2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练
2020年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2020年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 2．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6) 答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →答案 A解析 如图所示，∵D 为△ABC 的边AB 的中点， ∴CA →＋CB →＝2CD →， ∴CB →＝2CD →－CA →.4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线 答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点A ，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C 为(x ，y )， 则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1， 整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆．二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°， 所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ， 则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．答案185或0解析 方法一 ∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.由向量系数m ＋⎝⎛⎭⎫32－m ＝32为常数，结合等和线定理可知|P A →||PD →|＝321. 故PD ＝23P A ＝6，AD ＝P A －PD ＝3＝AC ，当D 与C 重合时，CD ＝0；当D 与C 不重合时，得∠ACD ＝∠ADC ， ∴∠CAD ＝π－2∠ACD .在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝35.在△ADC 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin ∠ACD，∴CD ＝sin (π－2∠ACD )sin ∠ACD ·AD ＝sin 2∠ACDsin ∠ACD ·AD＝2cos ∠ACD ·AD ＝2×35×3＝185.综上，CD ＝185或0.方法二 如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (0,3)，B (4,0)，AC →＝(0,3)，CB →＝(4，－3)．∵P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →＝32PC →＋m (PB →－PC →)＝32(P A →＋AC →)＋mCB →＝32P A →＋32AC →＋mCB →， ∴－12P A →＝32(0,3)＋m (4，－3)＝⎝⎛⎭⎫4m ，92－3m ， ∴P A →＝(－8m,6m －9)．∵|P A →|＝9，∴64m 2＋(6m －9)2＝81， ∴m ＝2725或m ＝0，当m ＝2725时，P A →＝⎝⎛⎭⎫－21625，－6325， ∴P ⎝⎛⎭⎫21625，6325，∴k P A ＝63216＝724.由⎩⎨⎧y ＝724x ，x 4＋y3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝7225，y ＝2125，∴D ⎝⎛⎭⎫7225，2125， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫0－72252＋⎝⎛⎭⎫3－21252＝8 100252＝9025＝185. 当m ＝0时，P A →＝(0，－9)， ∴P (0,9)，此时C 与D 重合，CD ＝0. 综上，CD ＝185或0.6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )， 则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )， 故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2， 得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2， 化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5) ＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5 ＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829.7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.。
2020高考真题汇编7：平面向量(文)
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
2．答案：A
解析：设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
2020高考真题汇编7：平面向量
一、选择题
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()
A．a+2bB．2a+bC．a–2bD．2a–b
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为()
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
7．【2020年高考浙江】已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 的最小值是_______．
8．【2020年高考江苏】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是____________．
参考答案
1．答案：D
解析：由已知可得： .
故答案为：0或 .
7．答案：
解析： ， ，
，
.
故答案为： .
8．答案：
解析：∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ，
，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
(完整版)平面向量题型归纳总结
平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。
注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）A.AB CD =B.AB AD BD -=C.AD AB AC +=D.AD BC +=07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 、AB BA =-。
例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
其中正确的是_______题型1、基本概念 1：给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ⋅=；⑦00a ⋅=； 其中正确的序号是 。
2020年高考数学(文)热点专练06 平面向量、复数(解析版)
热点06 平面向量、复数【命题趋势】 复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量. 【知识点分析以及满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解. 【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2019·江西临川一中高考模拟（文））已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D . 【名师点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.2．（2019·平罗中学高三期中（文））已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=r r r r r ，则向量a r 与向量br的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=⇒=r r r r r ，所以.1cos ,2.a b a b a b 〈〉==rr r r r r，所以夹角为3π，故选择C 考点：向量的运算3．（2019·天津高考模拟（文））i 为虚数单位，则复数432ii+=+（ ） A ．11255i - B ．11255i + C ．11255i -+ D ．11255i -- 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数43i2i++，则答案可求． 【详解】∵()()()()43i 2i 43i 112i 112i 2i 2i 2i 555+-++===+++- ∵复数43i 112i 2i 55+=++ 故选：B 【名师点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题． 4．（2019·山东高考模拟（文））若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．||2z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --【答案】C 【解析】 【分析】先得到复数z 的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】由题意得22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 对于A ，由1z i =-得复数z 的虚部为1-，所以A 不正确．对于B ，1z i =-=，所以B 不正确．对于C ，由于22(1)2z i i =-=-，所以2z 为纯虚数，所以C 正确．对于D ，1z i =-的共轭复数为1z i =+，所以D 不正确． 故选C ． 【名师点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．5．（2019·广西高三（文））若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A 【解析】因为1zi i=-，所以，()11z i i i =-=+，所以，1z i =-故选：A. 考点：复数的概念与运算.6．（2019·辽宁高三期中（文））已知i 表示虚数单位,则复数21ii +的模为A B ．1C D ．5【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后利用复数模的公式求解即可.【详解】()()()2i 1i i 2i2i 12i 12i 15-++=++-+Q ，i 2i 155∴==+，故选A. 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．