虚功原理复习与例题
第11章 虚位移原理—习题(1~17)
第11章 虚位移原理——习题1~1711-1 图示平面机构，圆盘的半径为r ，可绕其中心轴转动，直杆BC 和BD 的长度为l 1 = 2r ，直杆AB 的长度为l 2 = 3r ，试建立图示位置圆盘的虚转角θδ与滑块C 的虚位移C r δ之间的关系。
（题11-1答案：）11-2 在图示平面机构中，O 1A = AB = r ，O 2C = 2r ，BD = 4r ，C 为杆BD 的中点，试建立图示位置杆O 1A 的虚转角1δθ与杆O 2C 的虚转角2δθ之间的关系。
（题11-2答案：）11-3 如图所示曲柄摇杆机构，已知OA = OB = l ，试建立图示位置两杆虚转角之间的关系。
（题11-3答案：）11-4 在图示平面机构中，半径为R = 2r 的四分之一细圆环BD ，其上套一套筒A ，套筒与可绕轴O 转动的直杆OA 铰接，OA 的长度为l = 3r ，试建立图示题11-1图题11-2图位置杆OA 的虚转角与点D 的虚位移之间的关系。
（题11-4答案：）11-5 在如图所示平面机构中，O 1A = O 3C = O 3D = AB = l ，在图示位置，CB = O 2B =l 332，试建立该位置A 、D 两点虚位移之间的关系。
（题11-5答案：）11-6 在图示平面机构中，ABD 为边长等于a 的正三角形平板，O 1B 、O 2D 的杆长也均为a 。
机构在图示位置时，杆OE 与水平线成60◦角，A 、D 、O 2在同一水平线上，O 1B 位于铅垂位置，且OA = a ，试求此瞬时刚体O 1B 与OE 的虚转角之间的关系。
题11-3图题11-4图题11-5图题11-6图（题11-6答案：）11-7 在图示平面四连杆机构中，在杆AB 上垂直地作用有三角形分布载荷，其最大集度为q ，在杆OA 的中点作用有水平向左的主动力F ，且F = ql ，若不计各构件自重和各接触处摩擦，为使系统在图示位置平衡，所需施加的作用于杆BC 上的主动力偶矩M 的值。
第14章 虚位移原理_例题
弹簧原长 (600 300 )mm
弹簧后来长
(600
300 cos
)mm
弹簧缩短
(
300 cos
300 )mm
弹簧力 F
k
(
300
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcos
300 )
由虚 位移原理：
M • F •ra F •rB 0 M Frr 0 0
[M
1.5(
1 cos
1)
0.3
sin cos2
0] 0
解： 对系统：建立坐标系和受力分析 解析法：
yK 6l sin yK 6l cos (1)
虚功方程：M W 6l cos 0 (2)
所以： M 6Wl cos
例6： 书14-5
当OC绕轴O摆动时，滑块A沿曲柄滑动，从而带动杆AB在导槽
内移动，不计各构 件自 重与各处摩擦。OC a，OD l
rB 2a (2)
列虚功方程：
M PrD FBxrB 0
(3)
将（1）（2）代入（3），得：
M Pa FBx 2a 0
FBx
1 M 2 a
P
（2）求B 铰的垂直约束力： 解除B 铰的垂直约束，代之以垂直力 FBy 。 杆BCD 的速度瞬心在A
rD 5a
rB 2a
M PrD
F
、F
给出力
P
、
F
处的虚位移 rD、rB
几何法： rC cos rD
C
rC cos(90 2 ) rB cos
A
θ
θ rC D F
Fθ
rB
B
由虚功原理 PrD FrB 0 0
PrC cos F 2sinrC 0 (P cos 2F sin )rC 0
高中物理专题：相互作用——自招(含答案)
高中物理专题：相互作用——自招（含答案）一．知识点1．重心2．摩擦角、自锁区3．力矩4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡）5．虚功原理二．典例解析1．重心【例1】（•同济）如图（a）所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a，小球质量为m、2m和3m，棒的质量分布均匀，总长为4a，质量为4m，求整个体系的重心位置。
变式1：均匀圆板的半径为R，在板内挖去一个半径为r的小圆，两个圆心相距为a，求剩余部分的重心与原圆板圆心的距离变式2：求三角板与三角框的重心O arO1R匀质三角板的重心在哪？匀质三角框的重心在哪？2．摩擦力、摩擦角、自锁区【例2】一个质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的滑动摩擦系数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度ω=40rad/s，若沿平行于柱轴方向施加力推着钢件做速度为v0=0.05m/s的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑槽限制（图中未画出），不发生横向运动．g取10m/s2．【例3】（华约）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。
一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=3≈0.58。
试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值?【变式】如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦不计，若想在A、B处用力去夹一个圆形物体C，则能否夹住与那些因素有关？这些因素应该满足什么条件？（不考虑圆柱形物体受到的重力）3．力矩【例4】（清华大学）如图，一根光滑均匀细棒质量为m，一端通过光滑铰链固定在地上，另θ，现使方形一端搁在方形木块上，初始时细棒和地面夹角为︒=30木块很缓慢地向正左方运动，则细棒在竖直面内转动的过程中，受到木块的作用力：A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【变式1】（复旦）一根轻杆下端与一个半径为R，重力为G的光滑球相连，杆上段可绕轴O 自由转动，杆长L，杆与球始终在同一直线上，O点还挂有一根系有重物的细绳，如图所示，重物的重力为G′，则平衡后杆与竖直方向的夹角α【变式2】（•西安交大）重为80kg的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg，顶角为30°。
结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学<静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
