一元多项式的定义和运算讲解
高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算
第1关：基于链表的两个一元多项式的基本运算在计算机科学中，一元多项式是常见的代数表达式形式，通常用来表示多项式函数。
虽然一元多项式的计算看似简单，但如果使用数据结构来实现，将会大大提高计算效率。
这篇文档将详细介绍基于链表的两个一元多项式的基本运算。
一元多项式的定义：在代数学中，一元多项式是一种含有一个未知数的代数多项式。
它是指一个代数式，它是由保持仅仅又有限个多项式的乘积。
此外，一元多项式在基本运算方面具有封闭性，这也是为什么它被广泛应用的原因之一。
在这里，我们将讨论在计算机科学中对一元多项式的实现。
链表的定义：链表是一种线性数据结构，其中数据元素不是常规的数组索引组织，而是通过信息存储元素之间的链来相互连接。
每个元素被称为节点，并且每个节点包含一个下一个节点的指针。
基于链表的一元多项式的实现：基于链表的一元多项式的实现涉及到将每个多项式的系数和指数存储为链表中的节点。
这种实现的主要优点是，它可以轻松地进行添加和删除操作，可以有效地分配内存，而不会浪费存储空间。
考虑到一元多项式的基本运算包括加法，减法和乘法，我们将详细介绍每种操作的实现。
一、基于链表的两个一元多项式的加法操作在实现一元多项式加法时，我们需要创建两个链表来存储两个多项式。
链表节点应该包含两个属性：系数和指数。
然后我们可以使用以下方法将两个多项式相加。
1. 定义两个指针p1和p2分别指向多项式链表的头部。
2. 定义一个新链表，用于存储相加的项。
3. 当p1和p2都不为空时循环进行以下操作：a. 如果p1当前节点的指数小于p2当前节点的指数，则将p1的节点添加到新链表中并将p1指针向下移动一个节点。
b. 如果p1当前节点的指数大于p2当前节点的指数，则将p2的节点添加到新链表中并将p2指针向下移动一个节点。
c. 如果p1和p2当前节点的指数相等，则将两个节点的系数相加，并将结果添加到新链表中，并将p1和p2指针都向下移动一个节点。
的所有剩余项添加到新链表中。
一元多项式——精选推荐
第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。
2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。
例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。
1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。
3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高等代数一元多项式
证设
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0, g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b0,
其中 an ̸= 0, bm ̸= 0. 则 ∂(f(x)) = n, ∂(g(x)) = m.
. .. . . ..
次数公式
(1) 在考虑多项式 f(x) 和 g(x) 的和时，不妨设 n ≥ m 且令 bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0，则
f(x)
+
g(x)
=
∑n (ai
+
bi)xi.
i=0
从而 ∂(f(x) + g(x)) ≤ n = max(∂(f(x)), ∂(g(x))). (2) f(x)g(x) 的首项是 anbmxn+m，显然 anbm ̸= 0，因之，f(x)g(x) ̸= 0 而且它的次数就是 n + m.
. .. . . ..
多项式的运算律
1 加法交换律：f(x) + g(x) = g(x) + f(x). 2 加法结合律：(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)). 3 乘法交换律：f(x)g(x) = g(x)f(x). 4 乘法结合律：(f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
次数公式
数据结构一元多项式的运算
数据结构一元多项式的运算正文：1. 引言本文档旨在介绍数据结构中一元多项式的运算方法。
一元多项式是指在一个变量上的多项式，其中每一项由一个系数和一个指数组成。
我们将会讨论一元多项式的表示、存储和基本运算，包括多项式的加法、减法、乘法和求导等操作。
2. 一元多项式的表示和存储2.1 一元多项式的定义一元多项式是指在一个变量x上的多项式，每一项由一个系数和一个指数组成，例如：2x^3 - 5x^2 + 3x + 1.其中，2、-5、3和1分别是系数，3、2、1和0分别是指数。
2.2 一元多项式的表示方法一元多项式可以使用数组、链表或其他数据结构来表示。
在本文中，我们选择使用数组来表示一元多项式。
数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 可以表示为 [1, 3, -5, 2]。
2.3 一元多项式的存储结构为了表示一元多项式，我们可以使用一个数组来存储多项式的系数。
数组的长度应该比多项式的最高指数大1.数组的索引代表指数，数组的元素代表系数。
例如，数组 [1, 3, -5, 2] 表示的多项式 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 中，索引0对应指数为3的项，索引1对应指数为2的项，以此类推。
3. 一元多项式的基本运算3.1 一元多项式的加法一元多项式的加法是指将两个多项式相加，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.2 一元多项式的减法一元多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式，并合并同类项。
具体操作如下：- 将两个多项式的系数相减，并将结果存储在一个新的多项式中。
- 遍历新的多项式，将相邻的相同指数的项合并。
3.3 一元多项式的乘法一元多项式的乘法是指将两个多项式相乘，并合并同类项。
具体操作如下：- 遍历一个多项式的每一项，与另一个多项式的每一项相乘。
一元多项式的定义和运算
多 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？ 项 式
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 高 等 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 代 二、数域 数 定义2： 设F是一个含有不等零的数的数集，如果F
中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 定义 2： 设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 1 零数； ② 对 a, b F , 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 多 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，
高 等 代 数
第一章 多项式
学时：28学时 教学方法和手段
由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建 立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。
基本内容和教学目的
1
本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式 因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。 这是中学有关知识的加深和扩充。
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
多 项 式
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 高 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 数
多 项 式
本章的重点和难点
重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多 项式等概念之间的联系与区别.
