电磁场有限元分析(数学基础)
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
Ansoft Maxwell 2D 工程电磁场有限元分析
1.3.1Maxwell 2D 的边界条件
静磁场有以下几种边界条件： 矢量磁位边界条件 对称边界条件 气球边界条件 主边界条件 从边界条件 • 1.3.1.1 Default Boundary Conditions 自然边界条件，也称纽曼边界条件，可以用来描 述两个相接触的物体，在接触面上，磁场强度H 的切向分量和磁感应强度B 的法向分 量保持连续。
Maxwell 2D 基础
1.3 Maxwell 2D 的边界条件和激励源
边界条件和激励源方式按照不同的求解器来设定。 按照计算模型所需的求解器不同，主要可以分为以下 6 大类： 求解器 可计算的执行参数 静磁场 矩阵（电容）、力、转矩 涡流场 矩阵（电感）、力、转矩、磁通量 瞬态磁场 矩阵（阻抗）、力、转矩、磁通量 静电场 导纳、电流 交变电场 电导、电流 直流传导电场 注： 瞬态磁场是指被求解问题随时间做一定有规则的运动， 以及所加载激励是时间、位置、或者速度的函数关系，
软件默认的参数变量为_t，在X、Y、Z 三个方向上都可以设置为_t的函数，而在 Start_t 和End_t 中设置参数_t 的起始和终止范围，通过Points 项可以设置由多少个点 组成该参数曲线，若设置为0 则表示由软件默认的点数组成，此时的曲线较为光滑 ，若该项设置过少则曲线将有多段直线组成。
Maxwell 2D 基础
1.2 Maxwell 2D 的材料管理
1.2.2 常用硅钢片50W600的添加
以硅钢片50W600材料为例，先要了解该材料的特性，找到相应的相对磁化曲线 表，它的磁化曲线是非线性的；电导率在2e+6 S/m 左右。 添加步骤： 1、材料命名：50W600 2、选定坐标系：Cartesian 3、设置相关参数 Relative Permeability --相对磁导率设为 非线性曲线，点击右侧“Bh Curve”，进入 磁化曲线表， 输入相应的数据，点击OK 。 Bulk Conductivity --电导率设为2000000。 后两项默认即可。
电磁场分析 有限元法
第3章新型混合磁极永磁电动机的计算分析方法3.1 前言新型混合磁极永磁电机的计算分析方法是进行本课题研究需要首先解决的问题。
由于新型混合磁极永磁电机是一种全新的电机，没有现成的解析计算公式，且解析计算也难以把握电机的各种非线性的复杂因素，无法准确的计算、分析和研究这种电机。
因此，采用电磁场数值计算方法是必要的选择。
本章阐述了基于有限元法的电磁场计算分析方法、齿磁通计算分析方法和交、直轴电抗的计算分析方法。
3.2 电磁场计算分析方法电机计算方法通常有磁路法和电磁场法。
磁路法的计算精度不高，处理基波时对电机设计具有一定的指导意义。
电磁场法能够处理饱和、谐波、涡流以及齿槽的影响，尤其在计算机普遍应用的今天，磁场法以其精度高等优势得到了广泛的应用。
有限元法是将所考察的连续场分割为有限个单元，然后用函数来表示每个单元的解，在求得代数方程之后再引进边界条件，因为边界条件不进入单个有限单元的方程，所以能够采用同样的函数。
采用电磁场有限元软件对新型混合磁极永磁电机的电磁场进行有限元分析，我们可以得到矢量磁位AZ、磁场强度、磁感应强度等结果和磁力线、等磁位线等曲线，从而了解该电机内部的磁场分布情况。
根据电磁场分析结果，通过绕组与磁场的感应关系即可求得基波绕组和三次谐波绕组的电势波形和大小。
课题组提出了齿磁通法对电机磁场进行计算。
采用齿磁通法计算电机磁场时，需要至少旋转一个齿距下的的磁场情况，因此计算量较大，但能够得到绕组电压值和波形，其精度也较高。
有限元计算分为以下几步：第一、建立有限元模型，确定求解区域。
第二、分配电机材料，铁磁材料与气隙的分配与普通电机分配相似，在分配永磁材料时，需注意永磁材料的矫顽力方向，同时在永磁材料分配应确定永磁材料是径向磁通；文中选定是径向磁通。
第三、网格剖分，选定网格类型，再对六极混合磁极永磁电机有限元模型进行网格剖分。
第四、对电机模型进行施加电流密度，求解得出AZ值。
创建模型：创建一个模型的顺序是由点到线、由线到面，这一部分的工作在Preprocessor的Modeling完成。
电磁场有限元分析
有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权
余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，
以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实 施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元基本原理与实施步骤：1D FEM 2. 有限元基本原理与实施步骤：2D FEM 3. 有限元方程组的求解 4. 二维有限元工程应用 5. 三维有限元原理与工程应用 6. 矢量有限元
