§4.4 向量的正交化
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例4-13 证明)0,21,21(1=α ，)0,2
1
,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基．
分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基．
方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1．
方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1． 证明：
（1）证明所给向量两两正交． 000)2
1(21212121=⨯+-
⨯+
⨯=
∙αα
，所以，1α 与2α
正交；
01002
102131=⨯+⨯+
⨯=
∙αα
，所以，1α
与3α 正交； 0100)2
1(02132=⨯+⨯-
+⨯=
∙αα
，所以，3α 与2α
正交；
有以上证明可知，所给向量1α
、2α
、3α 两两正交．
又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α
、3α 是R 3的一组正交基．
（2）证明1α 、2α
、3α 的长度都是1． 10
)2
1(
)21(2
22
1=++=
α
；
10
)2
1()2
1(
2
22
2=+-
+=
α
；
11002
2
2
3=++=
α
．
有以上证明可知，所给向量1α 、2α
、3α 是R 3的一组标准正交基．
例4-14 设)3,2,1(=α
，)3,1,4(-=β
是R 3中的向量，
试求α 在β 上的投影向量，投影长度；β 在α
上的投影向量和投影长度．
解：βα
∙=1×4+2×(-1)+3×3=11，
14321222=++=α ， 263)1(42
22=+-+=β ，
α
在β 上的投影向量为
)3,1,4(2611)3,1,4()26(112
21-=-=∙=ββ
βαγ
α
在β
上的投影纯量，或称为投影长度为
26111=∙=β
βαγ
β 在α
上的投影向量为
)3,2,1(1411)3,2,1()14(112
22==∙=αα
βαγ
β 在α
上的投影纯量或称为投影长度为
14
112
=
∙=
αβαγ
例4-15 将R 4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，
(0，-1，3，2)}标准正交化．
解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量．
以所给的三个向量为行的矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=23
1
01210
0003A 用矩阵的第三行加第二行得
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-=23
1
01210
0003
A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛35
012100003
所以r (A )=3，所以三个向量线性无关．
2．用施密特法将向量组正交标准化 （1）正交化
构建两两正交向量组 令)0,0,0,3(11==αβ
)0,0,0,3()0003(01020130)1,2,1,0(2
222212
1
1222+++⨯+⨯+⨯+⨯-=∙-=ββ
βααβ
)1,2,1,0(=
)65,32,
613,0()
1,2,1,0(6
7)0,0,0,0()2,3,1,0()
1,2,1,0()
12
10
(2
132)1(100)0,0,0,3()
00
3(0
2030)1(30)2,3,1,0(2
22
22
2
22
2
2
2
22
2312
1
1
333-
=---=+++⨯+⨯+-⨯+⨯-
+++⨯+⨯+⨯-+⨯-
-=∙-∙-
=βββαβββααβ
（2）标准化
将正交向量组321,,βββ
中的三个向量单位化．
)0,0,0,1(0003)0,0,0,3(2
222111=+++==ββε
，
)1,2,1,0(61
1
210)1,2,1,0(2
222222=+++=
=ββε
， )5,4,13,0(210
1)6
5()32()613
(0)6
5,32,
6
13,0(222
2
3
33-=
++-
+-
=
=
ββε
．
至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交