变分原理

变分原理

变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。

例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

一、举一个例子（泛函）

变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。

在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。

Poisson 方程的Neumann 问题

设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题

(N) ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

=∂∂=∆-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数

这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足

01

,=+Γ

Ω

⎰

g f d x

其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ⨯Γ∙∙-ΓH H .

问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数

ΩΩ∈Ω=,1)

(/)(1

1i n f ˆv v

H v R

H ,V v ∈ˆ 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R

H v

/)(1ˆΩ等价于半范Ω→,1ˆv v

. 定义双线性泛函R V V →⨯:

V v u v v u u v u v u B ∈∈∈∀∇∇=ˆ,ˆ,ˆ,ˆ),,()ˆ,ˆ（ 和线性泛函

V v v

v u g fdx v

l ∈∈∀+→Γ

Ω⎰ˆ,ˆ,,ˆ:. 其右端与v v ˆ∈无关。因此v ˆ中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上

,,2/1,2/1,0,0)ˆ(ΓΓ

-Ω

Ω

+≤v g

v

f v

l

利用范数)(2/1ΓH 定义，有

v

v v g

f v l ˆ,

)()ˆ(,1,2/1,0∈∀+≤ΓΓ

-Ω

， 从而 Γ

-Ω

+≤,2/1,0'

g

f

l

V

由范数等价性定理，可得

V V

v

u c v u v u

B ˆˆ)ˆ,ˆ(,1,1≤≤ΩΩ 2

2

,1ˆ)ˆ,ˆ(V u u u u

B γ≥=Ω 也就是，双线性形式)ˆ,ˆ(v u

B 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。根据Lax-Milgram 定理，问题（N ）的变分问题：

⎩⎨⎧∈∀=∈V

v v v u V u

N ˆ,ˆ,)ˆ,ˆB ˆ)('

（使得求

存在唯一的解V u

∈ˆ，且有 V V l u

γ≤ˆ. 利用商范数等价性定理则有，存在常数0>c ，使得 )(,2/1,0,1Γ

-Ω

Ω+≤g

f

c u .

问题）'(N 存在唯一解V u

∈ˆ，并且对每个u u ˆ∈，它连续依赖于问题()N 的定解条件。且上式成立.

进一步可以证明，如果Γ充分光滑，)(2Ω∈-m H f ，,2),(2/3≥Γ∈-m H g m 那

么R H u

m /)(ˆΩ∈，且 (

)Γ

-Ω

-Ω+≤,2/3,2,m m m g

f c u ， u u ˆ∈∀。

二、基本运算法则

自变函数的变分)(x y δ是x 的函数，于是可以用x 求导数

[]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=-=-=dx x dy x y x y dx x dy dx x dy x y dx d i i )()()()()()(''δδ 即

[]⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=dx x dy x y dx d )()(δδ 因此，变分δ和导数dx

d

的运算可换，变分的导数等于导数的变分。 同理有：

[])()(''''x y x y δ

δ= [])()(x y x y n n δ

δ=

其它的运算规则如下：

()2121)1(∏+∏=∏+∏δδδ ()211221)2(∏∏+∏∏=∏∏δδδ

()()()22211221//3∏∏∏-∏∏=∏∏δδδ

()

∏∏=∏-δδ14n n n

()()n n y y δδ=)(5 ()

⎰⎰∏=∏2

1

21

6x x x x dx

dx δδ

三、 变分原理（线性和自然变分原理）

1.线性、自伴随微分算子

如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则

不仅可以建立它的等效积分形式，并可以利用加权余量法求其近似解； 还可建立与之相等的变分原理，基于它的另一种近似求解方法---Ritz 法。 线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程()0=+b u L Ωin

L 为微分算子

若L 具有性质：()()()2121u L u L u u L βαβα+=+ 则称L 为线性微分算子。

若()⎰Ω

Ωvd u L L 内积后，求积；（其中v 为任意函数）

对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：

()()⎰⎰Ω

Ω

+Ω=Ωv u t b d v uL vd u L ,..)(*

（其中()v u t b ,..为边界项）

称*L 为L 的伴随算子