土木工程测量-第五章_测量误差的基本知识

工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
⑶偶然误差——在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测 时，符号和大小具有随机性，这种误差称为偶然误差。 产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的，如观测者 的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也 会产生偶然误差。 粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差 是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的 观测值中占主导地位
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性 ，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且 误差个数越多，规律性越明显。 例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内 角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于 真值180°(表5-1) 工程测量学
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.4 等精度直接观测平差
除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一长 度等)的真值都是无法确知的，只有通过重复观测，才能对其作出 可靠的估计。在测量中，重复测量的目的还在于提高观测成果的精 度，同时也为了发现和消除粗差。 重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产 生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准 则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的 调整，给以适当的改正，从而求得观测值的最佳估值，同时对观测 测量平差 进行质量评估。人们把这一数据处理的过程称作测量平差。 直接观测平差 对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。据 观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差 结果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值)，最接近其真值，称为 “最或是值”。 最或然值
5.2.2
相对误差
中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用 绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为 100m和200m的两段距离，中误差皆为±0.02m。显然不能认为两段 距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差 的概念。相对误差K是误差m的绝对值与观测值D的比值：
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
负误差 个数 k 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 频率 k/n 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505 正误差 个数 k 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177 频率 k/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 个数 k 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358 合计 频率 k/n 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 1.00
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.4 等精度直接观测平差 5.4.1
求最或然值 在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最 或然值。 即 x=(l1 2+…+ln)/n=[l]/n (5-27) x=(l1+l+l2+…+ln)/n=[l]/n (5-27) 观测值与最或然值之差，称为“最或然误差”，用符号 vi(i=1,2,…n)来表示。 Vi=li-x (i=1,2,…n) (5-28) Vi=li-x (i=1,2,…n) (5-28) 将n 个最或是误差vi相加，有： [v]=[l]-nx=0 (5-29) (5-29)
②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正。如对 距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。
③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改正，又不能 采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖 轴的误差对水平角的影响，按规定对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平将 其影响减小到允许范围内。
2 2 2
(5-7)
1 y f () e 2
f () 1 是最大值 2 m
(5-4)
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.1
中 误 差
因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，m1较小，则曲线 形状较陡峭，如图5-3中f1(Δ)，表示该组观测精度较高；f2(Δ)的曲线 形状较平缓，其误差分布比较离散，m2较大，表明该组观测精度低。
如果令f(Δ)的二阶导数等于0， 可求得曲线拐点的横坐标：
f ()
1 2
3

2
2

-1 e


2 2 2
0
Δ=±σ≈±m (5-8) Δ=±σ≈±m 也就是说，中误差的几何意 义即为偶然误差分布曲线两个拐 点的横坐标。 工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
误差区间 dΔ 0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″ >24″ ∑
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差 比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频 率相近，最大误差不超过24″。
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述
5.1.2
观测误差的来源
观测误差来源于三个方面： ①观测者视觉鉴别能力和技术水平； ②仪器、工具的精密程度； ③观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果 的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相 同的各次观测，称为非等精度观测。 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近 于零。 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差
量。
设有一般函数 Z=f(X1,X2,…，Xn) (5-17) 式中X1、X2、…，Xn为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知
其中函数Z的中误差为mZ，各独立变量X1、X2，…Xn对应的观测值中误差 分别为m1,m2,…mn，如果知道了mz与mi之间的关系，就可由各变量的观测值中 误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与共函数的中误差之间的关系 式，称为误差传播定律。
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述
5.1.3
观测误差的分Байду номын сангаас及其处理方法
根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三 种，即 Δ =Δ 1+Δ 2+Δ 3 (5-2) ⑴粗差——是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往 往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。 产生的原因：疏忽大意、失职。 含有粗差的观测值都不能使用。在观测中应尽量避免出现粗差 ，发现粗差的有效方法是，进行必要的重复观测，通过多余观测条 件，采用必要而又严密的检核、验算等。
|m| 1 K D D |m|
(5-9)
上式中当m为中误差时，K称为相对中误差。 在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检 1 核。相对较差定义为： D -D D D D D (5-10)
往 返 平均 平均 平均
D
相对较差是相对真误差，它反映往返测量的符合程度。
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
第5章.测量误差的基本知识
本章要点: （1）熟悉测量误差的来源及其分类(重点)； （2）掌握衡量精度的指标，中误差的计算(重 点)； （3）掌握误差传播定律(难点)。
5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述 5.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。测量所获得的数值称为 观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异 称为测量误差 或 观测误差。 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δ i=Li-X (5-1) 式中Δ i就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
5.2.3
极限 误 差和容许误差 ⑴极限误差
上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差 在±σ范围以外的个数约占误差总数的32%；在±2σ范围以外的个 数约占4.5%；在±3σ范围以外的个数只占0.3%。 绝对值大于3σ的真误差出现的概率很小，因此可以认为±3σ是 真误差实际出现的极限，即3σ是极限误差： ΔΔ极限=3σ (5-14) (5-14) 极限=3σ
统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值 不超过一定的限值。(有限性) 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出 现的频率小。(密集性) 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(对称 性) 1 2 n 特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0， lim lim 0 (5-3) (5-3) n n 即(抵偿性) n n 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和，即 工程测量学
容
5.2.3
或
Δ容=3σ≈3m Δ容=3σ≈3m
(5-16) (5-16)
前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许 误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。
工程测量学
5 测量误差的基本知识 §5.3 误 差 传 播 定 律
前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以 中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接 进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲 测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经 纬仪测量竖直角α，以函数关系D=Scosα来推算。显然，在此情况下，函数D的中 误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定 律，称为误差传播定律。
5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
5.2.1
中 误 差
由式(5-5)定义的标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论上 的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中 定义中误差m作为衡量精度的一种标准：
[]2 m n
在式(5-4)中，当Δ=0时，以中 误差m代替标准差σ（图5－3）
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5 测量误差的基本知识 §5.1 观测误差概述
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
⑵系统误差——在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持 不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。主要是由于使用的仪器和工 具不够完善及外界条件改变所引起的。 在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有： ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响 。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等。
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5 测量误差的基本知识 §5.3 误 差 传 播 定 律
mz
m m
f 2 x1 2 1 f 2 x2
2 2

m
f 2 xn
2 n
(5-26)
上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意： 各观测值是相互独立的变量，而当li为未知量xi的直接观测值时，可 认为各li之间满足相互独立的条件。 利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。
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5 测量误差的基本知识 §5.2 衡量观测值精度的标准
极限 误 差和容许误差 ⑵容许误差 测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的 大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中 误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即 Δ容=2σ≈2m (5-15) Δ =2σ≈2m (5-15)