§1.1 数环和数域 高 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 等 代 范围，学习数学也是如此。 数 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、
§1.2_一元多项式的定义和运算
an 0, bm 0 anbm 0
f x g x 0
f x g x nm
多项式乘法没有零因子。
第一章 多项式
推论1：若 f x g x 0 f x 0或g x 0 证：若f=0或g=0，则必有fg=0。 反之，若 f x 0, g x 0
第一章
多项式
定义2： f x , g x 是两个多项式， f x g x
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 方程 a0 a1x an xn 0 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。 定义3： 设 f x a0 a1x
k 相乘积的和作为 x 的系数。得：
k f x g x aib j x k 0 i j k 2 3 2 例1.2.3：设 f x 3x 4x 5, g x x 2x x 1
nm
f x g x x 5x 5x 6
f x n.
第一章 多项式
an xn , an 0,
非负整数n称为 f x 的次数，记为：
2 f x 3 x 2x 1, f x 2, 例1.2.2：
f x 3, f x 0
零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不 定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这 个多项式不是零多项式。 首一多项式：首项系数为1的多项式。 二、多项式的运算 定义4： 设 f x a0 a1x
第一章 多项式
1.2 一元多项式
n m
as b0 as 1b1 a1bs 1 a0bs
ai b j . i js
3 2 2 a x a x a x a b x b1 x b0 . 例 3 2 1 0 2
n
或 f , g, h,
n1
f ( x ) an x an1 x
a1 x a0 .
一、一元多项式的定义
n n1 说明：多项式 f ( x ) an x an1 x
a1 x a0 中
（1）ai xi 称为 i 次项，ai 称为 i 次项系数. （2）若an ≠ 0，则称 an xn 为 f (x) 的首项，an 为首项 系数，n 称为 f (x) 的次数，记作 f ( x ) n. （3）若 an an1 a0 0, 即 f ( x ) 0, 则称之 为零多项式 . 零多项式不定义次数.
4. 乘法结合律
( f ( x ) g( x ))h( x ) f ( x )( g( x )h( x )).
三、一元多项式的运算规律
5. 乘法对加法的分配律
f ( x )( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ).
6. 乘法消去律
f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ), f ( x ) 0 g( x ) h( x ).
i 1. 加法： f ( x ) g( x ) (ai bi ) x . i 0 n i f ( x ) g ( x ) ( a b ) x 2. 减法： i i . i 0 n
一元多项式的定义
as bo as 1b1 a1bs 1 a0bs
ai b j . i js
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
4．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
Dr. Zhi hui Li
乘法：
f ( x ) g ( x ) anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
(a1b0 aob1 ) x a0b0
n m
s 1 i j s
( ai b j ) x i
注: f ( x ) g( x ) 中s 次项的系数为
a1 x a0
其中 a0 , a1 , , an P , 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x ), g ( x ), h( x ) 等表示．
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
注： 多项式 f ( x ) an x an1 x
2 2 2 2
但 ( f ( x )) 为偶数. x( g ( x ) h ( x )) f ( x ),
2 2 2 2
这与已知矛盾.
故 f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 从而
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a1 x a0 a i x i ,
一元多项式
所以 r2 x就是 f x与 gx的最大公因式：
f x, gx x 3
定理 1.4.2
若dx 是 P[x] 的多项式 f x与 gx的最大公因 式，那么在 P[x] 里可以求得多项式 ux与vx ，
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
1.3.1 多项式的整除概念
设P是一个数域. P[x]是P上一元多项式.