（2019·安徽高考模拟（文））设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A ．-2 B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数()()i 12i a ++，再由实部为0且虚部不 为0列式求得a 值. 【详解】()()()()i 12i 221i z a a a =++=-++Q 为纯虚数， 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选B.【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．（2019·北京人大附中高考模拟（文））在复平面内与复数21izi=+所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1i+B．1i-C．1i--D．1i-+【答案】B【解析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．【详解】Q复数()()()2121111i iiz ii i i-===+++-，∴复数的共轭复数是1i-，就是复数21izi=+所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；故选：B．【名师点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．9．（2019·安徽高考模拟（文））已知复数11izi+=-，则i z+=（）A．0B．1C D．2【答案】D【解析】根据复数的运算法则，求得221ii zi++=-，再根据复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意复数11i z i +=-，则212211i i i ii z i i ++-++==--，所以2i z +==，故选D. 【名师点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10．（2019·泉州第十六中学高三期中（文））向量(1,1)a =-r，(1,0)b =r，若()(2)a b a b λ-⊥+r r r r，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】C 【解析】试题分析：，()(2)a b a b λ-⊥+r r r rQ ，()(2)0a b a b λ∴-⋅+=r r r r得得，故选C.考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.11．（2019·宁夏银川一中高三月考（文））已知(1)i z i +⋅=-，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数的除法运算求得z ，进而得z ，从而可得解. 【详解】由(1)i z i +⋅=-，可得(1)11222i i i i z i ---===--+. 所以122iz =-+对应的点11(,)22-位于复平面内的第二象限. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.12．（2019·湖北高考模拟（文））已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D【解析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可． 【详解】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，2），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∵BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u ru u u ru u u r（λ，μ∵R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易得其值域为[1，2] 故选：D ．【名师点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题． 13．（2019·台山市华侨中学高考模拟（文））设i 为虚数单位,m R ∈,“复 数()1m m i -+ 是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】先求得“复数()1m m i -+是纯虚数”时m 的值，再根据充分、必要条件的判断依据，判断出正确选项. 【详解】解：复数()1m m i -+是纯虚数,则0m =或1m =,所以“复数()1m m i -+是纯虚数”不是“1m =”的充分条件；当1m =时,复数为i ,是纯虚数,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要条件, 所以“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要不充分条件．故选B ．【名师点睛】本题考查复数的基本概念,属于基础题,直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．14．（2019·宁夏银川一中高三月考（文））设向量(2,1),(,1)a x b x =+=r r , 则"1"x =是“//a b r r”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出a b rr ‖的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论． 【详解】a br r ‖的充要条件为()21x x =+，即2x =-或1x =， Q “1x =”是“2x =-或1x =”成立的充分不必要条件，∴“1x =”是“a brr ‖”的充分不必要条件， 故选A ． 【名师点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断．15．（2019·甘肃高考模拟（文））若ABC △外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=u u u v u u u v u u u v v且||||OA AB =u u u r u u u r ,则CA CB ⋅u u u r u u u r等于（ ）A ．32B C ．D ．3【答案】D 【解析】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到OB OC =-u u u r u u u r，得到BC 为直径，所以ABC ∆为直角三角形，求出三边的长求得ACB ∠的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得CA CB ⋅u u u r u u u r的值．详解：因为20OA AB AC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以0OA AB OA AC +++=u u u v u u u v u u u v u u u v v，所以OB OC =-u u u r u u u r，所以,,O B C 三点共线，且BC 为直径，如图所示，所以AB AC ⊥，因为1,2,OA AB BC AC ====u u u v u u u v 6ACB π∠=，则cos 36CA CB CA CB π⋅=⋅==u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D ．【名师点睛】：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出ABC ∆为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．16．（2019·河北高考模拟（文））若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 17．（2019·河南高三期中（文））如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r （x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出,x y 满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当P 在线段AB 上时，1x y +=，当P 点在线段MN 上时，2x y +=，∵当P 在四边形ABNM 内（含边界）时，1200x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（＊），又111211y x x y y +=+++++，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，11y x ++表示可行域内点(,)x y 与(1,1)P --连线的斜率，由图形知0(1)12(1)3PBk --==--，2(1)30(1)PCk --==--，即11331y x +≤≤+，∵11331x y +≤≤+，11314411x y ≤≤+++，故选C.【名师点睛】、在平面向量的线性运算中，如图OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r，,x y 的范围可仿照直角坐标系得出，OA u u u r ，OB uuu r类比于,x y 轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（,,O OA OB u u u v u u u v）中也有四个象限，如第∵象限有00x y >⎧⎨>⎩，第∵象限有00x y <⎧⎨>⎩，第∵象限有00x y <⎧⎨<⎩，第∵象限有00x y >⎧⎨<⎩，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.18．（2019·天津高考模拟（文））在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最小值时，AP BC ⋅=u u u r u u u rA ．35B ．9-C ．7D ．25-【答案】B【解析】由题意结合平面向量的定义可得2CAB π∠=，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当222PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v 取得最小值时点P 的坐标，然后求解AP BC ⋅u u u v u u u v的值即可.【详解】2||||cos ||BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，||cos ||BC B BA ∴⋅=u u u r u u u r ，CA AB ∴⊥u u u r u u u r ，2CAB π∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则(6,0),(0,3)B C ，设(,)P x y ，则222222222(6)(3)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u u r u u u u r u u u u r222231236453(2)(1)10x x y y x y ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++u u u u r u u u u r u u u u r取最小值， 此时(2,1)(6,3)9AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r.