关于晶体衍射的劳厄方程和布拉格反射公式的关系
说明劳厄方程、布拉格方程、衍射矢量方程之间关系
说明劳厄方程、布拉格方程、衍射矢量方程之间关系劳厄方程、布拉格方程和衍射矢量方程是物理学中重要的方程，它们在解释和描述物质波的衍射现象和晶体结构方面发挥着重要作用。
下面我将对这三个方程的关系进行详细阐述。
首先，我们先介绍劳厄方程。
劳厄方程是描述物质波经过衍射时的现象的方程，它表达了衍射角和衍射波长之间的关系。
根据劳厄方程，当一束光通过一道狭缝或物体表面时，光将向四面八方进行衍射，形成弯曲的波前。
劳厄方程的数学表达式为：d*sin(θ) = m*λ，其中，d表示衍射物体的周期性结构，θ表示衍射角，m表示干涉级，λ表示衍射波长。
劳厄方程是了解衍射现象的基础，通过它可以计算出不同波长的光在特定结构上的衍射情况，为进一步研究衍射现象提供了定量的依据。
接下来是布拉格方程。
布拉格方程是描述X射线或中子衍射的现象的方程，它与劳厄方程非常相似，不同的是其针对的是具有一定晶体结构的物体。
根据布拉格方程，当入射X射线或中子与晶体中的原子或点阵相互作用时，会发生衍射现象。
衍射波的干涉效应会形成衍射条纹，并且这些条纹之间会存在干涉最大值和最小值的位置差异。
布拉格方程的数学表达式为：n*λ = 2*d*sin(θ)，其中，n为衍射级数，λ为波长，d为晶格常数，θ为衍射角。
布拉格方程与劳厄方程的主要区别在于，布拉格方程侧重于描述晶体的结构和周期性，而劳厄方程侧重于描述物体的周期性结构。
最后是衍射矢量方程。
衍射矢量方程是一个更为复杂的方程，它综合了劳厄方程和布拉格方程的内容，并进一步描述了衍射的矢量性质。
根据衍射矢量方程，我们可以将衍射现象看作是一个矢量的相位干涉过程，即不同衍射波的矢量和决定了衍射的结果。
衍射矢量方程可以用于描述波导模式、光纤衍射和晶体衍射等各种情况。
衍射矢量方程的具体形式与具体问题的复杂性有关，其一般形式为：p + G = k，其中，p是衍射矢量，G是布拉格矢量，k是波矢量。
通过求解衍射矢量方程，我们可以得到衍射矢量的取值范围和衍射的特性，进一步深入了解衍射现象的本质。
晶体对X射线的衍射是所有原子的散射波发生相长干涉时产生的最大
当 k ' k 时，即入射方向与衍射方向接近相同时，
G0
原子散射因子：
sin(G ) 1 G
f j j ( )4 2 d Z
0
(Z为原子中电子数目)
§1.9 实空间中直接观测
扫描隧道显微镜 （STM）
• 1982年，发明了扫描隧道显微镜(STM)
* 宾尼(G. Binnig)与罗雷尔(H. Rohrer)
dV Gh 0
当 k ' k Gh(劳厄方程)时， 散射波的振幅为
k k k Gh
1 (G h )
( r ) e iG h r dV
F dV Gh (Gh )V
晶体对X射线的衍射是所有电子的散射波发生相长干涉时产
S Gh f j e
j
S
i 2 ( hu j kv j lw j )
f 1 e
i h k l
0, h k l 奇数 2 f ，h k l 偶数
—— 衍射面指数之和(h+k+l)为奇数的衍射相消， 不会出现(100)、(300)、(111)等衍射峰
* 人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质 表面的排列情况。 这是电子显微技术的一个重要
里程碑
* 1986获诺贝尔物理奖
• STM利用量子力学的隧道效应
* 将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极，当
针尖与样品距离非常接近(0.1nm)时, 在外加电场作 用下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极
* STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度扫描
电子产生的散射 )
第二章 晶体中的衍射part1
• 晶体中原子的周期排列，使得各原子的散 射波有固定的位相差，散射波之间将产生 相干迭加—晶体衍射。（劳厄方程、布拉 格反射）
• 晶体中衍射波的强度与晶体中原子的种类 及相对位置分布有关。（原子散射因子、 结构因子）
• 由衍射光产生的方向及强度的分布，可推 知晶体结构的信息—晶体结构分析。
2.2 晶体的倒格子与布里渊区
2.2.1倒格子
晶※ ※格坐 波的标 矢周空空期间间性（（描kr写空空方间间式））: 的的布倒正格拉格伐子子格表子示表示
Reason?