定义1
设f x, gx P[x] ，如果存在 hx P[x] ，使得
f x gxhx，则称 gx整除 f x ，记为
3
虽然 a1,b1, a2,b2 Z，
不一定属于Z ，所以
不是数域.
a1aa不222 一33bb定122b2属, a于a2b221Z(3ab132b2)2
，因此 Z (
3)
定理1.1 任何数域都包含有理数域 Q. (有理数域是最小的数域).
定理1.2 若数域 P R，则P C. (实数域和复数域之间没有其它的数域).
则 (a1 a2) b1 b2 2 Q 2 ，
a1 b1 2 a2 b2 2
(a1a2 2b1b2 ) a1b2 a2b1 2 Q 2
显然，Q Q( 2) R.
再设 a2 b2 2 0, 即 a2,b2 不全为零，从
而 a2 b2 2 0 ， a1 b1 2 a1 b1 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
a 叫做 i 次项, i叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
高等代数-1讲解
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 ai x i
i 0
m
g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 b j x j
j 0
是数域P上的多项式且 n m . 1.多项式相等
f ( x ) g( x ) f (x)与g (x)中，除去系数为零的
f ( x ) g( x )
(a1b0 a0b1 ) x a0b0
anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
其中s次项的系数为
as b0 as 1b1
所以 f ( x ) g( x )
n m s0
a1bs 1 a0bs
二. 数域的性质
任何数域P 都包含有理数域Q. 即有理数域是最小的数域.
§1
数
域
三. 作业
1. 判断下列数集是否为数域.
P1 a bi | a Q , b R , i 2 1 ,
P a b
4
m P2 n m , n Z 2
,
P3 a 5 | a Q ,
a1 x a0
其中 a 0 , a1 ,, a n为数域P中的数， 称 f(x)为系数在数域P中的一元多项式， 或简称为数域P上的一元多项式. 注1 称 ai x 为f(x)的i次项, a i 为i次项系数. 特别， a0 称为f(x)的常数项.
i
§2
一元多项式
n a 0, a x 注2 若 n 称为f(x)的首项, a n 为首项系数, n
n称为f(x)的次数,记为 ( f ( x )) n. 注3 当 n 0, a0 0 时，f(x)= a0 称为零次多项式. 注4 当f(x)的所有系数全为0时，f(x)=0 称为零多项式, 零多项式不定义次数！
5.1 一元多项式和运算
第五章多项式5.1 一元多项式和运算定义 设F 为数域, x 为一个符号(也称不定元). 形如称为F 上关于x 的一元多项式, 一元多项式常简称多项式, 为第 i 次项,同时称 f (x ) 为n 次多项式, 记为deg f (x )=n . 当 时, 称 为 其中称 110(),nn n n f x a x a x a −−=+++ 1100[]{|,,0,1,...,}nn n n i F x a x a xa n a F i n −−≥=+++∈∈= 10,,,,n n a a a F −∈ ii a x i a 则称 f (x )为首一多项式.F 上一元多项式全体记为 0a 其中n 是非负整数,称为第i 次项系数, 称为常数项, 首项,为首项系数, 0n a ≠nn a x n a 若a n =1,注1 常数项多项式:零多项式: 零次多项式: 注200(),f x a a F =∈ ．()0f x =．00()0,f x a a F =≠∈．.−∞()0deg ()0.f x f x ≠≥0()0deg ()=0.f xa f x =≠定义零多项式次数为的充分必要条件是 的充分必要条件是例1ii x x x x x 23221(1)0;(2);(3);(4);(5)1π∞=+−∑定义 设是数域F 上的多项式, 如果则称f (x )与g (x )相等, 记为1110()n n n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()mm m m g x b x b xb x b −−=++++ i im n a b i n (0,1,2,,), ===且()().f xg x =定义 设 f (x ), g (x )是F 上多项式, 适当增加几个系数为零的项, 可设 定义加法:则 f (x ) + g (x )是 F 上多项式.1110()nn n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()n n n n g x b x b x b x b −−=++++ 1111100()()()()()()nn n n n n f x g x a b x a b xa b x a b −−−+=++++++++多项式的加法满足性质(1) 结合律: (f (x )+g (x ))+h (x )=f (x )+(g (x )+h (x )); (2) 交换律: f (x )+g (x )=g (x )+f (x ); (3) 存在零元: f (x )+0=f (x );对于定义 (4) 存在负元: f (x )+(–f (x ))=0.0(),nii i f x a x ==∑0()().nii i f x a x =−=−∑定义 设 定义数乘:则 cf (x ) 是 F 上多项式.1110()[],,nn n n f x a x a x a x a F x c F −−=++++∈∈ 1110()nn n n cf x ca x ca xca x ca −−=++++多项式的数乘满足性质:对任意的有 (5) c (f (x )+g (x ))=cf (x )+cg (x ); (6) (c +d )f (x )=cf (x )+df (x ); (7) (cd )f (x )=c (df (x )); (8) 1f (x )=f (x ).(),()[],,,f x g x F x c d F ∈∈定理 F [x ]关于多项式的加法与数乘构成 F 上的线性空间.注 F [x ]是无限维线性空间. 对任意正整数n ,线性无关.