故选：B . 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题19．（2019·北京高考模拟（文））已知平面向量()()2,1,1,a b x =-=v v,若//a b r r ,则x =________. 【答案】12-【解析】由向量垂直的充分必要条件可得：()2110x ⨯+⨯-=，据此确定x 的值即 由向量垂直的充分必要条件可得：()2110x ⨯+⨯-=，解得：12x =-.故答案为：12-． 【名师点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题. 20．（2019·河北辛集中学高三期中（文））设(0,)2πθ∈，向量(cos ,2)a θ=r，(1,sin )b θ=-r ，若a b ⊥r r，则tan θ=__________．【答案】12【解析】从题设可得cos 2sin 0θθ-+=，即1tan 2θ=，应填答案12. 21．（2018·北京高考模拟（文））在∵ABC 中，90C ∠=o ，30B ∠=o ，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +u u u r u u u r的取值范围为____.【答案】 【解析】【分析】以C 为坐标原点，CB CA ，所在直线为x y ，轴建立直角坐标系，求得点A B C ，， 的坐标，即有直线AB 的方程，设P x y （，），求得 PB x y PC x y =-=--u u u v u u u v（，），（，），再由向量的平方即为模的平方，转化为二次函数的最值，即可得到所求取值范围． 【详解】以C 为坐标原点，CB CA ，所在直线为x y ，轴建立直角坐标系，可得0002230C A B （，），（，），（，）， 则直线AB 的方程为1223y+=，设P x y （，），则20y x =≤≤PB x y PC x y =-=--u u u v u u u v（，），（，），则|22222PB PC x y +=+u u u v u u u v （）（）2222441244212x y x （=+-+=+--+22161628333x x x （，=-+=-+由[0x =，可得PB PC +u u u v u u u v 的最小值为，0x =时，则PB PC +u u u v u u u v的最大值为即PB PC +u u u v u u u v的取值范围为．故答案为：．【名师点睛】本题考查向量的加减运算，考查向量的模的求法，以及二次函数的最值求法，考查转化思想和坐标法的运用，以及运算能力，属于中档题．22．（2019·四川仁寿一中高考模拟（文））如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，2AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为__________．【答案】214【解析】 【详解】分析：设,0DE x x =≤≤()()AE BE AD DE BD DE ⋅=+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2AD BD AD DE DE BD DE =⋅+⋅+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接BD ，已知120,2BAD AB AD ∠===o，30,ADB ABD BD ∴∠=∠==o ，又,AB BC AD CD ⊥⊥，60,CDB CBD CD BD ∴∠=∠===o设,0DE x x =≤≤()()AE BE AD DE BD DE ∴⋅=+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2AD BD AD DE DE BD DE =⋅+⋅+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22cos300cos120x x o o =⨯+++222146x x ⎛=+=-+ ⎝⎭，当x =时，AE BE ⋅u u u r u u u r 有最小值214，故答案为214.【名师点睛】：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a bθ⋅=⋅r r r r （此时a b ⋅r r往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r上的投影是a b b⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r的模（平方后需求a b ⋅r r ）.23．（2019·天津高考模拟（文））平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD的中点．若AB 2=u u u r 且1=AD u u u r ，DAB 60︒∠=，则AP CP ⋅u u u r u u u r_______．【答案】2516-【解析】试题分析：()AP CP AP AP AC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,由已知：11113()(),22244AP AM AD AB AD AD AB AD AC AB AD⎡⎤=+=++=+=+⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3144AP AC AB AD -=--u u u r u u u r u u ur u u u r221331331025444416161616AP CP AB AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+⋅+=---⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：向量的数量积的计算24．（2018·河北衡水中学高考模拟（文））已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r ，则实数m =_____【答案】2【解析】先点乘向量AB →，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果. 【详解】两边同点乘向量AB →，可得，2cos cos 2sin sin B C AB AC AB m AO AB C B+⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2cos cos cos 2sin sin B Cc b c A m AO AB C B+⋅=⋅⋅u u u r u u u r 由向量投影得22=22ABc AO AB ⋅=u u u r u u u r u u u r， 所以22cos cos cos sin sin B C c b c A m c C B +⋅=⋅，cos cos cos sin sin B Cc b A m c C B+=⋅ 由正弦定理知： cos cos cos sin B C A m C +=，cos cos cos cos()cos cos sin sin sin sin sin sin 2B C A A C C A A C m A C C C π+--+⇒=====【名师点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式， 考查基本分析与求解能力.25．（2019·四川高考模拟（文））直线x y a +=与圆C ：()2212x y -+=交于A ，B 两点，向量CA u u u r ，u u rCB 满足CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数a 的取值集合为______.【答案】{1【解析】根据条件可以得到CA CB ⊥u u u r u u u r，从而得出点C 到直线x y a +=的距离为1，进而利用点到直线的距离公式求出a . 【详解】解：由CA u u u r ，u u r CB 满足CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得CA CB ⊥u u u r u u u r ，圆C ：()2212x y -+=的圆心为()1,0，点C 到直线x y a +=的距离为1，由1d ==，得1a =±故实数a 的取值集合为{1. 【名师点睛】本题考查了直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识.。
高考数学平面向量多选题知识点总结附解析
高考数学平面向量多选题知识点总结附解析一、平面向量多选题1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ）A ．212AO AB AB ⋅= B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB B AC C +共线 【答案】ACD 【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos ABAC AB BAC C +与BC 垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确； ··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC CAB B AC C π⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos ABACAB B AC C +与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴cos cos ABACAB B AC C +与AH共线，故D 正确.故选：ACD.【点睛】 本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.2．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误.对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确. 对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BDcosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误.故选：BC.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证； （2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明. 3．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【详解】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又2cos ,222a b a b a b ⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.