∵晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子 的相互作用 → 都是在波矢空间进行描写的 晶格振动形成的格波，X 射线衍射均用波矢来表征
∴需要学习倒格子和布里渊区！
倒格子点阵
在倒格子中，以某个倒格点为原点，作出它到其他所有倒格点 的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成由内至外体积相 等的区域，即为布里渊区（缩写为B.Z），最中心的一个区域， 称为第一布里渊区，其他以此类推。
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
已知晶体结构如何求其倒格呢？
晶体 结构
正格
正格 基矢
倒格 基矢
倒格
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
a1 ,a2 ,a3 b1 ,b2 ,b3
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
其中 a1 , a 2 , a 3是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点的
第二章晶体的X射线衍射知识分享
电子衍射
1954 化学
鲍林Linus Carl Panling
化学键的本质
1962 化学
肯德鲁John Charles Kendrew 帕鲁兹Max Ferdinand Perutz
蛋白质的结构测定
1962
生理医学
Francis Maurice
H.C.Crick、JAMES h.f.Wilkins
d.Watson、
函数，仍可将波矢 q 限制在简约区或第一布里渊区中
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界 面上周期对应的两点间应满足关系：
Kh q qKh q
q
q
0
Kh
2
2
qKh q
2
2q•Kh Kh 0
q•
Kh
2
Kh
Kh
—— 布里渊区边界面方程
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。
布里渊区的几何作图法： ❖ 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一
简约区
sc
a
sc
2
a
4
bcc
a
fcc
a
由6个{100}面 围成的立方体
由12个{110}面 围成的正12面体
fcc
a
4
bcc
a
由8个{111}面和6个 {100}面围成的14面体
体心立方晶格的倒格子与简约区
面心立方晶格的倒格子与简约区
§2-3 晶体的衍射条件
1 劳厄方程(衍射方程)
两个基本假设：
不同方向的反射线。 θ—布拉格角（入射线与晶面） 半衍射角
§2-4 原子散射因子和几和结构因子
1 原子散射因子： 原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散 射波的振幅之比f，是原子散射能力的度量，其大小依赖 于原子内电子的数目及分布（r）。
第二章 晶体衍射
( a 2 a 3 ) [ a 3 ( a 1 a 2 )] a 1 [ a 1 ( a 1 a 2 )] a 3 { 3 ( 2 ) 3 [ a 1 ( a 2 a 3 )]
X射线在相邻两个晶面上的反射
所以
2 d sin n
（2.1.2）
这就是布拉格定律，其中 n 是衍射级数，它表示同一族晶面，在不同入 射角下的衍射。
2. 布拉格定律成立的条件
反射角是受到严格的限制，只有满足式（2.1.2）的那些反射 角才能观察到强的反射束。布拉格定律成立的条件是
2 d
ij 1
（i,j=1,2,3）
R l l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
G h R l ( h1b1 h 2 b 2 h3 b3 ) ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a 3 ) 2 ( h1l1 h 2 l 2 h 3 l 3 )
在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新 发射X射线，重新发射的 X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对 较大，对这个过程没有响应。X射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在 固体中穿透比较深，所以 X 射线可以作为固体探针。
1. 布拉格定律的表述
1912年劳厄（ue）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，
在数学上，可以由正格子定义倒格子。根据基矢 定义三个新的矢量