基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
bi Ni f d
由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 Ki ,i 1 , Ki ,i , Ki ,i 1 不为0。
使用分步积分：
dx d2 N j xj Ni dx 2 xi dx
Ni
d2 N j
2
d
( j i 1)
Ni
dN j dx
xj
xi
xj
xi
dN i dN j dx dx dx
第一项在 xj 处为0，在 xi 处的值 被来自 (i-1) 单元的贡献抵消，故只剩下第二项。
Ki , j Ni L(N j ) d
（3）方程离散
故 Ki , j Ni
强加边界条件：u1 = 0, u6 = 0
1 K 21
0 K 22 K32
K 23 K33 K 43
K34 K 44 K54
K 45 K55 0
《电磁场有限元分析》课件
计算量大
对于大规模问题，有限元分析需要处理大量的 数据和计算，计算成本较高。
对初值和参数敏感
有限元方法对初值和参数的选择比较敏感，可 能会影响求解的稳定性和精度。
数值误差
有限元方法存在一定的数值误差，可能会导致结果的精度损失。
未来发展方向和挑战
高效算法
研究更高效的算法和技术，提高有限 元分析的计算效率和精度。
网格划分的方法
根据实际问题选择合适的网格类型，如四面体网 格、六面体网格等，并确定网格的大小和密度。
数据准备的内容
准备边界条件、初始条件、材料属性等数据，为 后续计算提供必要的数据支持。
有限元方程的求解和后处理
求解方法的选择
根据实际问题选择合适的求解方法，如直接求解法、 迭代求解法等。
求解步骤
将有限元方程组转化为线性方程组，选择合适的求解 器进行求解，得到各节点的数值解。
电磁场有限元分析简介
概述有限元分析的基本原理和方 法，包括离散化、近似函数、变
分原理等。
介绍电磁场有限元分析的基本步 骤，包括前处理、求解和后处理
等。
简要介绍电磁场有限元分析的常 用软件和工具，如ANSYS、 COMSOL Multiphysics等。
02
电磁场理论基础
麦克斯韦方程组
总结词
描述电磁场变化规律的方程组
详细描述
边界条件和初始条件是描述电磁场在边界和初始时刻的状态，对于求解电磁场问 题至关重要。
03
有限元方法基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将连续的物理域离散化 为有限数量的单元，利用数学近似方法求解复杂的问题。
02
该方法广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁
电磁场分析的有限元法
第7章 光波导分析的有限元法
7.1 微分方程边值问题
7.1.3 伽辽金（Galerkin）方法
Galerkin 法选取基函数i为加权函数，效果最好
Ri
S
i
(
2 t
K
2 t
)
dS
0
N
c j j j1
N
Ri
cj
S
i
(
2 t
K
2 t
)
j
dS
0
j1
Kij Sit2jdS S i jdS
7.1 微分方程边值问题 7.2 有限元分析
7.3 光波导模式问题的应用举例
2
第7章 光波导分析的有限元法
分析或设计波导器件时，知道波导模的特性及其场分布 非常重要。光波导精确求解的条件有限，近似分析时精度受 到限制，要高精度求得传播常数和电磁场分布，还要依赖于 数值分析法。
电磁场分析的数值法有很多，如有限元法（FEM)、有限 差分法、模匹配法、横向共振法等，而FEM因其较高的精度 和通用性，是目前使用最广泛、比较公认的精确数值技术方 法之一，并作为各种近似计算的基准。FEM特别适用于复杂 的几何结构和介电特性分布，可以解决几乎任意截面和折射 率分布的介质光波导的模式及场分布问题。
L f
L f 0 为方程的严格解（真解） 设 为方程的近似解，定义余数
r L f 表示近似解接近真解的程度
的最佳近似，应能使余数r在域内所有点有最小值。
余数加权积分
R wrd
其中w为加权函数
满足R=0的解称为微分方程的弱解或近似解。
w的选取方法：点重合, 子域重合, 最小二乘法, 迦辽金法等。
FEM是已发展成熟的数值计算方法。数学理论包括泛函 分析理论和抽象空间理论，应用范围包括土木工程如桥梁、 建筑，机械制造如船舶、飞机设计，计算场分布如应力场、 流体场、电磁场等等。有大量的商品化软件，使用方便。
电磁场的数学建模与解答技巧
电磁场的数学建模与解答技巧电磁场是电荷和电流所产生的相互作用效应，它在工程学、物理学以及计算机模拟中都扮演着重要角色。
为了更好地理解和分析电磁场，数学建模和解答技巧是必不可少的。
本文将从电磁场的数学建模入手，介绍几种常用的数学建模方法，并给出解答技巧的实例。
一、电磁场的数学建模方法之一：微分方程微分方程是描述电磁场的一种常用数学工具。
通常，通过麦克斯韦方程组可以得到电磁场满足的偏微分方程。
