第8章 定量预测方法
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2
6 5 S 25 4 S 4 3 S
1 2 3 t t t
2 St(1) 2St(2) St(3) ct 2(1 ) 2
【例8-3】以某省公路旅客周转量(万人公里)为 预测对象,应用三次指数平滑法进行预测。历史 数据见下表所示
预测值
权值为1/2，1/3，1/6
ˆ Xt
绝对误差
权值为1/2，1/3，1/6
ˆ | Xt X t |
权值为5/9、1/3、1/9
权值为5/9、1/3、1/9
—— —— —— 248.50 257.00 267.00 273.87 265.67 259.83 266.50
—— —— —— 262.11 252.78 268.67 264.11 261.00 265.67 270.78
(3)建立直线预测模型 设时间序列{yt},从某时期开始具有直线趋势，且 认为未来时期亦按此直线趋势变化，并假定直线 趋势预测模型为：
ˆ y
a b T t T t t
当T=0时，at=yt
当T=-1时，yt-1=yt－ bt 当T=-2时，yt-2=yt－ 2bt …… 当T=-(n-1)时，yt-n+1=yt－ (n-1)bt
Mt
(1)
yt yt 1 yt n 1 n
yt ( yt bt ) [ yt (n 1)bt ] n
ny t [1 2 (n 1)]bt n
1 (n 1)nbt yt 2 n
n 1 yt bt 2
7.6 15.2 30.7 3.5
1968 1969
1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978
X t X t n M t 1 n n
表明由一次移动平均法得出的每一个新预测值是 对前一个预测值的修正
这修正包括加上最新观测值减去最早观测值 n越大，平滑效果越好：当随机性显著时，n大对 每一个新期值修正量不大
(4)优点
计算量少
移动平均法能较好地反映时间序列的趋势及其变 化
at 2S t(1) S t( 2) 2 60.5 58.5 62.5
0.3 (1) ( 2) S t S t 1 0.3 (60.5 58.5) 0.856 bt 1
T=5(对应2010年)
ˆ y t 5 a b T 62.5 0.856 5 66 .8(万元 ) t t
(5)适用于数据变化不大的近期预测
3.二次移动平均法
(1)计算公式
M t( 2)
1) 1 M t(1) M t(1 M t()n1 1 n 1 M t()i 1 n n i 1
(2)递推公式
M t( 2)
1 M t(1) M t()n 2 M t(1) n
【例8-3】用加权移动平均法预测例8-1的值。取n=3， 权重系数分别取1/2，1/3，1/6和5/9、1/3、1/9。
周期 (月)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
货运 量(t)
245
250
256
280
274
255
262
270
273
284
实际值Xt 245 250 256 280 274 255 262 270 273 284
由上表计算结果可知：
当n=3时，下个月的货运量预测值是275.67t；
当n=4时，下个月的货运量预测值是272.25t;
由于n=4时的平均绝对误差9.92小于n=3时的平 均绝对误差13.86。因此可认为取n=4时的预测模 型为好 因此，下个月的货运量预测值为272.25t
（预测值-实际值的平均值）的平方 求和 再除以 N-1
'(1) t
Cn 1M
'(1) t 1
C1M
'(1) t n 1
t+1期的预测值为
方法一：
ˆ y
方法二：
t 1
M
'(1) t
ˆ y
a b T t T t t
'(1) t
at 2 M
M
'( 2 ) t
2 '(1) '( 2 ) bt Mt Mt n 1
(3)递推计算公式
X t X t 1 X t n 1 Mt n
X t [ X t 1 X t n 1 X t n ] X t n n
X t X t 1 X t n 1 X t n X t n n n n
8.1.2指数平滑预测法
1.一次指数平滑法 设预测对象第 t 期的观察值为 yt,并设原始时间 序列为{y1,y2…,yk },令第t期的一次指数平滑值 为St(1)。则一次指数平滑值的递推计算公式为：
1 St1 yt 1 St1
在计算St(1)时,可令S0(1) =y1
