线性代数--矩阵的特征值与特征向量
线性代数课件矩阵的特征值与特征向量
所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为 p 2 11
.
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.
1 l 1
0
AlI 4 3 l 0 2ll120
1
0 2l
特征值为 l12 ,l2l3 1
第二步：对每个特征值l代入齐次方程组 AlIxO,
l l 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
l 当 1 = 2 时 , 对 应 的 特 征 向 量 应 满 足
32
1
1 x1 32x2
0 0
即11
1
1
x1 x2
00
例 求 A 3 1 3 1 的 特 征 值 和 特 征 向 量 .
l l 解 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
1 l
A . 且x仍然是矩阵 kA ,A m ,A 1,A 分别对应于
kl, lm,l1,1A 的特征向量. l
证 (3)当 A 可 逆 时 ,l0, 由 Axlx可 得
l l A 1 A x A 1 x A 1 xA1xl1x
l l 故 1 是 矩 阵 A 1 的 特 征 值 , 且 x 是 A 1 对 应 于 1 的 特 征 向 量 .
Amxlmx
l l 故 m 是 矩 阵 A m 的 特 征 值 , 且 x 是 A m 对 应 于 m 的 特 征 向 量 .
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
l (2 )A m 的 特 征 值 是 m ;(m是正整数)
《线性代数》矩阵的特征值与特征向量
《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。
在许多实际问题的分析和求解中，特征值和特征向量扮演着重要的角色。
本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。
一、定义给定一个n阶方阵A，若存在非零向量x和标量λ，使得满足以下等式：Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征向量是描述线性变换的方向，在变换过程中保持方向不变，特征值是对应于特征向量的缩放因子。
二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A，它一定存在n个特征值，但不一定有n个线性无关的特征向量。
每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质（1）特征值的和等于方阵的迹，即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。
（2）特征值的积等于方阵的行列式，即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。
3.特征向量的性质（1）对于同一个特征值λ，存在无穷多个线性无关的特征向量。
（2）特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。
三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。
1.物理学在量子力学中，特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。
2.工程学在结构力学中，特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。
3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析（PCA），以降低数据的维度并提取最重要的特征。
4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。
5.机器学习在机器学习算法中，特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有很多实际应用。
通过特征值与特征向量，我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。
理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。
特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。
（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。
（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。
（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。
它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。
（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。
（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。
（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。
（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。
1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量一、定义与性质：1.特征值：设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个非零列向量X使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
2.重要性质：(1)特征值与特征向量是一一对应的，即一个特征值对应一个特征向量，特征向量的倍数仍为特征向量。
(2) 设λ1，λ2，...，λn是A的n个特征值，则A的特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=ΣAii(i=1,2,...,n)。
(3)A的特征值的积等于A的行列式值，即λ1λ2...λn=，A。
二、计算方法：1.方程法：设λ是A的一个特征值，则有，A-λE，=0，其中E是n阶单位矩阵。
将，A-λE，=0展开，可以得到一个n次的多项式，称为特征多项式。
解特征多项式，即可求得特征值。
2.特征向量法：对于方程A-λE=0，将其变形为(A-λE)X=0，其中X是一个n维列向量。
求解(A-λE)X=0可以得到特征向量。
三、应用：1.物理学中的应用：(1)量子力学中的量子态演化过程可以表示为一个特征值问题，特征值对应着能量，特征向量对应着量子态。
(2)电力系统中的节点电压和电流可以用矩阵的特征值和特征向量求解，用于电网稳定性的分析。
2.经济学中的应用：(1)马尔可夫过程中的平稳分布可通过马尔科夫矩阵的特征值和特征向量求解。
(2)输入输出模型中，矩阵表示产出与投入之间的关系，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到经济系统的稳定性和发展趋势。
3.图像处理中的应用：(1)图像压缩算法中，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行信息提取和图像压缩。
(2)图像识别中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，进行目标物体的特征提取和分类。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它们的计算方法可以通过特征多项式和特征向量方程进行求解。
在物理学、经济学和图像处理等领域都有着重要的应用，可以对实际问题进行分析和求解。
第五讲 矩阵特征值与特征向量
第五讲
一、 矩阵的特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的概念 定义 1
矩阵特征值与特征向量
设方阵 A = (aij ) n×n ，若有数 λ 和非零的 n维向量 X ，使
AX = λX
(5.1)
成立，则称数 λ 为 A 的特征值，称向量 X 为矩阵 A的对应于 λ 的特征向量. 又若 An×n 是一个不可逆矩阵，则方程组 AX = 0 有非零解 X 0，即 AX 0 = 0 = 0 ⋅ X 0 .故不 可逆矩阵必有零特征值 λ = 0 . 对一般的方阵 A而言，AX = λX 是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵 A 不 容易直接看出它的特征值和特征向量。为此，将(5.1)变形为： (λI − A) X = 0 则齐次线性方程组(5.2)有非零解的充要条件是 λI − A = 0 记 (5.2)
例 2． 设 n 阶方阵 A 满足等式 A 2 = A，证明 A 的特征值为 1 或 0. 证明 设 λ为A 的特征值，则存在向量 X ≠ 0 ，使 AX = λX .由此 A2 X = A( AX ) = A(λX ) = λ2 X 又 故有 即 因 X ≠ 0，所以λ2 − λ = 0，即λ = 1或 0 . 推论 2 设 λ0 是方阵 A 对应于特征向量 X 的特征值，则 A2 = A λ2 X = λX (λ2 − λ ) X = 0 .
