弹性力学第一章绪论

•弹性力学基本假设的目的：
•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。 如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂、 数学推导的困难，将使得问题无法求解。
•根据问题性质，通常忽略部分暂时不必考虑 的因素，提出一些基本假设，使问题的研究限 定在一个可行的范围。
•五点基本假设：
弹性力学基本假设:
连续性 均匀性 各向同性 完全弹性 小变形
第一章 绪论
研究内容 基本概念 基本假设
§1.1
目录 弹性力学的研究内容
§1.2 弹性力学的基本概念
§1.3 弹性力学的基本假设
§1.1 弹性力学的研究内容
•弹性力学——也称弹性理论
•是固体力学学科的一个分支
基本任务 ——研究弹性体由于外力作用、边界约束或 温度改变等原因而产生的应力、形变和位移 等效应。
1. 连续性假设
•假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体 的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
•——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如应力、 形变和位移等均为物体空间的连续函数。
•——宏观假设，微观上这个假设不可能成立。 只要组成物体的微粒尺寸以及微粒间的距离比 物体的尺寸小得多，连续性假设不会引起显著 的误差。
2. 均匀性假设
•假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成 的。因此物体各个部分的物理性质都是相同 的，不随坐标位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•——工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物 体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布， 从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
单位：N/m2, 量纲是L-1MT-2(N=LT-2M)
•内力：物体受外力作用后，内部不同部分之
间相互作用的力。
应力
弹性体内任一点 P
其邻近面积为 A A 上的内力为 F
lim F p A0 A
•和体力、面力不同，应力通常不用它沿坐标
轴的分量(进行某些公式推导时除外)，原因： 这些分量与物体的形变或材料强度没有直接的 关系。
变称为切应变，用 表示，以直角变小为
正， yz 表示y、z两方向的线段间直角的改变。
§1.2 应变分量的符号(重点)
线应变以伸长时为正,以缩短时为负,与 正应力的正负号规定相适应。
切应变以直角变小时为正,变大时为负, 与切应力的正负号规定相适应。
位移(重点)
位移：位置的移动。
—— 物体内任意一点的位移，用它在三个坐
•体力：分布在物体体积内的力，如重力和
惯性力。
体力
弹性体内任意一点P
其邻近体积为 V V 内体积力为 F
lim F f V 0 V 是矢量
体力概念(重点)
体力矢量f 在坐标轴x, y, z上的投影 fx ,fy ,fz ,称为P 点的体力分量,以沿坐标
轴 正方向为正,沿坐标轴负方向为负。 单位：N/m3, 量纲是L-2MT-2(N=LT-2M)
•与物体的形变或材料强度直接相关的则是截
面法线方向和切线方向的分量，即正应力和 切应力，分别记为 σ，τ
六面体上的应力分Biblioteka Baidu(重点)
x 表示作用在垂直于x轴的面上沿x轴方向的正应力。 xy 表示作用在垂直于x轴的面上沿y轴方向的切应力。
应力分量的符号(重点)
如果某一个截面的外法线是沿着坐标 轴 的正方向，这个截面就称为一个正面， 这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正， 沿坐标轴负方向为负。
研究方法：
弹性力学——从微分单元体入手，严格考虑 静力学、几何学、物理学三个方面的条件， 边界上严格考虑受力和约束条件，三维数学 问题，求解偏微分方程边值问题。
材料力学—— 也考虑上述条件，但不是十 分严格。常采用近似的假设如平面截面假设 来简化问题，基本上是一维数学问题，基本 方程是常微分方程。 既相似又有区别
•面力：分布在物体表面上的力，如接触力、
流体压力。
面力
弹性体表面任一点 P
其邻近面积为 S S 表面的面积力为 F
lim F f S0 S
面力概念(重点)
面力矢量 f 在坐标轴x, y, z上的投影 fx, fy , fz ,称为P 点的面力分量,以沿坐标 轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。
固体力学中材力、结力和弹力研究内容和任务 基本相同，都是分析结构和构件在弹性阶段的 应力和位移，校核其强度和刚度。但研究对象 和方法是不同的。
研究对象：
材料力学—— 杆件结构，如柱体、梁、轴等；
结构力学—— 杆系结构，如桁架、刚架等；
弹性力学—— 弹性体如平面体、空间体，板壳。
建筑工程
建筑工程
相反，如果某一个截面的外法线是沿着 坐标轴 的负方向，这个截面就称为一个 负面，这个面上的应力就以沿坐标轴负方 向为正，沿坐标轴正方向为负。
z
y x
负面
截面的外法线 z
y x
截面的外法线
正面
yz
z
yx
yy= y
y x
前一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴 （或外法线沿着的坐标轴），
后一个字母表示作用方向沿着哪一个坐标轴。
（习题1—4）例：应力和面力的符号规定有
什么区别？试分别画出正面和负面上的正应 力和正的面力的方向。
Oz
x
y
形变 形变：形状的改变。
——长度的改变：物体内线段每单位长度的伸
缩称为线应变（正应变），用 表示，以伸
长为正， x 表示 x 方向线段的线应变。
——角度的改变：物体内各线段之间直角的改
标轴 x, y,z上的投影 u,v,w来表示，以
坐标正向为正，反之为负。 这三个投影称为该点的位移分量。
§1.3 弹性力学基本假设
•弹性力学的研究方法：
•已知物体的边界形状、材料性质、体力、面力、约 束，求解：应力、应变和位移
•解法：根据静力学、几何学和物理学分别建立三套 方程：（1）由力的平衡条件建立平衡微分方程； （2）由应变和位移间的几何关系建立几何方程； （3）根据应力和应变间的物理条件建立物理方程； （4）根据边界上的面力条件和约束条件建立应力边 界条件和位移边界条件；（5）在边界条件下根据上 述微分方程求解应力、应变和位移。
• 研究方法的差别造成弹性力学与材料 力学问题的最大不同。
• 材料力学:常微分方程，数学求解没有困难。
• 弹性力学:偏微分方程边值问题，在数学上 求解困难重重，除了少数特殊问题，一般 弹性体问题很难得到解析解。
§1.2 弹性力学基本概念(重点)
•外力、应力、形变、位移
•外力分为：体积力（体力） 表面力（面力）