三角函数图象变形

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三角函数图像变换

三角函数图像变换【知识精要】1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

三角函数的像变换与平移

三角函数的像变换与平移三角函数是数学中非常重要的概念之一，在三角函数中，像变换与平移是两个重要的概念。

它们描述了函数图像在坐标系中的移动和变形过程。

本文将重点介绍三角函数的像变换与平移。

1. 像变换（Image Transformation）像变换是指通过特定的变换规则，改变函数图像的形状、位置或尺寸等性质。

对于三角函数而言，常见的像变换包括拉伸、压缩、翻转和反转等。

1.1 拉伸（Stretch）拉伸是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更长或更短。

对于正弦函数（sin）和余弦函数（cos）而言，拉伸可以分别沿横轴和纵轴方向进行。

例如，当正弦函数的图像被沿横轴方向拉伸时，函数的周期将变得更长，波峰和波谷之间的距离增加；而当余弦函数的图像被沿纵轴方向拉伸时，函数的振幅（波峰或波谷与横轴的距离）增加。

1.2 压缩（Compression）压缩是指改变函数图像在横轴和纵轴方向上的尺寸，使其变得更短或更窄。

与拉伸相反，压缩使函数的周期变短，波峰和波谷之间的距离缩小；同时，压缩会使函数的振幅减小。

1.3 翻转（Reflection）翻转是指将函数图像相对于横轴或纵轴进行对称变换，以改变图像的朝向。

对于正弦函数和余弦函数而言，翻转可以使波形上下颠倒或左右翻转。

1.4 反转（Inversion）反转是指将函数图像的正负进行翻转，使得原本正值的部分变为负值，负值的部分变为正值。

对于正弦函数和余弦函数而言，反转会使波形关于横轴或纵轴进行对称。

2. 平移（Translation）平移是指将函数图像在坐标系中沿横轴或纵轴方向上移动，以改变图像的位置。

对于正弦函数和余弦函数而言，平移可以使波形向左或向右平移一定的距离，或者向上或向下平移。

2.1 横向平移（Horizontal Translation）横向平移是指将函数图像沿横轴方向上移动，通常用参数h表示平移的距离。

当h为正值时，函数图像向右平移；当h为负值时，函数图像向左平移。

三角函数图像及其性质

三角函数图像及其性质1.任意角的概念：我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角. 2.弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记为1rad .弧度与角度的换算关系：3602rad ，180rad ，10.01745180radrad ，180157.305718rad.扇形公式：在弧度制下，设半径为r ，圆心角为02的扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，则（1）lr ；（2）21122Srlr .3.终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合：360,k kZ 或2,k k Z .4.象限角的范围：第一象限角：36090360,x k x k k Z 或22,2x kxk k Z 第二象限角：90360180360,x k x k k Z 或22,2xk x k k Z 第三象限角：180360270360,x k x k k Z 或322,2xk x k kZ 第四象限角：2703601360,x k xkkZ 或3221,2xkxk k Z5.任意角的三角函数的定义：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是,x y ，它与原点的距离为220r r xy，则：（1）比值y r叫做角的正弦，记作sin，即siny r；（2）比值x r叫做的余弦，记作cos，即cosx r；（3）比值y x叫做的正切，记作tan，即tany x.6.同角三角函数的基本关系：（1）商数关系：cossin tan；（2）平方关系：1cos sin 22.7..三角函数诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.8.常用角的三角函数值643223sin0212223101123222101tan3313不存在不存在9.正、余弦函数、正切函数的图象及其性质一览表函数正弦函数sin yx余弦函数cos yx图象定义域R Rcos2322-2--32-21-1O y x2322-2--32-21-1O y x值域1,11,1最值当22xk k Z 时，max 1y 当22xkkZ 时，min1y 当2x k k Z 时，max 1y 当21xk kZ 时，min1y 周期性周期函数，最小正周期2T周期函数，最小正周期2T 奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称单调性增区间2,222k k k Z 减区间32,222k kkZ增区间21,2k k k Z 减区间2,21k k kZ对称中心,0k kZ,02k k Z对称轴,2xkkZ,xk kZ函数tan y x定义域,2x xk kZ 或,22kkkZ值域R周期性周期函数，最小正周期T 奇偶性奇函数，图象关于原点对称单调性增区间,22k k k Z对称中心,02k kZ图象10.三角函数sin y x 图象变换到siny A x 的两种变换过程：sin sin sinsin yxy xyxy A x平移伸缩（横）伸缩（纵）相位变换周期变换振幅变换.①00sin sin y xyx，横坐标向左平移个单位，横坐标向右平移个单位；②11101sin sin y x y x ，横坐标缩短到原来的倍，横坐标伸长到原来的倍；③101sin sin A A A A yxy A x，纵坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍sin sin sin sin yxy A xyA xy A x振幅变换相位变换周期变换.①101sin sin A A A A y xy A x ，纵坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍；Oyx2-32--232②11101sin sin y A x y A x ，横坐标缩短为原来的倍，横坐标伸长为原来的倍③00sin sinyA xyA x，横坐标向左平移个单位，横坐标向右平移个单位.11.三角函数sin 0,0yA x A 中各参数的名称：A 为振幅，2叫做最小正周期，2f叫做频率，x叫做相位，叫做初相.12.两角和与差相关公式：:cos cos cossin sin C:coscos cossin sinC ，结构特征：①结构：CC SS ；②正负号相对.（2）:sinsin coscos sinS，:sinsin coscos sinS ，结构特征：①结构：CSCS ；②正负号不变.（3）tan tan :tan 1tan tan T，tan tan :tan1tantan T. 13.辅助角公式：22sin cos sin a x b xab x，其中22cosa ab，22sinb ab）.14.正切公式变形：tan tan tan 1tan tan ，tantan tan 1tan tan.15.二倍角公式：22222:cos2cossin2cos112sinC （升幂公式，升幂缩角）变形：21cos2cos2，21cos2sin2（降幂公式，降幂扩角）.21cos22cos，21cos22sin.2:sin 22sin cos S ，222tan :tan 21tanT .16.正弦定理的概念：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等（设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则2sin sin sin a b c R ABC（其中R 为ABC 的外接圆的半径长）. 变式：（1）2sin a R A ，2sin b R B ，2sin cR C ；（2）sin 2a AR，sin 2b BR，sin 2c CR.正弦定理的适用条件：（1）两角及其一边；（2）两边与一边所对的角.17.余弦定理的概念：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍，即2222cos abcbc A ，2222cos b ac ac B ，2222cos c abab C . 变式：222cos 2bcaA bc ，222cos 2acbBac ，222cos 2a bcCab .