【点睛】 关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ） A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅， ||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,6D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,223AC BD ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=12331=0236⨯-⨯-≠，故A 错误； 324OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,6ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解.5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++=D ．13DE = 【答案】AC【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =，所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(,1,0,1,0,O A B C ⎛- ⎝⎭，所以1,1,0,0,2222OA OB OC ⎛⎛⎫⎛⎛++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以32OA OB OC ++=，故正确；D ．因为()1,,0,033D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1,33DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以133DE =，故错误， 故选：AC.【点睛】 关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-【答案】ACD 【分析】 A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦，∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形： 由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=- B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22-【答案】AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos 4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos||42AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．8．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ）A ．-2B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+-若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠故选：ABD【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD【分析】 根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -= 22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确． 若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量（附解析）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则三角形法则（1）向量0()≠a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得λ=b a．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1λ，2λ，使12λλ=+a e e．其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11(,)x y=a，22(,)x y=b，则1212(,)x x y y+=++a b，1212(,)x x y y-=--a b，11(,)x yλλλ=a，||=a3．平面向量共线的坐标表示设11(,)x y=a，22(,)x y=b，其中0≠b．1221//0x y x y=-=a b．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos θa b 叫做向量a 和b 的数量积，记作||||cos θ⋅=a b a b ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：||cos ,<>a a b 叫做向量a 在b 方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 （1）1212x x y y ⋅=+a b（2）121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b （3）cos ,<>=a b1．在△ABC 中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r等于（ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 2．已知点(1,2)A -，若向量||AB uuu r 与(2,3)=a同向，||AB =u u u rB 的坐标为________．3．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且(2)⊥+a a b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π4．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点满足OP OA λ=+u u u r u u u r()(0)||sin ||sin AB AC AB B AC Cλ+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）P 经典常规题（45分钟）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1．在△ABC中，AB =u u u r ，(3,0)BC =u u u r，则角B 的大小为 ．2．已知||=a ||3=b ，a ，b 的夹角为45︒，当向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角时，求实数的取值范围 ．1．已知平面向量2(3,)3=a ，(,2)m =b ，且//a b ，则32-=a b （ ） A ． (2,9)-- B ．(9,2)-- C ．(9,2) D ．(2,9)2．已知向量(AB =u u u r，AC =u u u r，则BAC ∠=（ ）A ．45︒B ．120︒C ．30︒D ．60︒3．已知等边△ABC 内接于O e ，D 为线段OA 的靠近点A 的三等分点，则BD =u u u r（ ）A ． 2136BA BC +u u u r u u u r B ．2139BA BC +u u u r u u u r C ．7196BA BC +u u u r u u u r D ．7199BA BC +u uu r u u u r4．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a ，|2|2-=a b ，则||b 等于（ ）A．4 C ．2 D．5．给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 与OB uuu r，它们的夹角为120︒，如图所示，已知OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中,x y ∈R ，且满足12x y +=，则||OC u u u r 的最小值为（ ） λ精准预测题高频易错题A ．14 B ．12 C．2 D ．16．已知e 为单位向量，||2=a ，a 与e 的夹角为56π，则a 在e 方向上的投影为 ．7．已知(1,2)=a，=b ，若λ+a b 与λ-a b 垂直，则λ= ． 8．如图所示，若四边形ABCD 为正方形，且边长为2，E 为AB 边上的动点．（1）若2AE EB =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，试用a ，b 表示CE u u u r ，DE u u u r，并求出CE DE ⋅u u u r u u u r的值； （2）求DE CB ⋅u u u r u u u r的值； （3）求DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值．2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量（解析）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则三角形法则（1）向量0()≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得λ=b a ．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使12λλ=+a e e ．其中，不共线的非零向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y +=++a b ，1212(,)x x y y -=--a b ，11(,)x y λλλ=a，||=a3．平面向量共线的坐标表示设11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，其中0≠b ．1221//0x y x y =-=a b ．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos θa b 叫做向量a 和b 的数量积，记作||||cos θ⋅=a b a b ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：||cos ,<>a a b 叫做向量a 在b 方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 （1）1212x x y y ⋅=+a b（2）121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b(3)cos ,<>=a b1．在△ABC 中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r等于（ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 【答案】A【解析】如图，2221()3333AD AB BD BC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r c c b c b c ．经典常规题2．