冲激响应法

3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法的条件
1、假定Y(t)的起始条件为零，且t<0时系统无 输出，即
Y (0) Y ' (0) ...... Y ( n 1) (0) 0 Y (t ) 0, t 0 (3.3.4)
2、假设(3.3.1)式在t>0的每一时刻都成立。
dn d n 1 d L an n an 1 n 1 ... a1 a0 dt dt dt
(3.3.2)，其
(3.3.3)
3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法的含义
微分方程法就是在已知输入过程X(t)的统计 特性的前提下，根据(3.3.1)式求出输出过程Y(t) 的统计特性。即已知X(t)的均值mX(t)和相关函 数RX(t1,t2) ，分别求得Y(t)的均值mY(t)和相关函 数RY(t1,t2) 。方法是先将(3.3.1)式演化为确定性 函数mY(t)或RY(t1,t2)的常规微分方程，然后再求 解mY(t)和RY(t1,t2) 。
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法
设线性系统的冲激响应为h(t)，输入的随 机过程为X(t)，根据线性系统的理论，输出 为
Y (t ) X (t )h( )d X ( )h(t )d h(t ) X (t )

(3.3.10)
上式两边取均值，则有
E[Y (t )] E X (t )h( )d E[ X (t )]h( )d mX (t )h( )d






3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
即
mY (t ) mX (t )h( )d mX (t ) h(t )
3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法求均值
对(3.3.2)两边取数学期望，并交换均值和微分运 算的次序，得L{E[Y(t)]}=E[X(t)]，于是有 L[mY(t)]=mX(t)，即
d n mY (t ) d n1mY (t ) dmY (t ) an a ... a a0 mY (t ) mX (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt (3.3.5)
★ 微分方程法求相关函数（续）
同理可得
n RY (t1 , t2 ) n1RY (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) an an1 ... a1 a0 RY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) n 1 n t1 t1 t1 (3.3.8)
对(3.3.4)式两边取均值，可得mY(t)的起始条件如 下： mY (0) mY ' (0) ...... mY (n1) (0) 0 ，只要mX(t) 已知，就可以按照零起始条件求解(3.3.5)式，从而 得出mY(t)。
3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法求相关函数
在(3.3.1)式中令t=t2，两边同时乘以X(t1)后取数 学期望，得
RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] E X (t1 u )h(u )du X (t 2 )

(3.3.11)
如果输出信号X(t)为平稳随机过程，则
mY mX h( )d mX h( )d mX H (0)

(3.3.12)
式中H(0)为系统的传递函数在ω=0时的值。
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
在(3.3.10)式中，令t=t1，两边同乘以X(t2) ，并取均值，则有
在(3.3.4)式两端同时乘以X(t1)后取数学期望，可 得(3.3.6)式的起始条件如下：
n RXY (t1 ,0) n1RXY (t1 ,0) RXY (t1 ,0) RXY (t1 ,0) ... 0 n 1 n t2 t2 t2 (3.3.7)
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3.3.1 微分方程法
★ 线性时不变系统的响应特性
线性时不变系统的响应特性通常可以
用一个常系数线性微分方程来描述，即
d nY (t ) d n1Y (t ) dY (t ) an a ... a a0Y (t ) X (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt (3.3.1)
上式可简写成L[Y(t)]=X(t) 中
n RY (t1 ,0) n1RY (t1 ,0) RY (t1 ,0) RY (t1 ,0) ... 0 n 1 n t1 t1 t1
(3.3.9)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 引言
线性系统最基本的特性是满足叠加原理。 根据这一原理，可把输入信号分成许多单元 信号，输出信号就是线性系统对各单元信号 的响应总和。经常用到的单元信号有两种， 一种为单元冲激信号，另一种为单元正弦信 号。前者引出冲激响应法，后者引出频谱法。
d nY (t2 ) d n 1Y (t2 ) dY (t2 ) E an X (t1 ) a X ( t ) ... a X ( t ) a X ( t ) Y ( t ) n 1 1 1 1 0 1 2 E[ X (t1 ) X (t 2 )] n 1 n dt2 dt2 dt2 n n 1 RXY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) an a ... a a0 RXY (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) (3.3.6) n 1 1 n 1 n t2 t2 t2
应用统计与随机过程
主讲：杜青松
第三章 随机过程的变换
本章学习的主要内容
★随机过程变换的基本概念 ★随机过程的导数和积分 ★随机过程通过线性系统分析
3.3 随机信号通过线性系统分析
★微分方程法 ★冲激响应法和频谱法
本堂课的作业
★第135页习题 3.19 3.20 ★第136页习题 3.25
3.3.1 微分方程法