对于静电场，可以使用拉普拉斯方程描述，表示为：∇²ϕ = -ρ/ε₀其中ϕ是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
对于静磁场，则可以使用斯托克斯方程描述，表示为：∇×B = μ₀J其中B是磁感应强度，J是电流密度，μ₀是真空磁导率。
通过求解这些微分方程，可以得到电磁场的分布情况。
二、电磁场的数学建模方法之二：有限元法有限元法是一种常用的数值解法，可用于求解任意形状的电磁场问题。
该方法将电磁场区域划分为有限个小单元，并在每个小单元内以多项式函数逼近电磁场的分布。
通过建立离散的代数方程组，并求解该方程组，可以得到电磁场的近似解。
三、电磁场的数学建模方法之三：有限差分法有限差分法是一种离散方法，通过将连续的电磁场问题转化为离散的代数问题进行求解。
该方法将连续的电磁场区域划分为网格，并在每个网格节点上进行逼近。
通过近似微分算子，将偏微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到电磁场的解。
四、电磁场解答技巧实例为了更好地展示电磁场解答技巧，以下给出一个实例。
考虑一个带有一根无限长直导线的无限大平面问题。
已知导线的电流密度为I，求解该情况下的磁场分布。
根据安培环路定理，可以得到这个问题的微分方程为：∇×B = μ₀Iδ(x)δ(y)ez其中δ表示狄拉克δ函数，ez表示z轴方向上的单位向量。
通过对微分方程进行求解，可以得到在导线周围的磁场强度为：B = μ₀I/2πr其中r表示距导线的径向距离。
电磁场问题的有限元分析
ANSYS电磁场分析首先求解出电磁场的磁势和电势， 然后经后处理得到其他电磁场物理量，如磁力线分布、磁 通量密度、电场分布、涡流电场、电感、电容以及系统能 量损失等
● 电力发电机 ● 变压器 ● 电动机 ● 天线辐射 ● 等离子体装置
9.1 电磁场基本理论
（4）ANSYS电磁场分析简介 2. ANSYS电磁场分析方法 (2)建立分析模型。 在建立几何模型后，对求解区域用选定的单元进行划分， 并对划分的单元赋予特性和进行编号。 单元划分的疏密程度要根据具体情况来定，即在电磁 场变化大的区域划分较密，而变化不大的区域可划分得稀 疏些。 (3)施加边界条件和载荷。 (4)求解和后处理。
过滤图形用户界面进入电磁场 分析环境。在ANSYS软件的 Multiphysics模块中，执行：Main Menu>Preferences，在弹出的对话 框中选择多选框“Magnetic-Nodal” 后，单击[OK]。
9.2 二维静态磁场分析
（2）二维静态磁场分析实例 (2) 建立模型 ①生成大圆面：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Area >Circle>By Dimensions弹出如对话框，在对 话框中输入大圆的半径“6”．然后单击 [OK]。 ②生成小圆： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Ci rcle>Solid Circle，弹出一个对话框，在“WP X”后面 输入“1”，在“Radius”后面输入“2”，单击[OK]， 则生成第第二个圆。 ③布尔操作： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Cr eate>Booleans>Overlap>Area，在弹出 对话框后，单击[Pick All]。
电磁场计算中的有限元方法教程
电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一，广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。
而有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算技术，可以解决电磁场计算中的复杂问题。
本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元，利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。
有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组，通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。
有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势，因此被广泛应用于工程和科学计算中。
二、电磁场方程建立在电磁场计算中，关键是建立合适的电磁场方程。
常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。
根据具体情况选择适用的方程，并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。
三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。
