§4.4 向量的正交化
向量的正交规范化
1
2 2
, ,
r 2
2
r1,r r1, r1
r 1
则 1, 2 , , r 两两正交，且与 1,2 , ,r等价.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2）规范化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2,
,
r
1
r
r ,
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0 ，则α与任何向量都正交. ② 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
四、应用举例 例1 证明：Rn 中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立
的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y x 2 y 2 2 x, y
所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,
线性代数schmidt正交化方程组求解do
1 3 2 1 1 -2
1 3 2 1 1 -2
1 3 -2 4 1 7 初等行变换 0 -1 0 -4 1 11
4 11 8 0 5 3
0 0 -4 3 0 9
初等行变换 1 0 0 -19/2 4 71/2 0 1 0 4 -1 -11
0 0 1 -3/4 0 -9/4
第四章 n维向量
Ax =的一个基础解系
= k11+k22+…+kss
任意数
Ax =的一般解
例1 设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为
110 13
0 0 1 0 -2
000 0 0
求方程组Ax = 的基础解系.
第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r.
(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且
sin cos
QT =
cos sin
sin cos
QTQ = cos2 +sin2
0
0
sin2 +cos2
= E.
Q=
cos sin
sin cos
Q y
对应的正交变换
O
x
第四章 n维向量
Q=
10 0 1
对应的正交变换
§4.4 向量的内积
y
O
x
Q
Q=
1 0
0 1
y
Q
对应的正交变换
O
x
第四章 n维向量
记 B=(b1 b2 … bt). 则 AX=B 有解 <=> A(x1 x2 … xt) = (b1 b2 … bt) 有解 <=> Axj = bj 有解， j =1,2,…,t.
向量组的正交性
解 先正交化， 取
1 1 1,1,1,1
2
2
(1,2 ) (1, 1)
1
1,1,0,4 1 1 4 1,1,1,1
1111
0,2,1,3
3
3
(1,3 ) (1, 1)
1
(2 ,3 ) (2, 2)
反例：1 (1,0,1),2 (0,0,1)
四 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,r是两两正交的非零向量组,则称1,2 , ,r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
2
n
T 2
1
2T 2
2T n
T n
T n
1
nT 2
nTn
1 0
E
0
1
0
0
0
0
(i ,i )
1, (i , j )
0
1
(i j)
b3 a3 c3 .
b1
b2
七、正交矩阵：
1.定义4： 若n阶方阵A满足AT A E(或A1 AT )，则称A为n阶正交矩阵。
2.性质：(i) 若A为n阶正交矩阵 A 1.
(ii) 若A为n阶正交矩阵 AT与A1也是正交矩阵。
(iii) 若A, B为n阶正交矩阵 AB与BA也是正交矩阵。
第三节：向量的内积与施密特正交化过程
⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