结论：（1）当222ab c 时，则cos 0C ，C 为直角；（2）当222a b c 时，则cos 0C，C 为钝角；（3）当222a bc 时，则cos 0C ，C 是锐角.余弦定理的适用条件：（1）两边及其夹角；（2）三边. 18.三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABCSbc Aac Bab C ，适用条件：两边及其夹角.19.利用正弦定理解三角形解的个数的判断：在ABC 中，已知角A 和边a 、b .角A 的情形边的情况解的个数角A 的情形边的情况解的个数A 为锐角sin ab A 无解A 为锐角a b 一解sin ab A一解90180A a b 一解sin b Aab两解ab无解20.相关角的概念：（1）视角：观察物体时，两条视线之间所成的角（可看作是两条射线所成的角）；（2）俯角：由上到下观察物体时，视线与水平线所成的不超过90的正角；（3）仰角：由下往上观察物体时，视线与水平线所成的不超过90的正角；（4）方向角：一般是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角；（5）方位角：以观测者的位置为中心，正北方向为起始方向顺时针旋转的小于360的正角.【典型例题】【例1】以下四个命题：①第一象限的角一定不是负角；②小于90的角是锐角；③锐角一定是第一象限角；④第二象限角一定是钝角.其中不正确的命题各数是（）.1A 个.2B 个.3C 个.4D 个【练习】下列命题是真命题的是（）.A 三角形的内角必定是第一、第二象限角.B 第一象限角必定是锐角.C 不相等的角终边一定不相同.36090,18090,D k kZk kZ【例2】已知是第三象限角，则2所在的象限是（）.A 第一或第二象限.B 第二或第三象限.C 第一或第三象限.D 第二或第四象限【练习】已知为第二象限角，则3为.【点评】可采用定义或象限法来进行判断.用定义法判断就是将角的范围用不等式进行表示，然后将所求角的范围进行分类讨论就可判断所求角的具体位置；象限法就是借助平面直角坐标系，将每个象限进行平分，平分数看n中的分母n ，将每个象限分成n 等份，从x 轴上方区域起始按逆时针的方向依次标上1、2、3、4、1、2、3、4、，数字表示所在象限，而对应数字所在象限即为角n所在的象限.【例3】4弧度的角所在象限是（）.A 第一象限.B 第二象限.C 第三象限.D 第四象限【练习】1120是第象限角.【点评】先应该把对应角在0360或02范围内终边的角找出来，再判断新角的范围极为所求范围，注意角以弧度制出现时，有时可以用近似值 3.14代替.【例4】若集合18045,2k M x xkZ ，集合45,Nx x k kZ ，则（）.A M Nü.B M NY .C MN.D MN【练习】集合21,M x xn nZ，集合41,N x x k k Z ，M 与N 之间的关系是（）.A M Nü.B M N Y .C M N.D MN 或MN【点评】利用列举法或将集合中的元素化成结构的表达式，再观察式子不同结构的范围之间是否存在包含关系.【例5】已知3,2P 为角终边上的一点，则cos 的值为（）2.3A 3.5B 313.13C 313.13D 【练习】若3cos2，且的终边过点,2P x ，则是第象限角，x.【点评】根据三角函数的定义求即可.【例6】若角的终边过点3,4P t t （0t且tR ），则2sin cos 的值是（）2.5A .1B 2.5C 2.5D 【练习】已知角的终边在直线3yx 上，则10sin3cos.【点评】利用定义求角的三角函数值时，注意参数的符号对三角函数值的影响. 【知识点4】三角函数值符号与角的位置关系【例7】已知costan 0，那么角是（）.A 第一或第二象限角.B 第二或第三象限角.C 第三或第四象限角.D 第一或第四象限角【练习】若sin0且tan 0，则是（）.A 第一象限角.B 第二象限角.C 第三象限角.D 第四象限角【点评】考察三角函数值符号与角的象限位置关系，三角函数值与角的象限位置关系如下：第一象限第二象限第三象限第四象限sincostan由三角函数值的正负来判断角的象限，可将余弦看作是角的终边上点的横坐标，将正弦看作是角的终边上点的纵坐标，将正切看作是角终边点的纵坐标与横坐标的比值，利用三角函数值的符号可以快速锁定角的象限. 【例8】已知,2，3sin 5，则tan. 【练习】若4sin5，tan0，则cos.【点评】同一个角的正弦、余弦、正切三者之间知道其中一个可以求出其它两个函数的值，叫做“知一求二”，具体做法是先根据已知的函数值确定角的象限，再确定所求函数值的符号（一般是未求的正弦或余弦的符号），再利用同角的平方关系或商数关系求出相应的值. 【例9】已知在ABC 中，12cot 5A，则cos A（）12.13A 5.13B 5.13C 12.13D 【点评】同角三角函数的两个基本关系推论：（1）平方关系：222tansin1tan ，221cos1tan；（2）倒数关系：1cottan（k 且2k，kZ ）.【例10】已知tan 2，求：（1）sin 2cos sin3cos；（2）221sincos 2sincos；（3）22sinsin cos 2cos.【练习】（1）已知tan 1，则4sin 2cos 5cos 3sin .（2）已知tan 2，则222sin 3sincos2cos.【点评】“弦化切”的思想主要应用于以下两种情况：（1）弦的分式齐次式，若分子与分母中的弦均为n 次，则分子与分母同时除以cosn，将弦化为切进行计算；（2）弦的二次整式，直接除以221sincos，先将弦的二次整式变为分式，然后分子与分母同时除以2cos即可实现“弦化切”．【例11】sin 210（）.3A 3.2B 1.2C 1.2D 【练习】sin 585的值为（）2.2A 2.2B 2.2C 2.2D 【点评】理解诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的流程图如下：任意正角的三角函数任意角的三角函数角的三角函数02锐角三角函数负角公式三公式一公式二或公式四正角公式一【例12】sin 1200cos1290cos 1020sin 1050tan945.【练习】174319tancos cos6662023tansin36.【点评】诱导公式的综合求值.【例12】已知21sin，那么cos 的值为（）21.A 21.B 23.C 23.D 【练习】已知4log sin81，且0,2，则tan等于（）522.A 522.B 552.C 552.D 【点评】考察同角三角函数之间的关系，按照“定位定号定值”三个步骤进行，但是要注意复合角含有Z kk 2时，首先应该用诱导公式进行化简，化为简单角的三角函数，再选择合适的公式求解.【例13】已知336cos，则65cos .【练习】已知416sin x，则xx 65cos67sin2.【点评】在复合角的三角函数化简中，若复角的形式不是以Z kk 2的形式出现，那么这时就不能用诱导公式直接化简，这时应该把已知的复角看作一个整体，并观察已知角与所求角之间的关系，一般是将已知角与未知角相加或相减，一般是以互补或互余的形式出现，再用诱导公式将未知角用已知角整体进行代换，并进行计算.【例14】12sin2cos 2等于（）.s i n 2c o sA .cos 2sin 2B .s i n 2c o s 2C .sin 2cos2D 【练习】化简212sin 20cos160sin1601sin 20.【点评】化简复杂的三角函数式中，一般情况下二次根式下均能开出来，在化简时注意：大角化小角，化异角为同角，最终化为锐角，利用锐角来进行计算，同时也应注意被开方式的正负的讨论. 【例15】若cos cos3f xx ，那么sin 30f 的值为（）.0A .1B .1C 3.2D 【练习】已知cos cos2f x x ，则12f.【点评】在复合型的三角函数求值中，常规做法就是将函数解析式求出，另一方面就是将起关键作用的变量x 求出来，再代值计算即可.【知识点4】三角函数的周期【例16】函数最小正周期是. 【练习】函数2()sin24f x x的最小正周期是.【点评】求三角函数最小正周期的方法很多：（1）定义法；（2）公式法；（3）枚举法：将三角函数的周期由大到小()sin cos f x x x一次排列，每次减半；（4）最小公倍数原理：当复合型的三角函数中含有一个或多个简单三角函数时，原函数的最小正周期取这些简单三角函数最小正周期的最小公倍数；（5）结论：函数s i n yA x、cos 0,0y A x A 、2sin yA x 、2cos0,0y A x A 的最小正周期T ，函数tany A x、2tan0,0yA xA的最小正周期T.【例17】函数1cos y x 的图象（）.A 关于x 轴对称.B 关于原点对称.C 关于y 轴对称.D 关于直线2x对称【练习】设函数sin 22f xx，xR ①最小正周期为的奇函数；②最小正周期为的偶函数；③最小正周期为2的奇函数；④最小正周期为2的偶函数.