第八章.点的合成运动解剖
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x´ 和牵连加速度并非为动点
本身所具有, 而是动点的
O
x
牵连点的速度和加速度.
牵连点的定义:
V a 动点的绝对速度和绝对加速度: a
a
在给定瞬时, 与动点重合 的固连于动系上的点, 称
V a 动点的相对速度和相对加速度: r
r
为该瞬时的牵连点.
V a 动点的牵连速度和牵连加速度: e
e
‘ 牵连 ’ 一词来源于法文
第七章
点的合成运动
§ 7 – 1 绝对运动 , 相对运动和牵连运动
一. 一个点, 两个系 , 三种运动
分析汽车轮子上的一点相对于地面和车厢的运动.
y
y´
动点: 轮缘上的一点M
动系: 车厢及轮轴O' ( 动坐标系
V0
O´- x´y´ 与之固连 ).
Ve
O´
M
Va Vr
定系: 地面 ( 静坐标系 O –x y 与之固连).
M (M1 )
A
面
A
的关系式总是成立的:
Va
MM ' MM1' M1' M'
Vr
Ve
由在t 时刻的速度的定义:
M
lim
MM '
lim
MM
' 1
lim
M1' M '
注意: 在点的合成运动的速度 分 t0 t
t0 t
t0 t
析中, 无论平行四边形的形状如何
变化, 其对角线的大小方向恒表示
绝对速度, 两邻边分别表示相对速 即是,
度和牵连速度.
Va Ve Vr
例一. ( 书上 例 7 – 4 ) P 178 刨床的急回机构如图示. 曲柄OA = r , 以匀角速 ω 绕O轴转动. 设两轴的 间距O O1= l .
求: 当OA 运动到水平位置时摇杆O1 B的角速度1 = ?
Va B
取套筒上的A 点为动点, O1B杆为动系, 速度 分析如图所示
x´
O
x
三种运动:
绝对运动
相对运动
牵连运动
y
y´
绝对运动 : 动点M 相对于定系( 地面 )
的运动.
相对运动 : 动点M 相对于动系的运动.
V0
( 绕动系上O'点的圆周运动 ) 牵连运动 : 动系相对于定系的运动.
( 车厢及轮轴O' 相对于地面
Ve
的运动 )
O´
M
Va Vr
▲注意: 动点的牵连速度
M1 A
Va Ve Vr
x
t 时刻:
t +Δt 时刻:
图示说明了点的速度在t 时刻的合成:
B
Va
B
设t 时刻, 动点M 的位置在M, 此刻,
M'
与动点重合的动系上的点为M1 , 由于
Vr
Ve
M1´
动点和动系的运动, 经过Δt 时间后, 动 点和t 时刻的牵连点分别运动到了M´ 和M1´. 无论动系的运动形式如何, 下
0 vet x 0 a coskt 0 y x vet y a coskt
相对运动轨迹为:
y
a
cos
kx ve
注意: 动点的牵连速度和牵连加速度是指动点运动的某一瞬时其牵连点的 速度和加速度. 由于牵连点是一个瞬时概念, 所以牵连速度和牵连加 速度也只是个瞬时概念. – 因为动系上的任何点只有在与动点重合 的 那一瞬间才能充当牵连点.
Ve
O
θ Vr
Va r
A
sin
Ve Va sin r
r2 l2
θ 1
O1
1
Ve O1 A
r2 r2 l2
( 方向如图示 )
例二. 如图所示, 半径为R 偏心距为 e 的凸轮, 以匀角速度ω 绕O 轴转动, 杆 的端点A 始终与凸轮接触.
求图示位置时, AB杆的速度.
B
解: 取AB 杆上的A 点为动点, 凸轮为动系.
设OC 线与水平成任意角 = t 建立坐标o y
D 点的运动方程为 y R e sint y e cos t
entrainment
二维运动合成的解析描述:
设一动点M在一平面上运动, 运动方程为 x = x (t) 、y = y(t) ,
而此平面的运动方程为 xo xo t
yo yo t
动点M在动平面上的相对运动方程为 x' = x' (t) 、y' = y'(t) ,
任意时刻t , 动点M在 静系、动系的位置关系如图示: y
A
由约束条件和图示的几何位置, C 点的绝对
速度方向如图示 , C 点的牵连速度和相对速
度的可能方向如图示.
