第5讲-随机事件的独立性
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15/26
概念辨析 事件A与事件B独立
P( AB) P( A) P( B)
事件A与事件B互不相容
AB
P( AB) 0
事件A与事件B为对立事件
AB A B P( A) P( B) 1
16/26
例
甲乙二人向同一目标射击,甲击中目标的概 率为0.6,乙击中目标的概率为0.5。试计算 1)两人都击中目标的概率;2)恰有一人击 中目标的概率;3)目标被击中的概率。
P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1 i 1
22/26
n
n
例 加工某一种零件需要经过三道工序,设三道工序 的次品率分别为2%,1%,5% ,假设各道工序是互不影 响的.求加工出来的零件的次品率. 解 设A1 ,A2 ,A3 分别表示第一、第二、第三道 工序出现次品,则依题意:A1 ,A2 ,A3 相互独立, 且
2 三个事件A,B,C两两独立,能否保证他们相互独立呢?即 能否由 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C). 举个例子
25/26
3
甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p,p≥1/ 2。问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜 制有利。设各局胜负相互独立。
共有(2n-n-1)个等式
2 n 3 n
21/26
对满足相互独立的多个事件,有
(1) 若 A1 , A2 ,, An 相互独立, 则
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) P( Ai )
i 1
n
(2) 若 A1 , A2 ,, An 相互独立, 则
P(A1)=2 % , P(A2)=1% , P(A3)=5%
又设A表示加工出来的零件是次品, 则 A=A1∪A2∪A3
23/26
解 设A1 ,A2 ,A3 分别表示第一、第二、第三道 工序出现次品,则依题意:A1 ,A2 ,A3 相互独立, P(A1)=2 % , P(A2)=1% , P(A3)=5% 且 又设A表示加工出来的零件是次品, 则 A=A1∪A2∪A3 (用对立事件的概率关系)
P( AB) P( AB ) P( AB) P( A) P( A B) P( B) P( B | A) P( AB) / P( A)
10/26
事件的独立性 判别
事件A与事件B独立的充分必要条件是
P( AB) P( A) P( B)
源自文库证明
由乘法公式 P( AB) P( A) P( B | A) 和
17/26
有限多个事件的独立性
如果事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(AC)=P(A)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称事件A,B,C相互独立。 注 意
事件A,B,C相互独立与事件A,B,C两两独立不同,
两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此,相 互独立一定两两独立,但反之不一定。
解 设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标” 则 P( A) 0.6, P( B) 0.5 P( AB) P( A) P( B) 0.6 0.5 0.3 P( AB AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.5
P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.8
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
6/26
全概率公式
设A1 ,A2 ,...,An 构成一个完备事件组,且 P(Ai )>0 ,i=1,2,...,n,则对任一随机事件B, 有
P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-(1- 0.02)(1- 0.01)(1- 0.05) = 0.0783
24/26
作业
1 若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不 相容是否能同时成立?
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
证明
P( Ak B ) P( Ak B ) P( B)
( k =1 , 2 , … , n)
P( Ak )P(B Ak )
P( A ) P( B
i 1 i
n
Ai )
解 试验的样本空间为
(1,1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (2,1) (2, 2) (2,3) (2, 4) (3,1) (3, 2) (3,3) (3, 4) (4,1) (4, 2) (4,3) (4, 4)
P( ABC ) 0
所以,A、B、C 两两独立,但总 起来讲不独立。
20/26
1 P ( A) P ( B ) P (C ) 2 1 P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) 4
定义
设A1 , A2 , , An为n个事件。如果对于所有可能的组合 1 i j k n下列各式同时成立
8/26
一、事件的独立性引例
P(B A) P(B)
例 一个盒子中有6只黑球、4只白球,从中有放回 地摸球。求(1) 第一次摸到黑球的条件下,第二次
摸到黑球的概率;(2) 第二次摸到黑球的概率。 解 A={第一次摸到黑球},B={第二次摸到黑球} 6 则 P( B A) 0.6 10 P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A)
C
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) C P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) i j k i j k n Cn P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 那么称A1 , A2 , , An是相互独立的。
应用统计学
兰燕飞
Yanfei Lan
天津大学
Tianjin University
lanyf@tju.edu.cn
1/26
参考教材:
《概率论与数理统计》 盛骤 谢式千 潘承毅 主编 高等教育出版社
2/26
第五讲 随机事件的独立性
1 复习:条件概率、Bayes公式、全概率公式 2 事件的独立性 3 习题
独立性定义P( B | A) P( B)可得
实际问题中,事件的独立性可根据问题的实
际意义来判断 如甲乙两人射击,“甲击中”与“乙击中” 可以
认为相互之间没有影响,即可以认为相互独立
11/26
例一个家庭中有若干个小孩,假设生男生女是等可能的,令 A={一个家庭中有男孩、又有女孩},B={一个家庭中最多有 一个女孩},对下列两种情形,讨论A与B的独立性: 1)家庭中有两个小孩;2)家庭中有三个小孩。
6 6 4 6 0.6 10 10 10 10
9/26
事件的独立性 independence
定义 设A、B为任意两个随机事件,如果 P(B|A)=P(B)
即事件B发生的可能性不受事件A的影响,则称事件B
对于事件A独立. 显然,B对于A独立,则A对于B也独立,故称A 与B相互独立.