正确命题的序号是.【点评】熟悉奇（偶）函数图象的特征，并可用多种方法来判断函数的奇偶性，充分利用性质来进行判断，奇函数奇函数奇函数，偶函数偶函数偶函数，奇函数奇函数偶函数，偶函数偶函数偶函数，奇函数偶函数奇函数. 【例18】已知函数sin03f xx的最小正周期为，则该函数的图象（）.A 关于点,03对称.B 关于直线4x 对称.C 关于点,04对称.D 关于直线3x对称【练习】函数sin 23yx的图象的对称轴方程可以是（）.6A x.12B x.6C x .12D x【点评】在考虑三角函数的对称中心与对称轴时，应将x 看成一个整体，再将对应的x 代入看是否满足条件.【例19】若函数sin 2cos 2y x a x 的图象关于直线6x 对称，则a . 【练习】若函数sin 2cos2yxa x 的图象关于直线4x对称，则a.【点评】若三角函数中有参数，而且对称轴或对称中心已知，则可以利用特殊值，但是选特殊值时对应角一般选择特殊角较好，方便计算.【例20】下列关系式中正确的是（）.s i n 11c o s 10si n A .sin168sin11cos10B .s i n 11s i n 168c oC .sin168cos10sin11D 【练习】若tan 4f xx，则（）.011A f f f .011B f f f .11C f f f.11D ff f 【点评】三角函数比较大小一般是利用三角函数的单调性，首先要区分所考察数的正负，再将所考察的数化为的三角函数值，最终是利用诱导公式将这些数变为锐角三角函数，借助相应函数在锐角范围内的单调性进行大小比较.【例21】函数sin y x 的一个单调增区间是（）.,44A 3.,44B 3.,2C 3.,22D 【练习】下列函数中，周期为，且在,42上为减函数的是（）.s i n 22A y x.cos 22B y x .s i n 2C yx.cos 2D yx【点评】判断函数在某区间上的单调性，一般是将x当作一个整体u ，先算出x的范围，再画出对应的简单函数（由对应的函数名决定），观察函数在对应范围内的图象进而可以判断单调性. 【例22】函数12log 2sin 2yx 的单调减区间是（）.,4A k k k Z .,2B k k k Z .2,24C kk kZ.2,22D k kkZ【练习】函数2sin 23y x 的单调增区间是（）5.,1212A k k k Z511.,1212B k kk Z.,36C kkkZ 2.,63D kkkZ【点评】求复合型三角函数的单调区间，当对变量x 无限制时，首先要考虑函数的定义域，或者先确定所考察的一次三角函数的范围，将x 当作一个整体u ，并作出对应的简单三角函数的图象（由对应的函数名决定），确定x的范围再解出自变量x 范围即为所求，其实有些时候直接套即结论即可. 【例23】函数2sin 3f xx，,0x 的单调增区间是（）5.,6A 5.,66B .,03C .,06D 【练习】函数2sin 23yx在0,上的单调减区间是.【点评】求复合型的三角函数在某固定区间上的单调区间，有两种做法：（1）先将所考察的在对自变量x 无限制条件下对应的单调区间求出来，然后再将此区间与定义域取交集即可得到，但此法由于不知道对应的k 值，单调区间与定义域的交集不太方便确定；（2）将x当作一个整体u ，先根据定义域确定变量ux 的范围I ，并作出关于变量u 的简单三角函数（图象由函数名称决定），确定变量u 范围后再求出自变量x 的范围即可.应用以上两种方法应注意最好将变量x 的系数化为正数.【例24】当x时，函数32cos 24yx取到最大值，当x时，函数32cos 24yx取到最小值.【练习】已知函数sin20y a x b a 的最大值为3，最小值为1，则a ，b.【点评】对于函数sin0,0yA xb A，当对自变量无约束时，max y A b ，min y A b .【例25】函数2sin 213y x 在区间0,2上值域为. 【练习】函数1sin 224yx在区间0,2上的最大值是，最小值是.【点评】求函数siny A x在固定区间上的最值，首先根据定义域确定x 的范围D ，然后作出正弦函数在区间D 的图象，根据图象确定最大值和最小值，还可以确定对应的相位值，进而可以确定相应的自变量的取值.【例26】已知44x，则函数2cos sin f x x x 的最小值是（）21.4A 21.4B 21.4C 21.4D 【练习】（1）函数23sin cos f x x x 的最大值是.（2）函数cos22sin f x x x 的值域为（）.3,1A .2,2B 3.3,2C 3.2,2D 【点评】形如2sin sin ya xb xc ，应将sin x t 替代转化为二次函数2y atbt c ，利用求二次函数的方法来求其最值，由于sin x 的有界性，换元过程中要注意根据自变量x 的取值范围确定中间变量t 的范围作为新函数的定义域，如果换元前二次项和一次项函数名不同，先将二次项转化为一次项同名函数，再换成以一次项为变量的二次函数求解. 【例27】方程2sin2103x在区间0,的实数解为.【练习】（2008年浙江卷理）在同一直角坐标系中，函数3cos0,222x yx 的图象与直线12y的交点个数是（）.0A .1B .2C .4D 【点评】在求方程sin x a 的根（或根的个数）可以转化为函数sin y x的图象与函数y a 的图象的公共点问题，但首先还是将相位x视为一个整体，然后求出相位的范围D ，画出正弦曲线在区间D 的图象，并作出两个函数，观察两者的图象，若有必要可将交点处的相位值求出，进而可以求出相应自变量x 的值.【例28】已知函数sin y x（0，）的图象如下图所示，则.【练习】若函数s i n f x x的图象（部分）如上图所示，则和的取值是（）.1A ，3.1B ，31.2C ，61.2D ，6【点评】在函数sin y A x的参数确定后再来确定初相的值，一般有两种情况，一是对的取值没有约束，这时我们可以取最高点、最低点或对称中心点，最高点的相位为2，最低点的相位为2，对称中心点的相位要视该点处的单调性而言，若附近的图象是上升的，则该对称中心点所对应的相位为0，否则为，然后解出即可；二是对的取值有约束，则选择上述关键点中的一点，注意在对应相位后加上2kkZ ，求出值（代数式中含k ），将有关值的代数式代入约束条件解出k ，再将k 值代入值的代数式即可.【例29】函数tan cos y x x 的部分图象是（）（2009年海南卷理）342-11O y x（2004年辽宁卷）23-31O y x【练习】函数tan sin tan sin y x xx x 在区间3,22内的图象大致是【点评】利用解析式辨别三角函数的图象，若解析式中含有绝对值符号，一般要去绝对值符号，将解析式化简，再根据解析式识别函数图象；若绝对值中的对象是两个代数式之差，在比较两个式子之差的符号时，一般要注意两者的符号，若符号一致，再可借助三角函数线来比较大小，也可以采用中间值等方法比较大小. 【例30】为了得到函数sin 23yx的图象，只需把函数sin 26yx的图象.A 向左平移4个长度单位.B 向右平移4个长度单位.C 向左平移2个长度单位.D 向右平移2个长度单位【练习】（1）函数s i n 23y x 的图象经怎样平移后所得的图象关于点,012中心对称（）.A 向左平移12.B 向左平移6.C 向右平移6.D 向右平移12（2）为了得到函数2sin 26x y，xR 的图象，只需将函数2sin yx ，xR 的图象上所有的点（）.A 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）.B 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的13倍（纵坐标不变）.C 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.D 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的3倍（纵坐标不变）【点评】当1时，由函数1sinyA x的图象变换到函数2sin y A x12的图象，平移量为12，而不是12.【例31】为了得到函数cos 3yx的图象，只需将函数sin y x 的图象（）.A 向左平移6个单位长度.B 向右平移6个单位长度.C 向左平移56个单位长度.D 向右平移56个单位长度322OyxA322OyxB322Oyx C322OyxDA2322OyxB3222OyxC322-2O yxD-2322O yx【练习】已知函数sin,04f xxxR 的最小正周期为，为了得到函数cos g x x 的图象，只要将y f x 的图象（）.A 向左平移8个单位长度.B 向右平移8个单位长度.C 向左平移4个单位长度.D 向右平移4个单位长度【点评】在三角函数图象变换中，函数图象平移一般是在同名函数中进行，所以首先应该将异名函数转化为同名函数，同时注意的值对平移量的影响. 