n n
∑ λi = ∑ aii
i =1 i =1
这也称为方阵 A的迹，记为tr ( A) ，即 tr ( A) = ∑ λi = ∑ aii 推论 n 阶方阵 A可逆的充要条件是 A的 n 个特征值非零，即 λi ≠ 0，i = 1,2, L, n .
i =1 i =1 n n
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域均有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，特征值与特征向量是一个不可或缺的概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，探讨它们在矩阵理论和实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个非零向量 X 和一个实数λ，使得Ax = λX 成立，则称λ 为矩阵 A 的特征值，X 称为特征值λ 对应的特征向量。
2. 计算特征值与特征向量为了计算特征值与特征向量，我们可以使用特征值方程 det(A-λI) = 0。
其中，det() 表示矩阵的行列式，A 是待求特征值与特征向量的矩阵，I 是单位矩阵，λ 是未知数。
解特征值方程得到的λ 值即为矩阵的特征值。
3. 求解特征向量在得到特征值λ 后，我们可以通过代入特征值到方程 (A-λI)X = 0 中，求解出对应的特征向量 X。
需要注意的是，特征向量并不唯一，可以乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有以下重要性质：- 矩阵 A 的特征值的个数等于矩阵的阶数 n，包括重复的特征值。
- 所有特征值的和等于矩阵的迹（主对角线元素的和）。
- 矩阵 A 的特征向量构成的集合是线性无关的。
5. 矩阵的对角化与相似矩阵如果能找到一个可逆矩阵 P，使得 P^-1AP = D，其中 D 是对角矩阵，则称矩阵 A 是可对角化的。
对角矩阵 D 的对角线上的元素就是矩阵 A的特征值。
P 的列向量组成的矩阵就是 A 的特征向量矩阵。
6. 特征值与矩阵的性质关系矩阵的特征值与矩阵的性质之间存在一定的联系：- 如果矩阵 A 是奇异矩阵，则它的特征值中至少有一个为零。
- 如果矩阵 A 是对称矩阵，则它的特征值都为实数，并且相应的特征向量可以取为正交向量。
- 如果矩阵 A 是正定矩阵，则它的特征值都大于零。
7. 应用举例：主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的统计学方法，用于数据降维和特征提取。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。
二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。
解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。
解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。
算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。
在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。
1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。
线性代数矩阵特征值及特征向量
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21
a ... 22
a 2n
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2, ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
2 4 2
22 7
得A的特征值是2，2，-7 .
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
定理3. 相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
推论. 设n阶矩阵A与对角矩阵
1
2
n
相似，则 1,2 , ,n 就是A的n个特征值.
注. 若矩阵A与对角矩阵相似，则可方便求出A的幂 Ak 及A的多项式.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 一、矩阵可对角化的条件 二、实对称矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、矩阵可对角化的条件
定义1：矩阵A是一个n 阶方阵，若存在可逆矩阵
P ，使 P1AP 为对角矩阵，即A与对角矩阵相似，则 称矩阵A可对角化.
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
线性代数 第四章矩阵的特征值和特征向量
m
线性无关.
