2014高考数学总复习一轮用书与名师对话3-6

提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各 自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，∴c>d>1>a>b.即无论在y轴的 左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
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与名师对话
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(对应学生用书P43)
指数幂的化简与求值的原则及结果要求 (1)化简原则 ①化负指数为正指数； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序．
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考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背 景． 2．理解有理指数幂的含义，了 解实数指数幂的意义，掌握幂 的运算． 3．理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的 函数模型. 2014年高考预测
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【解析】 画出
f(x)＝|3x－1|的图象如右图：
要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立，则有 c<0 且 a>0.由 y＝3x 的图象可得 0<3c<1<3a，∵f(c)＝1－3c， f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)， ∴1－3c>3a－1，即 3c＋3a<2.
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问题探究1：指数函数y＝a 何关系？
x
1 与y＝ a x(a>0且a≠1)的图象有
提示：关于y轴对称．
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问题探究2：如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝ cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如 何？你能得到什么规律？
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3．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0<a<1
图象
定义域 值域
R.
(0，＋∞) .
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y＝ax
a>1
0<a<1
(0,1) (1)过定点 .
(2)当x>0时， y>1 性质 x<0时， 0<y<1 . (3)在(－∞，＋∞) 上是 增函数 . ； (2)当x>0时，0<y<1 x<0时， y>1. (3)在(－∞，＋∞) 上是 减函数 . ；
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③( a)n＝ a . ④当n为奇数时， an＝ a ； a n n 当n为偶数时， a ＝|a|＝ －a ⑤负数没有偶次方根． n
n
a≥0 a<0 .
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2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：an＝
4 167 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
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对于幂的运算以考查指数幂的运算法则为目的．在运算过 程中，一是注意根式与分数指数幂的转化，二是注意化成同底 的指数形式再运算．
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设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且 f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式 中一定成立的是 A．3c>3a C．3c＋3a>2 B．3c>3b D．3c＋3a<2 ( )
【思路启迪】 用函数的图象比较大小．
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a·x－1－a 2 若函数y＝ 为奇函数． x 2 －1 (1)求a的值； (2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．
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a·x－1－a 2 解：∵函数y＝ ， x 2 －1 1 ∴y＝a－ x . 2 －1 (1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0， 1 1 即a－ －x ＋a－ x ＝0， 2 －1 2 －1 1－2x 1 ∴2a＋ x＝0，∴a＝－ . 2 1－2
考点
高考真题例举
2012 2011 2010
化简与求 值
全国卷， 山东卷， —— 9 3
指数函数 的图象与 性质
浙江卷， 天津卷， 湖北卷， 9 7 2
1.考查指数函数的图象与性质及其应用． 2．以指数与指数函数为知识载体，考查 指数的运算和函数图象的应用.
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设 a>0，且 a ＋a
解：将 a ＋a 7.
a2＋a－2＋1 ＝3，求 a＋a－1＋1 的值．
－ － ＝3 两边平方得 a＋a 1＋2＝9 即 a＋a 1＝
将 a＋a－1＝7 两边平方有 a2＋a－2＋2＝49， a2＋a－2＝47， 得 a2＋a－2＋1 47＋1 ∴ ＝ ＝6. －1 a＋a ＋1 7＋1
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(2012 年沈阳质检)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示， 其中 a、 b 为常数，则下列结论正确的是 A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 ( )
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1 1 (2)∵y＝－ － x ，∴2x－1≠0，即x≠0. 2 2 －1 1 1 ∴函数y＝－ － x 的定义域为{x|x≠0}． 2 2 －1
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【解】 (1)原式＝ ＝a b
－ ＝ab 1.
27 (2)原式＝－ 8 8 ＝－27
1 ＋500
10 － 5－2＋1
＋500 －10( 5＋2)＋1
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(2)结果要求 ①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂 表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母 又有负指数幂．
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可 以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
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(2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 n 方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 a 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的n次方根用符号 a 表示，负的n次方根 n n － a表示．正负两个n次方根可以合写为 ± a (a>0)． 用符号
【答案】 D
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(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指 数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象数形结合求解．
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(2)f(x＋1)－f(x)＝a·x＋2b·x>0， 2 3
3 a a x 当a<0，b>0时，2 >－ ，则x>log1.5－2b； 2b 3 a a x 当a>0，b<0时，2 <－ ，则x<log1.5－2b. 2b a 即当a<0，b>0时，x的取值范围是log1.5－2b，＋∞； a 当a>0，b<0时，x的取值范围是－∞，log1.5－2b.
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(n∈N*)；
②零指数幂：a0＝ 1 (a≠0)； 1 ③负整数指数幂：a－p＝ ap(a≠0，p∈N*)； n m ④正分数指数幂：a ＝ a (a>0， m、n∈N*，且 n>1)；
1
⑤负分数指数幂：a ＝ N*，且 n>1)．
＝
n
am
(a>0，m、n∈
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【解】 (1)当a>0，b>0时，任取x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1) －f(x2)＝a(2 －2 )＋b(3 －3 ) ∵2 <2 ，a>0⇒a(2 －2 )<0， 3 <3 ，b>0⇒b(3 －3 )<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．
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1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做 a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做 a的n次方根 ，其中 n>1且n∈N ，式子 a叫做 根式 ，这里n叫做 根指数
*
n
，a叫
做 被开方数
．
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解析：由图象得函数是减函数， ∴0<a<1. 又分析得，图象是由y＝ax的图象向左平移所得， ∴－b>0，即b<0.从而D正确．
答案：D
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对于指数函数性质的考查，以单调性为主，如比较函数值 的大小、解简单的指数不等式等．在解题过程中一是注意底数 a的取值，二是注意化为同底的指数这两个问题．
指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通 常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论．
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已知函数f(x)＝a·x＋b·x，其中常数a，b满足ab≠0. 2 3 (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
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计算下列各式： (1) 27 (2)(－ 8 ) (a>0，b>0)；
＋(0.002)
－ －10( 5－2) 1＋( 2－ 3)0.
【思路启迪】 将式子中负分数指数化为正分数指数，将 根式化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质进行运算．
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指数函数问题一般要与其它函数复合．本题利用换元法将 原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数 的单调性判断出原函数的单调性，从而获解． 由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对 底数的分类讨论，避免漏解．
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0 0 ⑥0 的正分数指数幂等于___， 的负分数指数幂没有意义 ．
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a>0，r、s∈Q)；
②(ar)s＝ ars (a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
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对于指数型函数图象的研究，一般是从最基本的指数函数 的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，要 注意底数 a>1 和 0<a<1 的两种不同情况．
画与指数函数有关的图象时，注意特殊直线．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【思路启迪】 (1)讨论a与b的符号，然后直接利用增函数 的和为增函数，减函数的和为减函数来判断．(2)讨论a>0， b<0或a<0，b>0两种情况，然后由f(x＋1)>f(x)变形得一个指数 不等式，利用指数函数的单调性求解．
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