【例32】已知函数sin0,0,2f xA x A的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0,2x 和03,2x .（1）求函数f x 的解析式；（2）将f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），然后再将所得图象向x 轴正方向平移3个单位长度，得到函数yg x 的图象，求函数g x 的解析式，并求函数g x 在区间0,的最大值与最小值及对应的x 值.【练习】已知函数sin3f xxa （其中0，aR ），且函数y f x 在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6.（1）求的值；（2）如果f x 在5,36上的最小值为3，求a 的值.【点评】求函数sin0,0y A xb A 的解析式分三个步骤：（1）求A 、b ：maxmin2y y A ，maxmin2y y b；（2）求2T：找准关键点或关键线（对称中心点、最值点、对称轴），根据它们横坐标之差与周期之间的关系可计算出最小正周期T ，从而可求出；（3）求初相：选择合适的关键点（若是对称中心点注意该点附近的单调性决定它的相位值，一般找最值点较好，基本上相位值是确定的），若对无约束，则可在0,2与关键点处的相位与之匹配，从而算出的值；若是对有约束，找合适的关键点算出初相的表达式（含变量k ，k Z ），将表达式代入约束条件解出k 便可得出的值.【例33】tan20tan403tan20tan40. 【练习】（1）若34，则1tan 1tan的值等于（）.1A .1B .2C .2D （2）1tan11tan 21tan 44.【点评】当t a n t a n 与tantan同时在一个代数式中存在时，一般是将前者进行恒等变形tan tan tan1tan tan，一般情况可以将消去.【例34】已知、3,4，3sin5，12sin413，则cos4.【练习】已知、都是锐角，4cos5，3cos5，则sin.【点评】在求复合角或单角的三角函数值时，并不一定要将复合角利用和差公式展开，有时这样做往往弄巧成拙，首先应将所求角利用两个已知的复合角来进行表示（即凑角），然后利用同角三角函数的基本关系，将所需的三角函数值求出，最后再利用和差公式将所求角的三角函数式展开求值即可. 【例35】在ABC 中，如果cos cos sin sin A B A B ，则这个三角形一定是（）.A 直角三角形.B 锐角三角形.C 钝角三角形.D 不能确定【练习】在ABC 中，若2cos sin sin B A C ，则ABC 的形状一定是（）等腰直角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形【点评】在三角形形状的判断中，要注意给出的已知式结构，选择合适的和差公式进行展开与合并，由于三角形的三个内角之和为，因此有时要将三个角转化为两个角来进行判断，可以结合诱导公式与和差公式进行，充分体现了三角形中“以多化少”思想的应用. 【例36】设、0,2，5sin5，10sin10，则的值为（）3.4A .4B 3.4C .4D 或34【练习】设1tan7，1tan3，、0,2，则2.【点评】由已知值求角，一般只需要将所求复角的某个三角函数值求出，但是在求角时，首先应该根据角的三角函数值确定角的精确范围，一般要借助特殊角的同名三角函数值来比较，然后再由单角的范围确定复角的粗略范围，进而可以根据复角的三角函数值和范围求出角的值. 【例37】已知33,22a ，sin,cos44x x b，f x a b .（1）求函数f x 的单调减区间；（2）若函数yg x 与函数yf x 关于直线1x对称，求当40,3x时，y g x 的最大值..A .B .C .D【练习】已知函数sin 2f x x ，cos 26g x x，直线x t t R 与函数f x 、g x 的图象交于M 、N 两点.（1）当4x时，求MN 的最大值；（2）求MN 在0,2t时的最大值.【点评】将题中的函数式根据定义求出并统一化为是处理三角函数题的关键.【例37】44cossin88等于（）.0A 2.2B .1C 2.2D 【练习】2tan151tan 15的值为（）3.3A .3B .23C 3.6D 【点评】二倍角正切的变形：22tan 12tan1tan 21tan21tan 2，21tan 2tantan 2.【例38】若ABC 的内角A 满足2sin 23A，则sin cos A A （）15.3A 15.3B 5.3C 5.3D 【练习】（1）已知1sin cos5，且324，则cos2. （2）设02x ，且1sin 2sin cos xx x ，则（）.0A x 7.44B x 5.44C x3.22D x【点评】21sin 2sin cos xx x，注意由sin 2x 计算sin cos xx 的值时要讨论代数式sin cos xx 的符号.【例39】cos20cos40cos80.【练习】sin 6sin 42sin 66sin 78.【点评】以弦的乘积形式出现，一般是二倍角正弦公式的应用，先观察角与角之间的二倍关系，在式子的基础上乘以最小角的正弦或余弦，连环滚动运用倍角公式进行计算.【例39】设函数22sin cos 2cos 0f x x x x 的最小正周期为23.（1）求的值；（2）若函数g x 的图象是由y f x 的图象向右平移2个单位长度得到，求y g x 的单调增区间.sin y A x b【练习】已知函数2()3sin 22sin f x x x ．（1）求函数()f x 的最大值；（2）求函数()f x 的零点的集合.【点评】先经历二倍角变换中的降幂扩角，主要是将式子次数化为一次，另外将角统一，再通过辅助角变换即可将函数式统一化为sin y A x b ，即可利用相关知识求解.【例40】满足条件4a，32b ，45A的ABC 的个数是（）.A 一个.B 两个.C 无数个.D 不存在【练习】满足条件18a ，22b ，30A 的ABC 的个数是.【点评】在已知两边与一边所对的角判断三角形解的个数时，首先应观察已知角的属性：锐角、直角还是钝角，在直角或钝角的前提下，该角一定为三角形中的最大内角，由“大角对大边”定理，只需比较两条已知边长即可；在锐角前提条件下，只需将a 与sin b A 和b 三者进行大小比较，便可以得到相应结果. 【例41】在ABC 中，若::4:5:6b c ca a b，则sin :sin :sin A B C（）.6:5:4A .7:5:3B .3:5:7C .4:5:6D 【练习】在ABC 中，若::1:3:5a b c ，则2sin sin sin A BC.【点评】在解三角形中，边与边的比值可以直接化为相应的角的正弦的比值进行，类似地，相应的角的正弦值之比也可以化为相应的边长之比，从而实现“边角互化”，但是要注意互化的过程中，替换的边或角的正弦值的次数要相同. 【例42】在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若3c o s c o s b c A a C，则co s A .【练习】（2008年山东卷）已知a 、b 、c 是ABC 的内角A 、B 、C 所对的边，向量3,1m，cos ,sin n A A ，若m n ，且cos cos sin a B b A c C ，则角B .【点评】在利用边角互化的问题中，关键要弄清求的是角还是边，若是求角，一般是以边化角为主，若是出现边的平方，则是以角化边为主，但同时也应注意在边化角的过程和差角公式的应用以及内角和定理的应用实现以多化少的目的. 【例43】以21，21，7为三条边的三角形一定是（）.A 锐角三角形.B 直角三角形.C 钝角三角形.D 不能构成三角形【练习】若ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C ，则ABC （）.A 一定是锐角三角形.B 一定是直角三角形.C 一定是钝角三角形.D 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【点评】在判断三角形的属性时，一般是考虑最大的角的属性，而最大角可以由“大边对大角”确定，角的属性可以由余弦公式确定. 【例44】在ABC 中，若sin sin sin cos cos B C ABC，则ABC 是（）.A 等腰三角形.B 等腰直角三角形.C 直角三角形.D 等边三角形【练习】已知ABC 中，（）.A 等腰三角形.B 等腰直角三角形.C 直角三角形.D 等边三角形【点评】在准确判断三角形形状时，将已知式化为整式，然后观察能否利用和差公式进行合并，若出现三个角，一般要将三个角的问题转化为两个角的问题求解.。