正交分解法知识点总结
正交分解法知识点总结一、正交分解法的基本概念1. 正交化在线性代数中，对于一个向量空间内的一组基向量，我们可以通过一定的方法将它们转化为一组正交基，这个过程就称为正交化。
正交化的目的是为了使得基向量之间互相正交，也就是说它们的内积为零。
这样一组正交基向量就可以更容易地用来表示其他向量，比如说对于一个向量，我们可以将它在这组正交基上的投影相加得到原向量，而不需要进行繁琐的计算。
2. 单位化在将一组向量正交化之后，我们通常还需要将它们单位化，也就是说将它们的模长归一化为1。
这样一来，我们得到的一组正交单位向量就可以作为线性空间的一组标准正交基。
这样的基向量在表示其他向量的时候更加方便，也符合我们对于标准正交基的要求。
所以在正交化的过程中，单位化是一个必要的步骤。
3. 正交分解正交分解是指将一个向量表示为一组正交基上的线性组合的过程。
对于一个线性空间中的一个向量，我们可以将它在一组正交基上的投影相加得到原向量。
这样的表示方法在很多情况下是非常方便的，比如说在计算内积、求解线性方程组、进行特征值分解等问题时，我们可以借助正交分解的方法来简化运算。
二、Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的将线性无关向量集合正交化的算法。
它的基本思想是通过一系列的正交化和单位化操作，将原始的线性无关向量集合转化为一组正交基。
Gram-Schmidt正交化方法的具体步骤如下：1. 对于给定的一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}，首先取v1作为第一个正交基。
2. 对于第i个向量vi，将它在前i-1个正交基上的投影相减，得到vi的正交化向量ui。
3. 将ui进行单位化，得到第i个正交单位向量ei。
4. 重复上述过程，直到得到一组正交单位向量{e1,e2,…,en}。
Gram-Schmidt正交化方法的优点是它的思想简单，易于实现，而且对于实际应用中的大多数情况来说，它都能够得到不错的结果。
4-4向量内积及正交化
1,2,2,3T 与 3,1,5,1T 的夹角. 求向量
18 2 cos 3 26 2
解[ , ] 来自4.3 正交向量组 定义5 当[ x, y] 0时, 称向量x与y正交, 记作x y. 由定义知 若 x 0, 则 x 与任何同维向量正交 , . 定义6 若非零向量构成的向量组中的向量两两正 交,则称 该向量组为正交向量组.
21:48 共23页 5
定理1 若n维向量 1 , 2 , , r 是一正交向量组, 则 1 , 2 , , r 线性无关. 证明 设1 , 2 , , r 使 11 2 2 r r 0. T T 以1 左乘上式两端, 得 1 1 1 0. 由1 0可知 2 T 1 1 1 0, 从而1 0. 同理 2 r 0. 故1 , 2 , , r 线性无关 . 注: 若单位向量组1 , 2 , , r 两两正交, 则称此 向量组为规范正交(向量)组. 例2 : １, 2 , 3为规范正交组, 求|| 4 1 4 2 7 3 || . 解 : || 41 4 2 7 3 ||2 [41 4 2 7 3 ,41 4 2 7 3 ] 16[1 , 1 ] 16[ 2 , 2 ] 49[ 3 , 3 ] 81 所以 || 41 4 2 7 3 || 9.
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1
2
若 1 , , n是向量空间 V的一组规范正交基 , 那么 对任意x V x k1 1 k n n 其中 k i [ x , i ] x T i , i 1, , n. 定义 9 : 设 1 , 2 , , n是向量空间 V的一个基 , 所谓 把 1 , 2 , , n 这个基规范正交化. 就是找V的一个 规范正交基 e1 , e2 , , en , 使其与 1 , 2 , , n等价. 问题: 如何找 e1 , e2 , , en？ 解决方案: 采用所谓施密特(Schmidt)正交单位化方 法分两步进行: 先用施密特正交化将向量组转化为 正交组, 然后将该正交组中向量单位化.
