g xq1 x r1 x g xq2 x r2 x
那么
q1 x q2 xg x r2 x r1 x
0
上式右边或者为零，或者次数小于 g x ; 而左边或者是零，或者次数不小于 0 g x ; 因此必须两边均为零，从而
令q1 x a b x
1 n m
这里 a0 0, b0 0 ,并且 n
nm
m
则f1 x 有以下性质：
，并记 f1 x f x q1 x g x ,
0 0 f x f x 0 或 f x 或者 1 1
0 0
并且满足上述条件的 qx 和r ( x) 只有一对。
注1：qx , r x 分别称为 g x 除f ( x)所得的商式和
余式
注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分.
（i）若 f x 0 , 或 0 f x 0 g x . 则可以取
式乘法定义得 f xg x 0 . 若是 f x 0且g ( x) 0 那么由上面定理的证明得
f x g x 0
推论2
f xg x f xhx, f x 0 g x hx
证 由 f xg x f xhx 得 f xg x hx 。但 f x 0
q1 x q2 x及r1 x r2 x
2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
设F和F 是两个数域，并且 F F ，那么多项式环 F[ x] 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f x 也是
F 上的一个多项式． f x , g x F[ x]，则如果在F [x]里 g x 不能整除 f x
且 m n 那么
f x g x a0 b0 a1 b1 x a 2 b2 x 2 a n bn x n （1）
f x g x a0 b0 a0 b1 a1b0 x an bm x n m
第二章 多项式
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 一元多项式的定义和运算 多项式的整除性 多项式的最大公因式 多项式的分解 重因式 多项式函数 多项式的根 复数和实数域上多项式 有理数域上多项式 多元多项式 对称多项式
2.1 一元多项式的定义和运算
一、内容分布
2
n
这里当m < n 时，bm1 bn 0
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f x a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
f x g x c0 c1 x c2 x cn n x
g x | f x ，此时称 g x 是 f x 的因式，否则称
g x 不能整除 f x ，记为
2.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（1） hx | g x, g x | f x hx | f x （2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x （3） hx | f x, g x F[ x] hx | f xg x （4） hx | f i xi 1,2,, k , g i xi 1,2,, k hx | f1 g1 f k g k （5） 0 c F , f x F[ x] c | f x （6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x （7） f x | g x, g x | f x f x cg x0 c F
f xg xhx f xg xhx
（5）乘法对加法的分配律: f xg x hx f xg x f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
a n x n a n1 x n1 a1 x a0
n a x a 0 时， n 叫做多项式的首项. 当 n
（ii）
0


f xg x f x g x
0 0
证:
设 0 f x n, 0 g x m
2 m
g x b0 b1 x b2 x bm x , bm 0
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n , a n 0
qx 0, r x f x 0 0 g x. 把f x 和g ( x) f x , 且 （ii）若 f x 0
按降幂书写: f x a0 x n a1 x n1 a n1 x an g x b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
所以由推论1必有 g x hx 0 ,即
g x hx
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
f x ax bx c b x x
3 2Fra Baidu bibliotek3

2

（1）是零多项式？
（2）是零次多项式？
2.2 多项式的整除性
一、内容分布
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
2
nm
这里
ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 , k 0, 1, 2,, n m
多项式的减法
f x g x f x g x
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律: f x g x g x f x （2）加法结合律: f x g x hx f x g x hx （3）乘法交换律: f x g x g x f x （4）乘法结合律:
n
2
n
an 0
的最高次项,非负整数n叫做多项式
a0 a1 x a 2 x a n x an 0 的次数. 记作
2 n
0 f x
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
2.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
，那么在 F[ x] 里 g x 也不能整除 f x . 不能整除 f x , f x 不能等于0．因此在 F[ x] 里 g x 事实上，若 g x 0 ，那么由于在F [x]里 g x
显然仍不能整除 f x .
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
（ 2）
f x g x 的次数显然不超过n，另一方面， 由（1），
由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得 f x g x
的次数是n + m .
推论1
f x g x 0 f x 0
或 g x 0
证 若是 f x和g ( x)中有一个是零多项式，那么由多项
2.1.1 认识多项式 2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数 2.1.4 多项式的运算
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
2.1.6 多项式的运算性质
二、教学目的
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
2.1.1 认识多项式
2.1.6 多项式的运算性质
定理 设f x 和g ( x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, g x 0 .那么
（i）当 f x g x 0 时,
0 f x g x max 0 f x , 0 g x
g x b0 b1 x b2 x bm x
2
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x an bn x