【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(广东卷)(纯word书稿)

2012·广东卷(数学理科)1．[2012·广东卷] 设i 虚数单位，则复数5－6ii ＝( ) A ．6＋5i B ．6－5i C ．－6＋5i D ．－6－5i1．D [解析] 因为5－6i i ＝(5－6i )i i·i ＝5i ＋6－1＝－6－5i ，所以选择D.2．[2012·广东卷] 设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M ＝( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}2．C [解析] 因为U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，所以∁UM ＝{3,5,6}，所以选择C.3．[2012·广东卷] 若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)3．A [解析] ∵BC →＝BA →－CA →，∴BC →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.4．[2012·广东卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．y ＝x ＋1x4．A [解析] 根据函数图象，B 选项在(0，＋∞)上为减函数，C 也是减函数，D 在(0，＋∞)上有减区间也有增区间，所以A 是正确答案．5．[2012·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－15．B [解析] 作出可行域，如图所示．目标函数变形为：y ＝－3x ＋z ，平移目标函数线，显然当直线经过可行域中A 点时，z 最大，由⎩⎨⎧y ＝2，x －y ＝1 得A (3,2)，所以z max ＝3×3＋2＝11.所以选择B.6．[2012·广东卷] 某几何体的三视图如图1－1所示，它的体积为( )图1－1A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π6．C[解析] 根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥构成，圆柱与圆锥的半径R ＝3，圆锥的高h ＝4，圆柱的高为5，所以V 组合体＝V 圆柱＋V 圆锥＝π×32×5＋13×π×32×4＝57π，所以选择C.7．[2012·广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.197．D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y ，x ，则如果两位数之和是奇数，则x ，y 分别为一奇数一偶数：第一类x 为奇数，y 为偶数共有：C 15×C 15＝25； 另一类x 为偶数，y 为奇数共有：C 14×C 15＝20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P (A )＝545＝19.8．[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量和，定义∘＝α·ββ·β.若平面向量，满足||≥||>0，与的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且∘和∘都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则∘＝( )A.12 B ．1 C.32 D.528．C [解析] 本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决．根据新定义得：∘＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |≥cos θ>22， ∘＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |≤cos θ<1，且∘和∘都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，所以∘＝|b |cos θ|a |＝12，|b ||a |＝12cos θ，所以∘＝|a |cos θ|b |＝2cos 2θ<2，所以1<∘<2，所以∘＝32.所以选择C.9．[2012·广东卷] 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．9.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12 [解析] 当x ≤－2，不等式化为：－x －2＋x ≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x |x ≤－2}；当－2<x ≤0时，不等式化为：x ＋2＋x ≤1，解得x ≤－12，所以不等式的解集是：⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x ≤－12.当x >0时，不等式化为：x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时解集为空集．综上，不等式的解集为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12.10．[2012·广东卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)10．20 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 2(6－r )x －r ＝C r 6x12－3r，令12－3r ＝3，解得r ＝3，所以x 3的系数为：C 36＝20.11．[2012·广东卷] 已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.11．2n －1 [解析] 设等差数列的公差为d ，由于数列是递增数列，所以d >0，a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ，a 2＝a 1＋d ＝1＋d ，代入已知条件：a 3＝a 22－4得：1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，所以d ＝2(d ＝－2舍去)，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.12．[2012·广东卷] 曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．12．y ＝2x ＋1 [解析] 根据已知曲线方程求导得：y ′＝3x 2－1，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3－1＝2，所以根据点斜式方程得：y －3＝2(x －1)，即方程为：y ＝2x ＋1.13．[2012·广东卷] 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．图1－213．8 [解析] 考查程序框图的循环结构，突破口是计算每一次循环的情况，计算运算结果与执行情况，直到不满足条件为止，第一次循环：s ＝2，i ＝4，k ＝2；第二次循环：s ＝12×(2×4)＝4，i ＝6，k ＝3；第三次循环：s ＝13×(6×4)＝8，i ＝8，k ＝4，此时不满足条件：i <n ，结束循环，输出s ＝8.14．[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．14．(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎨⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．图1－315．[2012·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，圆O 的半径为1，ABC 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.15.3 [解析] 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等，解题关键是通过连接OA ，在△AOP 中利用勾股定理求出．连接OA ，则OA ⊥P A ，根据圆周角定理得：∠AOP ＝60°，所以PO ＝2，OA ＝1，在直角三角形AOP 中利用勾股定理得：P A ＝OP 2－OA 2＝ 3.16．[2012·广东卷] 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．16．解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α，1617＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝2cos β，∴sin α＝35，cos β＝817. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.17．[2012·广东卷] 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．