a1 , a 2 , a 3
2 b1 2 b2 2 b3
(a2 a3 )
( a 3 a1 )
（2.2.2）
( a1 a 2 )
是正格子原胞体积，称 b1 , b 2 , b3
晶体X射线衍射学衍射原理
26
反射级数
n为反射级数。
● 当晶面间距（d值）足够大，以致2dsinθ有可能为波长的两倍或者三
倍，甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射。所以，对于一个固定 波长的入射线，能不能发生二级或多级反射，依赖晶面间距是否足够 大。
这样，把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。如果（hkl）的晶面间距是d， n(hkl)晶面间距是d/n。因此，反射级数是针对实际晶面（hkl） 而 言，对于虚拟晶面，例如n(hkl)，只有一级反射。
共交线。另外，α，β，γ不是完全彼此独立，这三个
参数之间还存在着一个函数关系：
F(α，β，γ)＝0 例如当α，β，γ相互垂直时，则有
α，β，γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方
程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。
19
为了获得衍射图必须增加一个变量
● 可采用两种办法：
1 一种办法是晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 固定），只 让X射线波长改变（λ改变）； 即：变λ，晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 不变）
干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射 线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍 射看成反射，是布拉格方程的基础。 ●但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。X射线的原 子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角 度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反
射并不是任意的，只有当θ 、λ、d三者之间满足布拉格
22
● 根据图示，光程差：
● 干涉加强的条件是：
式中：d晶面间距，n为整
布拉格方程
一、劳厄方程：波长为λ的一束X射线，以入射角α投射到晶体中原子间距为a的原子列上（图1）。
假设入射线和衍射线均为平面波，且晶胞中只有一个原子，原子的尺寸忽略不计，原子中各电子产生的相干散射由原子中心点发出，那么由图1可知，相邻两原子的散射线光程差为：若各原子的散射波互相干涉加强，形成衍射，则光程差必须等于入射X射线波长λ德整数倍：式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。
入射X射线的方向S0确定后，则决定各级衍射方向α/角可由下式求得：由于只要α/角满足上式就能产生衍射，因此，衍射线将分布在以原子列为轴，以α/角为半顶角的一系列圆锥面上，每一个H值对应于一个圆锥。
在三维空间中，设入射X射线单位矢量S0与三个晶轴a，b，c的交角分别为α，β，γ。
若产生衍射，则衍射方向的单位矢量S与三个晶轴的交角α/，β/，γ/必须满足：a（COSα/－COSα）= Hλb（COSβ/－COSβ）= Kλc （COSγ/－COSγ）= Lλ式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴方向的晶体点阵常数。
上式由劳厄在1912年提出，称为劳厄方程，是确定衍射方向的基本方程。
由于S 与三晶轴的交角具有一定的相互约束，因此，α/，β/，γ/不是完全相互独立，也受到一定关系的约束。
图1 一维原子列的衍射二、布拉格方程：X射线在传播途中，与晶体中束缚较紧的电子相遇时，将发生经典散射。
晶体由大量原子组成，每个原子又有多个电子。
各电子所产生的经典散射线会相互干涉，使在某些方向获得加强，另一些方向则被削弱。
电子散射线干涉的总结果被称为衍射。
可以回顾一个波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。
如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的必要条件是：这些波或具有相同的波程（周相），或者其波程差为波长的整数倍（相当于周相差为2π的整数倍）。
排列在一直线上无穷多的电子称为电子列。
早期的研究指出，当X射线照射到电子列时，散射线相互干涉的结果，只能在某些力向上获得加强。
固体物理重点知识点总结——期末考试、考研必备!!