证明 若 由多项式相等定义, 即得 故线性无关. 21,,,,nx x x 20120,nna a x a x a x ++++= 0120.na a a a ===== 21,,,,nx x x定义 设定义乘法:其中则 f (x )g (x ) 是 F 上多项式.11101110()[],()[],n n n n m m m m f x a x a x a x a F x g x b x b x b x b F x −−−−=++++∈=++++∈ 1110()()m nm n m n m n f x g x c xc xc x c ++−++−=++++ 0110(0,1,,)k i j k k k i j kc a b a b a b a b k m n −+===+++=+∑多项式的乘法满足性质:对任意的 有 (9) (f (x )g (x )) h (x )=f (x )(g (x ) h (x )); (10) f (x )g (x )=g (x )f (x );(11) (f (x )+g (x ))h (x )=f (x ) h (x )+g (x ) h (x ); (12) c (f (x )g (x ))=(cf (x ))g (x )= f (x )(cg (x )). 定理 F [x ]关于多项式的加法,数乘和乘法构成 F 上带单位元1的交换代数.(),(),()[],f x g x h x F x c F ∈∈引理设f(x), g(x)是F上多项式, c是F上非零数, 则(1) deg (f(x) + g(x)) ≤ max{deg f(x), deg g(x)};(2)deg (cf(x))= deg f(x);(3) deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).证明 (3) 若f(x), g(x)有一个为零多项式, 则命题成立.若f(x), g(x)均为非零多项式, 首项分别为a n x n, b m x m, 则f(x) g(x)首项为a n b m x n+m , a n b m ≠0,因此deg f(x) g(x) = n+m.命题若f(x), g(x)是F上非零多项式, 则f(x)g(x)也是F 上非零多项式.证明因为f(x), g(x)是F上非零多项式, 因此它们的次数均大于等于0,又 deg (f(x)g(x)) = deg f(x) +deg g(x) ≥ 0,故 f(x)g(x) 是非零多项式.推论若f(x)是非零多项式, 且f(x) g(x) = f(x) h(x), 则g(x) = h(x).证明因为f(x) g(x) = f(x) h(x),所以f(x)(g(x) - h(x))=0.又因为f(x)≠0,则由命题有g(x) - h(x)=0，所以g(x) = h(x).例2 设 且f 2(x )+ g 2(x )=0, 则f (x )=g (x )=0.证明 反证法 假设f (x )≠0 或者g (x )≠0, 记 不妨设n ≥m , 则f 2(x )+ g 2(x )首项系数为, 故f 2(x )+ g 2(x )的首项系数不为0, 矛盾. 注 例2结论对复数域不成立. 如 110110(),0,(),0,nn n n n i m m m m m i f x a x a xa a a g xb x b xb b b −−−−=+++≠∈=+++≠∈222+,n nna b a 或221+=0,10,0.i i ≠≠但(),()[]，f x g x x ∈ n na b ,∈小结(1) 一元多项式的定义、运算(2) 次数、首项(3) 主要证明方法: 次数, 首项。
一元多项式计算与链表 概述及解释说明
一元多项式计算与链表概述及解释说明1. 引言1.1 概述在计算机科学和数学领域，一元多项式计算是一个重要的问题。
一元多项式是指包含一个未知数的多项式，它由各个项的系数和指数决定。
而链表作为一种常见的数据结构，具有灵活性和高效性，可以应用于各种问题的解决中。
1.2 文章结构本文将首先对一元多项式计算进行介绍，包括多项式的定义与表示方法、多项式加法运算以及多项式乘法运算。
然后，我们将详细探讨链表的概念、特点以及链表在一元多项式计算中的应用。
接下来，将通过实例演示来解释一元多项式计算，并说明链表结构在多项式计算中的优势。
最后，我们将分享解决一元多项式计算问题时相关的考虑事项与技巧，并对研究内容进行总结，并展望其可能的拓展方向。
1.3 目的本文旨在向读者介绍和解释一元多项式计算与链表之间的关系，并探讨链表在该问题中所起到的作用。
通过深入了解一元多项式及其计算方法，以及链表数据结构原理和应用场景，读者将能够更好地理解一元多项式的计算过程，并了解链表在提高计算效率和灵活性方面的重要作用。
同时，通过分享解决问题时的考虑事项与技巧，本文还有助于读者在实际应用中更好地利用链表结构来解决一元多项式计算问题。
2. 一元多项式计算：2.1 多项式定义与表示方法:一元多项式是由若干个单项式构成的代数表达式。
一个单项式由系数和指数组成，通常可以表示为a*x^b的形式，其中a为系数，x为未知数，b为指数。
而一个多项式则是由多个单项式相加得到。
在计算机中，可以用数组或链表来表示一元多项式。
使用数组时，每个元素可以存储一个单项式的系数和指数；而使用链表时，则可以将每个单项式作为节点存储在链表中。
2.2 多项式加法运算:两个多项式相加时，需要将同一个指数的单项式进行合并并对系数进行相加。
具体步骤如下：- 将两个多项式中所有的不同指数提取出来形成一个集合。
- 遍历集合中的每个指数，在两个多项式中查找该指数对应的单项式。
- 如果某个多项式不存在该指数的单项式，则该指数对应的系数为空。
一元多项式操作
q=s;
}
}
p=head1->next;//遍历head1链表，计数，将head1的项数算出并赋给head1头结点的指数位作记录
while(p!=NULL)
{
count2++;
p=p->next;
}
head1->ci=count2;
return head1;
}
dxs *paixu(dxs *head)//多项式整理排序函数
if(oper1=='+')//三个多项式相加
{
head2=create();
head2=paixu(head2);
display1(head2);
head1=jia(head1,head2);
head1=paixu(head1);
display1(head1);
head3=create();
head3=paixu(head3);
head=new dxs;
