数学 微分 范例例题

6 p.89
微分（随堂练习） page 7/11
令函数 f ( x) x2 x 2 x2 x 1 ，试求：
(1) f (x) 的导函数。
(2) f (1)的值。
(1) f ( x) x2 x 2 x2 x 1 x2 x 2 x2 x 1
2x 1 x2 x 1 x2 x 2 2x 1
4x3 3
(2) f (1) 4 13 3 1
7 p.89
微分（随堂练习） page 8/11
令函数 f ( x) 3x 2100，试求：
(1) f (x) 的导函数。
10 p.93
微分（随堂练习） page 11/11
已知垂直向上抛一颗石头，则 t 秒后的高度可用函数 s(t ) 4.9t 2 49t 来表示（单位：公尺），试问： (1) 前 2 秒的平均速度。 (2) t = 2 秒时的瞬时速度。
(1) 前 2 秒的平均速度为
s(2) s(0) 4.9 22 49 2 39.2（公尺／秒）
在此点的切线斜率为 f (a) 2a 故直线方程式可设为 y 2a( x a) a2 1
(1, 4) 代入得 4 2a(1 a) a2 1 化简得 a2 2a 3 0，所以 a = 3 或 1 代回直线方程式得 y 6 x 10与 y 2x 2
例题 4 求导函数
(2) 设 n 为正整数且 f（x）＝xn，试证 f '（x）＝nxn－1。
■證 (2) 令 a 为实数，我们先求 f '（a）
f（ a）＝lim f（x）－f（a）＝lim xn －an
xa x－a
xa x－a
＝lim（x－a）（x n－1＋ax n－2＋a 2 x n－3＋……＋a n－2 x＋a n－1）
x－1 当 x → 1 时，B 点会趋近于 A 点，
上式的极限值即为过 A 点的切线斜率，
故通过 A 点的切线斜率为
f（ 1）＝lim x1
x3－1 x－1
＝lxim1（x－1）（x－x21＋x＋1）＝lxim（1 x2＋x＋1）＝3
即所求切线斜率为 3
下一题
例题 2 在某一点的导数
(1) 函数 f（x）＝x2－3x＋2，试求 f（x）在 x＝2 的导数。
又 f（1）＝0，故 lim f（x）＝0＝f（1）
x1
∴f（x）在 x＝1 处连续
但 lim f（x）－f（1）＝ lim －（x2－1）＝ lim〔－（x＋1）〕＝－2
x1－ x－1
x1－ x－1
x1－
lim
x1＋
f（x）－f（1）＝ lim
x－1
x1＋
x2－1
x－1
＝ lim（x＋1）＝2 x1＋
例题 2 在某一点的导数
(2) 函数 f（x）＝ 1，试求 f（x）在 x＝2 的导数。 x
解■ (2) f（x）在 x＝2 的导数即为 f '（2），由导数的定义得
f（ 2）＝lim x2
f（x）x－－2f（2）＝lxim2
1－1 x2 x－2
2－x
＝lim 2x x2 x－2
＝lim－1＝－1
f ( x) 4x 9 f ( x) 4 f ( x) 0
9 p.91
微分（随堂练习） page 10/11
试求通过点 (1, 4) 且与函数 f ( x) x2 1的图形相切的直线方 程式。
f ( x) 2x，因为 (1, 4)不在图形上 设该直线与 f (x) 的函数图形于点 ( a , f (a) ) 相切
lim f ( x) f (0) lim 1 1 0 ，
x0 x 0
x0 x
故 lim f ( x) f (0) lim f ( x) f (0)
x0 x 0
x0 x 0
因此，lim f ( x) f (0) 不存在
x0 x 0
即 f (x) 在 x = 0 不可微分
因此，有 a 对应到 3a2 的函数关系，
故导函数为 f ( x) 3 x2
微分（随堂练习） page 4/11
4 p.85
(2) 试求 f (x) = c 的导函数( c 为常数)。
微分（随堂练习） page 5/11
(2) 令 a 为实数，
则 f (a) lim f ( x) f (a) xa x a
上一题 下一题
例题 3 可微分与连续
试判断函数 f（x）＝｜x2－1｜在 x＝1 处是否连续？是否可以微分？
解■
lim f（x）＝ lim 〔－（x2－1）〕＝0
x1－
x1－
lim f（x）＝ lim （x2－1）＝0
x1＋
x1＋
∴ lim f（x）＝ lim f（x）＝0
x1－
x1＋
1 p.81
微分（随堂练习） page 1/11
试求 y x2的图形上，以点 A 3,9为切点的切线斜率。
以 A 为切点的切线斜率为
lim x2 9 lim x 3 x 3
x3 x 3 x3 x 3
lim x 3 6 x3
2Leabharlann Baidup.82
20
2
(2) t = 2 秒时的瞬时速度为
s(2) 9.8 2 49 29.4（公尺／秒）
主题 1 导数与切线
例题 1 函数图形的切线斜率
试求 y＝x3 的图形上，以点 A（1 , 1）为切点的切线斜率。
解■ 如右图， 固定点 A（1 , 1）
今点 B（x , x3）在函数图形上， 则割线 AB 的斜率为 x3－1
上一题 下一题
例题 6 利用微分公式来求导函数(二 )令函数 f（x）＝（x2＋x＋1）（x2－2），试求：
(1) f（x）的导函数。 (2) f '（1）的值。
解■ (1) 由微分公式 6，可得 f '（x）＝（2x＋1）（x2－2）＋（x2＋x＋1）（2x） ＝2x3＋x2－4x－2＋2x3＋2x2＋2x ＝4x3＋3x2－2x－2
(2) f (1)的值。
(1) f ( x) 100 3x 299 3x 2 3003x 299
(2) f (1) 300 599
8 p.90
微分（随堂练习） page 9/11
试求函数 f ( x) 2x2 9x 7的二阶导函数 f ( x)和三阶导函 数 f ( x)。
令函数 f ( x) x2 3，试求 f (5)。
f (5) lim f ( x) f (5) x5 x (5)
x2 3 22
lim x5 x 5
x 5 x 5
lim x5 x 5
lim x 5 10 x5
4 p.85
(1) 试求 f ( x) x3的导函数。
(1) 令 a 为实数，
则 f (a) lim f ( x) f (a) xa x a
lim x3 a3 xa x a
x a x2 ax a2
lim
xa
xa
lim x2 ax a2 3a2 xa
xa
x－a
＝lim（x n－1＋ax n－2＋a 2 x n－3＋……＋a n－2 x＋a n－1） xa
＝nan－1
因此，有 a 对应到 nan－1 的函数关系
故导函数 f '（x）＝nxn－1
即（xn）＝nxn－1 或 d xn＝nxn－1 dx
上一题 下一题
主题 3 微分的运算
例题 5 利用微分公式求导函数(一)
x2 2x
4
例题 2 在某一点的导数
(3) 函数 f（x）＝ x，试求 f（x）在 x＝1 的导数。
解■ (3) f（x）在 x＝1 的导数即为 f '（1），由导数的定义得
f（ 1）＝lim x1
f（x）x－－1f（1）＝lxim1
x－1 x－1
＝lim（ x －1）（ x ＋1）＝lim 1 ＝1 x1 （x－1）（ x ＋1） x1 x ＋1 2
f（ a）＝lim xa
f（x）x－－af（a）＝lxima
x3－a3 x－a
＝lim（x－a）（x2＋ax＋a2）
xa
x－ a
＝lim（x2＋ax＋a2）＝3a2 xa
因此，有 a 对应到 3a2 的函数关系，
故导函数 f '（x）＝3x2
即（x3）＝3x2 或 d x3＝3x2 dx
得 lim f（x）－f（1）＝\ lim f（x）－f（1）
x1－ x－1
x1＋ x－1
∴lim f（x）－f（1）不存在，即 f（x）在 x＝1處不可微分 x1 x－1
上一题 下一题
主题 2 导函数
例题 4 求导函数
(1) 试求 f（x）＝x3 的导函数 f '（x）。
解■ (1) 令 a 为实数，我们先求 f '（a）
微分（随堂练习） page 2/11
3 p.83
微分（随堂练习） page 3/11
令函数
f
(x)