第8章
8.1 8.2 8.3 时间序列法
定量预测方法
因果分析预测法 组合预测法
8.1
移动平均法 指数平滑法 灰色预测法 马尔柯夫预测法
时间序列法
时间序列预测方法有：
自回归预测法
神经网络预测法
8.1.1移动平均预测法
1．定义 取预测对象最近一组实际值的平均值作为预测 值的方法
2.一次移动平均法
St(1) St(2)
50 50 50.3 51.1 51.4 52.2 52.4 53.5 54.0 55.2 55.7 56.4 57.5 58.6 59.9 60.5
50 50 50.1 50.4 50.7 51.2 51.6 52.2 52.7 53.5 54.2 54.9 55.7 56.6 57.6 58.5
时间 0 1(1991) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 营运收入Xt —— 50 51 53 52 54 53 56 55 58 57 58 60 61 63 62
解：首先，对下表的数据进行一次和二次指数平 滑，α 取0.3，所得结果列入下表。
时间 0 1(1991) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 营运收入Xt —— 50 51 53 52 54 53 56 55 58 57 58 60 61 63 62
年份 1963 1964 1965 1966 1967 原值X(T) 34102 36911 43207 62492 65502 一次指数 平滑值 34102 34944 37423 44944 51111 二次指数 平滑值 34102 34354 35275 38176 42057 三次指数 平滑值 34102 34178 34507 35608 37542 三次指数 平滑预测值 34102 36630 43308 63184 误差WC(%)
类似有
Mt Mt
(1)
( 2)
n 1 bt 2
则：
at 2M
(1) t
M
( 2) t
2 (1) ( 2) bt Mt Mt n 1
【例8-2】某运输企业1991—2005年的营运收入 如下表：试用二次移动平均法预测该企业2010年 的营运收入 。(n=5)
时间 1(1991) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 营运收入Xt 50 51 53 52 54 53 56 55 58 57 58 60 61 63 62
T=5(对应2010年)
ˆ y a b T 62.8 1 5 67.8(万元 ) t 5 t t
即2010年营运收入的预测值为67.8万元
4．加权移动平均法
M M
'(1) t '(2) t
Cn X t Cn1 X t 1 C1 X t n 1 Cn M
ˆ X t 1 M t
【例8-1】某运输公司统计过去10个月的货运量， 如下表所示，试用一次移动平均法预测该公司下个 月的货运量。分别取n=3和n=4计算，并进行比较
周期 (月) 货运 量(t)
1
245
2
250
3
256
4
280
5
274
6
255
7
262
8
270
9
273
10
284
解：分别取n=3和n=4，利用一次移动平均值的公式 计算平均值，并与实际值进行比较，求出各预测值 的绝对误差值和平均绝对误差值。
即2010年营运收入的预测值为66.8万元
3.三次指数平滑法
St
3
St 1 St 1
2 3
S 0 y1
ˆ y a b T ct T t T t t
at 3S t(1) 3S t( 2 ) S t( 3) bt
2
3
2(1 )
实际值Xt
245 250 256 280 274 255 262 270 273 284
预测值 n=3 —— —— —— 250.33 262.00 270.00 269.67 263.67 262.33 268.33
ˆ Xt
n=4 —— —— —— —— 257.75 265.00 266.25 267.75 265.25 265.00
解：利用一、二次移动平均值的公式计算和值填 于表中
时间 1(1991) 营运收入Xt 50 Mt(1)(n=5) Mt(2)(n=5)
2
3 4 5 6
51
53 52 54 53 52.0 52.6
7
8 9 10 11
56
55 58 57 58
53.6
54.0 55.2 55.8 56.8 53.5 54.3 55.1