B
Va e
O Ve VC a
由 Va Ve Vr 在铅垂方向投影可得 :
Vr
Vr 0 Ve Va e
e
故, 顶杆向上的平动的速度是·e .
y
A
D
B
R
C
e t
我们也可以用建立运动方程的办法来解此题. 顶杆为直线平动, 其上任意一点的运动都可代表顶 杆的运动. 我们选择的顶杆上的D 点也代表整体的 运动. ( 选B 点也可以 )
例三. 图示偏心轮摇杆机构. 已知偏心轮半径为R , 以角速度 绕O 轴转动 , 图示瞬时,OC OO1 , = 60º. 求此瞬时摇杆O1 A 的角速度 1 .
( 参见习 7 – 20 )
解: 取轮心C 点为动点, O1A 杆为
A
动系, 速度分析如图示:
1
O1
30º
Ve603º0º
Va 30º C
§ 7 – 2 点的速度合成定理
y 设某动点M 在动系上作相对运动, 其相对轨迹曲线为 AB , 在t 时刻和 t +Δt 时刻运动的位置如图示
t 时刻: B
t +Δt 时刻:
B M ´
速度合成定理:
在点的合成运动中,动点在 任意瞬时的绝对速度等于它 的相对速度和牵连速度的矢 量和.
M (M1 ) A
t
M
y'
x'
o'
x xo x cos y sin y yo x sin y cos
0
x
x xo xcos ysin y yo xsin ycos
习 7– 1 ( p 188 )
先求M点的相对运动方程. 由已知条件可知, 动系的运动方程为
代入上述公式
xo vet yo 0 0
速度分析如图示.
Ve OA e tg
Vr
Va
A
Ve
R
ω
C O
e
Va Ve ctg e
动点A的绝对速度VA Va e 又, AB杆作平动 , A 点的速度就是
AB 杆的速度 . ★ 动点选取的两个原则:
( 1 ) 动点对于动系一定要有相对运动. ( 2 ) 相对运动的轨迹一定要容易确认.
30º
wenku.baidu.com
Vr O
Va R
Ve Vr Va R
O1C 2R
1
Ve O1 R
2
( 方向如图示 )
例四. 习 7 – 10 ( p194)
平底顶杆凸轮机构, 凸轮的半径为R , 偏心距OC = e , 已知凸轮绕O 轴转动的角
速度为 , 求在OC 处水平位置时顶杆的速度.
解: 取凸轮上的C 点为动点 , 平底顶杆为动系
本身所具有, 而是动点的
O
x
牵连点的速度和加速度.
牵连点的定义:
V a 动点的绝对速度和绝对加速度: a
a
在给定瞬时, 与动点重合 的固连于动系上的点, 称
V a 动点的相对速度和相对加速度: r
r
为该瞬时的牵连点.
V a 动点的牵连速度和牵连加速度: e
e
‘ 牵连 ’ 一词来源于法文
第七章
点的合成运动
§ 7 – 1 绝对运动 , 相对运动和牵连运动
一. 一个点, 两个系 , 三种运动
分析汽车轮子上的一点相对于地面和车厢的运动.
y
y´
动点: 轮缘上的一点M
动系: 车厢及轮轴O' ( 动坐标系
V0
O´- x´y´ 与之固连 ).
Ve
O´
M
Va Vr
定系: 地面 ( 静坐标系 O –x y 与之固连).
M (M1 )
A
面
A
的关系式总是成立的:
Va
MM ' MM1' M1' M'
Vr
Ve
由在t 时刻的速度的定义:
M
lim
MM '
lim
MM
' 1
lim
M1' M '
注意: 在点的合成运动的速度 分 t0 t
t0 t
t0 t
析中, 无论平行四边形的形状如何
变化, 其对角线的大小方向恒表示
绝对速度, 两邻边分别表示相对速 即是,
度和牵连速度.
Va Ve Vr
例一. ( 书上 例 7 – 4 ) P 178 刨床的急回机构如图示. 曲柄OA = r , 以匀角速 ω 绕O轴转动. 设两轴的 间距O O1= l .
求: 当OA 运动到水平位置时摇杆O1 B的角速度1 = ?
Va B
取套筒上的A 点为动点, O1B杆为动系, 速度 分析如图所示
x´
O
x
三种运动:
绝对运动
相对运动
牵连运动
y
y´
绝对运动 : 动点M 相对于定系( 地面 )
的运动.
相对运动 : 动点M 相对于动系的运动.
V0
( 绕动系上O'点的圆周运动 ) 牵连运动 : 动系相对于定系的运动.
