圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b
kx
y+
=代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标()(),
,
,
,
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A利用韦达定理及弦长公式
]
4
)
)[(
1(
2
1
2
2
1
2x
x
x
x
k-
+
+求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.
一、椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
,半焦距为c>0，焦点)0,
(
),
0,
(
2
1
c
F
c
F-,设过
1
F的直线l的倾斜角为l,α交椭圆于两点()(),
,
,
,
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A求弦长AB．
解：连结B
F
A
F
2
2
,,设y
B
F
x
A
F=
=
1
1
,,由椭圆定义得y
a
B
F
x
a
A
F-
=
-
=2
,
2
2
2
,由余弦定理得2
2
2)
2(
cos
2
2
)
2(x
a
c
x
c
x-
=
⋅
⋅
-
+α,整理可得
α
cos
2
⋅
-
=
c
a
b
x,同理可求
得
α
cos
2
⋅
+
=
c
a
b
y，则
α
α
α2
2
2
2
2
2
cos
2
cos
cos c
a
ab
c
a
b
c
a
b
y
x
AB
-
=
⋅
+
+
⋅
-
=
+
=;
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为
α2
2
2
2
sin
2
c
a
ab
AB
-
=（ａ为长半轴,b为短半轴，c为半焦距)．
结论:椭圆过焦点弦长公式：
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅
-
⋅
-
=
).
(
sin
2
),
(
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
轴上
焦点在
轴上
焦点在
y
c
a
ab
x
c
a
ab
AB
α
α
二、双曲线的焦点弦长
设双曲线(),0,0122
22>>=-b a b
y a x 其中两焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，过F 1的直线l 的
倾斜角为α,交双曲线于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长|A Ｂ｜.
解:（1)当a
b
a b arctan arctan
-<<πα时,（如图2）
直线l 与双曲线的两个交点A 、B 在同一支上，连B F A F 22,,设,,11y B F x A F ==,由双曲线定义可得a y B F a x A F 2,222+=+=,由余弦定理可得
222222)2()cos(22)2(,)2(cos 22)2(a y c y c y a x c x c x +=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα
整理可得α
cos 2⋅+=c a b x ,αcos 2
⋅-=c a b y ,则可求得弦长
;cos 2cos cos 2222
22α
ααc a ab c a b c a b y x AB -=⋅-+⋅+=+=
（2)时或当παπα<<-<≤a
b
a b arctan arctan 0，如图3，
直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上,连F ２A ，F 2B,设,,11y B F x A F == 则a y B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得
222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α，
整理可得，则
,
cos
,
cos
2
2
a
c
b
y
a
c
b
x
-
⋅
=
+
⋅
=
α
α
.
cos
2
cos
cos2
2
2
2
2
2
a
c
ab
a
c
b
a
c
b
x
y
AB
-
⋅
=
+
⋅
-
-
⋅
=
-
=
α
α
α
因此焦点在x轴的焦点弦长为
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
<
-
<
≤
-
-
<
<
-
=
).
arctan
arctan
0(
cos
2
),
arctan
(arctan
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
π
α
π
α
α
π
α
α
a
b
a
b
a
c
ab
a
b
a
b
c
a
ab
AB
或
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
<
<
-
<
<
-
<
≤
-
=
).
arctan
(arctan
sin
2
),
arctan
arctan
0(
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
c
ab
a
b
a
b
c
a
ab
AB
π
α
α
π
α
π
α
α
或
其中ａ为实半轴,b为虚半轴，c为半焦距,α为AB的倾斜角．
三、抛物线的焦点弦长
若抛物线)0
(
2
2>
=p
px
y与过焦点)0,
2
(
p
F的直线l相交于两点()()2
2
1
1
,
,
,y
x
B
y
x
A,若l的倾斜角为α,求弦长|AB|．(图４）
解：过Ａ、B两点分别向x轴作垂线AA
1
、BB
1
,A
1
、B
1
为垂足，y
FB
x
FA=
=,
设,则点A的横坐标为α
cos
2
⋅
+x
p,点B横坐标为α
cos
2
⋅
-y
p
,由抛物线定
,
2
cos
2
,
2
cos
2
y
p
y
p
x
p
x
p
=
+
⋅
-
=
+
⋅
+α
α
义知,
cos
1
,
cos
1α
α+
=
-
=
p
y
p
x
即
,
sin
2
cos
1
2
cos
1
cos
12
2α
α
α
α
p
p
p
p
y
x=
-
=
+
+
-
=
+
则
同理)0
(
2
2>
-
=p
px
y的焦点弦长为,
sin
2
2α
p
AB=。