18/26
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次,每
一个四面体标有号码1,2,3,4。令
A={第一个四面体的触地面为偶数}
B={第二个四面体的触地面为奇数}
C={两个四面体的触地面同时为奇数,或者同 时为偶数} 试讨论A、B、C的相互独立性。
19/26
A={第一个…为偶数};B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数,或者同时为偶数}
3/26
条件概率 Conditional Probability
定义 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且P(B)>0, 则称
P ( AB ) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.
4/26
条件概率 P(A|B)的样本空间
B
A
B
A
Sample space
解 情形(1)的样本空间为 Ω ={(男男),(男女),(女男),(女女)}
1 3 1 P ( A) , P( B) , P( AB) 2 4 2
此种情形下,事件A、B是不独立的。
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例
一个家庭中有若干个小孩,假设生男生女是等可能的,
令A={一个家庭中有男孩、又有女孩},B={一个家庭中最多 有一个女孩},对下列两种情形,讨论A与B的独立性:(1) 家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩。
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
A1 A2 A3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
P( A3 ) P( B | A3 )
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P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1,A2,…, An构成完备事件组,且诸P(Ai)>0) B为样本空间的任意事件,P( B) >0 , 则有
Reduced sample space given event B
P( AB)
P( A | B)
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乘法法则
P ( AB ) P ( A) P ( B A)
推广
P( B) P( A B)
P( AB) P( B A) P( A) P( AB) P( A B) P( B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
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解 情形(2)的样本空间为
Ω ={(男男男),(男男女),(男女男),(女男男) (男女女),(女男女),(女女男),(女女女)}
此种情形下,事件A、B是独立的。
13/26
6 1 3 P( A) , P( B) , P( AB) 8 2 8
14/26
定理
下列四组事件,有相同的独立性: (1) A与B;(2) A与B ;
(3 )A与B;(4)与 A B 证明 若A、B独立,则 P( AB) P( A) P( B)
与B 独立。 所以, A
P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB) 1 P( A) P( B) P( A) P( B) 1 P( A)1 P(B) P( A)P(B)
概念辨析 事件A与事件B独立
P( AB) P( A) P( B)
事件A与事件B互不相容
AB
P( AB) 0
事件A与事件B为对立事件
AB A B P( A) P( B) 1
16/26
例
甲乙二人向同一目标射击,甲击中目标的概 率为0.6,乙击中目标的概率为0.5。试计算 1)两人都击中目标的概率;2)恰有一人击 中目标的概率;3)目标被击中的概率。
P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1 i 1
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n
n
例 加工某一种零件需要经过三道工序,设三道工序 的次品率分别为2%,1%,5% ,假设各道工序是互不影 响的.求加工出来的零件的次品率. 解 设A1 ,A2 ,A3 分别表示第一、第二、第三道 工序出现次品,则依题意:A1 ,A2 ,A3 相互独立, 且
2 三个事件A,B,C两两独立,能否保证他们相互独立呢?即 能否由 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C). 举个例子
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3
甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p,p≥1/ 2。问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜 制有利。设各局胜负相互独立。
共有(2n-n-1)个等式
2 n 3 n
21/26
对满足相互独立的多个事件,有
(1) 若 A1 , A2 ,, An 相互独立, 则
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) P( Ai )
i 1
n
(2) 若 A1 , A2 ,, An 相互独立, 则
P(A1)=2 % , P(A2)=1% , P(A3)=5%
又设A表示加工出来的零件是次品, 则 A=A1∪A2∪A3
23/26
解 设A1 ,A2 ,A3 分别表示第一、第二、第三道 工序出现次品,则依题意:A1 ,A2 ,A3 相互独立, P(A1)=2 % , P(A2)=1% , P(A3)=5% 且 又设A表示加工出来的零件是次品, 则 A=A1∪A2∪A3 (用对立事件的概率关系)
P( AB) P( AB ) P( AB) P( A) P( A B) P( B) P( B | A) P( AB) / P( A)
10/26
事件的独立性 判别
事件A与事件B独立的充分必要条件是
P( AB) P( A) P( B)
源自文库证明
由乘法公式 P( AB) P( A) P( B | A) 和
17/26
有限多个事件的独立性
如果事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)
P(AC)=P(A)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称事件A,B,C相互独立。 注 意
事件A,B,C相互独立与事件A,B,C两两独立不同,
两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此,相 互独立一定两两独立,但反之不一定。
解 设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标” 则 P( A) 0.6, P( B) 0.5 P( AB) P( A) P( B) 0.6 0.5 0.3 P( AB AB) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.5
P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.8
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
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全概率公式
设A1 ,A2 ,...,An 构成一个完备事件组,且 P(Ai )>0 ,i=1,2,...,n,则对任一随机事件B, 有
P( A) 1 P( A) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-(1- 0.02)(1- 0.01)(1- 0.05) = 0.0783
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作业
1 若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不 相容是否能同时成立?