在电磁场计算中，通常采用三角形或四边形单元来进行划分，这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。
划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求，合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。
四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后，需要建立相应的有限元方程组。
以求解静电场问题为例，我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。
有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。
五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。
根据具体的方程形式和计算区域的几何形状，可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。
在电磁场计算中，常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。
六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后，需要进行相应的后处理，进行数据分析和可视化。
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法是一种用于求解电磁场分布的数值计算方法。
它基于有限元法，将连续的电磁场问题离散化为有限个区域，通过计算每个区域内的电磁场变量进行求解。
在电磁场有限元方法中，电磁场通常通过两个基本变量来描述：电场和磁场。
这些变量可通过Maxwell方程组进行表达，并且可以通过有限元法对其进行离散化。
在离散化过程中，整个计算区域被划分为小的有限单元，并在每个单元上建立适当的数学模型。
然后，通过求解相应的矩阵方程组，可以得到每个单元内的电磁场变量的近似解。
电磁场有限元方法的求解步骤通常包括以下几个步骤：
1. 网格划分：将计算区域划分为小的有限单元。
2. 建立数学模型：在每个单元上建立适当的数学模型来描述电磁场变量的行为。
3. 生成方程组：通过应用Maxwell方程组和适当的边界条件，可以得到矩阵方程组。
4. 求解方程组：使用数值求解方法，如迭代法或直接法，求解得到每个单元内的电磁场变量的近似解。
5. 后处理：根据得到的解，可以计算出其他感兴趣的物理量，如电流密度，功率密度等。
电磁场有限元方法在计算电磁场分布时具有很好的灵活性和精确性。
它广泛应用于电磁设备的设计和分析，如电机、变压器、传感器等。
磁场有限元分析
电机磁场分析主要关注电机的磁通密度、磁通路径、磁阻、涡流和磁力线分布等参数。通过有限元方 法，可以模拟电机的磁场分布和变化，从而优化电机设计，提高电机的功率密度、效率和使用寿命。
磁悬浮系统分析
总结词
磁悬浮系统分析是磁场有限元分析的重要应用之一，通过分析磁悬浮系统的磁场分布和作用力，可以优化磁悬浮 系统的控制和稳定性。
磁场有限元分析
contents
目录
• 引言 • 磁场有限元分析的基本原理 • 磁场有限元分析的实现过程 • 磁场有限元分析的应用案例 • 磁场有限元分析的挑战与展望 • 参考文献
01 引言
背景介绍
磁场有限元分析是计算电磁场问题的一种数值方法，通过将 连续的磁场分布离散化为有限个小的单元，利用数学模型和 物理定律建立每个单元的方程，然后通过求解这些方程得到 磁场的近似解。
在磁场有限元分析中，复杂的边 界条件（如开域、闭域、周期性 边界等）需要特殊处理，以确保 求解的准确性和可靠性。
材料属性
不同材料的磁导率、磁化强度等 属性可能存在较大的差异，需要 在模型中准确描述，以便更准确 地模拟磁场分布和磁力作用。
多物理场耦合的磁场有限元分析
耦合方式
多物理场耦合的磁场有限元分析需要 考虑磁场与其他物理场（如电场、流 体场等）之间的相互作用和耦合效应， 需要采用适当的耦合方式进行建模和 分析。
结果后处理
结果可视化
将计算结果以图形或图像的形式呈现出来，便 于观察和分析。
结果评估
对计算结果进行评估，判断其准确性和可靠性。
结果优化
根据需要对计算结果进行优化处理，如滤波、平滑等。
04 磁场有限元分析的应用案 例
电机磁场分析
总结词
第二章有限元分析基础
第二章有限元分析基础有限元分析是一种常用的工程计算方法，在工程学科中被广泛应用。
本章将介绍有限元分析的基本概念和基础知识。
有限元分析是一种数值分析方法，用于求解复杂的物理问题。
它的基本思想是将一个连续的物体或结构离散化为有限数量的基本单元，通过在每个单元上进行计算，最终得到整个物体或结构的行为。
这些基本单元通过节点连接在一起，形成了一个有限元网格。
通过在每个节点上求解方程，可以得到整个物体或结构的应力、变形等相关信息。