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积（亦称点积、内积积）是线性代数中非常重要的运算，它是将两个向量映射成一个标量的二元运算。
在内积中，有几个重要的性质和应用。
另一方面，施密特正交化过程是将线性相关的向量组转变为线性无关的正交向量组的过程。
在施密特正交化过程中，我们通过对向量组进行逐步的处理，使新的向量与之前的向量都正交。
一、向量的内积在二维欧几里得空间中，向量的内积定义为：其中，和分别为向量和的坐标。
在三维欧几里得空间中，向量的内积定义为：1.对于任何向量，都有。
2.对于任何向量，都有。
3.对于任何向量和标量，都有。
4.若向量和满足，则称向量和正交，记作。
内积具有许多应用和重要性质，其中之一是通过内积计算向量的模长，即。
内积还可以用于计算两个向量之间的夹角。
对于向量和，，当且仅当和共线时夹角为0，在此情况下,称向量和共线。
施密特正交化过程是将线性相关的向量组转化为线性无关的正交向量组的过程。
施密特正交化过程的基本思想是，通过不断减去之前所有的向量在当前向量上的投影，得到与之前向量正交的新向量。
具体步骤如下：对于给定的向量组，我们希望将其转化为正交向量组。
施密特正交化过程的步骤如下：1.令，即第一个正交向量等于第一个向量。
2.对于向量，对其进行如下处理：a.计算向量在的投影，即。
b.令为向量减去其在上的投影，即。
c.实际得到的向量与垂直，即。
得到向量的长度。
3.对于向量，继续对其进行如上处理。
经过施密特正交化过程，我们最终可以得到单位正交向量组。
如果希望得到标准正交向量组，即长度为1的正交向量组，需要将单位正交向量组进行标准化处理。
施密特正交化过程的关键思想是不断减去之前的向量在当前向量上的投影，得到与之前的向量正交的新向量。
这样可以确保每次得到的新向量都与之前向量组成的空间正交。
施密特正交化过程广泛应用于数值计算中的线性代数问题，例如最小二乘法、特征值问题等。
它的作用是简化计算，提高计算的精度和稳定性。
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
向量空间的正交化_图文_图文
在空间 中，若一组基
满足标准正交
向量组的条件，即
则称
为标准正交基。
例如 是 中的一组标准正交基，而 中的自然基
也是标准正交基。 设
三、Schmidt正交化方法
空间中的线性无关 向量组。 （当r=n时，就是Rn空间里的一组基）
但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组； （当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基） 下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组， 转变为正交向量组的方法。
长度不为1，则可取
称 为与
同向的单位向量， 从
的过程也称为
向量的单位化。
定义3
，则称向量 正交。 零向量与任何向量都正交。
例1 求与 解：设
都正交的单位向量。
与
都正交
则
对系数矩阵A作初等行变换
所以 再单位化得
为所求向量。
二 向量的正交性
设一个向量组
，若它们两两正交，
称这个向量组为正交向量组。 又若每一个向量
所得向量组是正交向量Fra bibliotek。当时，Schmidt 正交化方法就可以将一组基
化为正交基
然后单位化：
则
书例2
即为标准正交基。
四、 正交矩阵
定义 设A是n阶的实矩阵，若 A是正交矩阵。 正交矩阵的性质：若A为正交阵，则
，则称
（1） （2）
（3） 也为正交阵 （4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵
向量空间的正交化_图文_图文.ppt
一 向量的内积 定义1 对n 维向量空间 中的向量
定义 中内积
为
注：
当
到实数集R的函数，
上述定义中给出的内积满足： （1）交换性： （2）线性性：
线性代数—向量的正交性
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0 0 0 1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
求规范正交基的方法 基 正交基 规范正交基
第一步：正交化——施密特正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
b1 , a2 b1 , b1
,
a3
1
，试用施密特正交化
1
1
0
过程把这组向量规范正交化．
解：第一步正交化，取
b1 a1
1 1 1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
3 1
4 6
21
5 3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
b1 , a3 b1 , b1
b1
b2 , a3 b2 , b2
向量的正交性
1、内积 正交向量集 2、最小二乘解 正交原理
1、内积 正交向量集
定义 对Rn空间的向量 a,b,
a1 b1
a
,
b
,
an bn
n
称数 aibi 为a,b的内积，即
i 1
n
a, b aibi aTb
i 1
常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间，
带上述内积定义的向量空间Rn是内积空间或为欧几里得空间.
定义 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交 向量组．
定理 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
证明 设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2
向量的内积与向量组的正交化ppt课件
+
1
+
2
3 0.
1 0
它的基础解系为
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取 a2 1,
a3
2
[ [
1, 1,
2]
1]
1
.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
a2
1 0 , 1
a3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
4、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则称A为正交矩阵.
定理 证明
A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都是单位向量且两两正交．
a11
AT
A
E
a12 L
a21
a22 L
L L L
an1 a11 an2 a21 L L
a12
a22 L
L L L
201
由于
0 1 2 0, 所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
112
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 , 因而 A 可对角化 .
