生活中的数学---基本不等式
生活中的不等式
生活中的不等式
在生活中，我们经常会遇到各种各样的不等式。
有些不等式是数学上的，比如
1+2<4，表示1加2小于4。
而有些不等式则是指人生中的不平等现象，比如社会
地位的不平等、收入的不平等等等。
在社会中，不平等现象是普遍存在的。
有些人出生在富裕的家庭，拥有良好的
教育资源和生活条件，而有些人则出生在贫困的家庭，缺乏基本的生活保障。
这种社会地位的不平等，导致了人们在起跑线上的差异，使得一些人很难有机会去追求自己的梦想和目标。
另外，收入的不平等也是一个严重的问题。
在社会中，有些人拥有丰富的财富
和资源，而有些人却只能勉强维持生计。
这种不平等导致了社会的不稳定和不公平，使得一些人在经济上难以获得应有的权利和地位。
然而，生活中的不等式并不是不可逆转的。
通过社会的努力和改革，可以逐渐
缩小社会地位和收入的不平等现象。
比如通过教育改革，可以让每个人都有机会接受良好的教育，从而改变自己的命运。
又比如通过税收政策和福利制度的调整，可以让社会资源更加公平地分配，使得每个人都能够享有基本的生活保障。
因此，生活中的不等式虽然存在，但并不是无法解决的问题。
只要我们齐心协力，努力改变现状，就能够让社会变得更加公平和美好。
让我们共同努力，消除生活中的不等式，创造一个更加和谐和公正的社会。
不等式题型
不等式题型不等式是数学中一个非常重要的概念，我们每天的生活中都会用到。
不等式中经常会涉及到大小比较，如大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等符号。
本文将介绍不等式的基本概念及常见的不等式类型。
一、不等式的基本概念1.符号不等式中最基本的是符号，这些符号代表着大于、小于、大于等于和小于等于的关系。
其中大于用符号“>”表示，小于用符号“<”表示，大于等于用符号“≥”表示，小于等于用符号“≤”表示。
2.解不等式中有时会给出x的范围或满足条件，求解就是要找出符合条件的x的取值。
我们把符合不等式的x的取值称为“解”。
3.解集一个不等式所表示的所有解的集合叫做解集。
比如下面的不等式：x>2这个不等式的解集就是{x|x>2}。
二、不等式的类型1.一次不等式一次不等式就是只含有一次幂的不等式，如：2x+3<6这个不等式中x的系数为2，常数为3，可以移项得到：x<（6-3）/2=1.5所以这个不等式的解集为{x|x<1.5}。
2.绝对值不等式绝对值不等式的形式一般为：|ax+b|<c其中a、b、c为常数，解这种不等式的方法是先处理绝对值，再解决不等式。
如|2x-3|≤5，则可分为两个不等式：2x-3≤5（当2x-3>0时）2x-3≥-5（当2x-3<0时）解得：x≤4x≥-1所以解集为{-1≤x≤4}。
3.多项式不等式多项式不等式的一般形式为：P(x)>0其中P(x)是x的多项式函数，解这种不等式的方法是将其化为0的根，再使用区间判断法来确定解集。
如2x^3-3x^2+6x-4>0，将其化为0的根：2x^3-3x^2+6x-4=0x=1/2为根，代入得：2x^3-3x^2+6x-4>0满足将其绘制成函数图像，并使用区间判断法得到解集为{x|x<1/2}U{x|x>2}。
4.分式不等式分式不等式的一般形式为：f(x)>0其中f(x)为两个多项式函数的商，解这种不等式的方法一般是将其转化为多项式不等式或其他方法求解。
各种常用不等式汇总
各种常用不等式汇总文章目录•一、一般不等式•o1、一元二次不等式o2、正弦余弦不等式o3、均值不等式o4、绝对值不等式o5、排序不等式o6、权方和不等式•二、人名不等式•o1、柯西不等式o2、卡尔松不等式o3、琴声不等式o4、杨氏不等式o5、赫尔德不等式o6、闵可夫斯基不等式o7、伯努利不等式一、一般不等式经常会用到的不等式一般有前面三个是下面均值不等式的特殊情况。
一般情况下a=b时，才取到等号1、一元二次不等式首先回顾一下一元二次方程的求根公式一元二次不等式的解以及图像2、正弦余弦不等式3、均值不等式均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。
•调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。
由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。
调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
•算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。
它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。
根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。
•一组数据的平方的平均数的算术平方根。
英文缩写为RMS。
它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。
英文名一般缩写成RMS。
•几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。
1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。
它们的公式如下：调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数（方均根）4、绝对值不等式5、排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和6、权方和不等式权方和不等式是一个数学中重要的不等式。
基本不等式公式总结大全
基本不等式公式总结大全在数学中，不等式是比较两个数或者表达式大小关系的数学式子。
而基本不等式则是指那些在数学中应用最为广泛、最为基础的不等式。
基本不等式在数学推导和证明中起着非常重要的作用，它们是我们解决各种数学问题的基础。
以下是一些常见的基本不等式公式：1. 两个正数的不等式，若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（c为正数），ac>bc（c为正数），a/c>b/c（c为正数且不为0）。
2. 两个负数的不等式，若a<b，则a+c<b+c，a-c<b-c（c为正数），ac<bc（c为正数），a/c<b/c（c为正数且不为0）。