在有限元分析中，有三个重要的步骤：建模、离散和求解。
建模是指将实际物体或结构转化为数学模型的过程。
在建模过程中，需要确定物体或结构的几何形状、边界条件和力学性质等。
离散是指将物体或结构划分为有限数量的基本单元。
常用的基本单元有三角形、四边形和六面体等。
离散过程中需要确定每个基本单元的几何属性和材料性质等。
求解是指在离散的基础上，通过求解节点上的方程，得到物体或结构的应力、变形等结果。
求解过程中，需要确定节点的位移和应变等参数。
有限元分析的基本假设是在每个基本单元内，应力和应变满足线性关系。
这意味着在小变形和小位移的情况下，有限元分析是有效的。
此外，为了提高计算精度，通常会增加更多的基本单元。
但是，增加基本单元数量会增加计算复杂度和计算时间。
因此，在实际应用中，需要根据问题的复杂程度和计算资源的限制进行权衡。
有限元分析广泛应用于各个领域，例如结构力学、热传导、电磁场、流体力学等。
在结构力学中，有限元分析可以用于求解静力学和动力学问题。
在热传导中，有限元分析可以用于求解温度分布和热流问题。
在电磁场中，有限元分析可以用于求解电荷和电场分布等。
在流体力学中，有限元分析可以用于求解流速和压力分布等。
总之，有限元分析是一种重要的工程计算方法，可以用于求解各种物理问题。
通过建模、离散和求解等步骤，可以得到物体或结构的应力、变形等结果。
有限元分析在工程学科中有着广泛的应用前景，对于工程设计和优化起着重要作用。
电磁场有限元法
选择插值基函数
使用线性三角形单元，在第e个单元内，e (x) 可以 近似为：
e (x, y) ae be x ce y
节点坐标带入：
1e ae be x1e ce y1e
e 2
ae
be x2e
ce y2e
e 3
ae
be x3e
ce y3e
解得：
3
e (x, y) Nie (x, y)ie
• 在电磁场计算中，矢量基函数已基本取代了标量基函数；
• 一般情况下，分为频域有限元法和时域有限元法。
1
有限元的基本思路
• 将计算空间离散，划分为有限个小单元，小单元 形式简单，数量有限；
• 根据小单元的不同形状，定义单元内的基函数， 要求各基函数之间线性无关；
• 基函数是坐标的函数，每个基函数在单元内与各 自特定的点或线相关。在这个特定的点或线上， 定义在其上的基函数等于1，其它基函数等于0；
残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数 求加权方法来得到方程的解。
5
里兹(Ritz)变分方法
LФ=f 的解等于下式泛函对 的解 泛函：
vj是定义在全域上的展开函数 cj是待定的展开系数
6
里兹(Ritz)变分方法
将试探函数代入泛函： 令其对ci的偏导数为零，从而得到线性代数方程组
7
里兹(Ritz)变分方法
其中：(D )
②
3
Rie
e j
j 1
e x
Nie x
N
e j
x
y
N
e i
y
N
e j
y
Nie
N
e j
dxdy
e
N
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法（finite element Method,FEM）是电磁场分析和设计中一种新兴的解析方法，它将电磁场问题看作是一个数学方程组，然后用”有限元”的数值求解方法进行求解。
可以简单的理解电磁有限元方法的原理就是，先将物理场先用几何拼装的对象表示，用有限个节点(Node)和有限个单元(Element)来组合起来，并对每一个单元内的所有量(如场、势等)的作量线性拟合，这样就将复杂的电磁场问题拆分成几何元素相互连接在一起的小片状，甚至可以定义为0维，1维，2维，3维电磁场问题，可以作出相应的对应有限元元素，比如三维空间就有单元四面体和单元六面体，这样子就可以将这些有限元元素拼成一个完整的电磁场，并且在每个单元内使用坐标系，用均匀格点的方法将微分方程数值插值，以达到计算的目的。
因此求解此式的核心就是有限元的概念，它的基本思想就是对一个复杂的模型分割成若干小几何实体，在这些小几何实体上需要求解的量的取值用某种连续的样条函数的插值来表示，给定一族几何实体上的及其边界条件，可以求出各个点上的量的值。
电磁场有限元分析(数学基础) 共33页PPT资料
函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。
把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。
2. 基函数
若函数空间D中存在一组函数 {i,i1,2,3, ,n}，使
极端的分域基—d函数
n
pd (x) fidi i0
n
p0 (x) fii i0
线性逼近和样条逼近
n
p1(x) fii i0
n
p2 (x) aii i0
分段线性插值使用的基函数
在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)，
设法利用已知条件确定系数 a i 。
已知函数若干采样点的 逼近(1) — 插值
若选用多项式基底{ x i } ，构
造逼近函数：
