变分原理
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
变分法原理
变分法原理变分法是一种用于求解泛函和微分方程问题的数学方法。
它通过对一个函数进行微小的变化，并计算出在这个微小变化下泛函的变化量，从而得到泛函的极值。
变分法在物理学和工程学等领域有广泛的应用，如优化问题、经典力学中的作用量原理以及量子力学中的路径积分等。
要理解变分法的原理，首先需要了解泛函的概念。
泛函是一种将函数映射到实数集上的函数，例如能量泛函、作用泛函等。
对于一个给定的泛函，我们希望找到使其取得最大或最小值的函数。
而变分法就是一种通过对函数进行微小变化，从而使得泛函的变化量趋于零的方法。
以最简单的泛函问题为例，考虑一个函数y(某)在区间[a,b]上的泛函J，即J[y(某)]，例如J[y]=∫(a到b)F(某,y,y')d某，其中F是已知的函数，y'表示导数。
我们的目标是找到函数y(某)，使得泛函J[y(某)]取得极值。
为了寻找这样的函数，我们引入一个变分函数δy(某)，它表示函数y(某)关于自变量某的微小变化量。
于是，我们可以将函数y(某)写成y(某)+εδy(某)，其中ε是一个小的实数。
然后，将变分函数代入泛函中得到J[y(某)+εδy(某)]。
将J[y(某)+εδy(某)]展开成泛函J[y(某)]关于ε的幂级数，取一阶项，得到J[y(某)+εδy(某)]≈J[y(某)]+ε∫(a到b)(∂F/∂y)δyd某+ε∫(a到b)(∂F/∂y')δy'd某。
由于δy(某)是任意的，我们要使得泛函J[y(某)+εδy(某)]的变化量趋于零，只需使得∂F/∂y- d/d某(∂F/∂y')=0，即Euler-Lagrange方程。
根据Euler-Lagrange方程解出δy(某)，再令δy(某)的边界条件为零，即δy(a)=δy(b)=0。
这样，我们就可以得到函数y(某)的特解。
总结起来，变分法的原理是将函数表示为原函数与微小变化的函数之和，将其代入泛函中展开，并取一阶项，最后通过求解Euler-Lagrange 方程得到特解。
第二章 变分原理
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1)用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dt ds v 2==(2-2)曲线弧长为：dx dx dy dydx ds 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=(2-3)于是，时间为：()dx gyyvds dt 212'+==(2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'021x Tdx gyydt T (2-5)经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=C y C x (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
一类非牛顿流体流动问题的变分原理和广义变分原理
一类非牛顿流体流动问题的变分原理和广义变分原理非牛顿流体是指在流动过程中，其粘度随着剪切速率的变化而变化的流体。
非牛顿流体的流动问题一直是流体力学研究的热点之一。
本文将介绍一类非牛顿流体流动问题的变分原理和广义变分原理。
一、变分原理变分原理是研究非牛顿流体流动问题的重要方法之一。
变分原理是指将流体力学问题转化为一个变分问题，通过求解变分问题得到流体力学问题的解。
对于一类非牛顿流体流动问题，其变分原理可以表示为：$$\delta \int_{t_1}^{t_2} \int_{\Omega} \mathcal{L}(u,\nabla u) dx dt =0$$其中，$\mathcal{L}(u,\nabla u)$是拉格朗日密度函数，$u$是速度场，$\nabla u$是速度场的梯度，$\Omega$是流体的空间域，$t_1$和$t_2$是时间区间，$\delta$表示变分操作。
二、广义变分原理广义变分原理是变分原理的推广，它可以用于求解更加复杂的非牛顿流体流动问题。
对于一类非牛顿流体流动问题，其广义变分原理可以表示为：$$\delta \int_{t_1}^{t_2} \int_{\Omega} \mathcal{L}(u,\nabla u) dx dt +\int_{t_1}^{t_2} \int_{\Omega} \mathcal{G}(u,\nabla u) \cdot \delta u dx dt = 0$$其中，$\mathcal{G}(u,\nabla u)$是广义力，$\delta u$是速度场的变分量。
广义变分原理可以看作是变分原理的推广，它将广义力考虑进去，使得求解非牛顿流体流动问题更加准确。
三、应用变分原理和广义变分原理在非牛顿流体流动问题的研究中得到了广泛的应用。
例如，在非牛顿流体的稳定性分析中，可以通过变分原理求解流体的稳定性条件；在非牛顿流体的流动控制中，可以通过广义变分原理求解流体的控制方程。
弹性力学的变分原理
(
f y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足旳边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习要点：建立力学概念
本章包括了非常多旳力学概念，这些概念是有限 元及其他力学分支中普遍用到旳，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式旳推导、证明过程了解思绪即可
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数旳变分等于变分旳导数，或变分
记号与求导记号能够互换。
三、泛函旳变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 旳增 量能够写成
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ijij
允 许 位 移
允 许 应 变
允 许 应 力
虚 位 移
虚 应 变
虚 应 力
§11-3 广义虚功原理
虚
虚
功
位
应
互
移
力
等
原
原
原
理
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
j
u
k j ,i
)
uik ui
x V x Su
k ij
变分原理表达式以及每一项意义结构化学
变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。
它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。