3. 绝对值不等式，|a+b|≤|a|+|b|，|a-b|≥||a|-|b||。
4. 平均值不等式，对于任意非负实数a和b，有（a+b）/2≥√(ab)。
5. 柯西-施瓦茨不等式，对于任意实数a1, a2, ..., an和b1,b2, ..., bn，有|(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)| ≤ √(a1^2 +a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
6. 阿贝尔不等式，若a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为实数且满足a1≤a2≤...≤an和b1≥b2≥...≥bn，则有a1b1 +a2b2 + ... + anbn ≤ (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)。
这些基本不等式公式在数学中有着广泛的应用，可以用来证明其他数学定理，解决各种数学问题，以及在实际生活中的应用。
熟练掌握这些基本不等式公式，对于提高数学推理和解决问题的能力非常重要。
希望这些基本不等式公式能够帮助你更好地理解和运用数学知识。
不等式的基本公式几个整数解
不等式的基本公式几个整数解不等式是数学中的一个重要概念，它在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
在学习不等式时，我们需要掌握一些基本公式和技巧，以便更好地解决问题。
本文将介绍几个整数解的不等式基本公式，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式首先，我们来看一下不等式中最基本的公式——基本不等式。
基本不等式是指对于任意实数a和b，都有：(a+b) ≥ 4ab其中，等号成立当且仅当a=b。
基本不等式的证明可以使用平方差公式，即：(a+b) - 4ab = a + b - 2ab = (a-b) ≥ 0由此可知，基本不等式是成立的。
基本不等式的应用非常广泛，可以用于证明其他不等式，也可以用于求最大值和最小值等问题。
二、柯西-施瓦茨不等式接下来，我们来介绍一下柯西-施瓦茨不等式。
柯西-施瓦茨不等式是指对于任意实数a1、a2、b1、b2，都有：(a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2)(b1 + b2)其中，等号成立当且仅当a1/b1 = a2/b2。
柯西-施瓦茨不等式的证明可以使用平方差公式，即：(a1b1 + a2b2) - (a1 + a2)(b1 + b2) = (a1b2 - a2b1) ≥ 0 由此可知，柯西-施瓦茨不等式是成立的。
柯西-施瓦茨不等式的应用也非常广泛，例如可以用于证明三角不等式。
三、均值不等式均值不等式是指对于任意正实数a1、a2、...、an，都有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
均值不等式的证明可以使用数学归纳法，或者使用对数函数的性质。
由于本文篇幅有限，不再赘述。
均值不等式的应用也非常广泛，例如可以用于证明其他不等式，或者用于求最大值和最小值等问题。
四、三角不等式最后，我们来介绍一下三角不等式。
三角不等式是指对于任意实数a、b，都有：|a + b| ≤ |a| + |b|其中，等号成立当且仅当a和b同号。
常用的不等式
常用的不等式（原创实用版）目录1.不等式的基本概念2.常见不等式的分类3.如何解不等式4.实际应用案例正文一、不等式的基本概念不等式是数学中一种表达大小关系的方式，通常用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”表示。
在代数中，不等式是两个数或表达式之间的比较，它可以帮助我们了解它们之间的关系。
二、常见不等式的分类常见的不等式可以分为以下几类：1.线性不等式：这是最简单的一类不等式，如 x < 3、2x + 1 > 5 等。
2.二次不等式：涉及二次方程的不等式，如 x^2 - 3x + 2 < 0 等。
3.绝对值不等式：涉及绝对值的不等式，如|x - 2| > 3 等。
4.复合不等式：涉及多个不等式的组合，如 (x - 2)(x - 3) > 0 等。
5.含有参数的不等式：涉及变量参数的不等式，如 x - a > 0（其中a 为参数）等。
三、如何解不等式解不等式的方法有很多，下面介绍几种常用的方法：1.移项法：将所有项移到同一侧，以便比较。
2.消元法：通过乘以或除以某个数，消去其中一个未知数。
3.图形法：通过画出函数图像，观察图像与坐标轴的交点，了解不等式的解集。
4.符号法：通过分析各个符号的变化，判断不等式的解集。
四、实际应用案例不等式在实际生活中有很多应用，如：1.经济学中的成本与收益分析：通过建立不等式模型，分析企业的生产成本与收益之间的关系。
2.物理学中的运动学：利用不等式描述物体的速度、加速度等物理量之间的关系。
3.社会学中的人口统计：通过建立不等式模型，分析人口数量、年龄结构等之间的关系。
总之，不等式作为数学中的一种基本概念，它在各个领域都有广泛的应用。
基本不等式和为定值
《基本不等式和为定值》一、引言在数学中，不等式是一种重要的表达形式，用于描述两个量之间的大小关系。
而当我们讨论基本不等式时，往往会涉及到一些特定条件下的最值问题。
其中，和为定值的基本不等式是一类常见且重要的问题。
本文将详细探讨这类不等式的性质、应用及求解方法。
二、基本不等式和为定值的性质对于任意非负实数a和b，以及正实数p和q（满足p+q=1），有基本不等式：a^p * b^q ≤ (pa + qb)当且仅当a/p = b/q时，等号成立。
这就是所谓的“加权算术平均-几何平均不等式”。
特别地，当p=q=1/2时，上述不等式变为：√(ab) ≤ (a+b)/2这就是常见的算术平均-几何平均不等式。
三、基本不等式和为定值的应用基本不等式和为定值的问题在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要研究在资源有限的情况下如何分配以获得最大效益；在物理学中，我们也会遇到类似的优化问题，如在固定能量下如何使系统的熵最大等。
此外，这类不等式在竞赛数学中也经常出现，通常需要运用不等式的性质和技巧进行求解。