—— —— —— 31.50 17.00 12.00 11.83 4.33 13.17 17.50
—— —— —— 17.89 6.33 19.00 2.11 9.00 7.33 13.22
——
273.33
平均绝对误差
278.78
—— 13.86
—— 12.03
由上表计算结果可知： 当n=3时，权重系数为1/2，1/3，1/6时，下个 月的货运量预测值是273.33t； 当n=3时，权重系数为5/9、1/3、1/9时，下个 月的货运量预测值是278.78t; 由于权重系数为1/2，1/3，1/6时的平均绝对 误差13.33大于权重系数为5/9、1/3、1/9时的平 均绝对误差12.03。因此可认为取权重系数为5/9、 1/3、1/9时的预测模型为好 因此，下个月的货运量预测值为278.78t
绝对误差 n=3 —— —— —— 29.67 12.00 15.00 7.67 6.33 10.67 15.67
ˆ | Xt X t |
n=4 —— —— —— —— 16.25 10.00 4.25 2.25 7.75 19.00
——
275.67
平均绝对误差
272.25
—— 13.86
—— 9.92
12
13 14 15
60
61 63 62
57.6
58.8 59.8 60.8
55.9
56.9 57.8 58.8
at 2M t(1) M t( 2) 2 60.8 58.8 62.8 2 2 (1) ( 2) bt Mt Mt (60.8 58.8) 1 n 1 5 1
(1)方法
对原时间序列按一定的时间跨度逐项移动，计 算一系列的时间序列平均值，形成一个新的时间 序列，以消除短期的、偶然的因素引起的变动， 显现出长期趋势
(2)计算公式 设时间序列为X1，X2，…，则一次移动平均法的 计算公式为
X t X t 1 X t n1 1 n Mt X t i 1 n n i 1
2.二次指数平滑法
St St 1 St 1
2 1
2
在计算St(2)时,可令S0(2) =y1
ˆ y at b T t T t
at 2S
(1) t
Swk.baidu.com
( 2) t
St(1) St(2) bt 1
【例8-2】某运输企业1991—2005年的营运收入 如下表：试用二次指数平滑法预测该企业2010年 的营运收入。（ α 取0.3 ）
6 5 S 25 4 S 4 3 S
1 2 3 t t t
2 St(1) 2St(2) St(3) ct 2(1 ) 2
【例8-3】以某省公路旅客周转量(万人公里)为 预测对象,应用三次指数平滑法进行预测。历史 数据见下表所示
预测值
权值为1/2，1/3，1/6
ˆ Xt
绝对误差
权值为1/2，1/3，1/6
ˆ | Xt X t |
权值为5/9、1/3、1/9
权值为5/9、1/3、1/9
—— —— —— 248.50 257.00 267.00 273.87 265.67 259.83 266.50
—— —— —— 262.11 252.78 268.67 264.11 261.00 265.67 270.78
(3)建立直线预测模型 设时间序列{yt},从某时期开始具有直线趋势，且 认为未来时期亦按此直线趋势变化，并假定直线 趋势预测模型为：
ˆ y
a b T t T t t
当T=0时，at=yt
当T=-1时，yt-1=yt－ bt 当T=-2时，yt-2=yt－ 2bt …… 当T=-(n-1)时，yt-n+1=yt－ (n-1)bt
Mt
(1)
yt yt 1 yt n 1 n
yt ( yt bt ) [ yt (n 1)bt ] n
ny t [1 2 (n 1)]bt n
1 (n 1)nbt yt 2 n
n 1 yt bt 2
7.6 15.2 30.7 3.5
1968 1969
1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978
X t X t n M t 1 n n
表明由一次移动平均法得出的每一个新预测值是 对前一个预测值的修正
这修正包括加上最新观测值减去最早观测值 n越大，平滑效果越好：当随机性显著时，n大对 每一个新期值修正量不大
(4)优点
计算量少
移动平均法能较好地反映时间序列的趋势及其变 化
at 2S t(1) S t( 2) 2 60.5 58.5 62.5
0.3 (1) ( 2) S t S t 1 0.3 (60.5 58.5) 0.856 bt 1
T=5(对应2010年)
ˆ y t 5 a b T 62.5 0.856 5 66 .8(万元 ) t t