已知点(1,2)A -，若向量||AB uuu r 与(2,3)=a同向，||AB =u u u rB 的坐标为________． 【答案】(5,4)【解析】∵向量||AB uuu r 与a 同向，∴设(2,3)(0)AB t t t =>u u u r，由||AB =u u u r，∴2249413t t +=⨯，∴24t =．∵0t >，∴2t =，∴(4,6)AB =u u u r．设B 为(,)x y ，∴1426x y -=⎧⎨+=⎩，∴54x y =⎧⎨=⎩，故B 的坐标为(5,4)．3．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且(2)⊥+a a b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ． 3πB ．2πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】因为(2)⊥+a a b ，所以2(2)20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以2||||cos 2||θ=-a b a ，又||4||=b a ，所以1cos 2θ=-，∴23πθ=，故选C ． 4．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点满足OP OA λ=+u u u r u u u r()(0)||sin ||sin AB AC AB B AC Cλ+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 【答案】DP【解析】作出如图所示的图形，AD BC ⊥，由于||sin ||sin ||AB B AC C AD ==u u u r u u u r u u u r，∴()()||sin ||sin ||AB AC OP OA OA AB AC AB B AC C AD λλ=++=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()OP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此P 在三角形的中线上，故动点P 的轨迹一定过△ABC 的重心， 故答案为D ．1．在△ABC中，AB =u u u r ，(3,0)BC =u u u r，则角B 的大小为 ．【答案】23π 【解析】根据向量夹角的定义，向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角应是角B 补角，所以31cos()232||||AB BC B AB BC π⋅-===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又(0,)B ππ-∈，所以3B ππ-=，从而23B π=． 2．已知||=a ||3=b ，a ，b 的夹角为45︒，当向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角时，求实数的取值范围 ． 【答案】5(,1)(1,)12-+∞Uλ高频易错题（45分钟）【解析】||||cos 453⋅=︒=a b a b ，因为向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角，所以()()0λ+⋅+>a b a b ， 由22()()(1)1250λλλλ+⋅+=++⋅+=+>a b a b a a b b ，得512λ>-， 当向量λ+a b 与λ+a b 方向相同时，1λ=，即当1λ=时，虽然()()0λ+⋅+>a b a b ，但向量λ+a b 与+a b 夹角为0︒，所以λ的取值范围是5(,1)(1,)12-+∞U ．1．已知平面向量2(3,)3=a ，(,2)m =b ，且//a b ，则32-=a b （ ） A ． (2,9)-- B ．(9,2)-- C ．(9,2) D ．(2,9) 【答案】B【解析】∵//a b ，∴2323m ⨯=，得9m =， ∴(9,2)=b ，3(9,2)=a ，2(18,4)=b ，∴32(9,2)-=--a b ．2．已知向量(AB =u u u r，AC =u u u r，则BAC ∠=（ ）A ．45︒B ．120︒C ．30︒D ．60︒ 【答案】D【解析】由题意得1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴60BAC ∠=︒．精准预测题3．已知等边△ABC 内接于O e ，D 为线段OA 的靠近点A 的三等分点，则BD =u u u r（ ）A ． 2136BA BC +u u u r u u u r B ．2139BA BC +u u u r u u u r C ．7196BA BC +u u u r u u u r D ．7199BA BC +u uu r u u u r【答案】D【解析】如图所示，延长AO 交线段BC 于E ，可知E 为BC 中点， 则112333BD BA AD BA AO BA AE=+=+=+⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222171()999299BA AB BE BA BA BC BA BC =++=-+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D ．4．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a ，|2|2-=a b ，则||b 等于（ ）A ．4 C ．2 D ．【答案】C【解析】∵向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a |2|2-=a b ，∴2|2|4-=a b ，即224||||44+-⋅=a b a b ，∴242||4||cos 454⨯+-⋅︒=b b ，28||4||4+-=b b ，即2||4||40-+=b b ，解得||2=b ．5．给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 与OB uuu r，它们的夹角为120︒，如图所示，已知OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中,x y ∈R ，且满足12x y +=，则||OC u u u r 的最小值为（ ）A ． 14B ．12 C．2 D ．1【答案】B【解析】如下图所示，以O 为平面直角坐标原点，OA 方向为x 的正方向，与OA 垂直方向为y 轴， 建立平面直角坐标系，则(2,0)A，(B -，(2)OC xOA yOB x y =+=-u u u r u u u r u u u r． ∵12x y +=，∴1(3,)22OC x =-u u u r ，222213||9333126144OC x x x x x x =-+++-=-+u u u r ，当14x =时，2||OC u u u r 有最小值为11112611644⨯-⨯+=，∴||OC u u u r 的最小值为12．6．已知e 为单位向量，||2=a ，a 与e 的夹角为56π，则a 在e 方向上的投影为 ．【答案】【解析】依题意有a 在e 方向上的投影为5||cos ,2cos 6π⋅<>==a a e ．7．已知(1,2)=a ，=b ，若λ+a b 与λ-a b 垂直，则λ= ．或【解析】(2λλλ+=-a b ，(1,2)λ-=a b ，∵λ+a b 与λ-a b 垂直，∴()(2)0λλ+++=，20λ+=，解得2λ=或 8．如图所示，若四边形ABCD 为正方形，且边长为2，E 为AB 边上的动点．（1）若2AE EB =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，试用a ，b 表示CE u u u r ，DE u u u r，并求出CE DE ⋅u u u r u u u r的值； （2）求DE CB ⋅u u u r u u u r的值； （3）求DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值．【答案】（1）13CE =--u u u r b a ，23DE =-+u u u r b a ，289CE DE ⋅=u u u r u u u r ；（2）4；（3）4．【解析】（1）1133CE CB BE AD EB AD AB =+=--=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ，DE DA AE AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r 2233AE AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u u rb a ，221212828()()||||4333999CE DE ⋅=--⋅-+=-⋅-=-=u u u r u u u r b a b a b a b a ．（2）设AE AB λ=u u u r u u u r，则2()()()()||4DE CB AE AD AD AB AD AD AB AD AD λλ⋅=-⋅-=-⋅-=-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． （3）设AE AB λ=u u u r u u u r，则22()()||||4DE DC AE AD AB AB AD AB AB AB AD AB λλλλ⋅=-⋅=-⋅=-⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵E 在线段AB 上，∴01λ≤≤，故当1λ=时，DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值为4．。
高考数学平面向量专题复习(含答案)(2020年九月整理).doc
（1）求证： 且 ；
（2）设向量 ， ，且 ，求实数t的值．
23、已知 ，设 ．
（1）求 的解析式并求出它的周期T．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，求△ABC的面积.
24、已知 为圆 : 上一动点，圆心 关于 轴的对称点为 ,点 分别是线段 , 上的点，且 , 。
4、．如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高， 为线段 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
5、在平行四边形 中， ，若 是 的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
6、已知向量 ， 且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7、已知 是边长为2的等边三角形，D为 的中点，且 ，则 ( )
A. B.1 C. D. 3
(2) 若x， y在[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为 ，满足 的基本事件的结果为 ．
画出图形如图，正方形的面积为 ，阴影部分的面积为 ，
故满足 的概率为 ．
22、（1）证明： ，所以 ，因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
由（1）得：
所以 ，解得 ．
23、解析：（1）
...........4分
三、简答题
19、已知平面直角坐标系中，向量 ， ，且 .