四、求解方法对于基本不等式和为定值的问题，我们通常采用以下步骤进行求解：根据题目条件，确定变量的取值范围和约束条件；利用基本不等式的性质，将问题转化为求某个表达式的最值问题；通过适当的变形和替换，将问题进一步简化；应用不等式求解技巧（如柯西不等式、切比雪夫不等式等）进行求解；检验解的合理性，确保满足题目要求。
五、结论基本不等式和为定值的问题是一类重要且有趣的数学问题。
通过深入研究这类问题的性质和求解方法，我们不仅可以加深对不等式理论的理解，还可以将其应用于实际生活中解决优化问题。
因此，掌握这类问题的求解技巧对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
基本不等式中常见的方法求最值
基本不等式中常见的方法求最值基本不等式是数学中常用的不等式形式，它可以解决两个或多个变量之间的大小关系问题。
在实际问题中，求最值是一类常见的问题，可以通过基本不等式的方法来解决。
下面将介绍一些常见的方法用于求解最值的基本不等式。
一、最值问题的数学建模在解决最值问题之前，首先需要进行数学建模。
数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，通常包括确定问题的目标函数和约束条件。
在求解最值问题中，目标函数表示要求解的最值，约束条件是指限制该函数取值范围的条件。
例如，求解一个函数在给定范围内的最大值，可以将问题建模为求解一个目标函数在一组特定约束条件下的最大值。
二、最值问题的基本不等式方法在实际问题中，一般使用不等式约束来限制变量的取值范围。
下面将介绍几种常用的基本不等式方法来求解最值问题。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）算术平均-几何平均不等式是一种常见的不等式方法，用于求解多个正实数的不等式关系。
它可以将多个正实数的乘积限制在一些范围内，并且表明乘积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an为n个正实数，那么AM-GM不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）柯西-施瓦茨不等式是一种用于求解向量内积的不等式关系。
它可以将两个向量的内积限制在一些范围内，并且表明内积最大值在一组特定值时取得。
设a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为n个实数，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)通过这个不等式，可以限制变量的取值范围，从而求解最值。
常用基本不等式公式
常用基本不等式公式不等式在数学中那可是相当重要的角色，就像我们生活中的好帮手，能帮我们解决好多难题。
今天咱就来好好聊聊常用的基本不等式公式。
先来说说什么是不等式。
简单讲，不等式就是表示两个数或者表达式不相等关系的式子。
比如说，“2 < 5”，这就是个不等式。
那基本不等式公式都有啥呢？最常见的就是均值不等式啦。
对于正实数 a 和 b ，有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥√(ab) 。
这就好比是两个小伙伴比赛跑步，算术平均数就像是他俩平均速度，几何平均数就像是他俩共同跑过的路程的平均速度。
一般来说，平均速度会比共同跑过路程的平均速度要大。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个小同学一脸迷茫地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“用处可大啦！比如说，你要围一个矩形的花园，知道了周长，想让面积最大，就得用到这个公式。
”然后我给他举了个例子。
假设矩形花园的周长是 20 米，设长是 x 米，宽就是 10 - x 米，那花园的面积就是 x(10 - x) 平方米。
根据均值不等式，x(10 - x) ≤ [ (x + 10 - x) / 2 ]² = 25 ，当且仅当 x = 10 - x ，也就是 x = 5 时，面积能取到最大值 25 平方米。
这小家伙听完，眼睛一下子亮了，说：“原来是这样啊，老师！”还有一个常用的不等式是柯西不等式。
对于两组实数a₁，a₂，...，aₙ 和 b₁，b₂，...，bₙ ，有 (a₁² + a₂² +... + aₙ²)(b₁² + b₂² +... + bₙ²)≥ (a₁b₁ + a₂b₂ +... + aₙbₙ)² 。
这个不等式看起来有点复杂，但在解决一些几何问题或者证明一些复杂的式子时，特别好用。
比如说，在平面直角坐标系中，有两个向量 (a₁, a₂) 和 (b₁, b₂) ，它们的点积的绝对值小于等于它们模长的乘积。
不等式的基本性质和解题方法
不等式的基本性质和解题方法不等式是数学中非常重要的概念，它在我们的日常生活中也有很多应用。
比如，我们可以用不等式来描述一些数值之间的关系，例如大小、大小关系等。
不等式的基本性质和解题方法对我们的数学学习和应用都有着重要的影响。
一、不等式的基本性质不等式有很多基本性质，这些基本性质对于我们的不等式运算和解题都是非常重要的。
下面我们来介绍一下不等式的基本性质。
1. 如果a>b，则a+c>b+c （加法性质）。
2. 如果a>b，且c>0，则ac>bc（乘法性质）。
3. 如果a>b，且c<0，则ac<bc（乘法性质）。
4. 对于一个正数a，a^2>0。
5. 如果a>b，那么a^3>b^3。
6. 如果a>b，且c>d，则a+c>b+d。
7. 对于任意的实数a，-a≤a≤|a|。
8. 如果a>0，则1/a>0。
这些基本性质是不等式运算和解题的基础，学好这些基本性质，才能更好的掌握不等式的解法。
二、不等式的解法不等式的解法也是非常重要的，因为只有掌握了不等式的解法，我们才能更好地运用不等式去解决问题。
下面我们来介绍一些基本的解不等式方法。
1. 两边同时加、减同一个数：如果a>b，则a+c>b+c；如果a<b，则a+c<b+c。
2. 两边同时乘、除同一个正数：如果a>b，且c>0，则ac>bc；如果a<b，且c>0，则ac<bc。
如果a>b，且c<0，则ac<bc；如果a<b，且c<0，则ac>bc。
3. 公式法：a^2-b^2=(a+b)(a-b)，a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
4. 合并同类项：如2x+3>4x-1，可变形为-x<4，即x>-4。