图2.2
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
<力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
又：
【 】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为 ，则各杆的变形为：
给梁施加一个虚位移：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度 ，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度 ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为 ，应变 ，弯曲应力为 ，因此，等截面梁的弯曲应变能为： 】p1EanqFDPw
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
虚功原理(物理竞赛)教学内容
虚功原理(物理竞赛)§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例(精)
220
012L
L d x EJ dx q x x dx dx ωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0δ∏=
又:
((((((((222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
L L L L d x d EJ x dx q x x dx dx dx d x EJ x dx q x x dx dx a x x x x EJ L x a dx qL x a dx L L L L L ωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【(231231.2 1.6x x x L x a L L δωδ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭】
由于变分可取任意值,故有:
119.69.6qL
EJa qL
a EJ
=⇒
=
所以:
(2342
20.60.49.6qL x x x x EJ L L ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
虚功原理:当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时,对任意为约束所容许的虚位移,外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
P
图2.3
解:令在外载荷P作用下,梁的转角为α,则各杆的变形为:
12323L L L L L L α
αα∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移:δα则外力虚功为:
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学(静力学第四章第7节】
例2.2若用虚功原理求解,其步骤如下:
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
虚功原理(微分形式的变分原理)
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改资料讲解
§6-1 静定结构位移
a）验算结构的刚度；
1、计算位移有三个目的： b）为超静定结构的内力分析打基础；
§6-3 单位荷载法
（位移计算的一般公式）
t1
F2 K ΔKH
e g k t2
W 1 = 2F N 1 2 d + s F S 1 2 d + s M 1 2 ds F1
K‘
需首先虚拟力状态
Ε2γ2κ2
在欲求位移处沿所求位移方向
位移状态 2
加上相应的广义单位力F=1
( ) 1×D + R c =
柱
F
F
C
F
D
F/2
F
F/2
A
4.5F
3.0F
B
0.287l E 0.222l
G
0.25l
0.25l
2F
2F
1
C
3)求 FN 4)求ΔC
D
00
F
DC =
FNFNPl A
1.50
EA
1/2
E
1.50
G
B 1/2
材料 钢筋 混凝土
钢筋
杆件 FNP
FN F N p l
A
AD －4.74F －1.58 0.263l
Δ12
Δ22
再加F2，F2在自身引起的位移Δ22上作的功
W22=1/2F2Δ·22
F dW
O
Δ11
B F1 Δ A
虚功原理(物理竞赛)
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F ρϖδ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为λ的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ρ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F ρ有多大求F ρ=解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个有两个。
一个是水平作用力F ρ，还有一个是重力m g ρ作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F ρ的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
第15章虚位移原理例题
已知ctgθ=2。
解：将杆BD截断，暴露出内力
F
、F
给出力
P
、
F
处的虚位移 rD、rB
几何法： rC cos rD
C
rC cos(90 2 ) rB cos
A
θ
θ rC D F Fθ
rB
B
由虚功原理 PrD FrB 0 0
PrC cos F 2sinrC 0 (P cos 2F sin )rC 0
P
rD
F P ctg P
2
FNB
P1
Hale Waihona Puke r1 rBP2rC rB
M
rB
FNB
P1
r1 rB
P2
rC rB
M
rB
M
FNB
而
r1 rB
1 2
,
rC rB
181
,
rB
rG
4
1rB
rE
6
1rB
rC
12
1rB
1 12
181
11 96
FNB
1 2
P1
11 8
P2
11 96
M
例11： 书15-15