推论 若 n 方阵有互不相同的特征值
1 , 2 ,, m
则其对应的特征向量 x1 , x2 ,, xm 线性无关。
定理3
设n阶方阵A的全部特征值是1，2， ，n，则 (1) 1 2 n a11 a22 ann aii
4.1.2 特征值与特征向量的性质
定理1 n 阶方阵 A 与它的转置矩阵 AT 有相同的特征值。
定理2
设 n 方阵 A 有互不相同的特征值 1，2， ，m， （i E A）x 0 的基础解系为 i1， i 2， ， iri （i 1， ，m）,则 2，
11 , 12 , , 1r ; 21 , 22 ,, 2 r ;; m1 , m 2 ,, mr
解 A的特征多项式为
2 0 4
1 2 1
1 0 3
2
A E
(2 )
2 4
1 3
(2 )( 2 6 4) (2 )( 2 2)
( 1)( 2)
A的特征值为
1 1, 2 3 2
B AB D
1
由B可逆便知： 1 , , n 都是非零向量，因而都是A的特征
向量，且
1 , , n
线性无关。
推论
如果n阶矩阵A的特征值 1 , , n 互不相同 则相似于对角矩阵
1 n
定理
n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 对于每一个
AP P
P AP
1
必要性
设A相似于对角矩阵
d1 D dn
即存在可逆矩阵B，使得
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。
在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。
本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。
其中v是特征向量，λ是特征值。
换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。
2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的集合。
对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。
3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。
- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。
- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。
4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。
- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。
- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域的数学和科学问题中都起着至关重要的作用。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得满足下面的关系式：Av = λv其中λ是一个实数，那么称λ为A的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是由代数基本定理所保证的。
在实际计算中，我们通常将这个关系式转化为一个线性方程组来求解特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值如果两个矩阵A和B相似，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。
那么A和B具有相同的特征值。
证明：设Av = λv，其中v是A的特征向量。
将上式两边同时左乘P^{-1}，得到(P^{-1}AP)(P^{-1}v) = B(P^{-1}v)。
令u = P^{-1}v，则Bu = λu，其中u是B的特征向量。
因此，λ也是B的特征值。
2. 特征向量可以线性组合如果v_1和v_2是矩阵A对应于相同特征值λ的特征向量，那么对于任意实数c_1和c_2，cv_1 + c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
证明：由于Av_1 = λv_1，Av_2 = λv_2，那么A(cv_1 + c_2v_2) = cAv_1 + c_2Av_2 = cλv_1 + c_2λv_2 = λ(cv_1 + c_2v_2)。
因此，cv_1 +c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
三、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化将一个矩阵A通过相似变换P^{-1}AP = D变换为对角矩阵D，其中D的对角线上的元素为A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化。
对角化后的矩阵形式更加简洁，便于计算和分析。
2. 矩阵的幂对于一个对角化的矩阵A和一个非负整数k，有A^k = PD^kP^{-1}，其中D^k是D的每个元素都进行了k次幂运算。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，具有很大的研究价值和应用潜力。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个标量λ，使得满足方程Av=λv 成立的非零向量v称为矩阵A的特征向量（eigenvector）。
其中，方程为矩阵特征值方程。
特征值与特征向量之间存在一一对应关系。
特征值与特征向量是描述矩阵在特定线性变换下的性质的重要指标。
特征值表示变换后的向量与原向量之间的比例关系，特征向量则表示在特定变换下保持方向不变的向量。
二、特征值与特征向量的计算为了求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过解特征值方程来实现。
给定一个矩阵A，求解特征值和特征向量的步骤如下：1. 求解特征值方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，det()表示行列式。
2. 解得特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对每个特征值λi，求解方程组(A-λiI)v=0，得到特征向量vi。
特征向量vi可以有多个，对应于不同的特征值λi。
特征向量可以通过高斯消元法或其他方法求解。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下重要性质：1. 矩阵A与其特征向量组成的矩阵P的乘积AP=PD，其中D是一个对角矩阵，对角线上的值是矩阵A的特征值，P是由特征向量组成的矩阵。
2. 特征值的和等于矩阵的迹（trace），特征值的乘积等于矩阵的行列式的值。
3. 特征向量线性无关，可以构成矩阵的一组基。
这些性质为矩阵的分析和计算提供了便利。
四、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个经典的应用示例：1. 特征值分解：利用特征值和特征向量的分析，可以将矩阵分解为对角矩阵的形式，简化计算和求解问题。
2. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种常用的数据降维方法，通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，将原始数据转换为一组线性无关的主成分。
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例1. 设
A
1 5
62,
u
65,
v
3 2
.
判断 u,v是否是 A 的特征向量？
y Au
Av
解：容易验证
Au 4u, Av v
v
x
u
所以u是对应于特征值-4的特征向量。
v不是A的特征向量.(也可从图看出)
-7-
例2. 设 n 阶方阵 A 满足：A2 A, 求 A 的特征值.
解： 设是A的 特 征 值,是A属 于的特征向 量, A .