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 + 13
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2 3 1 . 把 1代入 A E x 0 , 解之得基础解系 (1,1,1)T ,
内积的运算性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) [x, y] [y, x]; (2) [x, y] [x, y]; (3) [x + y, z] [x, z] + [y, z];
向量组的正交化ppt课件
(a m , bm1 ) b m1 ( b m1 , b m1 )
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性 表示.
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②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1 a1 (a 2 , b1 ) (a 2 , b1 ) b2 a 2 b1 a 2 a1 ( b1 , b1 ) ( b1 , b1 ) (a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a m , b1 ) (a m , b2 ) bm a m b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向
量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.
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例1．已知向量组a1(1,1,1,1)T, a2(3,3,-1,-1)T, a3(-2, 0, 6, 8)T,
线性无关，试将它们正交化、标准化. 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
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(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) (a 2 , b1 ) a3 a1 [a 2 a1 ] ( b1 , b1 ) (b2 , b2 ) ( b1 , b1 ) (a m , b1 ) (a m , b 2 ) (a 2 , b1 ) bm a m a1 [a 2 a1 ] ( b1 , b1 ) (b2 , b2 ) ( b1 , b1 )
向量的内积与施密特正交化过程
目录
• 向量的内积 • 施密特正交化过程 • 向量的模与向量的夹角 • 施密特正交化过程在向量空间中的应用 • 向量内积与线性代数的关系
01
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点积运算， 记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 它等于向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$的各分量相乘后的总和。
征向量等。
THANKS
感谢观看
在信号处理中，施密特正交化过程可以用于将一组信号向量转化为正交基底，以便更好地分析和处理信 号。
在量子力学中，施密特正交化过程可以用于将一组量子态向量转化为正交基底，以便更好地描述量子系 统的状态和演化。
05
向量内积与线性代数的关 系
向量内积与矩阵的关系
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是两向量之间的夹角。
施密特正交化过程的定义
01
施密特正交化过程是一种数学 方法，用于将一组线性无关的 向量转换为正交基。
02
正交基是指一组两两正交的向 量，即它们的内积为0。
03
通过施密特正交化过程，我们 可以得到一组标准正交基，即 它们的长度为1且两两正交。
施密特正交化过程的应用
在线性代数中，施密特正交化过程常 用于将一组给定的线性无关向量转换 为标准正交基，从而方便进行向量运 算和矩阵表示。
矩阵与向量内积的关系
矩阵乘法可以看作是线性变换的一种表示，而向量内积则是描述向量之间角度 和长度关系的工具，因此向量内积在矩阵乘法中有着重要的应用。
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
线性代数4.3向量的正交性
b1 , a2 b2 a2 c2 a2 b1 b1 , b1 a
3
b1 a1
b3
a3 c31 c32 b1 , a3 b2 , a3 a3 b1 b2 b1 , b1 b2 , b2
c3
c32 c31 b2
c2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1 0 1 1 1 e1 , e2 , e3 , e4 0 0 1 1 0 0 0 1
量组．
P.108 定理8 证明 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零
向量集，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0
= k1 ||a1||2
因为 ||a1|| ≠ 0，所以 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1 1 例 已知3维向量空间R3中两个向量 a1 1 , a 2 2 1 1