高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析

高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。

要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位（2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位（3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位（4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩）（2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换：（1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换（3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。

高中数学必修四三角函数PPT课件

01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为负。
02 三角函数诱导公式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数，即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数，即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数，即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利用同角关系式、诱导公式等求解
02
三角函数的图像与性质应用：判断单调性、周期性等
03
三角恒等变换的应用：证明等式、化简表达式等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直角或钝角）。

(完整版)三角函数图像平移变换

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度（B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度（D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。

三角函数的图像与性质课件

1
0 -1
y
y=-cosx x [0,2 ]
1
●
o
●
3●
2
x
2
2
-1 ●
●
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
y 2
1
o
2
-1
y
1
o
2
-1
y=1+sinx x[0, 2 ]
3
2
x
2
y=sinx x[0, 2 ]
解：(1)函数的定义域为 R，
且
f(x)
＝
cos(
π 2
＋
2x)
＝
－
sin
2x.∵f( －x) ＝－
sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，∴函数 f(x)＝cos(2x
＋52π)是奇函数．(2)函数的定义域为 R，
且 f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)，
∴函数 f(x)＝sin(cos x)是偶函数．
【名师点评】判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x) 是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
跟踪训练
3．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos(2x＋52π)；
(2)f(x)＝sin(cos x)．
(2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
sinx 0 1 0 -1 0