5. 分类讨论法：将待解的不等式根据条件分成各个区间，分别讨论。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。
加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。
加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。
乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。
乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。
减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。
减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。
比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。
比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。
基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。
比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。
此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。
总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。
数学-基本不等式在实际问题中的应用
基本不等式在实际问题中的应用高中数学 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．导语同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m 2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD 空白的宽度为10 m ，两框架之间的中缝空白宽度为5 m ，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD ，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示 一正：x ，y 都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．例1 (教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m 2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m ，y m ，围栏的长度为2(x ＋y )m.方法一 由已知xy ＝16，由≥，可知x ＋y ≥2＝8，x ＋y2xy xy 所以2(x ＋y )≥16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.方法二 由已知xy ＝16，可知y ＝，16x所以2(x ＋y )＝2≥2×2＝16.(x ＋16x )x ·16x 当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究 如果小明的爸爸只有12 m 长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？解 由已知得2(x ＋y )＝12，故x ＋y ＝6，面积为xy ，由≤＝＝3，或＝≤＝3，xy x ＋y262xy x (6－x )x ＋6－x 2可得xy ≤9，当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立．因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m 2.反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值，利用基本不等式求最值；(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论．跟踪训练1 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．解 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m ，b m ，成本为y 元，由于长方体容器的容积为4 m 3，高为1 m ，所以底面面积S ＝ab ＝4，y ＝20S ＋10[2(a ＋b )]＝20(a ＋b )＋80，由基本不等式可得y ＝20(a ＋b )＋80≥20×2＋80＝160(元)，ab 当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，因此，该容器的最低总造价为160元．二、基本不等式在几何中的应用例2 如图所示，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折后AB ′交DC 于点P ，设AB ＝x .(1)用x 表示DP ，并求出x 的取值范围；(2)求△ADP 面积的最大值及此时x 的值．解 (1)矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，∵AB ＝x ，∴AD ＝－x ＝12－x ，242在△APC 中，∠PAC ＝∠PCA ，所以AP ＝PC ，从而得DP ＝PB ′，∴AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得(12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2，∵AB >BC ＝AD ，得x >12－x ，∴6<x <12，∴DP ＝12－(6<x <12)．72x (2)在Rt △ADP 中，S △ADP ＝AD ·DP ＝(12－x )＝108－(6<x <12)．1212(12－72x )(6x ＋432x )∵6<x <12，∴6x ＋≥2·＝72，当且仅当6x ＝，即x ＝6时取等号．