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
证明
P( Ak B ) P( Ak B ) P( B)
( k =1 , 2 , … , n)
P( Ak )P(B Ak )
P( A ) P( B
i 1 i
n
Ai )
解 试验的样本空间为
(1,1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (2,1) (2, 2) (2,3) (2, 4) (3,1) (3, 2) (3,3) (3, 4) (4,1) (4, 2) (4,3) (4, 4)
P( ABC ) 0
所以,A、B、C 两两独立,但总 起来讲不独立。
20/26
1 P ( A) P ( B ) P (C ) 2 1 P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) 4
定义
设A1 , A2 , , An为n个事件。如果对于所有可能的组合 1 i j k n下列各式同时成立
8/26
一、事件的独立性引例
P(B A) P(B)
例 一个盒子中有6只黑球、4只白球,从中有放回 地摸球。求(1) 第一次摸到黑球的条件下,第二次
摸到黑球的概率;(2) 第二次摸到黑球的概率。 解 A={第一次摸到黑球},B={第二次摸到黑球} 6 则 P( B A) 0.6 10 P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A)
C
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) C P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) i j k i j k n Cn P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 那么称A1 , A2 , , An是相互独立的。
应用统计学
兰燕飞
Yanfei Lan
天津大学
Tianjin University
lanyf@tju.edu.cn
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参考教材:
《概率论与数理统计》 盛骤 谢式千 潘承毅 主编 高等教育出版社
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第五讲 随机事件的独立性
1 复习:条件概率、Bayes公式、全概率公式 2 事件的独立性 3 习题
独立性定义P( B | A) P( B)可得
实际问题中,事件的独立性可根据问题的实
际意义来判断 如甲乙两人射击,“甲击中”与“乙击中” 可以
认为相互之间没有影响,即可以认为相互独立
11/26
例一个家庭中有若干个小孩,假设生男生女是等可能的,令 A={一个家庭中有男孩、又有女孩},B={一个家庭中最多有 一个女孩},对下列两种情形,讨论A与B的独立性: 1)家庭中有两个小孩;2)家庭中有三个小孩。
6 6 4 6 0.6 10 10 10 10
9/26
事件的独立性 independence
定义 设A、B为任意两个随机事件,如果 P(B|A)=P(B)
即事件B发生的可能性不受事件A的影响,则称事件B
对于事件A独立. 显然,B对于A独立,则A对于B也独立,故称A 与B相互独立.
18/26
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次,每
一个四面体标有号码1,2,3,4。令
A={第一个四面体的触地面为偶数}
B={第二个四面体的触地面为奇数}
C={两个四面体的触地面同时为奇数,或者同 时为偶数} 试讨论A、B、C的相互独立性。
19/26
A={第一个…为偶数};B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数,或者同时为偶数}
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条件概率 Conditional Probability
定义 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且P(B)>0, 则称
P ( AB ) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.
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条件概率 P(A|B)的样本空间
B
A
B
A
Sample space
解 情形(1)的样本空间为 Ω ={(男男),(男女),(女男),(女女)}
1 3 1 P ( A) , P( B) , P( AB) 2 4 2
此种情形下,事件A、B是不独立的。
12/26
例
一个家庭中有若干个小孩,假设生男生女是等可能的,
令A={一个家庭中有男孩、又有女孩},B={一个家庭中最多 有一个女孩},对下列两种情形,讨论A与B的独立性:(1) 家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩。
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
A1 A2 A3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
P( A3 ) P( B | A3 )
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P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1,A2,…, An构成完备事件组,且诸P(Ai)>0) B为样本空间的任意事件,P( B) >0 , 则有
Reduced sample space given event B
P( AB)
P( A | B)
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乘法法则
P ( AB ) P ( A) P ( B A)
推广
P( B) P( A B)
P( AB) P( B A) P( A) P( AB) P( A B) P( B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
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解 情形(2)的样本空间为
Ω ={(男男男),(男男女),(男女男),(女男男) (男女女),(女男女),(女女男),(女女女)}
此种情形下,事件A、B是独立的。
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6 1 3 P( A) , P( B) , P( AB) 8 2 8
14/26
定理
下列四组事件,有相同的独立性: (1) A与B;(2) A与B ;
(3 )A与B;(4)与 A B 证明 若A、B独立,则 P( AB) P( A) P( B)
与B 独立。 所以, A
P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB) 1 P( A) P( B) P( A) P( B) 1 P( A)1 P(B) P( A)P(B)