三角函数图形的变换

三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象得y =sin(ωx +φ) 的图象得y =sin(ωx +φ) 的图象得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短沿x 轴平移|ωϕ|个单位纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】A【解析】把函数y＝3cos2x的图象向右平移个单位得到的图象相应的函数解析式是y＝3cos2(x－)＝3cos(2x－)＝3sin(2x＋)，因此选A．2.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.3.为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”给出下列函数；；；其中“互为生成函数”的是（）A．①②B．①③C．③④【答案】B【解析】,向左平移个单位得到函数的图象，向上平移2个单位得到的图象，与中的振幅不同，所以选B.5.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x＝，得：；观察即得答案．6.设命题：函数的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称；命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是（）A．为假B．为真C．为假D．为真【答案】D【解析】命题p,函数的图像向左平移个单位长度得到的函数解析式为,因为不是偶函数,所以不关于y轴对称,即命题p 为假命题.命题q,如图作出的函数图像可以发现该函数在区间上是单调递减的,在区间是单调递增的,所以命题q也是假命题,根据真值表可得为假命题,所以D是错误的,故选D【考点】命题真假三角函数指数函数域图像变化真值表7.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．8.已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求取最大值时的单调增区间．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把向量，（为常数且），代入函数整理，利用两角和的正弦函数化为，根据最值求实数的值；（2）由题意把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，利用在上为增函数，就是周期，求得的最大值，从而求出单调增区间．试题解析：（1）．因为函数在上的最大值为，所以故．（2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数．又在上为增函数的周期即，所以的最大值为，此时单调增区间为．【考点】1．平面向量数量积的运算；2．三角恒等变换；3．三角函数的最值；4．三角函数的单调性；4、函数的图象变换．9.已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】,根据左加右减的平移原理，所以应该向左平移个单位长度，故选A.【考点】的图像变换10.已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像 ( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解析】由于函数的最大值为1，又函数的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为.所以.所以函数的解析式为.所以要得到函数只需要将向左平移各单位即可.故选A.【考点】1.三角函数的图像.2.三角函数图像的平移.3.三函数的诱导公式.11.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的解析式．(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）sin（2）－<k≤或k＝－1.【解析】(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin ，由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝.∴ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象．∴g(x)＝sin ，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.∴－<k≤或k＝－1.12.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由图象可知A＝1，，所以T＝π，又T＝＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin .因为g(x)＝cos 2x＝sin＝sin ，所以直线将f(x)向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象．13.已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.【答案】（1），单调递增区间是；（2）.【解析】（1）三角函数问题一般都要化为的一个三角函数的形式，然后才可利用正弦函数的性质解题，这个函数图象上相邻有最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，而周期，再加上最高（低）点在函数图象上，我们就可出这个函数的解析式了（）；（2）由，根据向量数量积定义我们可求出，那么三角形的另一内角的范围应该是，即函数中的范围是，然后我们把一个整体，得出，而正弦函数在时取值范围是，因此可求出的值域．试题解析：(1)∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.(2)∵在中，，∴.∴，即.∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是.【考点】（1）五点法与函数的图象；（2）三角函数在给定区间的值域．14.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，则得函数的图象，故本题选B.【考点】三角函数的图象变换.15.要得到函数y= sinx的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位;C．向左平移个单位D．向左平移个单位;【答案】B【解析】首先函数化为.即由函数的图像向右平移可得函数的图像.所以选B.本校题要注意函数是要得到的函数.否则易做反了.【考点】1.正余弦函数的平移.2.关注诱导公式的变形.16.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A．B．C．0D．【答案】B【解析】令，则，∵为偶函数，∴，∴，∴当时，，故的一个可能的值为．故选B．【考点】三角函数图像变化．17.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A．【解析】，故只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选A．【考点】三角函数的图像变换．18.把函数的图象按向量=（－，0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则，的值分别是（）A．1，B．2，－C．2，D．1，－【答案】B【解析】把函数的图象按向量=（－，0）平移，得.由图得函数的周期.又.选B.【考点】三角函数图象的变换.19.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】D【解析】由函数的最小正周期是可知，，所以有，向右平移个单位后有是奇函数，所以，因为，所以.所以，关于点对称，关于直线对称.【考点】1.求三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质20.已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中常数(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，用五点法作出函数在区间的图像.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示将表示出来，并利用正弦和余弦的二倍角公式将其表示为的形式，再由对称轴为，所以在处函数值取到最大值或最小值，从而得，代入并结合求的值，再利用和的关系，求；(Ⅱ)用代换得，先由，确定，从中取特殊点，，，，，再计算相应的自变量和函数值，列表，描点连线，即得在给定区间的图象.试题解析：(Ⅰ)，；(Ⅱ)0-2020【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、正弦和余弦的二倍角公式；3、五点作图法.21.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】D【解析】三角函数的图象在平移的过程中，振幅不变，①的函数的解析式化简为，④中的函数的解析式化简为，将③中的函数的图象向左平移个单位长度便可得到④中的函数图象，故选D.【考点】1.新定义；2.三角函数图象变换22.将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ()．A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx【答案】D【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D.【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.23.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】∵，∴只需把函数的图象向右平移个单位，选B.【考点】三角函数的图象.24.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为【答案】2【解析】，根据函数的图象可知，当函数在上为增函数的最大满足，所函数在上为增函数的最大.【考点】的图象与性质.25.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.26.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为，所以图象平移后的解析式为=，所以，解得.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.27.函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．则说明周期为，w=2,排除A,B，对于C,D由于将函数图象向右平移个单位，变为，故可知答案为D.【考点】三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数图象的平移变换的运用，属于基础题。

三角函数的图像变换

三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。

下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。

例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。

A 、向上平移4个单位；B 、将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、向下平移4个位单位。

分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。

故选B 。

二、周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。

例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。

解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。

三、相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。

即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。

数学公式知识：三角函数图像的移动与旋转变形

数学公式知识：三角函数图像的移动与旋转变形引言三角函数是高中数学中重要的内容，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

在高中数学中，三角函数的图像的移动与旋转变形也是一个重要的知识点。

本文将深入探讨三角函数图像的移动与旋转变形的概念、方法和实际应用。

一、三角函数图像的基本概念三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数三种。

它们的函数图像具有一定的规律性。

正弦函数和余弦函数的函数图像都是以原点为对称中心的周期函数，正切函数的函数图像则是单调的无穷函数。

三角函数的函数图像在一定的范围内表现出不同的性质。

这里我们以正弦函数为例，介绍一下三角函数图像的基本概念。

正弦函数的函数图像一般为一条连续的波浪线，波峰为最大值，波谷为最小值。

正弦函数图像的一个完整周期为2π。

正弦函数图像的初始值为0，即正弦函数在x=0处等于0。

正弦函数在[-π/2, π/2]的定义域内为单调递增函数，而在[π/2, 3π/2]的定义域内为单调递减函数。

正弦函数的取值范围为[-1, 1]。

二、三角函数图像的移动在三角函数的图像中，整个图像可以通过平移、伸缩等变形实现位置和形状上的改变。

其中，平移是最基本的操作。

1、平移的定义平移是指将图像沿着横坐标轴或纵坐标轴向左、右、上或下移动一个单位或若干个单位的过程。

平移是一种基本的函数图像变形方式，可以改变函数图像的位置，从而得到新函数的图像。

在平移时可以用向量法和函数式法来处理。

在向量法中，我们可以用位移向量来描述平移的方向和距离；在函数式法中，我们可以直接改变函数中的x或y的数值，从而使函数图像沿着x或y轴移动一定的距离。

2、平移的方法（1）沿x轴正方向平移h个单位可以通过函数表达式y=sin(x-h)来改变函数图像的位置。

函数式y=sin(x-h)的含义是将原来在x=h处的点移动到x=0处。

这种移动方式叫做沿着x轴正方向平移。

（2）沿x轴负方向平移h个单位当对三角函数的图像进行沿x轴负方向平移h个单位的操作时，可以通过函数表达式y=sin(x+h)来改变函数图像的位置。

5.8 三角函数的图像及其变换

内的图像（图1），再将其向左、右平移kπ (k N * )各单位即得函数的整个图像（如图2）。
图1
高考总复习· 数学（3）把 y sin x 的图像上所有
的点左移 3 个单位，得到 y sin( x ) 的图像，再把 3
y sin( x

3
) 的图像上的点的横坐
1 2
直线 x k

2
( k Z ) ，凡是该图像与直线 y B
的交点都是该图像的对称中心。对于 y A sin( x ) 和 y A cos( x ) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 3.利用图象变换作三角函数的图象．（1）振幅变换（4）上下平移（2）周期变换（3）相位变换
)
A 关于点（，0）对称 B 关于直线x＝对称 3 4 C 关于点（，0）对称 D 关于直线 x＝对称 3 4 【解析】由函数f(x)＝sin( x )( 2 )的最小正周期为 3 1 2x+ =kπ 得x= k 得 2 ，由 2 6 3
y 2 sin x, x R 的图像上所有的点( )
高考总复习· 数学【思路分析】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练得比较多的一种类型。
y 2 sin x, x R 解：先将 6 个单位长度，
得到函数 y 2 sin( x
的图象向左平移

6
), x R 的图像，再把所得图像上
+

）=cos（x+
4π 3
+ ），
高考总复习· 数学
4π
）+sinxsin（ 4π + ）=cosxcos（ 4π + ） cosxcos（ + 3 3 3 4π －sinxsin（ + ） 3