n
p( x) ai xi
i0
令 p(x) 满足：
p (x j) fj (j 1 ,2 , ,7 )
求解方程可以确定系数 a i 。
插值
逼近曲线严格通过采样点。 方程个数与未知数个数相等； 基函数线性无关，保证方程有
得D中任意一个函数都能表示成 { i } 的线性组合，则称{ i } 为函数空间D中的一组基（或基底）； i 称基函数。
若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数 空间。n 称为函数空间的维数。
基函数的性质： 完备性：——足够的 线性无关性：——没有多余的 正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠
基函数线性无关。
已知若干采样点的两种 逼近: —插值与拟合
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
基Ansoftmaxwell的电磁场有限元问题分析
基Ansoft maxwell的电磁场有限元问题分析摘要：本文首先介绍了电磁场求解的有限元方法的基本思想并利用示例对求解方法进行了具体的阐述。
随后本文分析了Asoftwell maxwell 在进行电磁场数值分析特别是解决处理边界问题时的巨大优势。
最后本文通过实例详细探讨了Asoftwell的使用方法并利用其强大的作图功能绘出了相应的电场分布图。
1、引言在电磁学的实际应用过程当中，人们往往遇到的问题是给定空间某一区域的电场分布，同时给定区域边界上的电位或者场强，在这种条件下求该区域内的电位函数或电场强度分布。
因此电磁场边界问题的求解在工程电磁场领域当中就具有了尤为特殊的意义。
而有限单元法就是求解电磁场边界问题的方法之一。
它不仅可以处理复杂的边界条件以及形状复杂的结构，而且在此同时还可以通过一系列简单的手段保证精度。
因此有限单元法的应用已经从最开始的固体力学领域推广到了温度场，流体场，声场，电磁场等等。
与此同时计算机技术的高速发展已经使有限元的计算方法渐趋简单，Ansoft maxwell正是工程设计人员和研究工作者在电子产品设计流程当中必不可少的重要工具。
它使得人们不需要高深的数学知识就可以处理很复杂的电磁场数值分析问题。
2、有限元法的基本思想所谓的有限元法，就是将整个区域分割成许多很小的子区域，这些子区域通常称作“单元”或者“有限元”，将求解边界问题的原理应用于这些子区域中，求解每个小区域，通过选取恰当的尝试函数，使得对每一个单元的计算变得十分简单，经过对每个单元进行重复而简单的计算，将其结果总和起来，便可以得到用整体矩阵表达的整个区域的解。
设在一由边界L 界定的二维区域D 内，电位函数ϕ满足拉普拉斯方程且给定第一类边界条件，即有如下静电场边界问题：22220()LD x y f s φφφ ∂∂+= ∂∂ = 在区域内） 应用有限差分法，首先需要确定网格的节点分布方式，为简单起见，如右图所示，我们用分别于x,y 轴平行的两组直线（网格线）把场域D 划分成足够多的正方形网格，两相邻平行网格线的间距成为步距h. 设节点o 的电位是ϕ0 ，相邻四个点的电位分别是ϕ1、ϕ2 、ϕ3 、 ϕ4。
电磁场有限元分析
因此矢量位A是唯一确定的。
2）洛伦兹规范：
gA
t
西安交通大学 M&ISI
School of ME Xi’an Jiaotong
University 5/13/2020
No.8
1.1 电磁场基本理论
对于时变场：
B A
E
B t
E A
t
2
A
A t
2 A t 2
gA
t
J s
2
t
H1)
l1 两条侧边l2的贡献
D D
s t gds t gn0l1l2
=? s J f gds J f gn0l1l2
（a）若假定 D和 有J f 界， t
nr0 nr
当 l1 ，0 l2 时，0
式中的面积分都为零，两条侧边的贡 献也为零。
西安交通大学 M&ISI
School of ME Xi’an Jiaotong
上式描述了磁场的折射性质：
➢ 如果媒质1是非磁性的，而媒质2是铁磁性的
则 2 ? ，1 ，2这 9意0 味着，对于任意一个不接近0的 角度 ，在铁1 磁性媒质中，磁场几乎是与分界面平行；
➢ 如果媒质2是非磁性的，而媒质1是铁磁性的
则
， ，这意味着，如果磁场起源于铁磁性媒
质，则1 ?磁通2 将以近2 似0垂直的角度穿出分界面。
No.19
1.2 运动导体中的电磁场
对于在电磁场中匀速运动的导体， 如图所示，坐标系x1-y1-z固结在 转子上，相对于惯性系x-y-z以角
速度 绕z轴匀速转动，电磁场量
在两个系中的伽利略变换为：
y
y1
x1
O
x
z
工程电磁场数值分析4(有限元法)
变分原理
有限元法的数学基础是变分原理， 即通过求解泛函的极值问题来得 到原问题的近似解。
微分方程
有限元法将微分方程转化为等价 的变分问题，然后通过离散化将 变分问题转化为标准的线性代数 方程组。
插值函数
为了将连续的物理量离散化，有 限元法使用插值函数来近似表示 连续函数，从而得到离散化的数 值解。
有限元法的离散化过程
