习题解答 - 第七章 参数估计

Eξ
=
+∞
xf
( x)dx
=
+∞
x
x −
奇函数
e θ dx = 0
−∞
−∞ 2θ
由于 Eξ = 0 ，考虑 Eξ 2
∫ ∫ ∫ Eξ 2
= +∞ x 2
x −
e θ dx =
0
x2
x
eθ
dx
+
+∞
x
2
−x
e θ dx
−∞ 2θ
−∞ 2θ
0 2θ
通过两次分部积分得， Eξ 2 = 2θ 2
θ 2 = Eξ 2 或θ 2 = Dξ (Eξ = 0) ，∴θˆ = A2 或θˆ = B2 （答案不唯一）
⎝ 125.457 ⎠
4
7、 设总体ξ ~ U ([θ1,θ 2 ])；ξ1,L,ξn 为其样本。试求参数θ1 和θ 2 的极大似然估计。
解：当
x
∈ [θ1,θ 2 ]时，
f
(x)
=
θ2
1 −θ1
，
L(θ1,θ 2
)
=
(θ 2
1
−θ1 )n
ln L(θ1,θ 2 ) = −n ln(θ 2 −θ1 )
e2
dt
=θ
0
0
0
2π = 2
πθ 2
θ = 2 Eξ , θˆ = 2ξ
π
π
( ) ∏ ② 极大似然估计：当 xi > 0 时， L θ
=1 θ 2n
x e n
−
1 2θ
2
xi2
i
i =1
∑ ( ) ln L θ
= −2n lnθ
n
+ ∑ ln xi i =1
−1 2θ 2
n
xi2
i =1
d
ln L(θ
5、 假设ξ1,L,ξn 是来自总体ξ 的样本，ξ ~ π(λ )，求 P{ξ = 0}的极大似然估计。
解：由第 3 题的结论， λˆ = ξ
P{ξ = 0} = λ0 e−λ = e−λ ，
0!
∴ Pˆ{ξ = 0} = e−λˆ = e−ξ
6、 假设灯泡寿命服从正态分布。在某天生产的灯泡中随机抽取 10 只，测得其寿命（小时） 为：920 948 1067 909 1196 785 1126 936 918 1156 设总体参数全未知，试用极大似然估计法估计该天生产的灯泡能使用 1300 小时以上的 概率。
1 p2
⎟⎟⎠⎞
=
1 p
∴
p
=
1 Eξ
,
pˆ = 1 ξ
⑵ 极大似然估计：
( ) ∏ ( ) ( ) L p
=
n
n
p 1−
p
ki −1
=
p 1−
p
∑ ki −n
i =1
i =1
d ln L( p)
dp
=
n p
+
⎜⎝⎛
n
−
n
∑
i =1
ki
⎟⎠⎞
1
1 −
p
Δ
=0
ln
L( p)
=
n ln
p
+
⎜⎝⎛
n
∑
i =1
−
μ )2
+
E (ξ i
−
μ )2
[ ] = c(n −1)σ 2 + σ 2 = 2c(n −1)σ 2
∴c
=
1
2(n −1)
3、 设总体ξ
~
f (x) =
1 2σ
x −
eσ
，（ σ
> 0 ，常数），ξ1,L,ξn 为其样本，求证：σˆ
=
1 n
n
∑
i =1
ξi
是σ 的无偏估计。
∑ ∫ ∫ ∫ 证明： Eσˆ
8
∑( ) ( ) σˆ 2
=
B2
=
1 8
8 i =1
ξi
−ξ
2 = 1 0.42 + 0.22 + 0.32 × 3 + 0.82 + 0.32 8
= 0.12
∑( ) s2
=1 8 7 i=1
ξi −ξ
2
= 1 × 0.96 = 0.13714 8
2、 设总体ξ 服从几何分布， P(ξ = k ) = p(1 − )p k−1 ， k = 1,2,L
,L,ξ
4
为其样本，求证：
5 4
{ } { } max
1≤i≤4
ξi
和
5
min
1≤i≤4
ξi
都是θ
的无偏
