探究抛物线中三角形面积求法

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抛物线中“切点三角形”性质的探究及应用

２０２３年１１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀抛物线中切点三角形性质的探究及应用◉安徽省铜陵市义安区教育体育局教研室㊀陶㊀俊㊀㊀摘要:过抛物线外一点作抛物线的两条切线,这两条切线与过两切点的直线围成的三角形有哪些性质,本文中对这一问题作了深入的研究,并给出了简洁的结论．关键词:抛物线;切点三角形;性质;探究应用１抛物线切点三角形及其性质图１过抛物线外一点P (x ０,y ０)作抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 的两条切线P A ,P B ,A ,B 为切点(如图１),M 为A B 的中点,连P M 交抛物线于点N ,称әP A B 为切点三角形 ,它具有如下性质:性质１㊀切点三角形的一条中线平行抛物线的对称轴l ,即P M ʊl ．性质２㊀切点三角形的一条中线被抛物线平分,即P N ＝MN ．性质３㊀切点三角形的面积表达式为S ＝２[f (x ０)－y ０]３a ．这里f (x ０)是当x ＝x ０时抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)的值f (x ０)＝a x ０２＋b x ０＋c ．图２对于图２的两种情况,只要点P 在抛物线外侧,f (x ０)－y ０a总有意义．２抛物线切点三角形性质的证明设其切线方程为y －y ０＝k (x －x ０),与抛物线方程联立,整理得到a x ２＋(b －k )x ＋c ＋k x o －y ０＝０．由P A ,P B 与抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 相切,得Δ＝０,即(b －k )２－４a (k x ０－y ０＋c )＝０,亦即k ２－(２b ＋４a x ０)k ＋b ２＋４a y ０－４a c ＝０,则k ＝２b ＋４a x ０ʃ(２b ＋４a x ０)２－４(b ２＋４a y ０－４a c )２＝b ＋２a x ０ʃ２a (a x ２０＋b x ０＋c －y ０)＝f ᶄ(x ０)ʃ２a [f (x ０)－y ０]．令δ＝a (f (x ０)－y ０),则k ＝f ᶄ(x ０)ʃ２δ,此时x １,２＝k －b ２a ＝b ＋２a x ０ʃ２δ－b ２a ＝a x ０ʃδa．不妨令x ２＞x １,A (x １,y １),B (x ２,y ２),则x ２＝a x ０＋δa ,x １＝a x ０－δa ,所以x ２－x １＝２δa ．由点B (x ２,y ２)在直线y －y ０＝k (x －x ０)上,可得y ２＝[fᶄ(x ０)＋２δ] δa＋y ０．同理,y １＝[f ᶄ(x ０)－２δ](－δa)＋y ０．所以y ２－y １＝２fᶄ(x ０) δa ＝２f ᶄ(x ０)aδ．所以,直线A B 的两点式方程为y －y １y ２－y １＝x －x １x ２－x １,也就是y ＋[f ᶄ(x ０)－２δ]δa －y ０２fᶄ(x ０)δa ＝x －a x ０－δa２δa,即a (y －y ０)＋(f ᶄ(x ０)－２δ)δfᶄ(x ０)＝a x －a x ０＋δ．整理,得y ＋y ０＝２a x ０x ＋b x ＋b x ０＋２c ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c ．所以直线A B 的方程为y ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０－y ０＋２c ．又点A ,B 在抛物线上,联立方程消去y ,得a x ２＋b x ＋c ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c －y ０．即a x ２－２a x ０x －b x ０－c ＋y ０＝０,则有Δ＝２af (x ０)－y ０a ,得x ＝１２a (２a x ０ʃ２a f (x ０)－y ０a)＝３５学习指导２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀x ０ʃf (x ０)－y ０a ,则x ２＝x ０＋f (x ０)－y ０a,x １＝x ０－f (x ０)－y ０a．