1，x 0， x

0 0
，证明
f
(x)
在
x
=
0
不可微分。
因为 lim f ( x) f (0) lim 0 1 lim 1 不存在，
x0 x 0
x0 x x0 x
f '（x）＝3x2－4x－5， f "（x）＝6x－4， f "'（x）＝6， f（4）（x）＝0
上一题 下一题
主题 4 导数的应用
例题 10 求切线方程式
试求函数 f（x）＝（x2－x＋1）2 图形上以 P（1 , 1）为切点的切线方 程式。 解■ f '（x）＝2（x2－x＋1）（2x－1）
lim c c xa x a
lim 0
xa
0 因此，有 a 对应到 0 的函数关系，故导函数为 f ( x) 0
5 p.87
令函数 f ( x) 2x3 7 x2 6x 9，试求 f ( x)。 f ( x) 6 x2 14 x 6
微分（随堂练习） page 6/11
解■ f（ 1）＝lim f（x）－f（1）＝lim（（xx＋－11））（（xx＋－22））－0
x1 x－1
x1
x－1
＝lim x－2 x1（x＋1）（x＋2）
＝ －1 ＝－1 2．3 6
上一题 下一题
例题 9 求高阶导函数
试求函数 f（x）＝x3－2x2－5x＋4 的二阶导函数 f "（x），三阶导函数 f "'（x）及四阶导函数 f（4）（x）。 解■ 由多项式函数的微分公式，可得
(2) 利用微分公式 6 与 7，
＝16（x－1）（x2－2x－1）7
可得 g'（x）＝10（x－1）9（x2＋x＋1）20
＋（x－1）10．20（x2＋x＋1）19（2x＋1）
∴g'（1）＝0
上一题 下一题
例题 8 利用微分的定义求导数
已知函數 f（x）＝（（xx＋－11））（（xx＋－22）），試求 f（ 1）的值。
(1) 令函数 f（x）＝2x4－x2＋5，试求 f '（x）。 (2) 令函数 g（x）＝－x3－3x2＋2x－1，试求 g'（－1）。
解■ (1) 利用微分公式 5，可得 f '（x）＝8x3－2x (2) 利用微分公式 5，可得 g'（x）＝－3x2－6x＋2 ∴g'（－1）＝－3．（－1）2－6．（－1）＋2 ＝－3＋6＋2＝5
解■ (1) f（x）在 x＝2 的导数即为 f '（2），由导数的定义得
f（ 2）＝lim f（x）－f（2）＝lim（x2－3x＋2）－（22－3．2＋2）
x2 x－2
x2
x－2
＝lim（x x2
2－22） x－－23（x－2）＝lxim2（x＋2）（x－x－2）2－3（x－2）
＝lim〔（x＋2）－3〕＝1 x2
(2) f '（1） ＝4．13＋3．12－2．1－2＝3
上一题 下一题
例题 7 利用微分公式求导函数(三)
(1) 试求函数 f（x）＝（x2－2x－1）8 的导函数。 (2) 已知函数 g（x）＝（x－1）10（x2＋x＋1）20，试求 g'（1）的值。
解■ (1) 利用微分公式 7，可得 f '（x）＝8（x2－2x－1）7（2x－2）