( 车厢及轮轴O' 相对于地面
Ve
的运动 )
O´
M
Va Vr
▲注意: 动点的牵连速度
M1 A
Va Ve Vr
x
t 时刻:
t +Δt 时刻:
图示说明了点的速度在t 时刻的合成:
B
Va
B
设t 时刻, 动点M 的位置在M, 此刻,
M'
与动点重合的动系上的点为M1 , 由于
Vr
Ve
M1´
动点和动系的运动, 经过Δt 时间后, 动 点和t 时刻的牵连点分别运动到了M´ 和M1´. 无论动系的运动形式如何, 下
0 vet x 0 a coskt 0 y x vet y a coskt
相对运动轨迹为:
y
a
cos
kx ve
注意: 动点的牵连速度和牵连加速度是指动点运动的某一瞬时其牵连点的 速度和加速度. 由于牵连点是一个瞬时概念, 所以牵连速度和牵连加 速度也只是个瞬时概念. – 因为动系上的任何点只有在与动点重合 的 那一瞬间才能充当牵连点.
Ve
O
θ Vr
Va r
A
sin
Ve Va sin r
r2 l2
θ 1
O1
1
Ve O1 A
r2 r2 l2
( 方向如图示 )
例二. 如图所示, 半径为R 偏心距为 e 的凸轮, 以匀角速度ω 绕O 轴转动, 杆 的端点A 始终与凸轮接触.
求图示位置时, AB杆的速度.
B
解: 取AB 杆上的A 点为动点, 凸轮为动系.
设OC 线与水平成任意角 = t 建立坐标o y
D 点的运动方程为 y R e sint y e cos t
entrainment
二维运动合成的解析描述:
设一动点M在一平面上运动, 运动方程为 x = x (t) 、y = y(t) ,
而此平面的运动方程为 xo xo t
yo yo t
动点M在动平面上的相对运动方程为 x' = x' (t) 、y' = y'(t) ,
任意时刻t , 动点M在 静系、动系的位置关系如图示: y
A
由约束条件和图示的几何位置, C 点的绝对
速度方向如图示 , C 点的牵连速度和相对速
度的可能方向如图示.
B
Va e
O Ve VC a
由 Va Ve Vr 在铅垂方向投影可得 :
Vr
Vr 0 Ve Va e
e
故, 顶杆向上的平动的速度是·e .
y
A
D
B
R
C
e t
我们也可以用建立运动方程的办法来解此题. 顶杆为直线平动, 其上任意一点的运动都可代表顶 杆的运动. 我们选择的顶杆上的D 点也代表整体的 运动. ( 选B 点也可以 )
例三. 图示偏心轮摇杆机构. 已知偏心轮半径为R , 以角速度 绕O 轴转动 , 图示瞬时,OC OO1 , = 60º. 求此瞬时摇杆O1 A 的角速度 1 .
( 参见习 7 – 20 )
解: 取轮心C 点为动点, O1A 杆为
A
动系, 速度分析如图示:
1
O1
30º
Ve603º0º
Va 30º C
§ 7 – 2 点的速度合成定理
y 设某动点M 在动系上作相对运动, 其相对轨迹曲线为 AB , 在t 时刻和 t +Δt 时刻运动的位置如图示
t 时刻: B
t +Δt 时刻:
B M ´
速度合成定理:
在点的合成运动中,动点在 任意瞬时的绝对速度等于它 的相对速度和牵连速度的矢 量和.
M (M1 ) A
t
M
y'
x'
o'
x xo x cos y sin y yo x sin y cos
0
x
x xo xcos ysin y yo xsin ycos
习 7– 1 ( p 188 )
先求M点的相对运动方程. 由已知条件可知, 动系的运动方程为
代入上述公式
xo vet yo 0 0
速度分析如图示.
Ve OA e tg
Vr
Va
A
Ve
R
ω
C O
e
Va Ve ctg e
动点A的绝对速度VA Va e 又, AB杆作平动 , A 点的速度就是
AB 杆的速度 . ★ 动点选取的两个原则:
( 1 ) 动点对于动系一定要有相对运动. ( 2 ) 相对运动的轨迹一定要容易确认.
30º
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Vr O
Va R
Ve Vr Va R
O1C 2R
1
Ve O1 R
2
( 方向如图示 )
例四. 习 7 – 10 ( p194)
平底顶杆凸轮机构, 凸轮的半径为R , 偏心距OC = e , 已知凸轮绕O 轴转动的角
速度为 , 求在OC 处水平位置时顶杆的速度.
解: 取凸轮上的C 点为动点 , 平底顶杆为动系