自动控制原理第14-15讲

闭环幅频特性的零频值M(0) 对单位反馈系统，若系统为无静差系统，在常值信号作用 下，稳态时输出等于输入，有： G ( jω ) C ( j 0) Φ ( jω ) = M (0) = =1 1 + G ( jω ) R( j 0) 若系统为有差系统，在常值信号作用下，稳态时输出不等 于输入，有： C ( j 0) K M (0) = = <1 R( j 0) 1 + K 通过零频值M(0)是否为1，可判断系统是否为无静差系统。 M(0)越接近1，则有差系统的稳态误差越小。
系统存在三个转折频率：0.1、1和20rad/s。 对应的典型环节分别为：
s + 1, 0.1 1 , s +1 1 s / 20 + 1
综上所述，系统传递函数为：
1 s 1 1 + 1 ⋅ ⋅ G ( s) = K ⋅ ⋅ 0.1 s s + 1 s / 20 + 1 10s + 1 = s ( s + 1)(0.05s + 1)
ω2 ω (1 − 2 ) + j 2ξ ωn ωn
闭环幅频特性、相频特性为
M (ω ) = 1
ω2 2 ω (1 − 2 ) + (2ξ )2 ωn ωn
0 ≤ ξ ≤ 0.707 时，产生谐振
ω ωn α (ω ) = −arctg ω2 1− 2 ωn
2ξ
dM 2 = 0 得谐振频率ω r = ω n 1 − 2ξ 令 dω
确定各环节的转折频率：
ωT1 , ωT2 , ⋯ , ωτ1 , ωτ 2 , ⋯
并由小到大标示在对数频率轴上。
计算20lgK，在ω＝1 rad/s 处找到纵坐标等于 20lgK 的点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec 的直线，向左延长此线至所有环节的转折频 率之左，得到最低频段的渐近线。 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折 频率改变一次渐近线斜率。 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。
因为若： G ( s)e −τs
ϕ (ω ) = ∠G ( jω )e − jωτ = ϕG (ω ) − ωτ
d d [ϕG (ω ) − ωτ ] = −τ lim ϕ (ω ) = lim ω →∞ dω ω →∞ dω
示例 已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲 线如图所示。求系统的传递函数。
第4章 频域分析法
●系统开环Bode图的绘制
◇例1 已知系统的开环传递函数如下： G(s)H(s)=1000(0.5s+1)/[s(2s+1)(s2+10s+100)] 试绘制系统的开环Bode图 解：
开环对数幅频特性和对数相频特性为：
◇Bode图的特点 （1）最低频段的斜率取决于积分环节的数目 v,斜率为-20vdB/dec。 （2）注意到最低频段的对数幅频特性可近似 为：L(w)=20lgK-20vlgw 当w=1rad/s时，L（w）=20lgK，即最低频 段的对数幅频特性或其延长线在w＝1rad/s 时数值等于20lgK。
（一） 闭环频率特性与时域性能指标 1 闭环频率特性主要性能指标
R (s)
G ( jω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω )
G(s)
C (s)
A(ω )e jϕ (ω ) = = M (ω )e jϕ (ω ) 1 + A(ω )e jϕ (ω )
图5.59 一单位负反馈系统
闭环系统的幅频特性与相频特性为
Mr = 1 2ξ 1 − ξ 2
1 − 1 − 1/ M r 2 ξ= 2
M r − M r2 −1 i100% σ % = exp −π M r + M r 2 −1
高阶系统（开环、闭环）频域指标与时域指标
谐振峰值Mr
1 Mr ≈ , 350 ≤ γ ≤ 900 sin γ
由Bode图求系统的传递函数 确定对数幅频特性的渐近线。用斜率为 0 dB/dec、 ±20dB/dec 、±40dB/dec的直 线逼近实验曲线。 根据低频段渐近线的斜率，确定系统包 含的积分（或微分）环节的个数。 根据低频段渐近线或其延长线在ω ＝ 1 rad/s的分贝值，确定系统增益。