三角恒等变形图文

交流电路
在交流电路中，三角函数用于描述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。

§4.3 三角函数的图象与性质

于点（ｘ０，０）中心对称．
( ) 设ｆ（ｘ）＝
４ｃｏｓ
ωｘ－
π ６
ｓｉｎ ωｘ－ｃｏｓ（２ωｘ＋ π），其中 ω
＞０．
（１）求函数ｙ＝ｆ（ｘ）的值域；
[ ] （２）若ｆ（ｘ）在区间
－３２π，
π ２
上为增函数，求 ω 的最大值．
( ) 解析（１）ｆ（ｘ）＝４
．
（２）（２０１９成都七中１月月考，１４）如图为一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的一个函数解析式是．
解析
（１）由
Ｔ４
＝
１１１２
π－
２３
π＝
π ４
，得
Ｔ
＝
π，
∵
Ｔ＝
２π ，∴
ω
ω ＝２，∴
ｆ（ｘ）＝
对称性
对称轴：ｘ＝ｋπ＋
π ２
（ｋ∈Ｚ）；
对称中心：（ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ）
周期
２π
单调性
单调增区间：
[ ] ２ｋπ－
π ２
，２ｋπ＋
π ２
（ｋ∈Ｚ）；
单调减区间：
[ ] ２ｋπ＋
π ２
，２ｋπ＋
３π ２
（ｋ∈Ｚ）
奇偶性
奇函数
［－１，１］
对称轴：ｘ＝ｋπ（ｋ∈Ｚ）；
( ) 对称中心：
换，设
ｚ
＝
ωｘ＋φ，由
ｚ
取
０，
π ２
３π ，π，，２π
２
来求出相
应的
ｘ，通过列
表、计算得出五点坐标，描点连线后得出图象．

三角函数图像与性质

三角函数图像与性质三角函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像可以用五点法作图。

先取横坐标分别为-2π,-π,0,π,2π的五个点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。

二、正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)的性质：1.定义域：都是R。

2.值域：1）都是[-1,1]。

2）正弦函数y=sinx，当x=2kπ+3π/2(k∈Z)时，y取最小值-1；当x=2kπ+π/2(k∈Z)时，y取最大值1.余弦函数y=cosx，当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1；当x=2kπ+π(k∈Z)时，y取最小值-1.3.周期性：1）正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的最小正周期都是2π。

2）函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是T=2π/|ω|。

4.奇偶性与对称性：1）正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是(2kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ+π/2(k∈Z)。

2）余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是(kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ(k∈Z)。

例：若函数y=a-bsin(3x+π/6)的最大值为1，最小值为-2，则a=1/2，b=1或b=-1.课堂练：1.函数y=sinx-sin2x的值域是[-1,1]。

2.已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(cosx)的定义域为[-1,1]。

3.下列函数中，最小正周期为π的是B.y=sin2x。

4.若f(x)=sin(πx/3)，则f(1)+f(2)+f(3)+。

+f(2003)=0.答：1001/2）正弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点。

例如，函数y=sin(5π/2x)的奇偶性是偶函数。

已知函数f(x)=ax+bsin(3x)+1(a,b为常数），且f(5)=7，则f(-5)=-5.单调性方面，y=sinx在[2kπ-,2kπ+]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ+,2kπ+]（k∈Z）上单调递减；y=cosx在[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ+π,2kπ+2π]（k∈Z）上单调递增。

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.选A.【考点】三角函数图象的变换.2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可化为.依题意等价于将函数向下平移一个单位得到，再向右平移个单位即可得到.【考点】1.三角函数的平移.2.三角函数诱导公式.3.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】要得到函数y＝sin，只需将函数y＝sin 2x中的x减去，即得到y＝sin 2＝sin．4.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x ＝，得：；观察即得答案．5.右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点( ).向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.【答案】A【解析】此图周期,故，,.所以先向左平移个单位长度，然后所得各点的横坐标缩短为原理的，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图像变换6.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．7.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】B【解析】观察图象可知，，，∴，.将代入上式得，由已知得，故.由知，为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位.故选．【考点】正弦型函数，函数图象像的平移.8.已知函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）设，求函数的最小正周期与单调递增区间.【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为.【解析】（1）将点代入函数的解析式即可求出实数的值；（2）根据（1）中的结果，先将函数的解析式进行化简，化简为或，再根据周期公式计算函数的最小正周期，再利用整体法对施加相应的限制条件，解出的取值范围，即可求出函数的单调递增区间.试题解析：（1）由于函数的图象经过点，因此，解得，所以；（2），因此函数的最小正周期，由，解得，故函数的单调递增区间为.【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的周期性与单调性9.要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】把函数y＝cos 2x的图像向左平移个单位，得y＝cos 2的图像，即y＝cos(2x＋1)的图像，因此选C.10.把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．【答案】y＝2sin【解析】根据函数图象变换法则求解．把y＝2sin x向左平移个单位长度后得到y＝2sin，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝2sin.11.已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】,根据左加右减的平移原理，所以应该向左平移个单位长度，故选A.【考点】的图像变换12.当x＝时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是()．A．奇函数且图象关于点对称B．偶函数且图象关于点(π，0)对称C．奇函数且图象关于直线x＝对称D．偶函数且图象关于点对称【答案】C【解析】当x＝时，函数f(x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝A sin (A>0)，所以y＝f＝A sin ＝－A sin x，所以函数为奇函数且图象关于直线x＝对称．13.把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是A．B．C．D．【答案】A【解析】把函数的图象向右平移个单位后，所得到函数为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是，选A.【考点】三角函数图像的平移、伸缩变换.14.定义行列式运算，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由行列式运算定义得：，把它的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为，，因为为奇函数，所以，∴的最小值为．【考点】新定义，三角函数图像变化，三角函数的对称性．15.将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）A．4B．6C．8D．12【答案】B【解析】当时，将函数的图象向左平移个单位，得与原函数相同.当时，将函数的图象向左平移个单位，得与原函数不相同.故选B.【考点】三角函数的变换及图象的变换.16.如图所示，图象为函数的部分图象(1)求的解析式(2)已知且求的值【答案】(1) ；(2)【解析】(1)首先由图像知图象在x轴上的相邻两交点间的距离为半个周期，由此可求出又由得，从而得函数的解析式(2)用三角函数的和差角公式可化简，再将其化为含的式子，再将代入即可试题解析：(1)由图像知, ,∴∴又得∴ 6分(2)∵∴= 10分∵∴ 12分【考点】1、三角函数及其图象；2、三角变换17.函数的部分图像如图，其中,且，则f(x)在下列哪个区间中是单调的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当图像过原点时，即时，，在上为减函数，上为增函数当图像的最高点在轴上时，，在上是减函数，上为增函数，所以在上是单调的.【考点】1.三角函数的单调区间；2.三角函数图像.18.若函数的图象向左平移个单位得到的图象，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数的图象向左平移个单位得到.【考点】三角函数图像的平移变换.19.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.【答案】【解析】由图可知，则,,,将点代入解析式得，所以，故，则.【考点】的图像.20.如果函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以，而，所以，故选D.【考点】1.三角函数的性质；2.函数的最值求解.21.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B．【解析】函数，只需将函数向左平移个长度单位可得函数.【考点】三角函数的图像平移.22.要得到一个奇函数，只需将的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】，因为是奇函数，所以将的图象向左平移个单位，得到的图象，故答案为：向左平移个单位．【考点】三角函数图像变化，两角和与差的正弦，三角函数的奇偶性．23.如图是函数的图象，则其解析式是_________.【答案】【解析】由图可知，，，，，，解得，故所求解析式是．【考点】本题由三角函数的图象求解析式，学生数形结合的能力．24.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长【答案】B【解析】根据函数图象先确定参数值，由图像之函数周期为，故，图象经过，则,因为，故.根据图象平移的规律，可知图象向右平移可得到图象.【考点】1、根据图象求解析式 ; 2、图象的平移.25.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，，而，，所以坐标变换公式为，. 故选D.【考点】均匀随机数的意义与简单应用.26.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.27.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】将函数向右平移个单位长度得；将函数向右平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得【考点】三角函数图像平移点评：三角函数向左平移个单位得向右平移个单位得28.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为．【答案】【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．【考点】本题考查了图象的变换及周期的运用点评：熟练掌握三角函数图象变换及性质是解决此类问题的关键，属基础题29.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】，比较两式可知只需将函数的图像向右平移个长度单位【考点】三角函数图像平移点评：三角函数向左平移个单位得；向右平移个单位得30.已知函数.（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最值.【答案】（Ⅰ）的定义域为R Z}，最小正周期为（Ⅱ）最小值1，最大值2.【解析】（Ⅰ）由得(Z)，故的定义域为R Z}因为，所以的最小正周期．（II）由当，当.【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．点评：本题考查三角函数的运算．考查的知识点有和差化积、周期与三角函数值域的求法、分类讨论的思想方法．近几年三角运算一直是考试所要求的基本题型之一，本题就是基于这一要求而制定的．，使得对任意的实数x，都有31.已知函数，如果存在实数x1成立，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】,对任意的实数，都有成立，所以，分别为函数的最小值和最大值.要使得最小，只要周期最大，当,即时，周期最大，此时.【考点】两角和与差的正弦函数正弦函数的单调性点评：本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，三角函数的性质的应用，周期公式的应用，解题的关键是要由成立得到，分别为函数的最小值和最大值，属于中档题．32.为了得到函数的图象，可由函数的图象怎样平移得到A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【答案】A【解析】因为，所以的图象向右平移即得到的图像．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．点评：本题考查三角函数图象的变换，本题解题的关键是看出是从哪一个图象向那一个图象平移，再把自变量的系数化成1，看出变化的大小即可．33.已知且有，则（）A．B．1C．D．0【答案】D【解析】，故答案为D考点:三角函数的化简和计算点评：解决的关键是对于三角函数的性质的灵活变形和运用，属于中档题。

