2021届高考数学(文)考前复习学案-不等式选讲-含解析

专题7 不等式选讲

1.含绝对值不等式的解法 (1)用零点分段法 ①求零点;

②划区间、去绝对值

符号; ③分别解去掉绝对值

的不等式;

④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

(2)数形结合法:用于求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观. 2.绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数:根据不

【典例】(10

分)(2020·全国Ⅱ卷)已知函数

f(x)=|x-a 2

|+|x-2a+1|.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集; (2)若f(x)≥4,求a 的取值范围.

求f(x)≥4的解集,想到

a=2

时f(x)=|x-4|+|x-3|. (1)

分

别

讨

论x≤3,3

f(x)≥4的解集.

(2)f(x)≥4时,求a 的

已知f(x)=|x+1|- |ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围.

取值范围,联想到

f(x)的最小值用a表示出来,进而求解.

【标准答案】(1)当a=2时,f(x)=|x-4|+|x-3| . 1分

当x≤3时,f(x)=4-x+3-x=7-2 x≥4,

解得:x≤;

2分

当3

当x≥4时,f(x)=x-4+x-3=2x-7≥4,

解得:x≥; 4分

综上所述:f(x)≥4的解集为

. 等式将参数分离,化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式.

(2)转化最值:

①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;

f(x)

②f(x)>a有解⇔f(x)max>a;

f(x)

③f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)

(4)得结论.

求解绝对值不等式的步骤

5分

(2)f(x)=|x-a2|+|x-2a +1|≥|(x-a2)-(x-2a+1 )|

=|-a2+2a-1|

=(a-1)2(当且仅当2a-1≤x≤a2时取等号),

7分

所以(a-1)2≥4,解得:a≤-1或a≥3,

9分

所以a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞)

10分

测试目标(1)直接运用零点分类讨论求解; (2)利用不等式的性质创建不等式(a-1)2≥4

测数据分析:根第一步找零点:利用题意将所给的绝对值函数写成分段函数的形式然后求解不等式即可;

第二步写解集:求各段解集的并集;

第三步找关系:利用分类讨论或不等式的性质将问题转化,利用恒成立找关系; 第四步求范围:根据关系求范围.

1.步骤分:(1)第(1)问中综上所述不要缺少;(2)明确a的取值范围.

2.关键分:第(2)问中的当且仅当2a-1≤x≤a2时取等号是解题的关键.

试

素

养

据每个绝对

值的特点分

析出讨论的

依据.

逻辑推理:利

用逻辑推理

求并集;

数学建模:利

用转化的思

想,建立关于

a的不等式;

数学运算:分

别求解不等

式.

3.计算分:计算准确

是根本保证.

4.对于含有绝对值符

号的不等式,在求解

时可讨论绝对值符号

内的式子大于或小于

0时分别求解.

1.(面积问题)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

2.(集合问题)已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|.

(1)若a=0,求不等式f(x)>的解集;

(2)若f(x)

3.(分类讨论问题)已知f(x)=|x+a|.

(1)若f(x)≥|2x-1|的解集为[0,2],求a的值;

(2)若对任意x∈R,不等式f(x)+|x-a|≥3a-2恒成立,求实数a的取值范围.

4.(恒成立问题)已知函数f(x)=|x-2|.

(1)解不等式f(x)+f≥6;

(2)对a+b=1及∀x∈R,不等式f-f≤+恒成立,求实数m的取值范围.

5.(与方程结合)设函数f(x)=2x-1-|x-1|.

(1)求不等式f(x)<3的解集;

(2)若方程f(x)=x2+ax有两个不等实数根,求a的取值范围.

6.(存在问题)已知函数f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集为

.

(1)求实数a的值;

(2)设g(x)=f(x)+f,若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求实数t 的取值范围.

7.(最值问题)已知f(x)=|2x+2|+|x-1|的最小值为t.

(1)求t的值;

(2)若实数a,b满足2a2+2b2=t,求+的最小值.