(5)适用于数据变化不大的近期预测
3.二次移动平均法
(1)计算公式
M t( 2)
1) 1 M t(1) M t(1 M t()n1 1 n 1 M t()i 1 n n i 1
(2)递推公式
M t( 2)
1 M t(1) M t()n 2 M t(1) n
【例8-3】用加权移动平均法预测例8-1的值。取n=3， 权重系数分别取1/2，1/3，1/6和5/9、1/3、1/9。
周期 (月)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
货运 量(t)
245
250
256
280
274
255
262
270
273
284
实际值Xt 245 250 256 280 274 255 262 270 273 284
由上表计算结果可知：
当n=3时，下个月的货运量预测值是275.67t；
当n=4时，下个月的货运量预测值是272.25t;
由于n=4时的平均绝对误差9.92小于n=3时的平 均绝对误差13.86。因此可认为取n=4时的预测模 型为好 因此，下个月的货运量预测值为272.25t
（预测值-实际值的平均值）的平方 求和 再除以 N-1
'(1) t
Cn 1M
'(1) t 1
C1M
'(1) t n 1
t+1期的预测值为
方法一：
ˆ y
方法二：
t 1
M
'(1) t
ˆ y
a b T t T t t
'(1) t
at 2 M
M
'( 2 ) t
2 '(1) '( 2 ) bt Mt Mt n 1
(3)递推计算公式
X t X t 1 X t n 1 Mt n
X t [ X t 1 X t n 1 X t n ] X t n n
X t X t 1 X t n 1 X t n X t n n n n
8.1.2指数平滑预测法
1.一次指数平滑法 设预测对象第 t 期的观察值为 yt,并设原始时间 序列为{y1,y2…,yk },令第t期的一次指数平滑值 为St(1)。则一次指数平滑值的递推计算公式为：
1 St1 yt 1 St1
在计算St(1)时,可令S0(1) =y1
第8章
8.1 8.2 8.3 时间序列法
定量预测方法
因果分析预测法 组合预测法
8.1
移动平均法 指数平滑法 灰色预测法 马尔柯夫预测法
时间序列法
时间序列预测方法有：
自回归预测法
神经网络预测法
8.1.1移动平均预测法
1．定义 取预测对象最近一组实际值的平均值作为预测 值的方法
2.一次移动平均法
St(1) St(2)
50 50 50.3 51.1 51.4 52.2 52.4 53.5 54.0 55.2 55.7 56.4 57.5 58.6 59.9 60.5
50 50 50.1 50.4 50.7 51.2 51.6 52.2 52.7 53.5 54.2 54.9 55.7 56.6 57.6 58.5
时间 0 1(1991) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 营运收入Xt —— 50 51 53 52 54 53 56 55 58 57 58 60 61 63 62
解：首先，对下表的数据进行一次和二次指数平 滑，α 取0.3，所得结果列入下表。
时间 0 1(1991) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 营运收入Xt —— 50 51 53 52 54 53 56 55 58 57 58 60 61 63 62
年份 1963 1964 1965 1966 1967 原值X(T) 34102 36911 43207 62492 65502 一次指数 平滑值 34102 34944 37423 44944 51111 二次指数 平滑值 34102 34354 35275 38176 42057 三次指数 平滑值 34102 34178 34507 35608 37542 三次指数 平滑预测值 34102 36630 43308 63184 误差WC(%)
类似有
Mt Mt
(1)
( 2)
n 1 bt 2
则：
at 2M
(1) t
M
( 2) t
2 (1) ( 2) bt Mt Mt n 1
【例8-2】某运输企业1991—2005年的营运收入 如下表：试用二次移动平均法预测该企业2010年 的营运收入 。(n=5)