432x 6x ·432x 2432x 2∴S △ADP ＝108－≤108－72，∴当x ＝6时，△ADP 的面积取最大值108－72.(6x ＋432x )222反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝4米，AD ＝3米，当BM ＝________时，矩形花坛AMPN 的面积最小．答案 4解析 设BM ＝x (x >0)，则由DC ∥AM 得＝，解得ND ＝，NDND ＋344＋x 12x ∴矩形AMPN 的面积为S ＝(4＋x )＝24＋3x ＋≥24＋2＝48，当且仅当(3＋12x )48x 3x ×48x 3x ＝，即x ＝4时等号成立．48x1．知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用．(2)基本不等式在几何中的应用．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．1．用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( )A ．9 cm 2 B ．16 cm 2C ．4 cm 2 D ．5 cm 2答案 C解析 设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则x >0，y >0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形菜园的面积S ＝xy ≤＝＝4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，(x ＋y )24424所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( )A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样 D ．无法确定答案 B解析 任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价为＝≥；30m ＋30n60m ＋n 2mn 第二种方案的均价为＝≤.400200m＋200n 2mn m ＋n mn 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( )A ．x ＝B ．x ≤C ．x >D ．x ≥a ＋b2a ＋b2a ＋b2a ＋b2答案 B解析 由题意得，A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2，因为(1＋a )(1＋b )≤2，(1＋a ＋1＋b2)所以1＋x ≤＝1＋，2＋a ＋b2a ＋b2所以x ≤，当且仅当a ＝b 时取等号．a ＋b24.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．答案 400解析 由题意设矩形花园的长为x >0，宽为y >0，矩形花园的面积为xy ，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则△ADE 与△ABC 相似，所以＝，又因为AG ＝BC ＝40，AFAG DEBC所以AF ＝DE ＝x ，FG ＝y ，所以x ＋y ＝40，由基本不等式x ＋y ≥2，得xy ≤400，xy 当且仅当x ＝y ＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.课时对点练1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“( )”的几何解释( )A ．如果a >b >0，那么>a bB ．如果a >b >0，那么a 2>b 2C ．对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立ab 答案 C解析 可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c (c 2＝a 2＋b 2)，则外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2＋b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大 B ．小C ．相等 D ．不能确定答案 B解析 令单程为s ，则上坡时间为t 1＝，下坡时间为t 2＝，sa sb 平均速度为＝＝<<.2st 1＋t 22ssa＋s b 21a＋1b ab a ＋b23．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．故C 既够用，浪12a 2＋b 2ab 2ab 2费也最少．4.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的( )A ．最小长度为8B ．最小长度为42C ．最大长度为8D ．最大长度为42答案 B解析 设BC ＝a ，CD ＝b ，因为矩形的面积为4，所以ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋≥2＝4，4a 2a ·4a 2当且仅当2a ＝，即a ＝时，等号成立．4a 25．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为(4n ＋46)(n ∈N *)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( )A ．300天 B ．400天 C ．600天 D ．800天答案 B解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为＝＋2n ＋48，当且仅当＝2n 时，取得最小值，此时320 000＋(50＋4n ＋46)n2n320 000n320 000nn ＝400.6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y (万元)与运营年数x 的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则下列判断正确的是( )A ．车辆运营年数越多，收入越高B ．车辆在第6年时，总收入最高C ．车辆在前5年的平均收入最高D ．