将x ２,x １分别代入y ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c －y ０中,可得y ２＝２f (x ０)－y ０＋f ᶄ(x ０) f (x ０)－y ０a ,y １＝２f (x ０)－y ０－f ᶄ(x ０) f (x ０)－y ０a,所以B (x ０＋f (x ０)－y ０a,２f (x ０)－y ０＋fᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a),A (x ０－f (x ０)－y ０a,２f (x ０)－y ０－f ᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a)．故A B 的中点坐标为M (x ０,２f (x ０)－y ０),又P 的坐标为(x ０,y ０),则P M ʊl ．性质１得证．又可得x ２－x １＝２fᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a,由两点间的距离公式可以得到A B ２＝２f (x ０)－y ０a éëêêùûúú２＋２f ᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a éëêêùûúú２＝４ˑf (x ０)－y ０a [１＋f ᶄ(x ０)]２．所以|A B |＝２f (x ０)－y ０a[１＋f ᶄ(x ０)２]．而P A ２＋P B ２＝[(x １－x ０)２＋(y １－y ０)２]＋[(x ２－x ０)２＋(y ２－y ０)２]＝２f (x ０)－y ０a＋２[２(f (x ０)－y ０)]２＋２[f ᶄ(x ０)]２f (x ０)－y ０a＝８(f (x ０)－y ０)２＋２[(f ᶄ(x ０))２＋１]f (x ０)－y ０a．这里,P N ２＝(f (x ０)－y ０)２,A B ２＝４[(fᶄ(x ０))２＋１]f (x ０)－y ０a．所以,有㊀㊀㊀P A ２＋P B ２＝８P N ２＋１２A B ２．①由平面几何可知,在әP A B 中,P M 是A B 边上的中线,根据三角形中线定理,可得㊀㊀㊀P A ２＋P B ２＝１２A B ２＋２P M ２．②由①②式,可得４P N ２＝P M ２,即２|P N |＝|P M |．所以N 是P M 的中点,P N ＝MN ．性质２得证．由于x ２－x １＝２δa ＝２a (f (x ０)－y ０)a＝２f (x ０)－y ０a,因此可得S ＝１２|P M | (x ２－x １)＝|P N | (x ２－x １)＝|y ０－f (x ０)| ２f (x ０)－y ０a＝２(f (x ０)－y ０)３a．性质３得证．３抛物线切点三角形性质的应用例１㊀已知抛物线y ＝－１３x ２＋２x ＋４３,过点P (４,７)可否作抛物线的切线?如果可以,切点为A 和B ,求әP A B 的面积S ．解析:当x ０＝４时,f (x ０)＝f (４)＝－１３ˑ４２＋２ˑ４＋４３＝４＜７,即f (x ０)＜y ０．又a ＝－１３＜０,f (x ０)－y ０a＞０,故点P 在抛物线的外侧．因此过点P 可以作抛物线的两条切线,A ,B 分别为切点．当x ０＝４时,根据抛物线切点三角形的面积公式可得S ＝２[f (x ０)－y ０]３a＝２(４－７)３－１３＝１８．所以әP A B 的面积为１８．图３例２㊀如图３,从抛物线上A (１,３),B (３,－１)两点分别作抛物线的切线交于点P ,若әA B P的面积为１０,求抛物线的解析式．解析:取A B 中点M 并连接P M 交抛物线于点N ,由切点三角形性质１,可知P M 平行于y轴,N 为P M 的中点．由A (１,３),B (３,－１),得M (２,１)．由әA B P 的面积为１０,得S әA B P ＝１２M P (x B －x A ),则１２M P (３－１)＝１０,可得M P ＝１０．所以P (２,－９),N (２,－４)．又抛物线过A ,N ,B 三点,设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ,则a ＋b ＋c ＝３,９a ＋３b ＋c ＝－１,４a ＋２b ＋c ＝－４,{解得a ＝５,b ＝－２２,c ＝２０．{因此抛物线的解析式为y ＝５x ２－２２x ＋２０．对于例１用常规方法,可以先计算两切点A ,B 的坐标,再利用三点坐标求三角形P A B 的面积．这显然大费周折,用上面的方法要简便很多．对于例２也许用普通的方法就不好应对了,而用抛物线切点三角形的性质１则可迎刃而解,似乎山重水复疑无路,柳暗花明又一村．Z４５。