【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。
【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。
在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。
2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。
在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。
3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。
在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。
【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。
2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。
3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。
【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。
通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。
变分原理
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
变分法基本原理范文
变分法基本原理范文变分法是一种数学方法，用于求解变分问题。
它是分析力学、泛函分析、控制论和最优化等领域中的基本工具之一、变分法的基本原理是根据给定的泛函，通过对其进行适当的变分，即对泛函的自变量进行微小的变化，在满足边界条件的前提下，寻找使得泛函取得极值的解。
这篇文章将介绍变分法的基本原理和应用。
在数学和物理中，泛函是函数的集合，其中自变量是函数。
泛函可以被视为一个函数空间中的点，它将函数映射为实数。
变分问题是在给定的约束条件下，寻找使得一些泛函取得极值的函数。
这个极值函数被称为变分问题的解。
变分法的基本思想是将泛函中的函数替换为具有相同边界条件的变分函数，并对这个变分函数进行微小的变化。
然后，通过求解变分函数的变分，来确定使得泛函取得极值的函数。
为了更好地理解变分法的基本原理，我们将通过一个简单的例子进行说明。
假设我们要求解下面的变分问题：\[ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') dx \]这里，$y$是未知的函数，$y'$是$y$的导数，$x_1$和$x_2$是给定的边界点。
我们的目标是找到函数$y(x)$，使得泛函$J[y]$取得极值。
首先，我们引入一个变分函数$y(x) + \epsilon \eta(x)$，其中$\epsilon$是一个小的实数，$\eta(x)$是任意的可微函数，并满足边界条件$\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$。
然后，我们将变分函数代入原始的泛函中：\[ J[y + \epsilon \eta] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y + \epsilon \eta, y' + \epsilon \eta') dx \]在这里，$\eta'(x)$是$\eta(x)$的导数。
然后，我们对上述表达式关于$\epsilon$进行泰勒展开：\[ J[y + \epsilon \eta] = J[y] + \epsilon\frac{dJ[y]}{d\epsilon} + O(\epsilon^2) \]我们希望找到使得泛函取得极值的函数，因此可以令$\frac{dJ[y]}{d\epsilon}$等于零，即：\[ \frac{dJ[y + \epsilon \eta]}{d\epsilon} = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} \eta + \frac{\partialF}{\partial y'} \eta' \right) dx = 0 \]这里，我们利用了对泛函的导数与边界条件的关系$\frac{dJ[y]}{d\epsilon} = \frac{dJ[y+\epsilon\eta]}{d\epsilon}$。
变分原理简介
说是线性的。
函数的微分和泛函的变分
• 泛函的变分：对于y x 的变分 y x所引起泛函的增量，定
义为
y x y x y x 可以展开为线性的泛函和非线性的泛函项
L y x y x y x, y xgmax y x 其中 yx, yx 是 y x 的同阶或高阶小量，即当 yx 0 时，max y x 0 ，而且 yx, yx也接近于零，于是上式 中泛函的增量对于 y x 来说是线性的那一部分，即 L y x y x ，它叫做泛函的变分，用表示。
意改变着的。
• 注意： y 是在 x 0，即x 在一定的条件下，两条函数
曲线上，两点函数值之差。
函数的微分和泛函的变分
• 函数的微分即函数的增量
y yx x yx
可以展开为线性项和非线性项
y Axx x,xx
其中A x与x 无关， x,x则和x 有关，而且 x 0, x,x 0
于是就称y x是可微的，其线性部分就称为函数的微分 dy Axx yxdx
经典变分问题
• 最速落径问题
在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在 自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。
• 最短线程问题
给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两
点之间的长度最短。
• 等周问题
在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L， 确定一条曲线，使其所围成的面积A最大。
• 函数y(x) 的宗量 x 的增量x 是指这个宗量的某两值之差 x x x1 ，如果 x 的微分用dx 表示，则 dx也是增量的一
种，即当这种增量很小时，dx x 。
• 泛函 yx 的变分，用 y x或 y表示， y x是指y(x) 和 跟它相接近的 y1 x之差，即 yx yx y1 x 。这里应 指出： y x 也是 x 的函数，只是 y x 在指定的 x域中都 是微量。而且宗量 y(x) 在接近 y1 x 的一类函数中是任
变分原理
虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.