01
MATLAB/Simulin k
流行的数值计算和仿真软件，提 供丰富的数学函数库和图形界面， 适用于有限元分析。
02
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，支持 多种编程语言接口，如Python、 Java等。
03
ANSYS Maxwell
专业的电磁场有限元分析软件， 提供强大的前后处理和求解功能。
对初值条件敏感
有限元法的数值解对初值条件较为敏感，可能导致计算结果的不稳 定。
对边界条件的处理复杂
对于某些复杂边界条件，有限元法需要进行特殊处理，增加了计算 的复杂性。
有限元法的改进方向与未来发展
高效算法设计
研究更高效的算法，减少计算量，提高计算 效率。
自适应网格生成技术
发展自适应的网格生成技术，根据求解需求 动态调整离散化参数。
通过选择适当的离散化参数和节点数，有 限元法能够获得高精度的数值解。
灵活性好
可并行计算
有限元法可以灵活地处理复杂的几何形状 和边界条件，方便进行模型修改和扩展。
有限元法可以方便地进行并行计算，提高 计算效率。
有限元法的缺点
计算量大
有限元法需要对整个求解区域进行离散化，导致节点数和自由度 数增加，计算量大。
电磁兼容性分析
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它表示电场的势能。因此泛函极值问题表达了电场的分布 要符合这样的一种原则：整个电场的势能达到最小。这称 为静电场的Thomson原理，与光学中的Ferma原理、粒子动 力学的Hamilton原理齐名。
作业：
利用Galerkin法求解常微分方程边值问题
d 2u L(u ) 2 u x dx u (0) u (1) 0
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0 (i 1, 2, , n)
设L为线性算子，代入 u ii ，得
i 1
n
或 记
wi [ L( j j ) f ] d wi [ j L( j ) f ] d 0
j 1 j 1
求解方程可以确定系数 ai 。
逼近曲线严格通过采样点。
方程个数与未知数个数相等；
基函数线性无关，保证方程有 唯一的解。
插值
已知函数若干采样点的 逼近(2) — 拟合
i 若选用多项式基底{ x } ，构
造逼近函数：
p( x) a0 a1 x
令 p(x) 满足：
p( x j ) f j ( j 1, 2, , 7)
n 1 n n F (u ) i j i L( j ) d i i f d 2 i 1 j 1 i 1
n
i 1
欲使 F 取极小值，需 F / i 0 整理得
j 1
n
j
i L( j ) d i f d
ds 1 y2 dx 时间微元： dt v 2 gy
总时间：
T
x1
0
1 y 2 dx 2 gy
求使 T 最小的函 数 y=y(x)，即变 分问题：
d T ( y, y) 0
5. 变分法简介
变分原理：设 L 为对称正定算子，算子方程 L(u ) f 存
在解 u u0 ，其充分必要条件为泛函 1 F (u) u L(u) d u f d 2 在 u u0 处取极小值。 设 u0 ii ，代入泛函得
工程电磁场数值分析
（数值法的数学基础）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2010.12
第3章 数值法的数学基础—加权余量法
1. 函数空间 2. 基函数 3. 权函数 4. 加权余量法
5. 变分法简介
1. 函数空间
关于函数空间的几个概念粗浅的解释
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，
Mathemathica程序：
Integrate w1 L u2 , x, 0, 1 b1 Integrate w1 f x , x, 0, 1
自己构造基函数的应用实例 ——回旋加速器主磁铁修正
3. 权函数（weight function）
权的概念 s wi ui
i
加权求积 s w( x) u( x)dx 内积 正交
( f , g ) f ( x) g ( x)dx
( f , g) 0
带权正交
常用的分域基
采样函数d(x)
线性插值 样条函数基 小波函数基
极端的分域基—d函数
pd ( x) fid i
i 0
n
p0 ( x) fii
i 0
n
线性逼近和样条逼近
p1 ( x) fii
i 0
n
p2 ( x) aii
i 0
n
分段线性插值使用的基函数
如果上式对所有的 i 都成立，并且 {wi } 和 { i } 都是线性无 关的和完备的，那么就保证余量 R 为 0，从而 u 就是原算 子方程的解。 如果 {wi } 和 { i } 不是完备的，那么余量 R 只能近似为 0， 从而得到原算子方程的近似解。 剩下的问题就是确定系数 { i }。可以看到 {wi } 和 { i } 的线 性无关性对于唯一地确定系数是必要的。
“好”基函数的标准：简单，
