均值不等式第二课时---公式变形及拓展

典型题选讲 解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由 题意翻译数量关系。 设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有：S=xy
由题意得40x+2×45y+20xy=3200
3200 2 40 x 90 y 20 xy 120 xy 20 xy 120 S 20S
S 6 S 160
§6.2 算术平均数与几何平均数
(第二课时)
学习目的:
1.掌握均值不等式的常见变形应用.
2.注意对均值不等式应用条件的判断. 3.会有均值不等式求实际问题的最值
知识扩充
1、定义：n个正数a1a2…an的算术平均数 a1 a2 an 为: n n 其几何平均数为： a a a
1 2 n
知识扩充
2、常见均值拓展.
2 ab a b 当a、b∈R+时，1 1 2 a b
a 2 b2 2
D
关于算术平均数与几 何平均数的大小关系 的几何解释
如图,取AC=a,CB=b,以a+b为直径作 圆,作DC垂直AB于C,
A C
B
交圆一点D,思考:DC=
?
要点分析
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式： (1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；
(B)乙车先到达B地
(D)不能判定
练习:一件商品,初始定价为a元,甲采用先打P折,再打Q 折的方式促销,乙直接采用打(P+Q)/2的方式促销,问最 终哪个商家的售价更低?
【例2】
.直角三角形的周长为L,求其面积S的最大
值
典型题选讲
【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方 体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖， 每米长造价45元，顶部每平方米造价20元， 试算： (1)仓库面积S的最大允许值是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算， 那么正面铁栅应设计为多长？
误区点击！！！
以下题目你是如何思考的？？
试一试吧
均值不等式应用举例
.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a，另一半时 间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b， 则两车到达B地的情况是( ) A
【例1】
(A)甲车先到达B地
(C)同时到达
( S 16)( S 10) 0
S 100
因此S最大允许值是100米2，取得此最大值的条件是 40x=90y而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应 是15米。
ab (2) (a，b∈R+)； ab 2
2 2 2
b a (3) 2 (ab＞0)； a b
a b ab (4) (a，b∈R). 2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取 值要求.
要点分析
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
2ab ab a 2 b2 则: ab ab 2 2
其中当且仅当a＝b时取等号.
要点分析
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常 数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点： “一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完 全具备时，应创造条件.
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 2 p； 1 2 (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xyLeabharlann Baidu最大值 s. 4