三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分:
变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：
其中u是未知函数，F，E是确定的算子， 对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零即：
δ Π=0
这就是变分原理。
力学变分原理
首先来说明几个概念:
定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的
基本规律.如:牛顿三定律.
定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:
动量定理等
原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括
性,可以认为与基本定律等价.
变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.
力学的变分原理可分为两大类:
在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.
在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.
从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.
通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理
变分原理的解释概念与原理
变分原理的解释概念与原理变分原理是一种数学方法，用于解决极值问题，包括最大值和最小值问题。
它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
变分原理的核心思想是将极值的求解问题转化为一个变分问题，通过对一个泛函进行变分运算，求解该泛函在一定条件下的变分，从而得到极值条件。
变分原理的基本概念是泛函（functional）。
泛函是一个由函数组成的函数，将一个函数空间映射到实数集合。
泛函的形式可以是函数的积分、导数、逐点相加等。
泛函的极值问题是找到使泛函取得极大值或极小值的函数。
变分原理的基本原理是极值条件：若一个函数使得泛函取得极值，那么该函数满足变分原理所给出的极值条件。
变分原理的核心思想是假设一个函数使泛函取得极值，并对该函数作出一个微小的变化，然后利用极值条件推导出该函数的特性。
根据变分原理的形式不同，极值条件也不同，常见的有欧拉-拉格朗日方程和哈密顿-雅可比方程等。
欧拉-拉格朗日方程是变分原理中最常用的极值条件之一，几乎适用于所有的物理学、工程学和经济学问题。
对于给定的泛函，在一定条件下，使得泛函取得极值的函数满足欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程的推导过程主要是通过对泛函进行变分运算，将泛函写成变量和它的导数的函数形式，然后通过变分运算的操作规则对泛函进行求导、化简、边界积分等步骤，最终得到欧拉-拉格朗日方程。
哈密顿-雅可比方程是变分原理中另一个重要的极值条件，适用于哈密顿系统的求解。
哈密顿系统是一类具有一阶导数的凸函数的泛函系统，常见于动力学系统、优化问题等领域。
哈密顿-雅可比方程的推导过程类似于欧拉-拉格朗日方程，通过变分运算和泛函的特性，将泛函写成变量和它的导数、极值函数的函数形式，然后利用变分运算的法则对泛函进行求导，化简，边界积分等操作，最终得到哈密顿-雅可比方程。
总结来说，变分原理是一种通过对一个泛函进行变分运算，求解该泛函的变分，从而得到极值条件的方法。
它可以应用于各个领域的极值问题，其中欧拉-拉格朗日方程和哈密顿-雅可比方程是变分原理最常用的两种极值条件。
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分法的基本原理可以用极值问题的欧拉-拉格朗日方程来描述。
对于给定的
函数als，如果要求该函数在一定条件下取得极值，可以通过欧拉-拉格朗日方程来
求解。
欧拉-拉格朗日方程的形式为：
\[\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y'}) \frac{\partial f}{\partial y} = 0\]
其中，f是要求极值的函数als，y是自变量，y'是y关于x的导数。
通过求解欧拉-拉格朗日方程，可以得到函数als在给定条件下的极值。
变分法的应用不仅局限于数学领域，它在物理学中也有着重要的应用。
例如，
光的传播可以用费马原理来描述，而费马原理可以通过变分法来推导。
在工程学中，变分法可以用于求解结构力学中的静力平衡问题，以及流体力学中的运动方程。
在经济学中，变分法可以用于求解效用最大化和成本最小化等优化问题。
总之，变分法是一种强大的数学工具，它在求解函数的极值问题以及优化问题
中有着广泛的应用。
通过欧拉-拉格朗日方程，可以描述变分法的基本原理，而在
实际问题中，变分法可以帮助我们求解各种各样的优化问题，从而推动科学技术的发展。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解变分法的基本原理，以及它在实际问
题中的应用。
同时，也希望读者能够进一步深入学习变分法的理论和方法，从而更好地应用它解决实际问题。