易计算，易解释，个数少。 基函数的选择对于逼近的精度
对采样误差有更好的鲁棒性。
和效率至关重要！
整域基与分域基
整域基：在整个区域上都有定义的基函数，如三角函 数和幂函数。 分域基：只在部分区域上有定义（不为0）的基函数， 例如分段逼近使用的基函数。也称局域基。
2. 基函数
若函数空间D中存在一组函数 {i , i 1, 2, 3, , n}，使 得D中任意一个函数都能表示成 { i }的线性组合，则称{ i }
为函数空间D中的一组基（或基底）； i 称基函数。
空间。n 称为函数空间的维数。 基函数的性质： 完备性：——足够的
若n为有限值，称D为有限维函数空间；否则称无限维函数
5. 变分法简介
1 F (u) u L(u) d u f d 2
泛函的物理含义：以静电场Laplace方程 2 0 为例，
由格林定理， ( 2 )dV dS
V S
泛函
1 2 F ( ) d 2 1 1 1 2 ( ) d dS 2 2 S
线性无关性：——没有多余的
正交性：——彼此不但独立，而且毫无交叠
基函数的例子
幂函数（多项式）：有限区域内，任一无限可导的函 数可以借助于Taylor公式展开为幂级数形式
f ( x) ci ( x x0 )i
i
f ( i ) ( x0 ) cFourier级 数形式
求解方程可以确定系数 ai 。
逼近曲线不通过采样点， 而使整体误差最小。
方程个数多于未知数个
数，求得最小二乘解； 基函数线性无关。
拟合
已知若干采样点的两种 逼近: —插值与拟合
基函数有多种选择，如三角函
数、指数函数。
线性无关保证方程有唯一解； 完备性保证了逼近的相似程度。 无法简单的说哪种更好。插值 可保证采样点的精确；而拟合
加权余数法
K
j 1
n
i, j
j bi
(i 1, 2, , n)
或者写为
K α b
加权余量法是通过余量与权函数的正交化过程，把一个算 子方程（微分方程或积分方程）转化为一个可以利用计算机 求解的线性代数方程组。 在此过程中，对权函数与基函数的选择没有任何的限制， 未知数 i 也可以表达非常不同的含义，从而留下了任人发 挥的广阔空间，使它成为各种数值方法的公共基础。
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有限自由度系统 过渡到无穷自由度系统，用无限维空间描述。
函数是指两个数集之间所建立的一种对应关系。泛函则建
立两个任意集合之间的某种对应关系。
函数空间：具有某种共同特性的一类函数所构成的集合。 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量。 把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子或算符。
取权函数等于基函数
0 x 1
1 ( x) x(1 x), 2 ( x) x2 (1 x), 3 ( x) x3 (1 x)
分别以二级或三级近似（即展开式取2项或3项）求解上述
sin x 边值问题，并与准确解 u x 比较。 sin1
*
二级近似的Mathemathica实现：
在区间 (xi, xi+1) 上，使用直线段 p1(x) 插值逼近函数 f(x)， 有 或
fi 1 fi p1 ( x) fi ( x xi ) xi 1 xi xi 1 x x xi p1 ( x) fi fi 1 xi 1 xi xi 1 xi
x ( xi , xi 1 )
定义 i
xi 1 x xi 1 xi
x ( xi , xi 1 )
i 1
x xi xi 1 xi
那么 p1 ( x) fii fi 1i 1
x ( xi , xi 1 )
扩展一下定义:
x xi 1 x x i 1 i xi 1 x i xi 1 xi 0
如果余量R＝0，则 u 为精确解。加权余量法的任务是设法使 R为0或者尽量小。方法是选择另一套基底 {wi , i 1, 2, , n} 为权函数，使得
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0 (i 1, 2, , n)
加权余数法
(wi , R) wi [ L(u ) f ] d 0
n
n
j 1
n
j
wi L( j ) d wi f d
(i 1, 2, , n)
Ki , j wi L( j ) d
bi wi f d
对于确定的权函数 {wi } 与基函数 { i } ，积分是确定的， 因此只有系数 j 是未知量，上式成为一个代数方程：
逼近的方法：选定一组基底
构造逼近函数 { i }
p( x) aii ( x)
i 0 n
，
设法利用已知条件确定系数 ai 。
已知函数若干采样点的 逼近(1) — 插值
i 若选用多项式基底{ x } ，构
造逼近函数：
p( x ) ai x i
i 0 n
令 p(x) 满足：
p( x j ) f j ( j 1, 2, , 7)
x ( xi 1 , xi ) x ( xi , xi 1 ) x ( xi 1 , xi 1 )
那么在整个区间上，有
p1 ( x) fii
i 0