1 等价于求方程组 Ax 1 1 2 x1 1 0 x2 1 0 x3
正交化方法-特征值与特征向量29页PPT
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
正交化方法-特征值与特征向量
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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[精华]§4.4向量的正交化
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例4-13 证明)0,21,21(1=α，)0,21,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基．分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明：（1）证明所给向量两两正交，且为基． 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交；（2）每个向量的长度等于1． 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1．证明： （1）证明所给向量两两正交．000)21(21212121=⨯+-⨯+⨯=∙αα，所以，1α 与2α 正交；01002102131=⨯+⨯+⨯=∙αα ，所以，1α 与3α 正交；0100)21(02132=⨯+⨯-+⨯=∙αα ，所以，3α 与2α 正交；有以上证明可知，所给向量1α 、2α、3α 两两正交．又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α 、3α是R 3的一组正交基．（2）证明1α 、2α 、3α的长度都是1．10)21()21(2221=++=α ；10)21()21(2222=+-+=α；11002223=++=α． 有以上证明可知，所给向量1α 、2α、3α 是R 3的一组标准正交基．例4-14 设)3,2,1(=α，)3,1,4(-=β是R 3中的向量，试求α 在β上的投影向量，投影长度；β 在α上的投影向量和投影长度．解：βα∙=1×4+2×(-1)+3×3=11，14321222=++=α ， 263)1(4222=+-+=β ，α 在β上的投影向量为)3,1,4(2611)3,1,4()26(11221-=-=∙=βββαγα 在β上的投影纯量，或称为投影长度为26111=∙=ββαγβ 在α上的投影向量为)3,2,1(1411)3,2,1()14(11222==∙=ααβαγβ 在α上的投影纯量或称为投影长度为14112=∙=αβαγ例4-15 将R 4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化．解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量．以所给的三个向量为行的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231012100003A用矩阵的第三行加第二行得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231012100003A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛350012100003所以r (A )=3，所以三个向量线性无关．2．用施密特法将向量组正交标准化（1）正交化 构建两两正交向量组令)0,0,0,3(11==αβ)0,0,0,3()0003(01020130)1,2,1,0(222221211222+++⨯+⨯+⨯+⨯-=∙-=βββααβ)1,2,1,0(=)65,32,613,0()1,2,1,0(67)0,0,0,0()2,3,1,0()1,2,1,0()1210(2132)1(100)0,0,0,3()0003(02030)1(30)2,3,1,0(2222222222222231211333-=---=+++⨯+⨯+-⨯+⨯-+++⨯+⨯+⨯-+⨯--=∙-∙-=βββαβββααβ（2）标准化将正交向量组321,,βββ中的三个向量单位化．)0,0,0,1(0003)0,0,0,3(2222111=+++==ββε ，)1,2,1,0(611210)1,2,1,0(2222222=+++==ββε ，)5,4,13,0(2101)65()32()613(0)65,32,613,0(2222333-=++-+-==ββε．至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交向量组{)0,0,0,1(，)61,62,61,0(，)2105,2104,21013,0(-}．。
三个向量施密特正交化公式
三个向量施密特正交化公式三个向量施密特正交化公式是线性代数中的重要概念，用于将一个向量空间中的向量转化为正交的向量组。
下面我将以一段人类视角的叙述来解释这个概念。
当我们研究向量时，我们经常需要找到一组正交的向量来表示一个向量空间。
施密特正交化公式提供了一种方法来实现这一目标。
这个公式的背后思想是通过对向量进行逐步的调整和变换，使得它们相互垂直，从而得到一组正交的向量。
我们选取一个向量作为基向量，然后对下一个向量进行调整，使其与第一个向量垂直。
具体而言，我们可以通过计算两个向量的内积，并将其除以第一个向量的模长来得到一个标量。
然后，我们将这个标量乘以第一个向量，并将结果与第二个向量相减。
这样，我们就得到了一个与第一个向量垂直的向量。