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

《构建模型,一题多解》---抛物线中动点三角形的最大面积问题

构建模型一题多解
——抛物线中动点三角形的最大面积问题
例、已知如图，二次函数 y -x2 2x 3，和x轴交于点A、B 两点（点A在左边），与y轴交于点C
（1）求直线BC的解析式；
（2）若D为直线BC上方二次函数图象上的一个点，当点D
运动到什么位置时，△BCD的面积最大，求出此时点D的坐标和△BCD的最大面积。
Bx
yD
C E
Ao
（3,0）
Bx
小结：
1、重视归纳整理，提炼模型； 2、敢于一题多解，拓展思维；
解法一构建函数模型解法二巧用几何模型 3、巧用化归思想，事半功倍。
y
C
（0,3）
Ao
（3,0）
Bx
S S S A 铅垂高
ABC
ABD
ACD
C
h
h2
C
1 2
AD h1
1 2Biblioteka ADh2D
B
B
h1
a
1 AD (h h )
2
1
2
a
1
ah
2
水平宽
铅垂高法
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
解：（构建二次函数模型）
作DE∥y轴，交BC于点E,
设D（m, m2 2m 3), 则E（m,-m+3)（0<m<3）
DE (m2 2m 3) (m 3) m2 3m
SBCD SDCE SDBE = 1 DE OB 2
= 1 3 (m2 3m) 2
yD
=- 3 m2 9 m 22
（0,3）C
当m b 3 时， 2a 2
SBCD最大
=
27 8
，此时D(

抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)

抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。

2017年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法

抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A ，(0,3)B 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图1(1)，动点E ，从O 点出发，沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时，动点F 从点A 出发，沿着AB /秒的速度向终点B 匀速运动，当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AEF V 为直角三角形?(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标;如果不存在，请简要说明理由.本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究.二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ，A 点的纵坐标记为为A y )如图2(1)，有1122ABC A B C S AB OC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(2)，有1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(3)，有 1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1)，有1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABC B A D C S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-; 如图3(2)，有 1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABCB A DC S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-.在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积.三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.如图4，过点C 作“轴的垂线交AB 于点D ,则ABC ∆被分成了两个以CD 为一公共边的三角形.过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，则11()22ABC CDA ABC S S S CD AE CD BF CD AE BF ∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯+，C D CD y y =-，C A B C AE BF x x x x +=-+-.A CB x x x <<Q ,A B AE BF x x ∴+=-,12ABC A B C D S x x y y ∆∴=---. 综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接ABC ∆的面积公式: 设,A B D a x x h y C y =-=-- .a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽; h 表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:12ABC S ah ∆=. 此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. 当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设A C B x x x <<. 则A a x x B =--，即是水平宽.过点C 作x 轴的垂线，与直线AB 的交点记为D ，则C D h y y =-，即是铅直高，于是有1122ABC A B C D S ah x x y y ∆==-⋅-. 四、问题解决上述问题中，过点P 作//PN x 轴，垂足为N ，交AB 于点M (如图1(2))，抛物线解析式为223y x x =-++,直线AB 的解析式为3y x =-+.设(,3)N x x -+，则2(,23)M x x x -++.于是有 12ABC A B P M S x x y x ∆=-⋅- 21(30)(23)(3)2x x x ⎡⎤=-⋅-++--+⎣⎦ 23922x x =-+23327()228x =--+, 即当32x =时，ABP V 面积最大，最大面积是278，此时P 点的坐标为327(,)28. 五、模型应用(动点B 在定点A 与C 之内)例1 如图5，二次函数与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ，B 为直线AC 下方抛物线上一点，求ABC V 面积的最大值.解易得点(0,4)A -，点(6,0)C ，则水平宽6A C a x x =-=.直线AC 的解析式为243y x =-. 设点B 的坐标为213(,4)34x x x --, 则点D 的坐标为2(,4)3x x -. 铅垂高22144(4)323B D h y y x x =-=----2123x x =-+, 故222116(2)6(3)923ABC S x x x x x ∆=⨯⨯-+=-+=--+. 06x <<Q ,当3x =时，即当点(3,5)B -时，ABC ∆面积最大，最大面积是9.评注题中的ABC ∆满足公式中的,A C 为定点，B 为一动点，但在运动过程中，B 的横坐标介于,A C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得.由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展(动点P 在定点A 与C 之外)例2 如图6(1)，二次函数与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，直线AB 与x 轴平行，且点B 在抛物线上，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点，是否存在点P ，使2P A C A B C S S ∆∆=,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.解析由题意不难得出8ABC S ∆=,要使2PAC ABC S S ∆∆=，即求16PAC S ∆=.因为PAC ∆为动点三角形，由通用公式PAC S ah ∆=，其中a 为水平宽，6C A a x x =-=, h 为铅直高，应该过动点P 向x 轴作垂线;交直线AC 于点D ，则P D h y y =-.问题是此时动点P 不在两定点,A C 之间，而是运动到了两定点,A C 之外，那么通用公式还成立吗?由图6(2)可知，当动点P 在两定点,A C 之外时，1122PAC PDC PDA S S S PD CE PD AF ∆∆∆=-=⨯-⨯ 111()()222C A PD CE AF PD x x ah =-=⨯-=. 由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立.区别是:动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算;动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.。

抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

椭圆抛物线中有关三角形面积的最值问题

椭圆抛物线中有关三角形面积的最值问题
1.已知点(,0)(0)E m m >是抛物线24y x =内一个定点，过E 作斜率分别为1k 的直线交抛物线于点,A B ，过E 作斜率分别为2k 的直线交抛物线于点,C D ，且,M N 分别为,AB CD 的中点
（1）若121,1m k k ==-，求EMN ∆面积最小值
（2）若121k k +=，求证直线MN 过定点(,2)m
2.已知椭圆C
的中心在原点，一个焦点F
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；
（Ⅲ）求PAB ∆面积的最大值．
3. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点A 、B 。

（1）求椭圆的方程；
（2）求的值（O 点为坐标原点）；
（3）若坐标原点O 到直线的距离为
，求面积的最大值。

4. 已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>
的离心率为3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点C ，求ABC ∆面积最大值． )0(122
22>>=+b a b
y a x 3632m kx y l +=:k OB OA m 求且,0,1=⋅=l 2
3AOB ∆。

抛物线焦点三角形面积公式

抛物线焦点三角形面积公式
抛物线焦点三角形面积公式：
1、抛物线焦点三角形的基本概念：抛物线焦点三角形是一种由抛物线的两个焦点所围成的三角形。

它是一种特殊的三角形，因为它的全部边都是由两个抛物线的焦点和一条直线组成的。

2、抛物线两个焦点间距离公式：在抛物线中，首先需要计算两个焦点之间的距离，计算公式如下：
距离=抛物线焦点距离=2*抛物线离心率。

3、抛物线焦点三角形面积公式：抛物线焦点三角形的面积可通过下式计算：
S=½*[(2*焦点距离)+(外边长)^2-4*(外边长*内边长)].
4、该公式应用场景：抛物线焦点三角形面积计算可以在有关椭圆和抛物线的数学问题中得到应用，如抛物线的焦点定理以及大约椭圆和抛物线的物理应用等。

因此，抛物线焦点三角形面积公式是在计算椭圆和抛物线方面极其重要的公式。

初中二次函数三角形面积问题研究

初中二次函数三角形面积问题研究引言在初中数学学习中，我们学习过二次函数和三角形的面积计算。

我们是否想过将这两个知识点结合起来，在实际问题中进行研究和应用呢？本文将结合二次函数和三角形面积问题进行深入探讨，通过具体的数学计算和实际案例，探索二次函数在三角形面积问题中的应用和意义，希望能够给初中生带来启发和帮助。

一、二次函数的基本概念我们先来回顾一下二次函数的基本概念。

二次函数是指一个关于自变量的二次方程，一般的二次函数可以写成 f(x) = ax^2 + bx + c的形式，在数学中，一般认为a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，当a>0时，抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负向抛物线。