估计。并问哪个更有效？
解：由公式（3.60）和（3.61）得
f
max
(x)
=
⎪⎧ ⎨
4x3 θ4
⎪⎩ 0
0
≤
x
≤
θ
，
f min
(x)
=
⎪⎨⎧4⎜⎝⎛1 −
x θ
⎟⎞3 ⎠
1 θ
其他
⎪⎩ 0
0≤ x≤θ 其他
=
1
0
0 0
θ 0θ
θ
=
1 Eξ
,
θˆ = 1 ξ
n
( ) ∏ ② 极大似然估计： L θ
=
θ θ n e = e ∑ −θxi
−θ xi
n
i =1
i =1
ln
L(θ
)
=
n lnθ
−θ
n
∑
xi
i =1
d
ln L(θ
dθ
)
=
n θ
−
n
∑
i =1
xi
Δ
=
0
θ= n n
,
∑ xi
i =1
θˆ = 1 ξ
⑵
−θ xi
i =1
x ⋅e i
i =1
ln
L(θ
)
=
nr
lnθ
+
(r
n
−1)ln ∏
xi
−θ
n
∑
xi
−
n ln Γ(r)
i =1
i =1
3
d ln L(θ
dθ
)
=
nr θ
−
n
∑ xi
i =1
Δ
=0
⑸
f (x) =
1
x −
e θ,
(θ > 0)
2θ
θ=
nr
n
,
∑ xi
i =1
θˆ = r ξ
∫ ∫ 解：① 矩估计：
ξ1,L,ξn 为其样本，试求 p 的矩估计量和极大似然估计量。
解：⑴ 矩估计：
P(ξ = k ) = p(1 − )p k−1
∑ ∑[ ] Eξ
=
∞
kp(1 −
k =1
)p k−1
=
∞
−p
k =1
(1 −
p)k
′
=
−
⎡ p⎢⎣1
1−
− (1
p −
p
⎤
)⎥⎦
′
=
−
⎡ p⎢⎣
1 p
−
⎤′ 1⎥⎦
=
− p ⋅ ⎜⎜⎝⎛ −
( ) E cξ + (1− c)S 2 = cEξ + (1 − c)ES 2 = cλ + (1 − c)λ = λ
2、 设ξ1,L,ξn 为取自总体的一个样本，总体期望和方差用 μ 和σ 2 表示。试确定常数 c ，
n−1
∑ ( ) 使 c ξi+1 − ξi 2 成为σ 2 的无偏估计。 i =1
( ) ∏ ⑵ 极大似然估计： L λ = n λk1 e-λ = λi=1
e -nλ
i=1 ki !
k1!L k n !
ln
L(λ
)
=
⎜⎝⎛
n
∑
i =1
ki
⎟⎠⎞
ln
λ
−
nλ
−
ln(k1!L k n !)
n
d ln L(λ)
=
∑ ki
i =1
−n
=0
dλ
λ
∑ λ
=
1 n
n i =1
ki ,
λˆ = ξ
2
2
2
2
n
( ) ∏ ( ) n
② 极大似然估计： L θ =
1
− xi
eθ
=
1
∑ xi
− i =1
eθ
i=1 2θ
2θ n
ln
L(θ
)
=
−n ln 2θ
−
1 θ
n
∑
i =1
xi
d ln L(θ )
dθ
=
−n θ
+1 θ2
n
∑
i =1
xi
Δ
=0
θ
=
1 n
n
∑
i =1
xi
,
θˆ
=
1 n
n
∑ ξi
i =1
(θ > 0)
d
ln L(θ
dθ
)
=
n θ
+
n
∑ ln
i =1
xi
Δ
=0
∫ ∫ ∫ 解：①
矩估计： Eξ
=
+∞
xf
( x)dx
=
+∞
x
−∞
0θ2
− x2
e 2θ 2
dx
=
−
+∞
xd⎜⎜⎛
e
−
x2 2θ 2
0⎝
⎟⎞ ⎟⎠
∫ ∫ Eξ
− x2
= −xe 2θ 2
+∞
+
+∞ − x2
e 2θ 2
dx
=
θ
+∞ −t2
i =1
= θ n ⎜⎜⎝⎛
n i =1
xi ⎟⎟⎠⎞θ −1
2
