近世代数期末考试题库
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世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,
则ϕ是从A 到B 的( c ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射
C 、一一映射
D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( d )个元素。
A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是(b )乘法来说
A 、不是唯一
B 、唯一的
C 、不一定唯一的
D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(c )
A 、不相等
B 、0
C 、相等
D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(d )
A 、倍数
B 、次数
C 、约数
D 、指数
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解:把σ和τ写成不相杂轮换的乘积:
)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ
可知σ为奇置换,τ为偶置换。 σ和τ可以写成如下对换的乘积:
)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2解:设A 是任意方阵,令)(21A A B '+=,)(21A A C '-=,则B 是对称矩阵,而C 是反对称
矩阵,且C B A +=。若令有11C B A +=,这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵,则C C B B -=-11,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:1B B =,1C C =,所以,表示法唯一。
3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=,定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则(m M ,m +)是不是群,为什么?
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、设G 是群。证明:如果对任意的G x ∈,有e x =2,则G 是交换群。
2、假定R 是一个有两个以上的元的环,F 是一个包含R 的域,那么F 包含R 的一个商域。
1、对于G 中任意元x ,y ,由于e xy =2)(,所以
yx x y xy xy ===---111)((对每个x ,从e x =2可得1-=x x )。
2、证明在F 里
)0,,(11≠∈=
=--b R b a b a a b ab
有意义,作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有 -
Q 显然是R 的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集(c )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,(d )不是群
A 、G 为整数集合,*为加法
B 、G 为偶数集合,*为加法
C 、G 为有理数集合,*为加法
D 、G 为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( b )
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( b )
A 、12σ
B 、1σ2σ
C 、22
σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( a )。
A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个---变换全-------同构。
2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于-25-----。
4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与--模n 乘余类加群-----同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---2--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为---双射--------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的--不都等于林---n a a a ,,,10 使得