二次根式总复习ppt课件
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初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式的ppt课件
将二次根式化简成最简二 次根式，即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
第21章二次根式单元复习PPT课件
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
第11页/共46页
8（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
第12页/共46页
1
6 . 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义
则
1- x ≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
第9页/共46页
7、能使二次根式 ( x 2)2 有意义的实数
x的值有（ B ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
第10页/共46页
梳理二．二次根式的性质
×× √
××
2
x2 y,
ab,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
第18页/共46页
梳理六 .同类二次根式的定义。 几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
第19页/共46页
19.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
第2页/共46页
形如 a(a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（2）. a可以是数,也可以是式.
（3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
（4）. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
二次根式单元复习全面PPT课件
根号内含有字母的代数式叫做二次根式。
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
第23页/共95页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
第9页/共95页
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
第23页/共95页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
第9页/共95页
练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
二次根式复习ppt14 通用
第六讲 二 次 根 式
1.了解：二次根式的概念. 2.理解：最简二次根式和同类二次根式的概念. 3.掌握二次根式的性质. 4.会：进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化).
一、二次根式的有关概念
a 1.二次根式的定义：形如___(a≥0)的式子 .
2.最简二次根式的条件：
分母 (1)被开方数中不含_____. 小于2 (2)被开方数中所有因式的幂的指数都______. 被开方数 相同的 3.同类二次根式:化成最简二次根式后,_________ 二次根式.
2 ， 【解析】依题意，可得|x+y+1|+ x y =0
1 x ,3 3 x y 1 0 , 2 ∴ ∴ (3x-y) =3 =27. x y 2 0, y 3 , 2
答案：27
1 1 x=(x+y)2，则2x-y的值为 7.(2013·吴中模拟)若 x
2.下列二次根式与 2 是同类二次根式的是( C )
A. 4
B.2
C. 8
D. 1 6
3.下列等式一定成立的是( B )
＝ 5 A. 9 4
3 1 5 B. 5
C. 9 =±3
D.-
9 =9
2
4.若最简二次根式-2 2 x 与
1 x=__.
4 2 5.化简： 3 2 =____.
同类二次根式 再合并_____________.
ab 2.二次根式的乘法: a b =____(a≥0，b≥0).
3.二次根式的除法:
a a =____(a≥0， b>0). b b
1.式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( D ) A.x＜1 B.x≤1
1.了解：二次根式的概念. 2.理解：最简二次根式和同类二次根式的概念. 3.掌握二次根式的性质. 4.会：进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化).
一、二次根式的有关概念
a 1.二次根式的定义：形如___(a≥0)的式子 .
2.最简二次根式的条件：
分母 (1)被开方数中不含_____. 小于2 (2)被开方数中所有因式的幂的指数都______. 被开方数 相同的 3.同类二次根式:化成最简二次根式后,_________ 二次根式.
2 ， 【解析】依题意，可得|x+y+1|+ x y =0
1 x ,3 3 x y 1 0 , 2 ∴ ∴ (3x-y) =3 =27. x y 2 0, y 3 , 2
答案：27
1 1 x=(x+y)2，则2x-y的值为 7.(2013·吴中模拟)若 x
2.下列二次根式与 2 是同类二次根式的是( C )
A. 4
B.2
C. 8
D. 1 6
3.下列等式一定成立的是( B )
＝ 5 A. 9 4
3 1 5 B. 5
C. 9 =±3
D.-
9 =9
2
4.若最简二次根式-2 2 x 与
1 x=__.
4 2 5.化简： 3 2 =____.
同类二次根式 再合并_____________.
ab 2.二次根式的乘法: a b =____(a≥0，b≥0).
3.二次根式的除法:
a a =____(a≥0， b>0). b b
1.式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( D ) A.x＜1 B.x≤1
最新二次根式全章复习.ppt
3、已知x、y是实数，且
y x2 4 4 x2 1 x2
求3x+4y的值。
阿gh，
二、二次根式的性质
1.( a )2 a (a 0)
2.
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
例3、计算
(1)( 2 )2 3
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 2
(4)(3 x )2 阿gh，
变式应用
5、最简二次根式的两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式；
阿gh，
例4、判断下列各式中哪些是最简二次 根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b (2) 1.5ab (3) x2 y2 (4) a b
阿gh，
练习：把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 48
2
4
a
1 a
2
4
的值.
阿gh，
计算
()( )( )
()( ) ( ) ()( ) ( )
阿gh，
大 作 业：
P19 复习巩固 3, 5
其他作业： P19 复习巩固 8,9,10 白皮10—15页
阿gh，
是 x4 。
2.把根号外面的数移到根号里面：
13 2 2-3 2
3
3 a 1 4 x y x 0, y 0
a
x
阿gh，
3、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
4、商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb
阿gh，
例3、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
2 1 (A).a= b (B).ab=1 (C).a=-b (D).ab=-1
二次根式单元复习正式课件ppt
D PC
2021/7/26
43
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
2021/7/26
40
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
2021/7/26
25
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若 （a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
2021/7/26
26
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
人教版八年级下册数学课件：第十六章 二次根式 复习课(共75张PPT)
1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
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所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
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这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
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(a 1) 2
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解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 2）2 1 1
∴三角形的面积为
1 2 1 1 2
若a为底,b为腰,此时底边上的高为
22
2 2
2
4 1 2
7 2
14 2
∴三角形的面积为 1 2 14 7
2
22
15
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
(1) 50
(2) a2bc
(3) x2 y
(4) 0.75
(5) (a b)(a2 b2) (6) 1 6
2
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 10
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
(2) 4a 2 16a 2 (a≥0)
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
17
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
6
二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）． ( a )2 a
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
7
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X ≤__3___时，
3 x 有意义。
2.(2005.青岛) a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
13
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
（1）求a2 -2 2a+2+b2的值.a 2， b 2
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
16
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
9
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
二次根式，然后判断。
例如：2√2和√2
▲
4
二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式子
叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）．被开方数 a 0
（２）．根指数是２
▲
5
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a
③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
解：1 2 a 0, b 2 0
而 2a b2 0
2 a 0 ，b 2 0
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4 14
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
（1）求a2 -2 2a+2+b2的值.a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积.
• (1)被开方数的因数是整数，因式是 整式；
• (2)被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式．
▲
3
同类二次根式
• 化成最简二次根式后，被开方数相同。 这样的二次根式叫做同类二次根式. 一个
二次根式不能叫同类二次根式，至少两
个二次根式才有可能称为同类二次根式。
要判断几个根式是不是同类二次根式，
须先化简，把非最简二次根式化成最简
DP
C
18
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
19
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
11
试一试:一个台阶如图，阶梯每一层高
15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点
爬到B点最短路程是多少？
B
解：Байду номын сангаас
60
25
B
15
60
25
25
15
15
60
15
60
A 25
AB 602 802
A
10000
100
12
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 1 1 2
(2)x 2
y
(x>0)
x
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
8
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
龙文教育：谭前富 1
知识结构
二次根式
三个概念
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个公式
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根
a 0 （ａ 0）
式
三个性质
( a )2 a
a2
a
{a,a0 a ,a 0
四种运算
加 、减、乘、除
2
最简二次根式
• 满足下列两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式：