接下来，我们会对第三个向量进行调整，使其与前两个向量都垂直。
我们可以使用相同的方法，计算第三个向量与前两个向量的内积，并将其除以两个向量的模长的乘积。
然后，将这个标量乘以前两个向量，并将结果与第三个向量相减。
这样，我们就得到了一个与前两个向量都垂直的向量。
通过重复这个过程，我们可以得到一组正交的向量，它们相互垂直，且与原始向量空间中的向量具有相同的线性组合性质。
这意味着我们可以用这组正交向量来表示原始向量空间中的任意向量。
施密特正交化公式在许多应用中都有重要的作用。
例如，在信号处理中，我们经常需要对信号进行正交变换，以便更好地理解和处理信号。
施密特正交化公式提供了一种有效的方法来实现这一目标。
总的来说，施密特正交化公式是线性代数中的一个重要工具，可以将一个向量空间中的向量转化为正交的向量组。
通过逐步调整和变换，我们可以得到一组与原始向量空间中的向量相互垂直的向量。
这个公式在许多领域中都有广泛的应用，帮助我们更好地理解和处理向量。
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例4-13 证明)0,21,21(1=α ，)0,2
1
,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基．
分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基．
方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1．
方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1． 证明：
（1）证明所给向量两两正交． 000)2
1(21212121=⨯+-
⨯+
⨯=
∙αα
，所以，1α 与2α
正交；
01002
102131=⨯+⨯+
⨯=
∙αα
，所以，1α
与3α 正交； 0100)2
1(02132=⨯+⨯-
+⨯=
∙αα
，所以，3α 与2α
正交；
有以上证明可知，所给向量1α
、2α
、3α 两两正交．
又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α
、3α 是R 3的一组正交基．
（2）证明1α 、2α
、3α 的长度都是1． 10
)2
1(
)21(2
22
1=++=
α
；
10
)2
1()2
1(
2
22
2=+-
+=
α
；
11002
2
2
3=++=
α
．
有以上证明可知，所给向量1α 、2α
、3α 是R 3的一组标准正交基．
例4-14 设)3,2,1(=α
，)3,1,4(-=β
是R 3中的向量，
试求α 在β 上的投影向量，投影长度；β 在α
上的投影向量和投影长度．
解：βα
∙=1×4+2×(-1)+3×3=11，
14321222=++=α ， 263)1(42
22=+-+=β ，
α
在β 上的投影向量为
)3,1,4(2611)3,1,4()26(112
21-=-=∙=ββ
βαγ
α
在β
上的投影纯量，或称为投影长度为
26111=∙=β
βαγ
β 在α
上的投影向量为
)3,2,1(1411)3,2,1()14(112
22==∙=αα
βαγ
β 在α
上的投影纯量或称为投影长度为
14
112
=
∙=
αβαγ
例4-15 将R 4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，
(0，-1，3，2)}标准正交化．
解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量．
以所给的三个向量为行的矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=23
1
01210
0003A 用矩阵的第三行加第二行得
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-=23
1
01210
0003
A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛35
012100003
所以r (A )=3，所以三个向量线性无关．
2．用施密特法将向量组正交标准化 （1）正交化
构建两两正交向量组 令)0,0,0,3(11==αβ
)0,0,0,3()0003(01020130)1,2,1,0(2
222212
1
1222+++⨯+⨯+⨯+⨯-=∙-=ββ
βααβ
)1,2,1,0(=
)65,32,
613,0()
1,2,1,0(6
7)0,0,0,0()2,3,1,0()
1,2,1,0()
12
10
(2
132)1(100)0,0,0,3()
00
3(0
2030)1(30)2,3,1,0(2
22
22
2
22
2
2
2
22
2312
1
1
333-
=---=+++⨯+⨯+-⨯+⨯-
+++⨯+⨯+⨯-+⨯-
-=∙-∙-
=βββαβββααβ
（2）标准化
将正交向量组321,,βββ
中的三个向量单位化．
)0,0,0,1(0003)0,0,0,3(2
222111=+++==ββε
，
)1,2,1,0(61
1
210)1,2,1,0(2
222222=+++=
=ββε
， )5,4,13,0(210
1)6
5()32()613
(0)6
5,32,
6
13,0(222
2
3
33-=
++-
+-
=
=
ββε
．
至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交
向量组
{)0,0,0,1(，)6
1,
6
2,
6
1,
0(，)210
5,
210
4,
210
13,0(
}．。