车辆每年都能盈利答案 BC解析 由题意，y ＝－x 2＋12x －25，是开口向下的二次函数，故A 错误；对称轴x ＝6，故B 正确；＝－x ＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x ＝5时，等号成立，yx 25x (x ＋25x )25故C 正确；当x ＝1时，y ＝－14，故D 错误．7．矩形的长为a ，宽为b ，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．答案 32解析 由题意，矩形中长为a ，宽为b ，且面积为64，即ab ＝64，所以矩形的周长为2a ＋2b ＝2a ＋≥2＝32，128a 2×128当且仅当a ＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m.答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为m ，4 8003x 由题意可得水池总造价y ＝150×＋120×＝240 000＋7204 8003(2×3x ＋2×3×4 8003x )(x >0)，(x ＋1 600x)则y ＝720＋240000≥720×2＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297(x ＋1 600x)x ·1 600x 600，当且仅当x ＝，即x ＝40时，y 有最小值297 600，1 600x 此时另一边的长度为＝40(m)，4 8003x 因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m.9．经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝(v >0)．在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 900vv 2＋5v ＋1 000最大？解 y ＝＝，900vv 2＋5v ＋1 000900v ＋1 000v ＋5∵v ＋≥2＝20，1 000v v ·1 000v 10∴y ＝≤＝，900v ＋1 000v ＋59002010＋5180410＋1当且仅当v ＝，即v ＝10时等号成立．1 000v 10∴当汽车的平均速度v ＝10千米/小时时车流量y 最大．1010．根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(2＋x 2360)(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)由题意，y ＝2·＋14·＝＋(0<x ≤100)．(2＋x 2360)130x 130x 2 340x 13x18(2)因为y ＝＋≥2＝26，当且仅当x ＝18时，等号成立，2 340x 13x18 2 340x ·13x181010又0<18<100，10所以当x ＝18千米/小时时，这次行车的总费用最低，为26元．101011.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式( )A ．a 2＋b 2≥a ＋bB ．4ab ≥a 2＋b 2C ．a ＋b ≥2D ．a 2＋b 2≥2abab 答案 D解析 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此(a ＋b )2≥8×ab ＝4ab ，所以a 2＋b 2≥2ab .1212．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公p (p －a )(p －b )(p －c )式．现有一个三角形的边长满足a ＝6，b ＋c ＝8，则此三角形面积的最大值为( )A ．3 B ．8 C ．4 D ．9773答案 A解析 由题意p ＝7，S ＝＝≤·＝3，7(7－a )(7－b )(7－c )7(7－b )(7－c )77－b ＋7－c27当且仅当7－b ＝7－c ，即b ＝c ＝4时，等号成立，此三角形面积的最大值为3.713．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是( )A ．先提价p %，后提价q %B ．先提价q %，后提价p %C ．分两次提价%p ＋q2D ．分两次提价%(以上p ≠q )p 2＋q 22答案 D解析 由题意可知，A ，B 选项的两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)；C 选项的提价为2，D 选项的提价为(1＋p ＋q 2%)2，(1＋p 2＋q 22%)又∵<，∴(1＋p %)(1＋q %)<2<2，p ＋q2p 2＋q 22(1＋p ＋q 2%)(1＋p 2＋q 22%)∴提价最多的为D 选项．14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．答案 5解析 设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为y 1，每月货物的运输费用为y 2，由题意可设y 1＝，y 2＝k 2x ，k 1x 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8，∴y 1＝，y 2＝0.8x ，20x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋≥2×4＝8，20x 当且仅当0.8x ＝，即x ＝5时等号成立．20x 当仓库建在离车站5 km 处两项费用之和最小．15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( )A ．大于10 gB ．大于等于10 gC ．小于10 gD ．