正弦函数的图像

T=2 π / ω
正弦曲线
y
1 o -1 2π x
观察周期：
2π
观察最值：
最大值为1，最小值为-1.
y = sin x 五点法作出 y =2 sin x 在一个周期内的图像
x y
观察周期： 2π
π/2 0 π 3π/2 2π x
0 0
π/2 2
y 2
π 0
3π/2 -2
2π 0
观察最值：最大值为2，最小值为-2.
正弦三角函数的图像及其变形
正弦交流电的瞬时值表达式：
e = E m sin(ωt + φ)
基本正弦函数的形式： y = sin x
五点法作出 y = sin x 在区间 [ 0, 2π ]上的图像 x y 0 0 π/2 1
y
π 0
3π/2 -1
2π 0
1 π/2 0 -1 π 3π/2 2π x
一个周期内的图像
y
1
周期
2π
最值
一个周期内的起点原点( 0 , 0 )
o
-1
π/2
π
3π/2
x
2π
最大值为1，最小值为-1.
y = 2 sin x
-2
o
π
π/2
3π/2 2π
2π
最大值为2，最小值为-2.
原点( 0 , 0 )
y 1
y = sin 2x

π/2
o -1
1
π/4
π
x
π
最大值为1，原点( 0 , 0 ) 最小值为-1.
y = sin (x+ π/2)
π -π/2
3π/2
o

三角函数图像变换

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象1用五点法做函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象变换 (1)振幅变换：y ＝f (x )―→ ．y ＝sin x 的图象的纵坐标伸长或缩短到原来的倍( 坐标不变)得到y ＝A sin x 的图象． (2)平移变换；y ＝f (x )―→y ＝．y ＝sin x 的图象向左或向右平移个单位得到y ＝sin(x ＋φ) 的图象． (3)周期变换：y ＝f (x )―→ ．y ＝sin x 的图象的坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，( 坐标不变)得到y ＝sin ωx 的图象．（4)由y ＝sin x 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ) 的图象． ①先平移后伸缩y ＝sin x ――――――→向左平移|φ|(φ＞0)向右平移|φ|(φ＜0)y ＝sin(x ＋φ)――→伸缩变换y ＝sin(ωx ＋φ)―→y ＝A sin(ωx ＋φ)2.先伸缩后平移3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(0，＋∞))表示一个振动量时，A 叫做，T ＝2πω叫做．f ＝1T 叫做，ωx ＋φ叫做，φ叫做．4.解题经验1．注意y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象形状，利用一个周期内起关键作用的五点．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心及对称轴可把ωx ＋φ看作“整体”．再利用y ＝sin x 的对称中心及对称轴来求．3．三角函数的单调性，往往把ωx ＋φ看作整体，运用复合函数的单调性解决．4．图象变换的两种途径的不同，先平移后伸缩是左右平移|φ|个单位，先伸缩后平移是左右平移|φω|个单位1．(2010·惠州二模)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )A.π6B.7π6C.11π6D.5π62．(2010·四川，6)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π203．f (x )＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝32有____________个交点．题型1：五点画法例1：已知函数y ＝3sin x 2＋cos x2(x ∈R )． (1)用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？[点评与警示] 用“五点法”作图应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．⑤图象的变换顺序有两种，一是先平移，后伸缩；二是先伸缩，后平移．两者平移量不同，前者横移|φ|个单位，后者是横移|φ|ω个单位．变形思考：将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin(12x －π2) C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)题型2：求函数的解析式例2：(2010·广东，16)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，0＜φ＜π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α.题型3：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象与性质例3：已知f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ＋32cos2x ＋12sin2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的最大值及最小值； (3)写出函数f (x )的单调递增区间； (4)证明f (x )在[－π3，π12]上递增．例4：(2010·北京，15)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．一、选择题1．(2007·海南、宁夏卷)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )2．(2008·全国Ⅰ)为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0、ω＞0、|φ|＜π2)的部分图象如右图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3) D ．y ＝sin(2x －π6)5．(2010·辽宁，5)设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫w x ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则w 的最小值是( )A.23B.43C.32 D ．36．(2009·安徽卷)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z B ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z C ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z 二、填空题7．(2008·江苏卷)f (x )＝cos(ωx －π6)的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω＝________.8．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的一条对称轴的距离的最小值π4，则f (x )的最小正周期是________．9．(2007·安徽卷)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.10．(2009·辽宁卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.三、解答题11．(2009·广州调研)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并指出此时x的值．12．(2009·山东卷)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(c2)＝－14，且c为锐角，求sin A.。

三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法

1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。