ln L(θ ) = n lnθ + (θ −1)ln(x1x2 L xn )
θ =− n n
,
∑ ln xi
i =1
θˆ = − n n ∑ lnξi i =1
⑶
f
(x)
=
⎪⎧ x ⎨θ 2
− x2
e 2θ 2
⎪⎩ 0
x>0 x≤0
dθ
)
=
−
2n θ
+
1 θ3
n
∑
i =1
xi2
Δ
=0
θ2
=
1 2n
n
∑
i =1
xi2
,
1
θˆ
=
⎜⎛ ⎝
1 2n
n
∑
ξ
2 i
i =1
⎟⎞ ⎠
2
⑷
f
(x)
=
⎧θ ⎨
(θx)r-1
e −θx
Γ(r )
x>0
(r > 0已知，θ > 0)
⎩
0
x≤0
解：① 矩估计：
∫ ∫ ∫ +∞
+∞
Eξ = xf (x)dx = (θx)r e−θx
=
1 n
n i =1
E ξi
= Eξi
+∞
=
x
x −
eσ
dx
=
+∞
x
e
−x σ
dx
=
σ
+∞
te−t dt
−∞ 2σ
0σ
0
∫ =
σ
⎡ ⎢-
t
e
−t
⎣
+∞ 0
+
+∞
e −t
dt
⎤ ⎥
0
⎦
= σ ⎢⎣⎡- e−t
+∞ ⎤ 0 ⎥⎦
=σ
4、 设ξ1,ξ2 ,ξ3 为正态分布 N (μ,1) 的一个样本，令
⑴
∑ ∑[ ] ( ) ( ) ( ) 解：
E
⎢⎣⎡c
n−1 i =1
ξi+1 − ξi
2
⎤ ⎥⎦
=
⎧ n−1 E ⎨c
⎩ i=1
ξi+1 − μ
− ξi − μ
2
⎫ ⎬
⎭
∑ ∑ [ ] =
( ⎧ n−1
cE ⎨ ⎩ i=1
ξ i+1
−
μ )2
+
n−1
(ξ i
i =1
−
μ
)2
⎫ ⎬
⎭
=
c(n
− 1) E(ξi+1
{ } { } 令
5 4
max
1≤i≤4
ξi
=
θ1
，
5
min
1≤i≤4
ξi
=θ2
∫ Eθ1
=
5θ 40
x ⋅ 4x3 θ4
dx
=5 θ4
⋅ 1 x5 5
θ 0
=θ
，
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∫ Eθ 2
θ
=5
0
x
⋅
4 θ
⎜⎛1 ⎝
-
x θ
⎟⎞3 ⎠
dx
= 20 θ4
⎡θ 3
⎢ ⎣
2
x2
−θ 2x3
+
3 θx 4 4
ξ (1)
5
第七章 参数估计
习题 7.2（p.237）
1、 设总体ξ ~ π(λ )，ξ1,L,ξn 为其样本，ξ 与 S 2 是样本均值与样本方差。对任意实数 c ， 求证： cξ + (1 − c)S 2 是 λ 的无偏估计。
证明：ξ ~ π(λ ), Eξ = μ = λ, Dξ = σ 2 = λ ξ ~ π(λ ), Eξ = μ = λ, ES 2 = σ 2 = λ
μˆ1
=
1 5
ξ1
+
3 10
ξ
2
+
1 2
ξ
3
，
1
⑵
μˆ 2
=
1 3
ξ1
+
1 4
ξ2
+
5 12
ξ3
，
⑶
μˆ 3
=
1 3
ξ1
+
1 6
ξ
2
+
1 2
ξ
3
，
求证这三个估计量都是无偏估计，并计算它们的方差，说明哪个方差最小。
解：
Eμˆ1
=
⎜⎛ ⎝
1 5
+
3 10
+
1 ⎟⎞μ 2⎠
=
μ
，
Dμˆ1
=
1 25
+
9 100
+
1 4
=
0.38
Eμˆ 2
=
⎜⎛ 1 ⎝3
+
1 4
+
5 ⎟⎞μ 12 ⎠
=
μ
，
Dμˆ 2
=
1 9
+
1 16
+ 25 144
=
0.347
Eμˆ 3
=
⎜⎛ 1 ⎝3
+
1 6
+
1 ⎟⎞μ 2⎠
=
μ
， Dμˆ1
=