小于等于10 g 答案 A解析 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a (a >0)，右臂长为b (b >0)，则a ≠b ，再设先称得黄金为x g ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝，y ＝，5a b 5b a ∴x ＋y ＝＋＝5≥5×2＝10，5ab 5b a (a b ＋b a )a b ·b a 当且仅当＝，即a ＝b 时等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10，a b ba 因此，顾客购得的黄金大于10 g.16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(10－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．(1)求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．解 (1)∵Error!∴0<x <100，y ＝x －＝x －－20(0<x <100)，(20＋1010－0.1x )100100－x 当x ＝80时，y ＝80－－20＝55(元)，100100－80此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元)．(2)y ＝x －－20，100100－x ∵0<x <100，∴100－x >0，∴y ＝－＋80[100100－x ＋(100－x )]≤－2＋80＝60，100100－x ·(100－x )当且仅当＝100－x ，即x ＝90元时，每套利润最大为60元．100100－x。
高一数学知识点基本不等式
高一数学知识点基本不等式数学是一门基础学科，同时也是一门重要的思维训练工具。
无论在学习中还是在日常生活中，数学都扮演着重要的角色。
在高一数学中，基本不等式是一个重要的知识点，它在数学推理和解题中起着至关重要的作用。
本文将就高一数学中的基本不等式进行深入探讨，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学中重要的一部分，它是数学中的一种常见表示形式，用于描述数之间大小关系。
基本不等式的一般形式为a≥b或a≤b，其中a和b为实数。
在解决问题时，我们常常需要根据给定的条件，运用基本不等式来进行判断和推理。
基本不等式的性质包括传递性、加减性、乘除性和倒置性等。
传递性指的是如果a≥b，b≥c，那么a≥c；加减性指的是如果a≥b，那么a±c≥b±c；乘除性指的是如果a≥b，c>0（或c<0），那么ac≥bc（或ac≤bc）；倒置性指的是如果a≥b，那么-b≥-a。
二、基本不等式的应用基本不等式在数学学科中有着广泛的应用。
它可以用于解决线性方程组、绝对值方程、二元不等式等多种数学问题。
1. 解决线性方程组：当我们遇到线性方程组时，有时可以通过相关的基本不等式将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程组2x+3y≥4和3x-2y≤1，我们可以通过加法和乘除性质，将它们转化为5x≥5和5x≤5。
2. 解决绝对值方程：对于绝对值方程|ax+b|≥c，我们可以通过考虑ax+b的正负情况，利用加减性和乘除性质将其转化为两个不等式。
例如，对于|2x-1|≥3，我们可以分别得到2x-1≥3和2x-1≤-3，然后解得x≥2和x≤-1。
3. 解决二元不等式：在解决二元不等式时，我们需要运用基本不等式的传递性和倒置性。
例如，对于不等式2x+y≥4和x-y≥1，我们可以通过将两个不等式合并，得到3x≥5，然后解得x≥5/3。
除了上述例子，基本不等式还可以应用于求函数的定义域、证明数学定理、优化问题等方面。
生活中的不等式
生活中的不等式
在生活中，我们经常会面对各种各样的不等式。
有些不等式是数学上的概念，
比如大于、小于、不等于等，而有些不等式则是指生活中的种种差距和不平等。
无论是数学上的不等式还是生活中的不平等，都需要我们去思考和解决。
在生活中，我们常常会面对各种不同的人和事物，而这些人和事物之间往往存
在着不同的差距和不平等。
比如，有些人天生就拥有更多的财富和资源，而有些人则生活在贫困和困难之中；有些人拥有更多的机会和资源，而有些人却面临着种种限制和挑战。
这些不平等的存在，让我们意识到生活中的不等式是如此普遍和深刻。
然而，面对这些不平等，我们不能只是袖手旁观，而是需要积极地去思考和解决。
我们可以通过教育来弥补知识和机会上的不平等，通过社会公平来缩小财富和资源上的差距，通过公益活动来帮助那些处于困境中的人们。
只有通过我们每个人的努力和奉献，才能让生活中的不等式变得更加公平和平等。
除了生活中的不平等，数学上的不等式也给我们启示。
在数学上，不等式是用
来描述数值之间的大小关系的。
而在生活中，我们也可以把这种大小关系应用到我们的生活中。
比如，我们可以通过努力和奋斗来不断地提升自己，让自己变得更加优秀和出色；我们可以通过善待他人和帮助他人来让生活变得更加美好和和谐。
只有在我们不断地努力和奋斗，才能让我们的生活变得更加丰富和美好。
生活中的不等式是如此的普遍和深刻，它们不仅存在于我们的日常生活中，也
存在于我们的内心深处。
只有通过我们的努力和奉献，才能让这些不等式变得更加公平和平等。
让我们一起努力，让生活中的不等式变得更加美好和和谐。
高一基本不等式知识点大全
高一基本不等式知识点大全不等式在数学中起着重要的作用，它是数学分析和数学推理的基础。
在高一学年，学生需要掌握并理解基本不等式的概念、性质和解法。
下面将详细介绍高一基本不等式的知识点。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比大小关系的一种表示方式，用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等表示。
二、不等式的性质1. 加减性质：对于不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等号方向不变。
例如：若 a < b，则 a + c < b + c（其中 c 为常数）。
2. 乘除性质：对于两个不等式，若乘（除）以同一个正数，则不等号方向不变；若乘（除）以同一个负数，则不等号方向相反。
例如：若 a < b 且 c > 0，则 ac < bc；若 a < b 且 c < 0，则 ac > bc。
3. 倒置性质：若不等号两边同时倒置，则不等号方向改变。
例如：若 a < b，则 -a > -b。
三、不等式的解法1. 一元一次不等式的解法：(1) 将不等式看作等式，求解得到解集；(2) 在数轴上用表示不等式的符号表示解集。
2. 一元二次不等式的解法：(1) 将不等式化为一元二次函数的解析式；(2) 求解得到关于未知数的区间。