时间 1(1991) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 营运收入Xt 50 51 53 52 54 53 56 55 58 57 58 60 61 63 62
T=5(对应2010年)
ˆ y a b T 62.8 1 5 67.8(万元 ) t 5 t t
即2010年营运收入的预测值为67.8万元
4．加权移动平均法
M M
'(1) t '(2) t
Cn X t Cn1 X t 1 C1 X t n 1 Cn M
ˆ X t 1 M t
【例8-1】某运输公司统计过去10个月的货运量， 如下表所示，试用一次移动平均法预测该公司下个 月的货运量。分别取n=3和n=4计算，并进行比较
周期 (月) 货运 量(t)
1
245
2
250
3
256
4
280
5
274
6
255
7
262
8
270
9
273
10
284
解：分别取n=3和n=4，利用一次移动平均值的公式 计算平均值，并与实际值进行比较，求出各预测值 的绝对误差值和平均绝对误差值。
即2010年营运收入的预测值为66.8万元
3.三次指数平滑法
St
3
St 1 St 1
2 3
S 0 y1
ˆ y a b T ct T t T t t
at 3S t(1) 3S t( 2 ) S t( 3) bt
2
3
2(1 )
实际值Xt
245 250 256 280 274 255 262 270 273 284
预测值 n=3 —— —— —— 250.33 262.00 270.00 269.67 263.67 262.33 268.33
ˆ Xt
n=4 —— —— —— —— 257.75 265.00 266.25 267.75 265.25 265.00
解：利用一、二次移动平均值的公式计算和值填 于表中
时间 1(1991) 营运收入Xt 50 Mt(1)(n=5) Mt(2)(n=5)
2
3 4 5 6
51
53 52 54 53 52.0 52.6
7
8 9 10 11
56
55 58 57 58
53.6
54.0 55.2 55.8 56.8 53.5 54.3 55.1
—— —— —— 31.50 17.00 12.00 11.83 4.33 13.17 17.50
—— —— —— 17.89 6.33 19.00 2.11 9.00 7.33 13.22
——
273.33
平均绝对误差
278.78
—— 13.86
—— 12.03
由上表计算结果可知： 当n=3时，权重系数为1/2，1/3，1/6时，下个 月的货运量预测值是273.33t； 当n=3时，权重系数为5/9、1/3、1/9时，下个 月的货运量预测值是278.78t; 由于权重系数为1/2，1/3，1/6时的平均绝对 误差13.33大于权重系数为5/9、1/3、1/9时的平 均绝对误差12.03。因此可认为取权重系数为5/9、 1/3、1/9时的预测模型为好 因此，下个月的货运量预测值为278.78t
绝对误差 n=3 —— —— —— 29.67 12.00 15.00 7.67 6.33 10.67 15.67
ˆ | Xt X t |
n=4 —— —— —— —— 16.25 10.00 4.25 2.25 7.75 19.00
——
275.67
平均绝对误差
272.25
—— 13.86
—— 9.92
12
13 14 15
60
61 63 62
57.6
58.8 59.8 60.8
55.9
56.9 57.8 58.8
at 2M t(1) M t( 2) 2 60.8 58.8 62.8 2 2 (1) ( 2) bt Mt Mt (60.8 58.8) 1 n 1 5 1
(1)方法
对原时间序列按一定的时间跨度逐项移动，计 算一系列的时间序列平均值，形成一个新的时间 序列，以消除短期的、偶然的因素引起的变动， 显现出长期趋势
(2)计算公式 设时间序列为X1，X2，…，则一次移动平均法的 计算公式为
X t X t 1 X t n1 1 n Mt X t i 1 n n i 1
2.二次指数平滑法
St St 1 St 1
2 1
2
在计算St(2)时,可令S0(2) =y1
ˆ y at b T t T t
at 2S
(1) t
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( 2) t
St(1) St(2) bt 1
【例8-2】某运输企业1991—2005年的营运收入 如下表：试用二次指数平滑法预测该企业2010年 的营运收入。（ α 取0.3 ）