固体物理概念总结——期末考试、考研必备！！第一章1、晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。
金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。
晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。
2、晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
3、单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
4、基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
5、原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
6、晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。
7、原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
8、布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
9、简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。
晶体学基础3
晶体学基础31．5．2倒格子的性质倒格子具有以下基本性质：（1）以倒格子基矢b 1,b 2,b 3为棱边构成的平行六面体称为倒格子原胞，其体积为v *。
()31232*()cv v π=⋅⨯=b b b …………………（1-5-3）（2）倒格矢112233h h h h =++G b b b 和正格子空间中面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交，即G h 沿晶面族的法线方向。
我们知道，晶面族中最靠近原点的晶面ABC 在123,,a a a 上的截距分别为312123,,a a a h h h ，如图1-18所示，易写出矢量CA 和CB ：31133223h h h h =-=-=-=-a a CA OA OC a a CB OB OC ………………………………………………………（1-5-4）矢量CA 和CB 都在ABC 面上，因此，只要证明00h h ⋅=⎧⎨⋅=⎩G CA G CB ，则就能说明112233h h h h =++G b b b 与面指数为（h 1h 2h 3）的晶面族正交。
实际上，利用关系式（1-5-2），有31112233133211223323()()0,()()0.h h h h h h h h h h h h ⋅=++⋅-=⋅=++⋅-=a a G CA b b b a a G CB b b b …………………………………………（1-5-5）（3）晶面族（h 1h 2h 3）的面间距d h 与倒格矢G h 的模成反比，关系为2h hd π=G 。
图1-18中ABC 面就是晶面族（h 1h 2h 3）中距原点最近的晶面，所以这族晶面的面间距d h 就等于原点到面ABC 的距离，而之族晶面的法线方向即为G h 的方向，其面间距为1112233111112233()2h h h hh h h d h h h h h π⋅++=⋅==++G a b b b a G b b b G 。
固体物理第一章4
当衍射波矢和入射波矢相差一个或几个倒格矢时，就满足衍射
加强条件；
n称为衍射级数，（h1h2h3）是面指数，而（nh1nh2nh3）称为衍
射面指数。
二、反射公式（布拉格反射定律）
1912年，英国物理学家布拉格父子根据劳厄的实验结果，推导出了
考察沿S0方向入射的单色X射线被位于原点O及A的两个格点所散 射的情形。
晶格中任一格点A的位矢为： l l1a1 l2a2 l3a3 R
对于沿S方向的散射束而言，由O、A两个格点所散射的射线的 光程差为： δ＝CO＋OD
CO Rl S0 ,OD Rl S
（通常样品与X射线束斑的线度同样品到X射线源及探测器的距离相 比甚小，可以近似地认为入射束与沿某方向的散射束均为平行光）
只研究布喇菲Bravais格子。
一、衍射方程（ Laue方程）
德国物理学家 劳埃Max von Laue（1879~1960 ）。因晶体的X
射线衍射研究成果，获1914年诺贝尔奖。
间中的矢量，因此：
k k0 nKh (3)
其中n是整数，上式即为倒格子空间的衍射方程。 因此，劳厄方程（2）式也可写为
Rl Kh 2'
Rl nKh 2 (2)
倒格子空间的衍射方程
k k0 nKh (3)
倒格子空间的衍射方程的意义：
当X光的衍射波矢k与入射波矢k0之差等于倒格矢时，则k的方向