二次函数的图像对应了三种经典的情况，即抛物线与x轴相交成两个实根；抛物线与x轴相切成一个实根；抛物线与x轴无交点，没有实根。

二、三角形面积计算方法三角形是初中数学教学的重要内容之一，面积计算是三角形的基本技能。

三角形的面积计算有多种方法，最常用的是利用底和高的乘积再除以2，即S=1/2 * 底 * 高。

也可以通过三边长求解半周长再利用海伦公式进行计算。

对于直角三角形，我们还可以利用勾股定理进行计算。

这些方法都是计算三角形面积的有效手段，灵活运用可以更好地解决实际问题。

三、二次函数在三角形面积问题中的应用在实际问题中，我们可以通过二次函数来解决三角形面积问题。

给定一个顶点坐标为（0,0），三角形的另外两个顶点分别为（a, 0）和（b, f(b)），其中f(x)是一个已知的二次函数。

我们需要求解这个三角形的面积。

根据三角形面积计算方法，我们知道需要求解这个三角形的底和高，即底为|b-a|，高为f(b)。

三角形的面积可以表示为S=1/2 *|b-a| * f(b)。

接下来，我们以一个具体的案例来说明二次函数在三角形面积问题中的应用。

假设已知二次函数f(x)=2x^2+3x-2，在直角坐标系中，三角形的顶点A（0,0），B（1,0），C （3,f(3)）。

抛物线中三角形面积公式

抛物线中三角形面积公式
抛物线中三角形面积公式：
1. 定义：当平行于抛物线准线交于抛物线上两点P1，P2时，形成的三角形称为抛物线上的三角形。

2. 公式：三角形面积可以求出：S=|P1P2·P3|/2，其中P3是平行于抛物线准线交于抛物线上三角形三边上的点。

3. 运用：若平行于抛物线准线即为x轴，则可以根据公式计算：
S=|P1P2·P3|/2=|x1x2·c|/2，其中c为抛物线在某点P的切线的斜率的倒数。

4. 应用：因为求不定积分的计算比求定积分快得多，所以应用抛物线中三角形面积公式常用于求定积分。

因为抛物线的斜率的倒数在抛物线的任一点P都存在，所以由于任一点P，可以将抛物线分解为若干个三角形，从而将求定积分问题转化为求不定积分问题，大大降低了计算难度。

二次函数背景下三角形面积的求法

S△ PBC=____3___
(1,4)
可知直线BC的函数解析式为y=-x+3,
4
P
当x=1时，y=-1+3=2 则点M的坐标为（1，2），PM=4-2=2
(0,3) C 3
S S S △PBC= △PCM+ △PBM
h1
y=－x2+2x+3
1 2
PM
•
h1
1 2
PM
•
h2
1 2
PM
• h1
h2
(-1,0)
y D
C
2
M
1
A O
B
2
A(1,0) 0
M
B
x
P
什么是三角形的铅垂高。
铅垂高（歪歪三角形拦腰来一刀）
水平宽铅垂高 A
s
h
2
BDB来自水平宽a图1
铅垂高 C
C
例题2：已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,PB为两抛点物，线的顶点.求ΔPＢＣ的面积。
（提示：做三角形的铅锤高，计算铅锤高的长度。）y
教学目标
二次函数背景下三角形面积的求法
课前热身
如图，抛物线 y=-x2 +2x+3 与x轴交
于点A和点B ，与ｙ轴交于点Ｃ,顶点 4 P
坐标是P.
则点A坐标为 (-1,0)
C3
点B坐标为 (3,0)
点Ｃ坐标为 (0,3)
2
顶点P坐标为 (1,4)
1
对称轴为＿＿直＿线＿x=＿1 ＿＿
A
直线BC的函数解析式为 y=-x+3 O
轴交于C点。
y
（1）求 Δ A B C的面积。（2）求Δ C B E的面积。（3）求Δ O C B的面积。