1 9
+
1 36
+
1 4
=
0.388
μˆ 2 的方差最小。
5、
设总体 ξ
~
U
([0,θ
])
；ξ1
∑ 解：ξ
=1 10
n
ξi
i =1
= 996.1
∑( ) B2
=
1 10
n i =1
ξi −ξ
2
= 15739.49
Pˆ
=1−
Φ⎜⎜⎝⎛
a
−ξ B2
⎟⎞ ⎟⎠
Pˆ = Pˆ{ξ > 1300} = 1 − Pˆ{ξ ≤ 1300} = 1 − Φ⎜⎛1300 − 996.1⎟⎞ = 1 − Φ(2.42) = 0.0078
ξ1,L,ξn 为其样本。试求参数α 的极大似然估计量。
( ) ∏ α 解： L
n
= e = e ∑ −(xi −α )
−⎜⎜⎝⎛
n i =1
xi
−nα
⎟⎞ ⎟⎠
i =1
ln
L(α
)
=
−⎜⎝⎛
n
∑
i =1
xi
−
nα
⎟⎠⎞
d ln L(α )
dα
=
Δ
n = 0 ，无解，取αˆ
=
min{ξ1,L,ξn } =
⎧∂
⎪⎪
⎨ ⎪
∂
⎪⎩
ln ln
L(θ1,θ 2
∂θ1
L(θ1,θ 2
∂θ1
) )
= =
−n θ1 −θ2
n
Δ
=
θ1 −θ2
Δ
=
0
0
，无解，取
⎪⎧θˆ1 ⎪⎩⎨θˆ2
= ξ(1) = ξ(n)
8、 设总体ξ
~
f
(x)
=
⎧e −(x−α ⎨
)
⎩0
当x > α 当x ≤ α
(− ∞ < α < +∞未知)；
−∞
0
Γ(r )dx
=
1
θΓ(r )
+∞
(θx)r+1−1 e−θxd(θx)
0
=
Γ(r +1) θΓ(r )
=
r θ
∴θ
=
r Eξ
,
θˆ = r ξ
② 极大似然估计：
n
( ) ∏ ( ) ( ) [ ( )] ∏ L θ
n
= θ θxi e r−1 −θxi
i =1
Γr
=
θ nr Γr n
∑ n
r −1
f
(x)
=
⎧θxθ ⎨
−1
⎩0
0< x <1 其它
(θ > 0)
∫ ∫ 1
1
解：① 矩估计： Eξ = x ⋅θxθ −1dx = θxθ dx =
θ
xθ +1 1 = θ
0
0
θ +1 0 θ +1
θ
=
Eξ
Eξ
, −1
θˆ = ξ ξ −1
( ) ∏ ∏ ② 极大似然估计： L θ
=
n
θxiθ −1
k
i
−
n⎟⎠⎞ ln(1 −
p)
n(1 −
p)+
⎜⎝⎛ n
−
n
∑ ki
i =1
⎟⎠⎞
p
=
0
p = n , pˆ = 1
n
∑ ki
ξ
i =1
3、 设ξ1,L,ξn 是取自参数为 λ 的泊松分布总体的一个样本，试求 λ 的矩估计量和极大似然
1
估计量。
解：⑴ 矩估计： Eξ = λ, λˆ = ξ
n
∑ ki
4、 设总体ξ 的密度函数如下（式中θ 为未知参数），ξ1,L,ξn 为其样本，试求参数θ 的矩
估计量和极大似然估计量。
⑴
f
(
x)
=
⎧θe ⎨
−θx
⎩0
x>0 x≤0
(θ > 0)
∫ ∫ 解：①
矩估计： Eξ
+∞
= θxe−θxdx = − xe−θx
+∞
+∞
+ e−θxdx = −
1 e−θx
+∞
第七章 参数估计
习题 7.1（p.232）
1、 随机测定 8 包大米的重量（单位：千克） 20.1 20.5 20.3 20.0 19.3 20.0 20.4 20.2
试求总体均值 μ 及方差σ 2 的矩估计值，并求样本方差 s 2 。
解： μˆ = ξ = 1 (20.1 + 20.5 + 20.3 + 20.0 + 19.3 + 20.0 + 20.4 + 20.2) = 20.1