第一节
矩阵的特征值与特征向量
1.概念的引入 2.特征值与特征向量的求法 3.特征值与特征向量的性质 4.矩阵的对角化 5.小结 6.思考与练习 7.背景材料
第五章
介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰
1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问 题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果 采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临 灭绝的危险。
0 1 1 x1 1 2 1 x2 0
1 1 0 x3
ห้องสมุดไป่ตู้同解方程组为
x2 x1
x3 x2
0 0
- 14 -
1
得基础解系为：2 1
1
即为 2 1 时的线性无关的特征向量。
同理得对应于 3 2 时的线性无关的特征向量为：
1
3 2 .
1
- 15 -
例4. 求矩阵
A
则称 为A 的特征值, 为A 的属于特征值 的特征向量。
特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一 个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的 数λ，确实有点奇妙！
注意.特征向量 0.
特征值问题仅对方阵而言。
-5-
二阶方阵特征值的几何意义
把方程 Ax y 中的 x 看成输入变量, y 看成输出变量, 则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.
A A2 A( ) 2 , (2 ) 0,
而 0, 2 0.
1,或 0.
-8-
注1. 可类似证明,
(1) 若 Ak 0(k为正整数), 则 A 的特征值只能是零。
(2) 若 A2 I , 则 A 的特征值只能是1或-1。
注2.
(1) 设 0 是 A的特征值, g(x) 为任一多项式, 则g(0 )
是 g( A) 的特征值。
(2) 设 0 是 A 的特征值, 0m(m为正整数) 必为 Am
的特征值。
(3)
设0 是
A的特征值,
且
A 非奇异,
则
1
0
为 A1
的特征值。
-9-
二、特征值、特征向量的求法
A , 0 (I A) 0, 0 (1) 即特征向量 是(I A)X 0 的非零解.
(2)求 A 的特征向量：
➢ 当 1 2时, (1I A)X 0,即
1 1 1 x1
1 3 1 x2 0
1
1
1
x3
- 13 -
同解方程组为
x1
x2 x3 2x2 0
0
得基础解系为
1
1 0.
1
即为 1 2 时的线性无关的特征向量.
➢ 当 2 1时, (2I A)X 0,即
-2-
一、特征值与特征向量的定义
1. 相似关系
定义: 设A, B C nn , 若P C nn , P 0, s.t. P 1 AP B
则称A与B相似, 记作 A ∽ B
性质:
(1) A ∽ A
(反身性)
(2) A ∽ B B ∽ A
(对称性)
(3) A ∽ B, B ∽ C A ∽ C (传递性)
1 1 1 r1r3 2
fA() I A 1 1
r2 r3
1 0
2
1 1 1 1 1 1
- 12 -
按第1列展开 2 2
1 1 2
(2 2) (4 2 2 )
3 2 4 4
( 1)( 2)( 2)
A的 特 征 值 为1 2, 2 1, 3 2.
1 1 1 A 2 4 2
3 3 5
的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。
解: (1)求 A 的特征值： A 的特征方程为
1 1 1
fA() I A 2 4 2 ( 2)2( 6) 0
3 3 5
- 16 -
A的特征值为1 2(二重), 2 6.
(2)求 A 的特征向量：
数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研 究,并建立了种群模型形如 xk1 Axk 的差分方程。 这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移
变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.
虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出 现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为 工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等 领域。
特征值与特征向量的求法：
(1)从fA I A 0
(2)对每一个特征值 ,求出(I A)X 0的基础解系.
即对应于特征值 的线性无关的特征向量.
- 11 -
例3.求矩阵
1 A 1
1 1
1 1
1 1
1
的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。
解: (1)求 A 的特征值： A 的特征方程为
I A 0
定义. 设A C nn ,
a11 a12
0 I A a21 a22
a1n
a2n (2)
an1 an2 ann
f () I A 是的n次多项式,称为A的特征多项式.
- 10 -
称 fA() I A 0 为A的特征方程, 其根为A的
特征值.
二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量 的方向上的放大量。
例如,
A
1 0
0
1 特征值为 1 1, 2 1.
对应的特征向量为
1
1 0
,
2
10 .
由 A1 1, A2 2 .
知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。
-6-
易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判
断给出的数是否是特征值。
-3-
引入. 假设 A ∽ diag(1, , n ) 即存在可逆矩阵 P ，使得：
1
A P
P 1
AP
1
P
n
n
P (1 , ,n )
按列分块
A(1 ,
,n ) (11,
, nn )
Ai ii (i 1,2, , n.)
且1 ,
,
线
n
性
无
关
。
定义. 设 A C nn , 0, 若存在 C, s.t.
➢ 当 1 2时, (2I A)X 0,即
1 1 1 x1
2 2 2 x2 0