抛物线弓形三角形的面积最大值的探究

抛物线弓形三角形的面积最大值的探究作者：杨建来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第04期我们知道在圆中,弦与弦所对弧组成的图形叫弓形,类似于此,在抛物线中把直线被抛物线截得的线段叫抛物线的弦,抛物线的弦与所对的封闭抛物线组成的图形叫抛物线的弓形,抛物线的弦的两个端点与弓形上任一点组成的三角形叫抛物线的弓形三角形.大凡是抛物线的综合题,绝大多数都会出现这样的图形.对这个图形的考查,是初中的重点和难点,又是初中高中知识的衔接点,更重要的它又是中考的热点问题,历年的中考题中都有类似的中考压轴题出现.本文着重探究抛物线弓形三角形面积最大值的计算的几种方法．2011浙江宁波市第26题,是一道压轴题,其中包含这样的问题：如图1,已知抛物线y=14x2-12x上有两点B(6,6)、O(0,0),N是直线OB右下方抛物线上的任意一点,试求△OBN面积的最大值以及点N的坐标．由于学生积累知识经验不同,从不同角度来探究这个问题,就会得出如下几种不同的解法．1 补型术如果已知直角坐标系中的三个点的坐标,同学们会用割补法来求三角形的面积,本题是要求三角形的面积,我们会想到把三角形OBN通过作垂线,构成规则的三角形来处理这个问题.于是得到第一种解法：如图1,分别过点N,B作x轴的垂线,垂足分别为G,H.设N (x,14x2-12x),则S△BON=S△OBH-S△ONG-S梯形NGHB=12×OH×BH-12×OG×NG-12×(NG+BH)×GH=12×6×6-12×x×(14x2-12x)-12×(14x2-12x+6)×(6-x)=-34x2+92x=-34(x-3)2+274(0所以当x=3时,△BON面积最大,最大值为274,此时点N的坐标为(3,34)．这一种解法,运用了割补法,建立起二次函数的模型,通过二次函数的极值求出抛物线弓形三角形面积的最大值．2 分割法考虑到点N是抛物线弓形上的动点,过这一点作y轴的平行线,就把三角形分成两个部分,所求三角形的面积就等于这两个三角形的面积之和,于是得到如下的解法：如图2,过N作x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设N(x,14x2-12x),由于B点坐标为(6,6),由直线OB的解析式为：y=x.则Q(x,x),于是S△BON=S△QON+S△BQN=12×QN×OG+12×QN×GH=12×QN×(OG+GH)=12×QN×OH=12x-(14x2-12x)×6=-34x2+92x=-34(x-3)2+274(0所以当x=3时,△BON面积最大,最大值为274,此时点N的坐标为(3,34)．3 切线法如果过动点N作弦OB的平行线,则直线与弓形中的抛物线有两个交点,改变点N的位置,则交点之间的距离发生变化,点N到OB的距离也发生变化,两交点之间的距离越小,弓形三角形的面积越大,当两交点之间的距离为零时,弓形三角形的面积最大,于是得到第三种解法：如图3,过点N作OB的平行线ST,当直线ST与抛物线y=14x2-12x相切时,点N到直线OB 的距离最大,△OBN的面积最大．设直线ST的解析式为：y=x+m．解方程组：y=x+my=14x2-12x消去y,得：14x2-32x-m=0，即x2-6x-4m=0,如果ST与抛物线相切,则(-6)2+16m=0,解得m=-94．方程x2-6x-4m=0变为x2-6x+9=0,解得x=3,点N的坐标为(3,34)．有了点O、B、N三点坐标,可求得△OBN面积为274．这一种解法对学生要求比较高,看上去运用了的高中的知识,对初中生来讲超纲了,但仔细想想,我们把圆的切线的知识迁移到抛物线上来,对学业成绩较好的学生来说是可行的,也是有必要的.在我自己的教学实践中,师生一起探究,运用第三种方法来解此题,学生欣喜若狂后,总能品味到数学的深度和广度,大大激发了学生探究数学的兴趣.再说,如果离开的迁移的数学思想,数学学起来就枯燥无味．作者简介：杨建,男,1976年生,江苏海安人,中学一级教师,主要研究中学数学高效课堂教学和教学模式的探讨,曾获南通市初中青年教师优秀课评比一等奖,江苏省初中青年教师优秀课评比一等奖,2010年获县“高效课堂先进个人”,采用的导学案教学模式被同行广泛采用和认同,获得学生好评且教学成绩显著,在省级以上刊物发表论文多篇．。

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

抛物线中的动点三角形面积最大值问题

抛物线中的动点三角形面积最大值问题
安文鹏
【期刊名称】《试题与研究》
【年(卷),期】2018(000)011
【摘要】在中考数学压轴题中，以动点在拋物线上运动而引起三角形面积变化的
问题频频出现。

此类求三角形面积最大化的问题，因三角形的底与高的可变性，而不能直接利用三角形的面积公式求解，给许多考生带来解题思路的障碍而失分较多。

如果我们灵活运用铅垂高法利用函数建模的数学思想方法便可得到一类“拋物线中动点三角形面积最大值问题”的通用解法。

【总页数】64页(P40-40)
【作者】安文鹏
【作者单位】陕西省西安市文景中学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
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探究割补法在求解抛物线内接三角形面积问题中的应用