（1）求 的值；（2）设 ，求 的值．
20、已知向量 ＝(sin ，cos ﹣2sin )， ＝(1，2)．
（1）若 ∥ ，求 的值；
（2）若 ，0＜ ＜ ，求 的值．
21、已知向量 ， ．(1)若 在集合 中取值，求满足 的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足 的概率.
15、
2020年高考平面向量常考题型总结
平面向量题型分类题型一：向量模的求法 r r r _ r r r 【例1】设向量a, b 满足|a| 1,|a b| 73, a (a b) 0 ,求12a b| 【点评】公式 |a b । . (a b)2\a2ago b a 2 |a ||b | cosr 2一 ‘一 ，一.b2是求向量的模常用的公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式r r r r r r【变式1】已知向量a,b 满足|a| 2,|b| 1,|a b| 2. (1)求a b 的值；(2)求|a b|的值.【例2】已知向量a 24 r r ,、 (i)右a b ,求(sin ,1),b (1,cos ),2,、r J ,一 一 ；(n)求a b 的取大值.【变式2】已知直角梯形ABCD ，AD 〃BC ，ADC 900，AD 2, BC 1,p 是腰DC 上的动点, urn uur则PA 3PB 的最小值为.方法二利用公式cos ；X1X2 y1y2——求解./ 2 2/2 27x y1 y x2 y使用情景一般有坐标背景.解题步骤先求出a,b的坐标，再代入公式cos j x1'2yy——求解./ 2 2 J 2 2V x1 y v x2 y2方法一r r利用公式cos a,buraib1-求解.使用情景一般没有坐标背景.解题步骤r r r r先求a案, | a |,|b |,再代入公式cosr ra,b -uuragor ra b■求解.rrru r r r r r r【例1】已知x a b, y 2a b,且|a| |b| 1,a b.r ir r u(1)求| x |和| y | ；(2)求x, y夹角的余弦值.r r r r r r r r r r r 【变式1】已知a, b都是非零向量，且a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.r r _ r r _【变式2】已知|a| 1,|b|邪,a b (邪,1),r r r r r r(1)试求|a b|; (2)a b与a b的夹角.题型三：向量位置关系问题的解法【例1】设两非零向量a和b不共线，如果AB=a + b,CD=3(a—b), BC 2a 8b, 求证：A、B、D三点共线.【变式1】设5、b是两个不共线的非零向量(t R)(1)记OA a,OB tb,OC La b),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线?3⑵ 若|a| |b| 1且Wb夹角为120 ,那么实数x为何值时|a xb|的值最小？［例2］已知PQ过三角形OAB的重心G,且P、Q分别在OA、OB上，设uur uuu uur uuu 1 1OP mOA,OQ mOB, m、n R,则' '的值为. n m【变式2】如图，在平行四边形 ABCD 中，M 、N 分别是AB 、AD 上的点，且uuur 3 uuu uuir 2 uuur unr uuur AM -AB, AN —AD,连接AC 、MN 交于点P 点，若AP AC ,则 的值为（）4 3方法二 利用两个向重平仃或垂直的充要条件(坐标背景)使用情景 已知条件涉及坐标.解题步骤直接证明 x 1y 2 x 2 y l0 或 x 1x 2 y 1y 2 0.r【例3】已知a (1,2), b ( 3,2)，当k 为何值时,r r r r(1) ka b 与 a 3b 垂直？r r(2) ka b 与a 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向?uuu uuu umr【变式 3】已知向量 OA (3, 4),OB (6, 3),OC (5 m, (3 m)).⑴若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；(2)若ABC 为直角三角形，求实数 m 的值.A.6 17B.13C . 37D.3方4-r r坐标公式agb x1x2y1y2求解使用情景已知中涉及了坐标或方便建立坐标系.解题步骤r r r r先求出对应向量a,b的坐标，再代入公式agb x1x2y1y2计算.方法二公式1 • b=| a|| b | cos 求解使用情景一般没用坐标，也不方便建立直角坐标系^解题步骤r r r r r r先分别计算出|a|,|b|,cos ,再代入公式a • b二|a|| b| cos求解.【例1】已知正方形ABCD的边长为2,点E是AB边上的中点，则uur uurDE?DC的值为(A. 1B. 2C. 4D. 6【变式1】在ABC中，AB ACuur uurAE AF =(AB AC , AB 2 , AC 1 , E、F为BC的三等分点，则A. 89109259269 【例2】uuur r uuu等边ABC的边长为1,记BC a,CAr uuu rb, AB c,ra等【变式2】ABC的外接圆半径为1,圆心点为O,uuruurACuuu20Aurn uurCBA. 3uuuu 1 uuu 2 uuu 【例3】若等边ABC的边长为2，3,平面内一点M满足CM -CB — CA ,则6 3uuir umrMA MB ______________uur uur 【变式3】如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD 600 , E为BC中点，则AE BD =()A. - 3B. 0C. - 1D. 1。
2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.7.3平面向量 Word版含答案
1.7.3 平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D.0解析：因为a ∥b ，所以m 2＝2，解得m ＝－2或m ＝ 2. 答案：C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.5解析：∵|a ＋b |＝10，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.① 又∵|a －b |＝6，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝6.② ①－②，得4a ·b ＝4，即a ·b ＝1. 答案：A3．(2019·西安三模)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，x )，若a ＋b 与a 垂直，则x 的值为( ) A ．7 B.－7 C.12D.－12解析：a ＋b ＝(3，x ＋1)，∵a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝6＋x ＋1＝0，∴x ＝－7. 答案：B4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：∵A (1,3)，B (4，－1)，∴AB →＝(3，－4)． 又∵|AB →|＝5，∴与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：A5．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3解析：由题意可知，AN →＝13NC →，所以AC →＝4AN →.又AP →＝mAB →＋29AC →，即AP →＝mAB →＋89AN →，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋89＝1，解得m ＝19.答案：A6．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3 解析：由|a ＋b |＝|a －b |可知a ⊥b ，设AB →＝b ，AD →＝a ，作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b ，设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴∠AOD ＝π3，∴∠DOC ＝2π3.又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3.答案：D7．(2019·沙坪坝区校级期中)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2 B.－1 C.1D.2解析：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1，则a ＝(1,1)，b ＝(0，－1)，c＝(2,1)．∵向量c ＝λa ＋b ，∴(2,1)＝λ(1,1)＋(0，－1)，∴2＝λ，1＝λ－1，实数λ＝2.答案：D8．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D.－3152解析：∵A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，∴AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝31010，∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|·cos〈AB →，CD →〉＝5×31010＝322.答案：A9．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22B.12 C ．0D.－1解析：∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0， 即2cos 2θ－1＝0.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝0. 答案：C10．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( ) A ．0 B.12 C.32D.1解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|a |，∴|t a －b |＝t 2a 2－2t a ·b ＋b 2＝t 2a 2－t |a |＋1. 