图1－417．解：(1)由题设可知(3×0.006＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1， 解之得x ＝0.018.(2)由题设可知，成绩在区间[80,90)内的人数为0.018×10×50＝9， 成绩在区间[90,100]内的人数为0.006×10×50＝3，所以不低于80分的学生人数为9＋3＝12，ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.所以ξ的数学期望Eξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12.18．[2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．图1－518．证明：(1)⎭⎬⎫PC ⊥平面BDE BD ⊂平面BDE ⇔PC ⊥BD .⎭⎬⎫P A ⊥平面ABCD BD ⊂平面ABCD ⇒P A ⊥BD .∵P A ∩PG ＝P ，P A ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ， ∴BD ⊥平面P AC .(2)法一：如图所示，记BD 与AC 的交点为F ，连接EF .由PC ⊥平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，EF ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BE ，PC ⊥EF .即∠BEF 为二面角B －PC －A 的平面角． 由(1)可得BD ⊥AC ，所以矩形ABCD 为正方形，AB ＝AD ＝2， AC ＝BD ＝22，FC ＝BF ＝ 2.在Rt △P AC 中，P A ＝1，PC ＝P A 2＋AC 2＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.法二：以A 为原点，AB →AD →AP →的方向分别作为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． 于是PC→＝(b,2，－1)，DB →＝(b ，－2,0)． 因为PC ⊥DB ，所以PC →·DB→＝b 2－4＝0，从而b ＝2.结合(1)可得DB→＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量． 现设＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则 ⊥BC →，⊥PC →，即·BC →＝0，·PC →＝0. 因为BC→＝(0,2,0)，PC →＝(2,2，－1)， 所以2y ＝0,2x －z ＝0. 取x ＝1，则z ＝2，＝(1,0,2)． 令θ＝〈，DB →〉，则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝25·22＝110，sin θ＝310，tan θ＝3. 由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3.19．[2012·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈*，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．解：(1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 1－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13. 因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而 a 1＝1.(2)由题设条件知，n ≥2时， 2S n －1＝a n －2n ＋1， 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1. ∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，于是 a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2， 因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n ， 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )． 又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n }是以3为首项，3为公比的等比数列． 故a n ＋2n ＝3n ，即a n ＝3n －2n .(3)∵a n ＝3n －2n ＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1， ∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n1－13<32.20．[2012·广东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点AB，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．20．解：(1)∵e＝23＝ca＝a2－b2a，∴a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为x23b2＋y2b2＝1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2≤6＋3b2，y∈[－b，b]．由题设存在点P，满足|P1Q|＝3，则9＝|P1Q|2≤6＋3b2，∴b≥1.当b≥1时，由于y＝－1∈[－b，b]，此时|PQ|2取得最大值6＋3b2. ∴6＋3b2＝9⇒b2＝1，a2＝3.故所求椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大．假设直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点AB，则圆心O到l 的距离d＝1m2＋n2<1.因为点M(m，n)∈C，所以m23＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.∵|AB|＝21－d2＝2m2＋n2－1 m2＋n2，∴S△OAB ＝12·|AB|·d＝m2＋n2－1m2＋n2＝23|m|1＋23m2≤23|m|21·23m2＝12.上式等号成立当且仅当1＝23m2⇒m2＝32·∈(0,3]，因此当m ＝±62，n ＝±22时等号成立．所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值12.21．[2012·广东卷] 设a <1，集合A ＝{x ∈|x >0}，B ＝{x ∈|2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．21．解：(1)x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0.令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)．①当13<a <1时，Δ<0，∴∀x ∈，h (x )>0.∴B ＝.于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋134＝1，∴B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4， x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4. ∵x 1<x 2且x 2>0，∴B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)．又∵x 1>0⇔a >0，所以i)当0<a <13时，D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；ii)当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．当a <1时，f (x )在上的单调性如下表：①当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)．由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D 内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．∵x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a －(3－5a )2－16a 24≥14(3＋3a －(3－5a ))＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a ＋(1－3a )2＋(8－24a )4>3＋3a ＋(1－3a )4＝1， ∴a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点．④当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)且x 2>1.由表可得，f(x)在D内单调递增．因此f(x)在D内没有极值点．。