head->ci=n;//头结点的指数位储存这个多项式有多少个项
head->next=NULL;
tail=head;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cout<<"Input Di "<<i+1<<" Xiang Xi Shu:";//输入每项得系数
cin>>xi1;
{
float xi1,xi2;
int ci1,ci2,count2=0;
dxs *p,*q;
dxs *r=head1;
高等代数第五版第二章 多 项 式
第二章 多 项 式§2.1 一元多项式的定义和运算2.1.1 教学目的2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。
2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。
2.1.2 教学重点多项式的概念，多项式的运算法则和性质。
2.1.3 教学难点对多项式形式表达式的理解。
2.1.4 教学过程本节所说的R ，指的是含1的数环。
一、一元多项式的一些基本概念Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。
在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示.Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x).如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0，n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。
非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。
二、多项式的运算 （一）运算的定义设nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(， 或∑==ni ii x a x f 0)(mm x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==mj j j x b x g 0)(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义：一）加法f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n当m<n 时取b m+1=…=b n =0，或∑=+=+ni ii i x b a x g x f 0)()()(. 二）减法设f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ，把－f(x)=－a 0－a 1x －…－a n x n 叫f(x)的负多项式，则定义：f(x)－g(x)=f(x)+(－g(x))，或∑=-=-n i ii i x b a x g x f 0)()()(1）在Def1中文字x 不一定代表“数”，可以是一个矩阵A ，或一个变换等，因此不能把x 当作“未知数”2）“n 为非负整数”说明表达式x 1x ,x 1+等都不是多项式。
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若是 f1 x 0且 f1 x g x . 则对 f1 x 重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
0 0
f1 x , f 2 x ,, f k x , 及 q1 x , q2 x ,, qk x ,
使得
而
f k 1 x f k x qk 1 x g x
便给出了所说的表示。
现在证明定理的后一部分．假设f (x)有两种符合定 理中要求的表示法：
f x g xq1 x r1 x g xq2 x r2 x
那么
q1 x q2 xg x r2 x r1 x
0
上式右边或者为零，或者次数小于 g x ; 而左边或者是零，或者次数不小于 0 g x ; 因此必须两边均为零，从而
g x b0 b1 x b2 x bm x
2
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x an bn x
2
n
这里当m < n 时，bm1 bn 0
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f x a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
f x g x c0 c1 x c2 x cn n x
2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)
2.1.3 多项式的次数
a n x 叫做多项式 a0 a1 x a 2 x a n x
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式的整除概念
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
定义1 设f x, g x F[ x] ，如果存在 hx F[ x] ，使得
f x g x hx ，则称 g x 整除 f x ，记为
2.1.6 多项式的运算性质
定理 设f x 和g ( x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, g x 0 .那么
（i）当 f x g x 0 时,
0 f x g x max 0 f x , 0 g x
2.1.1 认识多项式 2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数 2.1.4 多项式的运算
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
2.1.6 多项式的运算性质
二、教学目的
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
2.1.1 认识多项式
0 0
并且满足上述条件的 qx 和r ( x) 只有一对。
注1：qx , r x 分别称为 g x 除f ( x)所得的商式和
余式
注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分.