设x ＝t |a |，x >0， ∴|t a －b |＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＝32.故|t a －b |的最小值为32. 答案：C11．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B.－23C.56D.－56解析：由已知得向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，则3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，解得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.答案：B12．在△ABC 中，已知|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.269解析：因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0，因为E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.答案：B 二、填空题13．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝__________.解析：由向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，得a ·b ＝－24＋3m ＝0，∴m ＝8. 答案：814．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝ . 解析：由a ＝(－2，－6)，得|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝210×10×cos 60°＝10.答案：1015．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ . 解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 答案：3 216．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为 . 解析：如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得 λ＝2.答案：2。
2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练
（ （2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的基本定理例 1 给出下列命题：（1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量；（2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ；（3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形；（4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。
两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0时， a 与 b 可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。
l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。
【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．1（ （例 2 已知 a = (1,2) , b = (2 x, -3) 且 a ∥ b ,则 x =．【答案】 -34【解析】根据 a ∥ b 有 x y - x y = 0 ,可知1 ⨯ (-3) - 2 ⨯ 2 x = 0 ,得 x = -1 22 134【易错点】 1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x 1x 2 - y 1 y 2 = 0 ． 2）a || b ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 ，不是 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 0 ，可以记为 “斜乘相减等于零 ”． a ^ b ?x 1x2y y =0 1 2，可以记为“竖乘相加等于 零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关．题型二 平面向量的线性运算例 1 在 ABCD 中，错误的式子是（）A ． AD - AB = BDB ． AD - AB = DBC ． AB + BC = ACD ． AD + AB = AC【答案】D ．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 AB + BC = AC ，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 AD - AB = BD ，对于 D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得 AD + AB = AC ．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。
2020年高考数学真题汇编12 平面向量 文(解析版)
2020高考试题分类汇编：12：平面向量一、选择题1.【2020高考全国文9】ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r【答案】D【解析】如图，在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即5454)(5454-=-==，选D. 2.【2020高考重庆文6】设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ，则||a b +=r r（A 5 （B 10（C ）5（D ）10 【答案】B【解析】因为⊥，所以有02=-x ，解得2=x ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+10=+b a ，选B.3.【2020高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实 数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．4.【2020高考四川文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是（ ）A 、||||a b =r r且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r【答案】Ｄ【解析】A.可以推得||||a ba b =r rr r ==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.5.【2020高考陕西文7】设向量a r =（1.cos θ）与b r=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C.【解析】02cos 0cos 212=⇔=+-⇔⊥θθ，故选C.6.【2020高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=Q ，故选D【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。
高中高考数学平面向量专题总结复习含含答案
2020 年高考数学平面向量专题练习一、选择题1、 P 是双曲线上一点，过P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）A. B. C. D.2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）A．－ 3 B ． 1 C ．－ 3 或 1 D ． 3 或 13、已知向量知足，若，则向量在方向上的投影为A． B ． C ． 2 D ． 44、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）A．B． C ．D．5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）A. B. C. D.6、已知向量，且，则（）A. B. C. D.7、已知是边长为 2 的等边三角形， D 为的中点，且，则()A. C. D. 38、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为A． B ． C ． 5 D ． 109、以下命题中正确的个数是（）⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则A． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题11、已知向量与的夹角为120 ° , 且, 则____.12、若三点知足，且对随意都有，则的最小值为________.13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.14、 . 已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.15、已知向量与的夹角为120 °，，，则________.16、已知中，为边上凑近点的三均分点，连结为线段的中点，若，则__________ ．17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.18、在矩形ABCD中，已知E， F 分别是 BC， CD上的点，且知足，。
若( λ，μ∈R)，则λ＋μ 的值为。