探究割补法在求解抛物线内接三角形面积问题中的应用陈巧【摘要】抛物线与三角形是初中数学的核心内容,它们的有机结合可以构建综合题和探究型的试题,特别是抛物线内接三角形面积问题,更是成为各地数学中考的热点题型,而割补法在解决此类题型时具有明显的优势.文章以一道中考复习题为例,通过灵活运用割补法来深入探究抛物线内接三角形的面积问题.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】3页(P46-48)【关键词】抛物线;内接三角形;割补法【作者】陈巧【作者单位】开元中学浙江杭州 310016【正文语种】中文【中图分类】O123.1抛物线内接三角形是指3个顶点都在抛物线上的三角形,它在有关二次函数的习题中经常出现,也是初中数学学习的难点之一.内接三角形的面积问题，由于涉及知识面广、综合性强,使得很多学生不知如何下手.笔者在长期的教学中发现，若学生能灵活掌握割补法，则能大大提高解决此类问题的正确率.所谓割补法，就是把不规则的图形通过等面积替换，转换位置，使不规则图形变成规则图形，以便使用公式求解的一种方法.这种数形结合的割补法，可以大大减少计算量，同时对于引导学生透过表象把握问题本质、培养学生举一反三的解题能力具有一定的指导意义[1].下面，笔者通过一道中考复习题来详细说明割补法在求解抛物线内接三角形面积问题中的实际应用.例1 已知二次函数y=x2-2x-3，设函数与x轴交于点A,B(其中点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.1)求△BCD的面积;2)若点P是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，试求△BCP面积的最大值;3)问：抛物线上是否存在点Q，使得S△BCQ=S△BCD?本题具有典型性，整个题目都是围绕抛物线内接三角形面积问题展开的.在第1)小题中，易求得B(3，0)，C(0，-3)，D(1，-4)，从而本题可看作是根据三角形的3个顶点坐标来求三角形的面积.由于此类三角形为非特殊三角形，不便直接使用面积公式求解，但可用割补法来解决.以下提供4种常规的割补方法：方法1 如图1，根据S△BCD=S矩形OBNM-S△OBC-S△BDN-S△CDM即可求解. 方法2 如图2，根据S△BCD=S梯形OCDF+S△BDF-S△OBC即可求解.方法3 如图3，易求得直线BD的方程为y=2x-6，从而，根据S△BCD=S△BCG+S△DCG即可求解.方法4 如图4，易求得直线BC的方程为y=x-3,从而E(1,-2)，根据S△BCD=S△BED+S△CED即可求解.不难看出：方法3和方法4的解题原理是一样的，都是将一个三角形分割成两个三角形，然后利用共有的底求解.这种割补法是比较常规的方法，学生比较容易理解，但若要将其上升到普遍规律的高度，进而得出固定的解题公式，则有点难度. 事实上，如图5，过△ABC的3个顶点分别作出与水平线垂直的3条直线l1,l2,l3,其中直线l2与直线AB相交于点D.记l1与l3之间的距离为△ABC的“水平宽(记作a)”，线段CD的长度为△ABC的“铅垂高(记作h)”.在方法4中，水平宽a即为线段BO的长,铅垂高h即为线段DE的长，从而第2)小题难度有所提高，但依然可以运用割补法，只是将固定的点D变成了动点P.延用上述结论即S△=ah,如图6，可设点P的坐标为(m,m2-2m-3),则点E的坐标为(m,m-3)，此时点B，C间的水平宽BO=3，铅垂高为h，则-m2+m,第3)小题同样可利用结论S△=ah，如图7，这里点Q的坐标不确定，可设点Q的坐标为(n,n2-2n-3),则点F的坐标为(n,n-3)，从而点B，C间的水平宽BO=3，铅垂高h=FQ，此时点F与点Q相对位置不确定，因此在此小题中，点F不一定在线段BC上(即点F不一定在点Q上方)，故FQ=|(n-3)-(n2-2n-3)|=|-n2+3n|.事实上，当点F不在线段BC上时(如图8)，BG·GF-BG·GQ-QF·GO=BG(GF-GQ)-QF·GO=BG·QF-QF·GO=QF·(BG-GO)=QF·BO=ah.因此，点F不在线段BC上时，S△=ah仍然成立.于是在引入水平宽(a)和铅垂高(h)的概念后，求解抛物线内接三角形面积问题的割补法就可以归纳为具有普遍指导意义的公式“S△=ah”解决.通过上述解题论证不难发现，割补法在求解抛物线内接三角形面积问题时都可以适用.例2 如图9，抛物线的顶点坐标为C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.1)求抛物线的解析式和△CAB的面积.2)问：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.分析1)如图9，易得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，从而点B的坐标为(0，3)，进而可得直线AB的解析式为y=-x+3.过点C作CD∥y轴交AB于点D,得点D的坐标为(1,2).在△CAB中，水平宽a=3，铅垂高h=2，于是2)如图10，因为点P在抛物线上，所以可设P(m,-m2+2m+3).过点P作PG∥y 轴交AB于点G,得点G的坐标为(m,-m+3).在△PAB中，水平宽a=3，铅垂高|-m2+3m|.数学作为一门科学，必然有其规律可循.笔者通过详细讲解割补法在求解抛物线内接三角形面积问题中的应用，目的就是寻找这种规律性.作为一线教师，在平常的教学过程中，不能满足于向学生生硬地灌输课本知识，而是要通过对规律的探究，使学生不仅知其然，还要知其所以然.割补法在实际应用中千变万化，只有对其作进一步地提炼，如文中所探讨的“引入‘水平宽’和‘铅垂高’的概念”，从而将这种割补法以公式的形式固定下来.只有这样才能使学生掌握割补法的要义，也才能使学生以不变应万变，灵活应用，提高解题的效率和正确率.1)求椭圆的标准方程;2)若k1+k2=0，求实数k的值.原解 1)由椭圆C经过点离心率为,知2)①当0<k<+∞时,因为直线AB经过焦点(3，0)，所以可设直线AB的方程为y=k(x-3),联立②当k=0时，k1=,k2=-，从而k1+k2=-≠0.③当k不存在时，此时斜率k1,k2均不存在，不合题意.综上所述，k=.通过研究笔者发现:点P正好是过右焦点作垂直于x轴的直线与曲线的交点(位于x 轴上方)，而所求k正好是离心率，并发现这不是巧合.对于第2)小题可作如下变式推广.变式1 已知椭圆C：+=1(其中a>b>0)经过点过椭圆C的右焦点作斜率为k的直线，交椭圆于点A,B，记PA,PB的斜率为kPA,kPB.若kPA+kPB=m，求实数k的值.解 1)当0<k<+∞时，因为直线AB经过焦点(c，0)，所以可设直线AB的方程为y=k(x-c),联立2k-m=·,·=·=,2)当k=0时，kPA=-,kPB=，从而3)当k不存在时，斜率kPA,kPB均不存在，不合题意.变式2 已知双曲线C：-=1(其中a>0，b>0)经过点过椭圆C的右焦点作斜率为k 的直线，交椭圆于点A,B，记PA,PB的斜率为kPA,kPB.若kPA+kPB=m，求实数k的值.解 1)当0<k<+∞时,因为直线AB经过焦点(c，0)，所以可设直线AB的方程为y=k(x-c)，联立·=·=-,2)当k=0时，kPA=-，kPB=，从而3)当k不存在时，斜率kPA,kPB均不存在，不合题意.变式3 已知抛物线C：y2=2px(其中p>0)经过点过抛物线C的焦点作斜率为k的直线，交抛物线于点A,B，记PA,PB的斜率为kPA,kPB.若kPA+kPB=m，求实数k的值.解 1)当0<k<+∞时，因为直线AB经过焦点所以可设直线AB的方程为y=,联立2)当k=0时，A(0,0)，点B不存在，则kPA=-2，kPB不存在.3)当k不存在时，斜率kPA,kPB均不存在，不合题意.以上就是对这道赛题的一般推广，请读者批评指正.。