即为衍射加强的方向。衍射的实质是晶体中各原子散射波之间相互干
涉的结果。 建立布拉格衍射方程的基本出发点是：考虑为每组晶面族的反射。 即当衍射线对某一晶面族来说恰为光的反射方向时，此反射方向 便是衍射加强的方向。 由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射波的反射，才得以使
布拉格方程
What is Bragg′s equation?
广义布拉格方程记作2dsinθ=nλ,n 称为晶面周期,θ为入射束与反射 面的夹角 。如果用d表示晶面 距,A′和B′表示晶面方向的晶体 尺寸,C′表示晶面法线方向的晶体 尺寸,。广义布拉格方程不受晶体 尺寸限制,可以在正空间中描述微 晶体衍射的角发散,薄晶体的衍射, 多晶体衍射的积分强度等问题。
Phase an single cry diffractio
NaCl晶体可以作为x射线的空间衍射光栅，即当一 束x射线通过晶体时将发生衍射。衍射波叠加的结 果使射线的强度在某些方向上加强，在其他方向 上减弱。分析在照相底片上得到的衍射花样，便 可确定晶体结构。当x射 线波长入已知时(选用固 定波长的特征x射线)，采用细粉末或细粒多晶体 的线状样品，可从一堆任意取向的晶体中，从每 一0角 符合布拉格方程条件的反射面得到反射， 测出0后，利用布拉格方程即可确定点阵晶面间距、 晶胞大小和类型；根据衍射线的强度， 还可进一 步确定晶胞内原子的排布。而在测定单晶取向的 劳厄法中所用单晶样品保持固定不变动(即0不变)， 以辐射束的波长作为 变量来保证晶体中一切晶面 都满足布拉格方程的条件，故选用连续x射线束。 如果利用结构已知的晶体，则在测定出衍射线的 方向0 后，便可计算x射线的波长，从而判定产生 特征x射线的元素。
一般情况下的多 光束晶面反射模 型
一般情 况 下
型 如 图 2所 Δ = BD + BC ABsin( α + θ α + β = 18
将式( 2) 中的
( 1) 可得 Δ = BD + BC =d/sin( α + θ =d/sin( α + θ sin 2θsin α) ］ cos 2θ) +2sin ［2cos αsin2θ =[2dsin θ/sin θsin α) ］=2
04 第三章 X射线衍射原理-衍射方向
3.3.2 布拉格方程
布拉格公式的推导
首先讨论一个 晶面的衍射： P
Q
P' Q'
q
q'
A
B
1 d(h k l) 2 d(h k l) 3
入射线在波阵面PQ处位相相同，它射向晶面1时，被原子散 射。如果原子A,B的散射线在波阵面P′Q′处是同位相的话， 便产生相干加强，形成衍射光束。 这要求：
PA AP QB BQ
材料分析测试技术
Materials Characterization
湘潭大学 材料科学与工程学院
第三章 X射线衍射分析原理
1. 概述
2. X射线物理学基础 3. X射线衍射方向 4. X射线衍射强度
2015/10/22
2
3.3 X射线的衍射方向
3.3.1 劳埃方程 3.3.2 布拉格方程 3.3.3 布拉格方程的讨论 3.3.4 衍射矢量方程 3.3.5 布拉格方程的厄瓦尔德图解 3.3.6 常见的衍射方法
cos 2 a cos 2 cos 2 1
四个方程解三个 未知数？
用单色X射线照射不 动的单晶体，一般 不能获得衍射！
必须增加一个变量： 1. 利用连续X射线，使波长为变量，晶体固定不动－劳埃法； 2. 利用单色的X射线，单晶体围绕某一主要晶轴转动，周转晶 体法。
2015/10/22
3.3.1 劳埃方程
Laue方程的讨论
测量时若晶体不动: a0,0,0一定; 用单色光: l一定;
a cos a cos a 0 H l b cos cos 0 K l c cos cos 0 Ll
对于特定的晶体和特定的方向: a,b,c,H,K,L一定. Laue 方程中只有 a ,, 是变量 , 又由于 a ,, 不是独立的变量 , 因此 一般得不到衍射图(三个变量四个方程)。
(完整版)从劳厄发现晶体X射线衍射谈
从劳厄发现晶体X射线衍射谈起摘要：文章从劳厄发现晶体X射线衍射的前因后果谈起。
劳厄的这个发现产生了两个新学科，即X射线谱学和X射线晶体学。
文中还回顾了布拉格父子对这两个新学科所作的重大贡献，并阐述了X射线晶体学的深远影响。
今年是劳厄（von Lane M）发现晶体X射线衍射九秩之年。
从1895年伦琴（R0ntgen W C）发现X射线到1926年薛定愕（Schrodinger）奠定量子力学基础的30多年是现代物理学诞生和成长的重要时期。
在此期间的众多重大发现中，1912年劳厄的发现发挥了极为及时而又十分深远的影响，是很值得我们通过回顾和展望来纪念它的。
我们先来了解一下劳厄发现的前因后果。
1912年劳厄发现晶体X射线衍射时是在德国慕尼黑大学理论物理学教授索未菲（Sommerfeld）手下执教。