（i）若 f x 0 , 或 0 f x 0 g x . 则可以取
g x | f x ，此时称 g x 是 f x 的因式，否则称
g x 不能整除 f x ，记为
2.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（1） hx | g x, g x | f x hx | f x （2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x （3） hx | f x, g x F[ x] hx | f xg x （4） hx | f i xi 1,2,, k , g i xi 1,2,, k hx | f1 g1 f k g k （5） 0 c F , f x F[ x] c | f x （6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x （7） f x | g x, g x | f x f x cg x0 c F
2
nm
这里
ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 , k 0, 1, 2,, n m
多项式的减法
f x g x f x g x
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律: f x g x g x f x （2）加法结合律: f x g x hx f x g x hx （3）乘法交换律: f x g x g x f x （4）乘法结合律:
所以由推论1必有 g x hx 0 ,即
g x hx
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
f x ax bx c b x x
3 2 3
2
（1）是零多项式？
（2）是零次多项式？
2.2 多项式的整除性
一、内容分布
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
（ii）
0ຫໍສະໝຸດ f xg x f x g x
0 0
证:
设 0 f x n, 0 g x m
2 m
g x b0 b1 x b2 x bm x , bm 0
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n , a n 0
n
2
n
an 0
的最高次项,非负整数n叫做多项式
a0 a1 x a 2 x a n x an 0 的次数. 记作
2 n
0 f x
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
2.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
qx 0, r x f x 0 0 g x. 把f x 和g ( x) f x , 且 （ii）若 f x 0
按降幂书写: f x a0 x n a1 x n1 a n1 x an g x b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
q1 x q2 x及r1 x r2 x
2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
设F和F 是两个数域，并且 F F ，那么多项式环 F[ x] 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 f x 也是
F 上的一个多项式． f x , g x F[ x]，则如果在F [x]里 g x 不能整除 f x
f xg xhx f xg xhx
（5）乘法对加法的分配律: f xg x hx f xg x f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
a n x n a n1 x n1 a1 x a0
n a x a 0 时， n 叫做多项式的首项. 当 n
第二章 多项式
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 一元多项式的定义和运算 多项式的整除性 多项式的最大公因式 多项式的分解 重因式 多项式函数 多项式的根 复数和实数域上多项式 有理数域上多项式 多元多项式 对称多项式
2.1 一元多项式的定义和运算
一、内容分布
2.2.3 多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
qx , r x F[ x], 使得 f x g xqx r x
这里 r x 0 ，或者 r x g x .
0 f x 0 f1 x 0 g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 0 f k x 0 g x ，于是
qx q1 x qk x 及r x f k x
，那么在 F[ x] 里 g x 也不能整除 f x . 不能整除 f x , f x 不能等于0．因此在 F[ x] 里 g x 事实上，若 g x 0 ，那么由于在F [x]里 g x
显然仍不能整除 f x .
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
式乘法定义得 f xg x 0 . 若是 f x 0且g ( x) 0 那么由上面定理的证明得
f x g x 0
推论2
f xg x f xhx, f x 0 g x hx
证 由 f xg x f xhx 得 f xg x hx 。但 f x 0
（ 2）
f x g x 的次数显然不超过n，另一方面， 由（1），
由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得 f x g x
的次数是n + m .
推论1
f x g x 0 f x 0
或 g x 0
证 若是 f x和g ( x)中有一个是零多项式，那么由多项
且 m n 那么
f x g x a0 b0 a1 b1 x a 2 b2 x 2 a n bn x n （1）