抛物线中焦点弦与原点围成的三角形面积

抛物线中焦点弦与原点围成的三角形面积要计算抛物线中焦点弦与原点围成的三角形的面积，需要先找到抛物线的焦点坐标。

抛物线的方程可以表示为：y=ax^2，其中a为常数。

焦距的定义为p=2a，焦点的坐标为(F,0)。

根据焦点的性质，可以得到焦点的横坐标F=p/2a=1/(4a)。

现在，我们需要找到焦点弦的方程。

由于焦点弦与原点围成的三角形，我们可以将焦点弦表示为y=kx，其中k为斜率。

将弦的方程y=kx和抛物线的方程y=ax^2联立，得到方程ax^2kx=0。

为了找到焦点弦的两个交点，需要将方程ax^2kx=0转化成二次方程，并求解其根。

对方程ax^2kx=0使用求根公式，可以得到两个解x1和x2：x1=0，x2=k/a。

因此，焦点弦与抛物线的交点坐标为(0,0)和(k/a,k)，其中k 为任意非零实数。

现在，我们可以计算焦点弦与原点围成的三角形的面积。

三角形的底边长为原点到焦点弦的距离，即x轴上的坐标差值：D=|F0|=F=1/(4a)。

三角形的高为点到直线的距离，即点(0,0)到焦点弦的距离，使用点到直线的公式：d=|ax+by|/√(a^2+b^2)，其中直线的一般式方程为ax+by=0。

将焦点弦的方程y=kx代入直线的一般式方程，可以得到bkx=0，即b=kx。

将坐标点(0,0)代入点到直线的公式，可以得到d=|by|/√(a^2+b^2)=|kxy|/√(a^2+k^2)。

此时，我们可以计算出三角形的面积S为底边乘以高的一半：S=1/2*D*d=1/2*(1/(4a))*(|kxy|/√(a^2+k^2))。

最后，我们得到了抛物线中焦点弦与原点围成的三角形的面积公式：S=1/(8a√(a^2+k^2))*|kxy|。

注意：这个公式对于所有非零实数k和常数a都成立，其中k为焦点弦的斜率。