变分法作为一种重要的数学工具，有着广阔的应用前景，相信在未来会有更多的领域受益于它的应用。
变分原理
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题（或其他学科的问物理题）的变分原理。
变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
泛函定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系。
如果对于变量x的某一区域中的每一个x值，y都有一值与之对应，或者数y 对应于数x的关系成立，则我们称变量y是变量x的函数，即y=y（x）。
如果对于某一类函数{y（x）}中的每一函数y（x），Π有一值与之对应，或者数Π对应于函数y（x）的关系成立，则称变量Π是函数y（x）的泛函，即Π=Π[y(x)]。
所以函数是变量和变量的关系，泛函是变量与函数的关系，泛函是一种广义的函数。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
例如：① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）；CB AC EB AE +>+总结：实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
偏微分方程中的变分法与变分原理
偏微分方程中的变分法与变分原理在解决偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的过程中，常常会用到变分法（Calculus of Variations）与变分原理（Variational Principle）。
变分法是一种利用函数的微小变动来求解极值问题的数学工具，而变分原理则是基于最小作用量原理，将物理系统的行为描述为使作用量函数达到极小值的过程。
本文将就偏微分方程中的变分法与变分原理进行介绍。
一、变分法的基本概念及应用变分法是一种将极值问题转化为函数的变分问题的数学方法，其基本思想是考虑函数的微小变动对于整体函数值的影响。
在应用变分法求解偏微分方程时，我们首先构造一个泛函（Functional），即将函数映射到实数的映射关系。
例如，考虑一个二阶偏微分方程：\[F\left(y(x), y'(x), y''(x), x\right) = 0\]其中，y(x)是我们要求解的未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
我们的目标是找到满足该方程的y(x)。
为了应用变分法，我们首先定义一个泛函J，即：\[J\left(y\right) = \int_{a}^{b} L\left(y, y', x\right)dx\]其中，L\left(y, y', x\right)为Lagrange函数，a和b是区间的端点。
我们将寻找一个函数y(x)，使得泛函J取得极值。
根据Euler-Lagrange方程，我们有：\[\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left(\frac{\partialL}{\partial y'}\right) = 0\]这个方程称为变分问题的欧拉-拉格朗日方程，它给出了取极值的函数y(x)必须满足的条件。
广义变分原理
广义变分原理广义变分原理是经典物理学中的一个基本原理，它在力学、电磁学、光学等领域都有重要的应用。
广义变分原理是指在一定的边界条件下，系统的作用量在真实轨迹和任意变分轨迹之间的差值为零。
这个原理的提出和发展，对于物理学的发展和应用有着深远的影响。
首先，我们来看看广义变分原理在经典力学中的应用。
在经典力学中，广义变分原理可以用来推导出哈密顿原理和拉格朗日方程，这两个方程是描述系统运动的重要工具。
哈密顿原理指出，对于保守系统，系统的作用量在真实轨迹和任意变分轨迹之间的差值为零。
而拉格朗日方程则是描述了系统的运动方程。
通过广义变分原理，我们可以得到这些重要的方程，从而更好地理解和描述系统的运动规律。
其次，广义变分原理在电磁学中也有重要的应用。
在电磁学中，麦克斯韦方程组描述了电磁场的行为。
而通过广义变分原理，我们可以推导出这些方程，从而揭示了电磁场的基本规律。
广义变分原理的应用使得我们能够更深入地理解电磁场的性质，为电磁学的发展提供了重要的理论基础。
此外，广义变分原理在光学中也有着重要的应用。
在光学中，光的传播和折射是一个重要的研究课题。
通过广义变分原理，我们可以推导出光的传播和折射的基本规律，从而更好地理解光的行为。
广义变分原理的应用为光学的研究提供了重要的理论支持，推动了光学理论的发展。
总之，广义变分原理是经典物理学中的一个基本原理，它在力学、电磁学、光学等领域都有重要的应用。
通过广义变分原理，我们可以推导出许多重要的物理方程，从而更好地理解和描述自然界的规律。
广义变分原理的应用为物理学的发展和应用提供了重要的理论基础，对于推动物理学的发展有着重要的意义。
变分原理导出海姆霍兹方程
变分原理导出海姆霍兹方程变分原理是物理学和工程学中的一种常用的数学方法，用于推导出一些重要的物理方程。
其基本思想是，通过对一个系统的能量变分求解，得到系统的运动方程或者能量分布。
在电磁场理论中，变分原理可以用来导出海姆霍兹方程，下面我将详细介绍这一过程。
