行列式在高中几何中的应用——三阶行列式的应用

n

1e 2e

α

n

v

l

12122

212

n n ij

n n nn

a a a a a a

叫做n 阶行列式．其中ij a 列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示24表示第211(e x =，22(e x y =，1

11222

i j k x y z x y z 叫平面α的一个法向量，记为n ．

111A B C 中，AB AC =1B B 的中点．(0AD =，(1AC =，ADC 的一个法向量为：

011(011)100

i j k

j k =-=-，，；．应用举例

）证明线面平行：平面

的一个非零法向量是n ，

的一

第1列 第2列 第n 列

l

α

m n

0n v ⋅=．

）求二面角：面α

的一个非 n ，面β的一

个非零法向量是m ，则二面角αβ的大小为：

m n >，或arccos m n π->，．

】正三棱柱ABC -的侧棱长为3底面边长为2，D 是AC 的中点． ）证明：1//AB 平面

(2DB =-

1(DC =-

平面1DBC 33333333

0222442

313

2

2

i j k i k k =-

=+++-333

(

2n =，1(AB =-1333

(32292AB n ⋅=-=-，，1AB n ⊥，所以（Ⅱ）面1DBC 333

(

22

n =，面1BC C 的一个法向量为：00

32302

i j k

m i ==-，(23m =-，则9|cos |||||232m n m n m n ⋅-<>==⋅⋅，

因此二面角1D BC C --的余弦值为3

）求异面直线的公共法向量：

是异面直线， 向量11(v x =，2222()v x y z =，，是直线向量，则异面直线a 与b 的一个公共法向量是：1

112

22

i

j k n x y z x y z =

1v 1v 2v

2v

n

n

a

b α

A B

N 0A M

法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取b ，且他们的一个法向量为n ，n ，记垂足为M n ，记垂足为MN 的长就是异面直线和b 的距离， 如图，记法向量n 与BA 的夹角为，则

0||

||MN NA ，即0||||cos MN NA θ=00||||||cos |||n n MN e NA e NA θ==⋅，

0||||

|||||

n NA n AB MN n n ⋅⋅=

=

． 其中A 、B 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上．

【例2】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1(1DA =，(1AC =-1101(11110

i j k

n j k i ==-+-=---，分别在异面直线1DA 与AC 各取一点A 、异面直线1DA 与AC 的距离为

|(1|||n AD d n -⋅=三、利用三阶行列式求平面方程定理：过三点1(A x 33)y z ，，的平面

A

1(AB x =，2(AD x =133(AA x y z =，，行六面体的体积为：1

11

2

223

3

x y z x y z x y ． BA 、

BC 、1BB 等都行．

定理：记四面体S ABC 的一个定点所对应的向量坐标分别为：1(SA x =，222(SB x y z =，，33(SC x y =，，体S ABC -的体积为：

1

23

16S ABC

z V z z -=． BA 、

BC 、1BB 等都行．1(0B A =，1

(2BC =-1(2B E =-于是三棱锥B 积为：

12

112|86B EAC V -=

=-