注意到系统低频段渐近线可近似为：
s + 1 ω 1
±1
若ω =ω2时，斜率变化±40dB/dec，则对 应环节为：
s2 ω 2 + 2ξ s ω2 + 1 2
±1
二阶环节的阻尼比 ξ 根据实验曲线在转折 频率处的峰值与ξ的关系确定。
L(ωn ) = −20 lg 2ξ
获得系统的频率特性函数或传递函数。 根据实验测得的相频特性曲线校验获得的 传递函数。 若为最小相位系统，两相频特性应大致相 符，并且在很低和很高频段上严格相符。
Mr↑→ σ%↑ 超调量 调节时间 一般 Mr =1.1~1.4 对应ξ=0.4~0.7
σ = 0.16 + 0.4(M r −1)
ts = Kπ
1 ≤ M r ≤ 1.8
ωc
2
K = 2 + 1.5(M r −1) + 2.5(M r −1)
1 ≤ M r ≤ 1.8
（二） 开环对数频率特性与时域指标 1 开环对数幅频特性“三频段”概念
试绘制系统的开环Bode图。 解：开环增益K=100，20lgk=40 各环节转折频率分别为：
Bode图绘制步骤 将开环传递函数表示为典型环节的串联：
G ( s) H ( s) = K (τ 1s + 1)⋯ (τ p s + 1)(τ 2 +1s 2 + 2ζ p +1τ p +1s + 1)⋯ p s v (T1s + 1)⋯ (Tq s + 1)(Tq2+1s 2 + 2ξ q +1Tq +1s + 1)⋯
L(ω) -20 20 0.1 0 1 -40 -20 20 ω (rad/s)
解：系统低频段斜率为－20dB/dec，v=1。 注意到，(lg0.1，20)和(lg1，20lgK)两点 位于斜率为－20dB/dec的直线上。由：
20 − 20 lg K = −20 ⇒ K = 1 lg 0.1 − lg 1
Bode Diagram
0 -20 0 -20 -40
ϕ(ω) / (deg)
L(ω)/ (dB)
0.2
2
20
100
ω (rad/sec)
传递函数的实验确定法 基本思路 对待测系统，在感兴趣的频率范围内施加正 弦激励信号，测量足够多频率上系统输出与 输入的幅值比和相位差，绘制Bode图。 根据Bode图的渐近线确定转折频率及各典型 环节，得到系统的传递函数。
L(ω ) = 20 lg K − 20v lg ω
若系统含有积分环节，则该渐近线或其延长 线与0dB线(频率轴)的交点为：
ω=v K
即也可由该交点处的频率数值获得系统增益。 若系统不含积分环节，低频渐近线为 20lgK dB的水平线，K 值可由该水平渐近线获得。
根据渐近线转折频率处斜率的变化，确 定对应的环节。 若ω =ω1时，斜率变化±20dB/dec，则对 应环节为：
谐振峰值 M r 和峰值频率ω r 谐振峰值 M r 表征了系统的相对稳定性 M r 越大，则系统的稳定性越差
1.0 ≤ M r ≤ 1.4(0 ∼ 3dB ) 时，相当于有效阻尼比在(0.4~0.7)，
系统可以获得满意的瞬态响应特性。 M r > 1.5 时，阶跃瞬态响应将出现较大的超调。 M ωr ↑ Mr
α (ω ) = − arctan T ω
闭环频域指标为
M (0) = 1
Mr =1
ωr = 0
σ% =0
ωb = 1/ T
阶跃响应时域指标为
ts = 3T = 3
ωb
(∆ = 0.05)
tr = 2.20T = 2.20 / ωb
二阶系统 闭环系统为二阶闭环系统的闭环频率特性为
C ( jω ) Φ ( jω ) = = R ( jω ) 1 = M (ω )e jα (ω )
若实验相频特性曲线在高频段（最高转折 频率的10倍频程处）不等于－(n－m)90°， 则系统为非最小相位系统。 若高频末端，由计算得到的相位滞后比实 验得到的相位滞后小180°，则传递函数中 一定有一个零点位于右半s平面。 若高频末端，由计算得到的相位滞后与实 验得到的相位滞后相差一个恒定的变化率， 则系统必存在延迟环节。