假设我们考虑一个静电场，即电荷分布在空间中不随时间变化。
我们希望找到描述电荷分布的电势函数。
根据电场的定义，电势函数满足泊松方程：∇^2φ=-ρ/ε₀ (1)其中，φ是电势函数，ρ是电荷分布的密度函数，ε₀是真空介电常数。
我们可以利用变分原理来导出这个方程。
变分原理的关键是引入一个变分函数，它是一个函数的变分，即原函数加上一个小量的微小变化。
假设在电势函数φ上加一个微小的变化δφ，我们可以得到变分电势函数φ+δφ。
对于这个变分电势函数，它满足以下条件：δφ=0及∇·(∇φ+∇(δφ))=0我们将这个条件称为变分原理的两个条件。
接下来，我们利用这两个条件来求解变分电势函数的能量。
我们可以定义系统的总能量为：E=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2)+φρ]dV (2)其中，第一项是电场的能量，第二项是电荷的能量，积分是在整个空间中进行的。
对于变分电势函数φ+δφ，它的总能量可以表示为：E'=∫[1/2ε₀(|∇(φ+δφ)|^2)+(φ+δφ)ρ]dV (3)我们可以展开上面的积分，得到：E'=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ+|∇δφ|^2)+(φ+δφ)ρ]dV (4)将δφ=0和∇·(∇φ+∇(δφ))=0带入上式，得到：E'=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ)+(φ+δφ)ρ]dV (5)再次展开上式，忽略二次及更高阶项，得到：E'=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ)+(φ+δφ)ρ]dV=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ+|∇δφ|^2)+(φ+δφ)ρ-1/2ε₀|∇δφ|^2]dV=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ+|∇δφ|^2)+δφ(ρ-1/ε₀∇^2φ)]dV=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ+|∇δφ|^2)+δφ(ρ+∇^2φ/ε₀)]dV (6)最后一步，我们将第二项中的δφ移动到方程左侧：E'-E=∫[1/2ε₀(|∇φ|^2+2∇φ·∇δφ+|∇δφ|^2)+δφ(ρ+∇^2φ/ε₀)]dV-∫[1/2ε₀(|∇φ|^2)+φρ]dV=∫[|∇δφ|^2+δφ(ρ+∇^2φ/ε₀)]dV (7)利用变分原理两个条件，我们有∇·(∇φ+∇(δφ))=0，即∇·∇δφ=0。
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变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
一、举一个例子（泛函）变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。
因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。
在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson 方程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题(N) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∆-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足01,=+ΓΩ⎰g f d x其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ⨯Γ∙∙-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ˆv vH v RH ,V v ∈ˆ 可以得到唯一解。
实际上，由定理5.8推出RH v/)(1ˆΩ等价于半范Ω→,1ˆv v. 定义双线性泛函R V V →⨯:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈∀∇∇=ˆ,ˆ,ˆ,ˆ),,()ˆ,ˆ（ 和线性泛函V v vv u g fdx vl ∈∈∀+→ΓΩ⎰ˆ,ˆ,,ˆ:. 其右端与v v ˆ∈无关。
因此v ˆ中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)ˆ(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利用范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ˆ,)()ˆ(,1,2/1,0∈∀+≤ΓΓ-Ω， 从而 Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ˆˆ)ˆ,ˆ(,1,1≤≤ΩΩ 22,1ˆ)ˆ,ˆ(V u u u uB γ≥=Ω 也就是，双线性形式)ˆ,ˆ(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。
