高考数学复习 第74课时 第九章 直线、平面、简单几何体-直线与平面垂直(1)名师精品教案

第74课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面垂直
课题：直线与平面垂直 一．复习目标：
1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关
的问题； 2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

二．知识要点：
1．直线与平面垂直的判定定理是 ；
性质定理是 ； 2．三垂线定理是 ；
三垂线定理的逆定理是 ； 3．证明直线和平面垂直的常用方法有：
三．课前预习：
1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ）
()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥
2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若
m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。

上述判断正确的是 （ B ）
()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④
3．在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，当底面四边形ABCD 满足条件AC BD ⊥时，有
1
11AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心 ③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心 其中正确命题的命题是 ①②③④
N
M
P
C
B
A
四．例题分析：
例1．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC
的中点，且2
EF AC =
，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD
证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点， ∴EG
12
//AC =
12//FG BD =，又,A C B D =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212
EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =
∴BD ⊥平面ACD
例2．如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =
（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

（1）证明：取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PC 的中点，
∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB
∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结
PD ，
∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =， ∴BN ND =
∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥ （2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴1
22
PD AB ==，∴1QN =， ∵MQ ⊥平面PAB ∴MQ NQ ⊥，且1
12
MQ BC =
=
，∴MN =例3. 如图，直三棱柱111ABC A B C -
中，90,1,ACB AC CB ∠===11AA =，
侧面11AA B B 的两条对角线交于点
D ，11B C 的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDM
M D
A 1
C 1
B 1
C
B
A
证明：连结1AC ，∵90,A C B ∠=∴BC AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，∴AC ⊥平面1CB ，
∵11AA =，1AC =
∴1
AC =1AC BC =， ∵D 是侧面11AA B B 的两条对角线的交点，∴D 是1A B 与1AB 的中点，∴CD BD ⊥，连结1B C ，取1B C 的中点O ，连结DO ，则//DO AC ，
∵AC ⊥平面1CB ，∴DO ⊥平面1CB ，∴CO 是CD 在 平面1B C 内的射影。

在1BB C ∆
中，1tan BBC ∠在1BB M ∆
中，1tan BMB ∠11BB C BMB ∠=∠ ∴1B C BM ⊥，∴,CD BM BM BD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM
五．课后作业：
1．下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，真命题是 （ ）
()A 若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥ ()B 若l β⊥且//αβ，则l α⊥ ()C 若l β⊥且αβ⊥，则//l α ()D m α
β=且//l m ，则//l α
2．已知直线a 、b 和平面M 、N ，且M a ⊥，那么（ ） （A ）b ∥M ⇒b ⊥a （B ）b ⊥a ⇒b ∥M
（C ）N ⊥M ⇒a ∥N （D ）φ≠⇒⊄N M N a
3．在正方体1111ABCD A BC D -中，点
P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ A ）
()A 线段1B C ()B 线段1BC ()C 1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段
()D BC 的中点与11B C 的中点连成的线段
4．三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面 ①若αγββα则,,⊥⊥∥β ②若a c b b a 则,,⊥⊥∥c a c ⊥或.
③若b a ,α⊂、βαβ⊥⊥⊥⊂则,,,c a b a c ④若a b a ,,βα⊂⊥∥βα⊥则,b
上面四个命题中真命题的个数是
N
M P
D
C
B
A C
B
A
S
5．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点， （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥ （3）若4
PDA π
∠=，求证：MN ⊥平面PCD
6．ABCD 是矩形，,()AB a BC b a b ==>，沿对角线AC 把ADC ∆折起，使AD BC ⊥， （1）求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）求BD 的长。

7．如图，已知,,SA SB SC 是由一点S 引出的不共面的三条射线，
045,60,ASC ASB BSC ∠=∠=∠=90SAB ∠=，求证：
AB SC ⊥
8．矩形ABCD 中，1,(0)AB BC a a ==>，PA ⊥平面AC ，且1PA =，BC 边上存在点
Q ，使得PQ QD ⊥，求a 的取值范围。