3. 绝对值不等式的解法：(1) 分情况讨论绝对值的取正负；(2) 求解得到关于未知数的区间。
4. 一元分式不等式的解法：(1) 得到分子和分母的符号条件；(2) 求解不等式。
5. 二元一次不等式的解法：(1) 将不等式化为方程组的解析式；(2) 求解得到关于两个未知数的区域。
四、不等式的应用不等式在各个学科中都有广泛应用，下面列举几个常见领域的应用：1. 几何应用：用不等式表示线段长度、角度大小等几何关系。
2. 经济学应用：用不等式表示供需关系、利润大小等经济问题。
3. 物理学应用：用不等式表示速度、加速度等物理量之间的关系。
基本不等式放缩
基本不等式放缩基本不等式放缩随着时代的发展，数学作为一门重要的学科越来越被广泛应用。
基本不等式放缩作为数学中的一大重要思想，在许多领域中都有广泛的应用，本篇文章主要围绕基本不等式放缩进行讲解和探讨。
一、基本不等式基本不等式是数学中的重要理论之一，在许多数学问题中可以得到应用。
基本不等式通常有两种形式，一种是AM-GM不等式，另一种是Cauchy-Schwartz不等式。
二、AM-GM不等式AM-GM不等式是数学中比较基础的一种不等式，在许多数学问题中都可以得到应用。
AM-GM不等式的形式为：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
在数学问题中，AM-GM不等式通常被用于最大化某些函数，或者最小化某些函数。
比如，在求解长方形面积最大的问题中，可以使用AM-GM不等式来解决。
三、Cauchy-Schwartz不等式Cauchy-Schwartz不等式是一种比较基础的不等式，其形式为：(a1b1+a2b2+...+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)其中，a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是任意实数。
Cauchy-Schwartz不等式通常被用于线性代数中，用于证明内积和范数的性质。
四、基本不等式放缩基本不等式放缩是指利用一些已知的不等式去推导、证明一个新的不等式的方法。
这种方法不仅可以在数学领域中得到广泛应用，还可以在物理学、经济学、计算机科学等领域中得到应用。
基本不等式放缩有许多具体的操作方法，比如通过改变不等式两边的形式来得到新的不等式，或者通过将不等式的两边进行乘法、加法等集合运算来得到新的不等式。
这种方法需要运用数学知识，对已知的不等式有一定的了解，才能得到新的不等式。
五、应用举例基本不等式放缩在现实生活中有着广泛的应用。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
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生活中的数学---基本不等式
【学习目标】恰当设立未知量，理解题意，建立解析式。
【学习重点】审题、立意、建立解析式。
【学习反思】
【作业布置】
【学习过程】
引言：已知矩形的面积是定值S ,何时周长最小，最小的周长是多少
已知矩形的周长是定值L,何时面积最大，最大的面积是多少
【例题选讲】
例1 某小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，
在绿地的四周建有人行道，左右两侧人行道的宽都为
4米，前后两侧的人行道宽都为3米，怎样设计绿地
的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精 确到0.1米）
例2 一批救灾物资随26辆汽车从某市以h vkm /匀速直达灾区，已知两地的公路长是400km ，为安全起见，两汽车间的间距不得小于km v 2)20
(，汽车的车长忽略不计，那么救灾物资全部到达最少需要多少小时。
答10小时。
例3 已知教室到食堂相距L 米，两个男同学同时下课着急赶往食堂就餐。
甲同学用一半时间跑，一半时间急走的方式赶往食堂；乙同学用一般路程跑，一半路程急走的方式赶往食堂，如果两位同学急走速度与跑的速度分别相同，且跑与急走的速度不同，那么他们两个人谁先到食堂。
例4 某种饮料分两次提价，提价的方案有3种，方案甲：第一次提价m%,第二次提价n%； 方案乙：第一次提价n%,第二次提价m%；方案丙：每次提价均为
%2
n m +。
已知n m >，则提价最多的方案是哪一种。
【选用习题】
1、已知直角三角形的周长是2，求面积的最大值。
2、甲乙两人两次在同一粮店购买大米（两次粮价不同），甲每次购粮10千克，乙每次购10元的大米，规定：谁两次购粮的平均价格低，谁的购粮方式合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个合算。
说明理由。
3、已知阻值分别是R 1,R 2的不同电阻按图中的上下两种
形式连接，总阻值分别是R A ，R B 。
比较R A ，R B 的 大小。
4、经过长期观察，在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的
车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为：
160039202++=v v v
y 。
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 是多少时，车流量最大，最大流量是多少（精确到0.1）
(2)要使在该时段内车流量超过10千米/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
5、某造纸厂拟造一座占地面积为200平方米的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价每米是400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，
池底建造单价每平方米60元（墙壁厚忽略不计）.污水处理池的长为
多少时可使总造价最低。
6、如图木制框架，下部是边长为x 、y 的矩形，上部是等腰直角三角形
总面积是8m 2，问x 、y 分别是多少时，使用的木料最省。
7、某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，
沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大的种植面积是多少。