根据Lax-Milgram 定理，问题（N ）的变分问题：⎩⎨⎧∈∀=∈Vv v v u V uN ˆ,ˆ,)ˆ,ˆB ˆ)('（使得求存在唯一的解V u∈ˆ，且有 V V l uγ≤ˆ. 利用商范数等价性定理则有，存在常数0>c ，使得 )(,2/1,0,1Γ-ΩΩ+≤gfc u .问题）'(N 存在唯一解V u∈ˆ，并且对每个u u ˆ∈，它连续依赖于问题()N 的定解条件。
且上式成立.进一步可以证明，如果Γ充分光滑，)(2Ω∈-m H f ，,2),(2/3≥Γ∈-m H g m 那么R H um /)(ˆΩ∈，且 ()Γ-Ω-Ω+≤,2/3,2,m m m gf c u ， u u ˆ∈∀。
二、基本运算法则自变函数的变分)(x y δ是x 的函数，于是可以用x 求导数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-=dx x dy x y x y dx x dy dx x dy x y dx d i i )()()()()()(''δδ 即[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dx x dy x y dx d )()(δδ 因此，变分δ和导数dxd的运算可换，变分的导数等于导数的变分。
同理有：[])()(''''x y x y δδ= [])()(x y x y n n δδ=其它的运算规则如下：()2121)1(∏+∏=∏+∏δδδ ()211221)2(∏∏+∏∏=∏∏δδδ()()()22211221//3∏∏∏-∏∏=∏∏δδδ()∏∏=∏-δδ14n n n()()n n y y δδ=)(5 ()⎰⎰∏=∏21216x x x x dxdx δδ三、 变分原理（线性和自然变分原理）1.线性、自伴随微分算子如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并可以利用加权余量法求其近似解； 还可建立与之相等的变分原理，基于它的另一种近似求解方法---Ritz 法。
线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程()0=+b u L ΩinL 为微分算子若L 具有性质：()()()2121u L u L u u L βαβα+=+ 则称L 为线性微分算子。
若()⎰ΩΩvd u L L 内积后，求积；（其中v 为任意函数）对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：()()⎰⎰ΩΩ+Ω=Ωv u t b d v uL vd u L ,..)(*（其中()v u t b ,..为边界项）称*L 为L 的伴随算子若L L =*则称算子是自伴随。
2.泛函的构造Ω∈∀x ()()0=+≡f u L u A Γ∈∀x ()0=u B利用Galertkin （伽辽金）格式()()()0u =Γ+Ω+⎰⎰ΓΩd u B u d f L u T T δδ因为算子是线性、自伴随的，所以：()()()Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰Ωd u L u u L u u L u TT T δδδ2121简单分解 ()Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰ΩΩd u L u u L u u L u T T T )(21)(21δδδ分部积分 ),.(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δδδ+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰Ω线性算子性质 ),..(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δδδ+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰Ω 微分的计算性质),.(.)(21u u t b d u L u T δδ+Ω=⎰Ω微分方程的等效积分形式：()()()0T =Γ-Ω+⎰⎰ΩΓd u B u d f u L u Tδδ()()0=Γ-Ω+Ω⎰⎰⎰ΓΩΩd u B u fd u d u L u T T T δδδ整理得到：0=∏δ原问题的泛函()()u t b fd u u L u T T ..21+⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+=∏⎰Ω变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，()Γ⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅∂∂+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅∂∂=∏⎰⎰ΓΩd x u u E d x u u F u ,,,,对于未知场函数u ，任意一个微小的变化u δ，使)(u ∏取驻值的u 即为问题的控制方程及边界条件的解。
原问题微分方程和边界条件的等效积分的Galerkin 提法等效于泛函取驻值。
反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。