除理论物理教授索未菲外，在这个大学中还有发现X射线的物理学教授伦琴和著名的晶体学家格罗特（Groth）。
当时，劳厄对光的干涉作用特别感兴趣，索末菲则在考虑X射线的本质和产生的机制问题，而格罗特是晶体学权威之一，并著书Chemische KristallograPhic （化学晶体学）数卷。
身在这样的学府中，劳厄当时通过耳闻目睹也就对晶体中原子是按三维点阵排布以及X射线可能是波长很短的电磁波这样的想法不会感到陌生或难于接受了。
而且看来正当而立之年的他是很想在光的干涉作用上做点文章的。
真可谓机遇不负有心人了。
这时，索末菲的博士生埃瓦尔德（Ewald P P）来请教劳厄，谈到他正在研究关于光波通过晶体中按三维点阵排布的原子会产生什么效应。
这对劳厄有所触发并想到：如果波长短得比晶体中原子间距离更短时又当怎样？而X射线可能正是这样的射线。
他意识到，说不定晶体正是能衍射X射线的三维光栅呢。
现在劳厄需要考虑的大事是做实验来证实这个想法。
当时索末菲正好有个助教弗里德里希（Friedrich W），他曾从伦琴教授那里取得博士学位。
材料设计—10-晶体X射线衍射
§1.6 晶体X射线衍射
20世纪初，晶体学的重大进展就是劳厄（Laue ）在1912年发现的X射线衍射现象。 劳厄指出晶体可以作为X光的天然衍射光栅， 在Fridrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜 晶体的衍射图。劳厄于1914年获得诺贝尔物理 学奖。
下面我们考虑更一般的情况，即复式晶格，元胞中包含不止 一个原子，此时电子密度需要对元胞内原子数求和
其傅里叶变化系数:
令
得到：
其中的F就是几何结构因子（对元胞内所有原子的散射因子求 和，但需要考虑相位因子）:
由此得到散射振幅和强度为：
实际中几何结构因子可以写成：
消光条件
从公式可以看到：
即使在满足劳厄条件的时候，加入其几何结构因子为0，其 振幅仍然可能为0。 这种几何结构因子导致的使空间点阵本来允许的某些反射 抵消，称为衍射消光。
2. 劳厄法：
显然落在厄瓦德球面上的倒结点是比较少的，如果采用（ 非单色）连续的X射线作为入射光，那么k的大小可以在一 定范围内变化：
3. 旋转晶体法：
如果采用单色X光，但通过旋转晶体来改变X光的入射角， 则相当于改变k的方向，也可以增加衍射的强度
4. 粉末法(Debye-Scherrer法)：
此时X光的散射振幅：
该公式与前面一个结点只有一个电子的结果相比较，形式非 常类似。只是多了一个原子散射因子f。
因此原子散射因子实际上代表了原子内所有电子的散射幅与 一个单位点电荷散射幅之比。
我们具体考虑氢原子的情况，基态氢原子的电子密度是：
其散射因子为：
固体物理第二章
由于k0=2π/ λ, (2)式:
R ∙(k0 - k)=2 πn
由平移矢量R和倒格式G的关系: R ∙G=2 πm (3) 比较(2)和(3): k0 – k=G (4)
(4)被称为劳厄方程
4.衍射极大条件 劳厄方程 （Laue Equation） a. 坐标空间中的劳厄方程
晶格中任一格点为O，格点A的位矢 Rl=l1a1+l2a2+l3a3, S0和S为单位矢量。 光程差 衍射加强的条件 A
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积， 即倒格子原胞的体积b
立方晶系的简约区
正格子 格常数 倒格子 格常数 简约区
sc
a
sc
2 a
由6个{100}*面 围成的立方体
由12个{110}*面 围成的菱形12面体 由8个{111}*面和6个{100}*面围 成的14面体
bcc
S=2f 当v1 ＋v2 ＋v3＝偶数
7. 晶体衍射
当辐射的波长与晶格中原子间距可以比较或更小时，可发生显著的衍射现象 。 （1）x射线 一种电磁波，由被高电压加速了的电子撞击靶极物质产生。X射线的光子能量为：
SG=celldV j nj(r-rj) exp(-iG•r)
= j exp(-iG•rj) dV nj() exp(-iG• ),
= r-rj . 原子形状因子 (atomic form factor) : fj= dV nj() exp(-iG• ), SG= j fj exp(-iG•rj) rj =xja1+ yja2+ zja3 , G= v1b1+ v2b2+ v3b3 SG(v1 v2 v3) = j fj exp[-2 i (v1xj + v2yj +v3zj )] 例如：体心立方 S=0 当v1 ＋v2 ＋v3＝奇数
固体物理讲义第二章
第二章 晶体中的衍射主要内容：● 晶体的倒格子和布里渊区 ● 晶体衍射的条件✓ 劳厄方程、布拉格反射● 原子散射因子和几何结构因子 2.1 晶体结构的实验确定方法：利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射－衍射。