三、简答题19、已知平面直角坐标系中，向量，，且.（ 1）求的值；（2）设，求的值．20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin) ，＝(1，2)．（ 1）若∥ ，求的值；（ 2）若， 0＜＜，求的值．21、已知向量，．(1)若在会合中取值，求知足的概率；(2)若在区间 [1,6]内取值，求知足的概率.22、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量，（ 1）求证：且；（ 2）设向量，，且，务实数t 的值．23、已知，设．（ 1）求的分析式并求出它的周期T．（ 2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b， c，且，求△ ABC的面积.24、已知为圆:上一动点，圆心对于轴的对称点为, 点分别是线段,上的点，且,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ （2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的基本定理例 1 给出下列命题：（1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量；（2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ；（3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形；（4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。
两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0时， a 与 b 可以共线可以不共线【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。
l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。
【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．1（ （例 2 已知 a = (1,2) , b = (2 x, -3) 且 a ∥ b ,则 x =．【答案】 -34【解析】根据 a ∥ b 有 x y - x y = 0 ,可知1 ⨯ (-3) - 2 ⨯ 2 x = 0 ,得 x = -1 22 134【易错点】 1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x 1x 2 - y 1 y 2 = 0 ． 2）a || b ⇔ x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 ，不是 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 0 ，可以记为 “斜乘相减等于零 ”． a ^ b ?x 1x2y y =0 1 2，可以记为“竖乘相加等于 零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．【思维点拨】1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（3）向量平行与起点的位置无关．题型二 平面向量的线性运算例 1 在 ABCD 中，错误的式子是（）A ． AD - AB = BDB ． AD - AB = DBC ． AB + BC = ACD ． AD + AB = AC【答案】D ．【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 AB + BC = AC ，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 AD - AB = BD ，对于 D 选项，利用平行四边形法则结合图像可得 AD + AB = AC ．【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。
【思维点拨】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．【解析】 a 在 e 上的投影为 a cos 〈a, e 〉 = a a ⋅ e （ （ 3．题型三 平面向量的数量积及其应用例 1 已知 a = 4, e 为单位向量，当 a, e 的夹角为2π3时， a 在 e 上的投影为（ ）A ． 2【答案】 B ．B ． - 2C ． 2 3D ． - 2 3a e =a ⋅ ee = 4⨯1⨯ cos 2π 3 = -2 ,所以选择 B ．【易错点】（1）对 a 在 b 上的投影的概念和公式理解不透彻． 2） a 在 b 上的投影为 | a |cos < a, b > ，由于| a |? 0, 1 ? cos a, b >? 1 ，所以a 在 b 上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把 a在 b 上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．【思维点拨】1．对两向量夹角的理解（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为 π．（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．向量运算与数量运算的区别（1）若 a ，b ∈R ，且 a · b ＝0，则有 a ＝0 或 b ＝0，但 a·b ＝0 却不能得出 a ＝0 或 b ＝0．（2）若 a ，b ，c ∈R ，且 a ≠0，则由 ab ＝ac 可得 b ＝c ，但由 a·b ＝a·c 及 a ≠0 却不能推出 b ＝c ．（3）若 a ，b ，c ∈R ，则 a （bc ）＝（ab ）c （结合律）成立，但对于向量 a ，b ，c ，而（a·b ）· c 与 a ·（b·c ）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．（4）若 a ，b ∈R ，则|a · b |＝|a |·|b |，但对于向量 a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，等号当且仅当 a ∥b 时成立．例 2 已知向量 a, b 满足： a + 2b 与π【答案】3．5 4a -b 垂直，且 | a |= 1, | b |= 1 ，则 a 与b 的夹角为 ．【解析】由已知得（ a + 2b ）．5 4a -b ）=0，故 a ⋅ b = 1 a ⋅ b 1，则 cos < a ⋅ b >= ＝ ，又因为 < a ⋅ b >∈ [0, π ] ， 2 a ⋅ b 2故 a 与 b 的夹角为 π3【易错点】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清．（2）两个向量的夹角q的范围是qÎ[0,p]，不是qÎ[0,2p]，所以本题只有一个答案．【思维点拨】1．求两非零向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律；（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．【巩固训练】题型一平面向量的基本定理1．给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC．又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．2．设a为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与0a平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3解之得 t ＝ ．故存在实数 t ＝ 使 C ，D ，E 三点在一条直线上．⎩【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a 0 平行，则 a 与 a 0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3．3．已知 a ，b 不共线， O A ＝a ， OB ＝b ， OC ＝c ， O D ＝d ， O B ＝e ，设 t ∈R ，如果 3a ＝c,2b ＝d ，e ＝ t （a ＋b ），是否存在实数 t 使 C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理 由．【答案】见解析【解析】解：由题设知， C D ＝d －c ＝2b －3a ， CE ＝e －c ＝（t －3）a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上 的充要条件是存在实数 k ，使得 C E ＝k CD ，即（t －3）a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得（t －3＋3k ）a ＝（2k －t ）b ．⎧⎪t －3＋3k ＝0， 因为 a ，b 不共线，所以有⎨⎪t －2k ＝0，65654．下列说法正确的是A ．向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则点 A, B, C, D 必在同一条直线上B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】对于 A ，若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 AB ∥CD 或点 A ,B ,C ,D 在同一条直线上，故 A错误；对于 B ，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故 B 错误；对于 C ，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故 C 错误；对于 D ，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故 D 正确.故选 D ．5．已知 e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则 a 与 b 共线的条件是（ ）A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2 或 λ＝05【解析】∵AB·BC＝1，且AB＝2，∴1＝|AB||BC|cos（π－B），∴|BC|cos B＝－△．在ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即9＝4＋BC2－2×2×⎝－2⎭．∴BC＝3．【解析】选D。