高中数学专题-概率问题

概率问题

一、“非等可能”与“等可能”

例1. 先后抛掷两枚骰子，求事件A ：出现的点数之和等于3的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，事件A 的结果只有3，故11

1)A (P = 剖析：公式P （A ）＝基本事件的总数的基本事件数

事件A 仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而

取数值2和3不是等可能的，2只有1种情况（1，1）出现，而3有两种情况（1，2），（2，

1）可出现，其他的情况可类推。

正解：先后抛掷两枚骰子可能出现的情况有：（1，1），（1，2），……，（1，6），（2，1），（2，2），……，（2，6），……，（6，1），（6，2），……，（6，6），基本事件总数为6×6＝36

在这些结果中，事件A 只有两种结果（1，2），（2，1）

8

1362)A (P ==∴

二、“互斥”与“对立”

例2. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A. 至少有1个白球，都是白球

B. 至少有1个白球，至少有1个红球

C. 恰有1个白球，恰有2个白球

D. 至少有1个白球，都是红球

错解：选D

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

正解：A 、B 不互斥，当然也不对立，C 互斥而不对立，D 不但互斥而且对立，所以正确答案应为C 。

三、“有序”与“无序”

例3. 从10件产品（其中次品有3件）中，一件一件不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

错误：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知，从10件取4件共有10×9×8×7种取法。

设A ＝“取出的4件中恰有1件次品”，则A 含有3

713C C 种取法（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件）。

48178910C C )A (P 3713=⨯⨯⨯=∴ 剖析：计算基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A 所

包含的基本事件的个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。

正解：（1）都用排列方法。

从10件产品中取4件共含有410A 个基本事件，A 包含371314A A A ⋅⋅个基本事件（4件中

要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到奖品，有1

4A 种方式，对于每一方式，从

3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有371314A A A ⋅⋅种取法）。 21A A A A )A (P 410

371314=⋅⋅=∴ （2）都用组合方法

一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共含有4

10C 个基本事件，A 包含有3713C C ⋅个基本事件。 21C C C )A (P 410

3713==∴