● X 射线衍射光子与电子作用，晶体内部结构测量● 电子衍射电子与电子作用，表面结构测量● 中子衍射中子与原子核作用，磁性物质结构测量● 一般性地讨论波动在晶体中的衍射 衍射的条件：波长与晶格常数同数量级现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描遂穿显微镜直接观察原子排列和晶格结构，虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。
X 射线衍射：有关晶体在0.1纳米尺度结构的主要知识主要来源于此。
本课程的核心－周期结构中传播的波。
2.2 晶体的倒格子和布里渊区 倒格子的定义根据布拉菲格子的基矢量定义三个新的基矢量，它们之间的关系为：以 为基矢构成的格子称为正格子以 为基矢构成的格子称为倒格子正格子中每个格点的位置为：倒格子中每个格点的位置为：K h 称为倒格矢量，简称倒格矢倒格子空间也叫倒易点阵，每一个布拉菲正格子都有与之对应的倒格子。
[]321a a a ⨯=Ω∙321a a a 、、321b b b 、、()()⎩⎨⎧≠==⋅j i i=j j i j i 0 22 ππδb a[][][]Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=213132321222a a b a a b a a b πππ倒格子的性质1 正格子中的一族晶面(h 1h 2h 3)和倒格矢332211b b b Kh h h h ++= 正交2 倒格矢332211b b b K h h h h ++= 的长度正比于晶面族(h 1h 2h 3)面间距321h h h d 的倒数：34 倒格点与正格子中的一晶面相对应周期性物理量的傅里叶变换晶体中任一处r 的物理量具有晶格周期性:将其展开为傅里叶级数：比较以上两式，可得R,r+R 对于晶格平移保持不变的任何函数，都可以展成傅立叶级数 倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。
晶体衍射中劳厄方程和布拉格方程的一致性
晶体衍射中劳厄方程和布拉格方程的一致性
《晶体衍射中劳厄方程和布拉格方程的一致性》是晶体衍射理论中一个重要的问题。
晶体衍射理论中有两个重要的方程，即劳厄方程和布拉格方程。
劳厄方程是用来描述晶体衍射现象的，而布拉格方程则是用来解释晶体衍射现象的。
这两个方程之间的一致性是晶体衍射理论的基础。
研究发现，劳厄方程与布拉格方程之间的一致性是由晶体衍射现象的物理本质决定的。
晶体衍射的物理本质是晶体中的电子结构，它是由晶体中的原子组成的，晶体中的原子之间存在着一定的相互作用。
当X射线照射到晶体表面时，晶体中的电子会发生振动，从而产生晶体衍射现象。
由于晶体中的电子结构是由晶体中的原子组成的，所以劳厄方程与布拉格方程之间的一致性也可以由晶体中的原子结构来解释。
因此，晶体衍射中劳厄方程和布拉格方程的一致性是由晶体衍射现象的物理本质决定的，可以由晶体中的原子结构来解释。
这种一致性是晶体衍射理论的基础，是理解晶体衍射现象的重要依据。
1.8-1.9晶体的衍射、反射
间变化，反射球半径
2π
min
R
2π
max
。
k
2π λmin
k0
2π λmax O
在红色区域的倒格点和各球心的连线都表示晶体可以产生 反射的方向(衍射极大方向)。
衍射斑点与倒格点相对应。 衍射斑 点分布 倒格点 的分布 倒格点 对称性 晶格的 对称性
当X光入射方向与晶体的某对称轴平行时，劳厄衍射斑点具
• 近代的电子衍射和中子衍射对于X射线衍射方法更起着有力的补充作 用。
二、
X射线衍射
X射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶极”物质上 而产生的一种电磁波。
h max eU
min
hc eU
h
c
min
eU
1.2 103 (nm) U
h 6.62 1034 J s
三.电子衍射
h , P
P2 eU , 2m
P 2meU ,
h 2meU
h 6.62 1034 J s
1.5 U (nm)
e 1.6 1019 C
m 9.1 1031 kg
U 150 V, λ ~ 0.1 nm
电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子
k0
k k 0 n K h，
这些倒格点所对应的晶面族将产生反射， 所以这样的球称为反射球。
反射球中心C并非倒格点位置，O为倒格点。
如何作反射球呢?
设入射线沿CO方向，取线段 CO 2 ，其中是所用单色X
射线的波长，再以C为心，以 2 为半径所作的球就是反射球。 O、P、Q是反射球上的倒格 点， CO是X射线入射方向，则CP 是以OP为倒格矢的一族晶面