这里泛函可以通过等效积分的Galerkin 提法得到。
这种变分原理称为自然变分原理。
例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。
例如，最小位能原理 体系的总位能：应变能：Ω=Ω⎰⎰ΩΩd Ud T σε21外力势能：Γ-Ω-⎰⎰ΓΩd T u u T T势能泛函：Γ-Ω-Ω=∏⎰⎰⎰ΓΩΩd T u d f u d u T T T σε21)(最小位能原理真实位移u 是体系总位能取极小值，即：()0=∏u δ 其中：()Lu u =ε D L u D ==εσ近似解 []a N N N Na a N u u n ni i i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===≈∑=211n n a N a N a N +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=2211其中：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⋅⋅⋅⋅⋅n a a a 1 n a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1待定参数向量（未知）N N N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1 试探函数矩阵（事先选定）对三维问题：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i i i i N N N N 00000泛函：()ds T N a fdV N a DLNdVa LN a S T T V T T T VT⎰⎰⎰--=∏σ21变分：02211=∂∏∂+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∂∏∂+∂∏∂=∏n na a a a a a δδδδ n a a a δδδ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,相互对立所以，01=∂∏∂a ， 02=∂∏∂a ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 0=∂∏∂n a 或 0=∂∏∂a 由：0=∂∏∂a得到矩阵形式 F Ka = 其中()DLNdV LN K TV ⎰= ds T N dV f N F S TVT ⎰⎰+=σ共有3Xn 个方程若n N N ⋅⋅⋅⋅⋅1为完备的函数系列 则，∞→n 时，u收敛于精确解， 若n 为有限项，则u 为近似解。
上述方法为Ritz 法Ritz （里兹）法------基于变分原理的近似解法 1. 求解步骤：1） 假设近似解：i ni i a N u u ∑==≈1i a 为待定参数，满足强制边界条件。
2） 将u 代入()u∏ 泛函)(u ∏的极值问题（求函数u ），转化为求多元（n a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1）函数的极值问题。
()0=∂∏∂i a u ⇒ i i i F a K = 3） 求解线性代数方程组⇒ i a ⇒ u 的近似解2. 解的收敛性1） 连续性要求i N 满足1-m C 阶连续性 2） 完备性要求i N 取自完备的函数序列关于强制边界条件与自然边界条件 若微分算子是线性自伴随的，Galerkin 法的等效积分形式 → 问题泛函 → 近似场函数u应满足强制边界条件假如微分算子是2m 阶0至m-1阶导的边界条件称为强制边界条件 m 至2m-1阶导的边界条件称为自然边界条件 未知场函数无需事先满足自然边界条件关于解的下限性u u u δ+= ， δεεε+= ， δσσσ+=()TdS u fdV u dV D u S T V T VT p ⎰⎰⎰--=∏σεε21()()()()T d S u u f d Vu u dV D T S T V T V⎰⎰⎰+-+-++=σδδδεεδεε21()()PP P VT V S T V T T u v S T V T T P dVD TdS u fdV u dV D TdS u fdV u dV D u ∏∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+--=∏22121δδδεδεδδδεεεεσσ ()()u u p P P ∏≥∏→>∏ 02δ所以真解是泛函取最小极值。
最小余能原理：真解使得系统的总余能最小。
考虑平衡方程：()()()00===Γ∈∀=+≡Ω∈∀T n u B x f L u A x T σσ其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x z yz x y zy xn n n n n n n n n n 000000000系统的总余能应变余能：Ω=Ω=⎰⎰ΩΩd C d W U kl ij ijkl σσσσ21余势能：dS p u i S i u⎰-余能泛函：()dS p u d C Si i kl ij ijkl C ⎰⎰-Ω=∏Ωσσσ21则有：0=-Ω⎰⎰ΩdS u p d US i i ij ij δεδσ即，所有可能应力中，真解使系统的余能取极小值。