几点说明 通常幅值测量比相位测量准确； 测量所用的正弦信号要求无谐波或波形畸 变；频率范围由待测系统的时间常数决定， 时常数大的系统，频率范围通常在 0.001~1000Hz左右。 合适的正弦信号输入幅值； 测量装置需有足够带宽，且不失真； 可利用线性系统的叠加特性在线测量。
五、频域指标与时域性能指标间的关系
M (0) 0.707 M (0)
r
ωb
ω
图5.60 闭环频率特性曲线
2
一阶系统和二阶系统频域指标与时域指标 一阶系统
闭环系统为惯性环节的频率特性为 Φ( jω ) = 闭环系统幅频特性、相频特性为
M (ω ) = 1 T ω +1
2 2
C ( jω ) 1 = R( jω ) Tjω + 1
将ω = ω r
代入M表达式，得谐振峰值 M r =
1 2ξ 1 − ξ 2
2 M= 时的频率值 ω B 称截止频率。 2
时域指标与二阶系统参数 ξ , ω n 有下面的关系： π π −πξ / 1−ξ 2 tp = = σ%=e × 100% ωd ωn 1 − ξ 2 π −β π −β 3.5 tr = = ts = (∆ = 0.05, 0 < ξ < 0.9) 2 ωd ωn 1 − ξ ξω n 给出闭环频域指标 M r , ω r 和 ωb 中的任何两个，可以通过解 出 ξ , ω n 计算时间域指标；同样，给出时间域指标中的任 何两个，可以确定闭环频域指标。
M (ω ) = Φ( jω )
闭环系统对数幅频特性为 20 lg M (ω ) = 20 lg Φ( jω )
α (ω ) = ∠Φ ( jω )
开环幅频特性
G ( jω ) =
( jω )ν (T1 jω + 1)(T2 jω + 1) ⋯ (Tn −ν jω + 1)
K (τ 1 jω + 1)(τ 2 jω + 1) ⋯ (τ m jω + 1)
◇例2 已知系统的开环传递函数如下：
G(s)H(s)=100(0.5s+1)/[(5s+1)(0.05s+1)(0.01s+1)]
试绘制系统的开环Bode图。 解：开环增益K=100，20lgk=40 各环节转折频率分别为：
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 90 45 0 -45 -90 -135 -180
（3）对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点， 其斜率发生相应变化，斜率变化量由当前转折 频率对应的环节决定。 对惯性环节，斜率下降20dB/dec;振荡环节， 下降40dB/dec;一阶微分环节，上升20dB/dec； 二阶微分环节，上升40dB/dec。
◇例2 已知系统的开环传递函数如下：
G(s)H(s)=100(0.5s+1)/[(5s+1)(0.05s+1)(0.01s+1)]
按给定精度复现输入信号的频宽ω M 闭环系统的幅频特性表示稳态时输出输入的幅值比。 按规定的允许误差给定 ∆ 值，在 ω < ω M 频率范围内有
ω M 为按给定精度复现输入信号的频宽。
0 ≤ ω ≤ ω M 为低频段
M (ω ) − M (0) ≤ ∆
带宽频率 ωb 闭环幅频特性 M (ω )上，对应幅值等于0.707M(0)的频率ωb 称为 系统的带宽频率。 0 ≤ ω ≤ ωb 为系统的频宽 ωb 大，表明系统能通过的信号频率很宽，反应速度快； ωb 小，表明系统只能通过低频信号，反应速度慢，但抑制 输入端高频噪声能力强。 ωb 的确定要综合地考虑跟踪输入信号和抑制噪声的能力。
低频段 低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目， 通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段， 低频段决定了系统的稳态精度。 中频段 中频段指开环幅相特性曲线在截止频率 ω c 附近的区段。 下面通过两个典型情况分析中频段以前的区段对闭环系统 动态特性的影响。
（1）通过截止频率ω c 的斜率为-20dB/dec 宽度：ω 2 ≤ ω c ≤ ω 3 假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec 则，开环传递函数为 K ωc G( s) = = s s 对单位反馈系统，其闭环传递函数为