用虚位移原理求图示桁架中杆BD的内力，
例9：三铰拱上有载荷作用力P及力偶M， 各尺寸如图，求B铰的约束力。 解：（1）求B 铰水平约束力：
解除B 铰的水平约束，代之以水平力FBx 分析主动力：M，P，FBx ，
给虚位移，求虚位移关系：
C*为刚体CDB的瞬心，
刚体CDB的虚转角也为 。 rD a (1)
rB 2a (2)
列虚功方程：
re
300
cos
第四章 虚功原理
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
2值反向共线的两集中力等值反向共面的两集中力偶平衡力系在刚体位移上的虚功1集中力的虚功静力状态k位移状态m2集中力偶的虚功静力状态k位移状态m3均布力的虚功静力状态k位移状态m4等值反向共线的两集中力的虚功静力状态k位移状态m5等值反向共面的两力偶的虚功静力状态k位移状态m6平衡力系在刚体位移上的虚功刚体虚位移原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
（1）沿所求位移的方向加以对应的单位虚力，建立静力状态（k）； （2）求解静力状态（k）中力 ； （3）用“k”状态考察实际的位移状态“m” 的协调性，建立虚功方程，求解未 知位移。
结构力学
第4章 虚功原理
v v 时， 中间铰C的竖向位移 Cm。 Bm
例题2
A
试利用单位荷载法求图示结构由于中间支座B发生沉降
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
虚功(虚位移)原理复习与例题
FAsA 2qlsE
M
sE
l
A
0
P
q
M
B
D
C
sC sE
其中
FA
sA sC 2sE
代入虚功方程，得
(FA
ql
M 2l
)sA
0
解得
FA
M 2l
ql
§5.2.3 用广义坐标表示的质点系平衡条件
xi xi (q1, q2 ,qs , t) yi yi (q1, q2,qs ,t)(i 1,2,, n)
虚位移与实位移的区别和联系
实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。
（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个； （2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。
N=3n—s
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的 函数形式
xi xi (q1, q2 ,qk , t) yi yi (q1, q2,qk ,t)(i 1,2,, n) zi zi (q1, q2 ,qk , t)
2l
P
q
M
BC
sE
D
sD
FD
(2) 解除B处约束，代之以反力
P
q
M
FB ，并将其视为主动力。
A
D
BC
由虚功方程，得
sB sC sE
PsB FBsB
虚功原理习题课
虚功原理解题步骤分析约束,确定自由度选好广义坐标写出主动力作用点的坐标并对其变分代入虚功原理公式中求解Attention:静系中的平衡只有广义坐标方可独立变化虚功原理中不出现约束力)(t q r r rr =正确写出原理求棒全长。
yxmgα分析自由度数目1xmgBDαsin )(l C −=αc 0]sin 2cos )2cos 2[(2=−−δααααa l a mg]sin 2cos )2cos 2[(2−−δααααa l a mg !!!0≠δαQ ααcos )1cos 2(42−=∴a l αcos 2a ca c l )2(422−=∴0=αsin )(AC AD y c −=ααsin )2cos 2(l a −=∂∂αcr r r ααq r F Q i ii ∂∂•=∑r r 2l 0]sin 2cos )2cos 2[(=−−αααa l a mgrABFr y分析自由度2广义坐标βα,βDdemonstrationgm r gm rαsin 2l y =βαsin 2sin l l y +=2l 2l BD C x F y mg y mg w δδδδ++=)sin (sin βδβαδα+−l2l δ2l l y =)βδβδβββδαα)sin cos 2()sin 23Fl mg l l −+0=δβββ)sin cos (23Fl mg l l −0=!!!0≠可任意变化且和δβδαQ 23αl 0)sin cos 2(=−ββFl mg l23l 2−l F mg 23αF2c Q =j mg Fd i F F B =l j lα2sin 2+l l i l r r 2sin ()cos 2αβ++ααq r F Q iii ∂∂•=∑r r ααα∂•+∂•+∂•=B B D D c c F F F r r r 0sin cos 23=−=ααFl mgll j lα2sin 2+j l l i l l r r r r sin 2sin ()cos 2cos (αβα+++=i l l r r r)cos cos (βα++=βββ∂+∂+∂Bd c F mg δββ2l 0=Fmg tg 2=β试用虚功原理求平衡菱形的顶角为2α,一重为W的重物,C点系yTr分析自由度广义坐标α?!!!解除一个约束一个自由度Wααactg l yc −=cos 2αc D =0=0]cos =δαα0≠可任意变化且δαQ )csc sin 2(cos 22αααa l l w T −=yxθ),(y x B ),(c c y x c 定曲面上,如果杆在与竖直墙间的夹角< 的任意位置均能平衡,试求曲面形状.2π2l δ2l y −=???=δθθδd dy y =))((θx y y =c 2(−θld 0≠δθQ 2−∴θld dy 02=−∴θl d dx dx θsin l x =Qθd dx ∴2−∴θl d dx dx θd dx2222x l x l tg l dx −==θx l −22212l 22212xl l y −−=1)2()2(2222=−+l l y l xMrr ABCl l 43ll 411x 2x 3x 取广义坐标为)(33211x x x q ++=)(21312x x q −=)2(313213x x x q +−=求相应广义力???===Q Q Q '3F r r 2F lM F l M F FF F F r r r r rr r r −===='33214143)2('x F x F x F x F W δδδδδr r r r Q +++=)(1x x x q ++=321121q q q x δδδδ++=312q q x δδδ−=321321q q q x δδδδ+−=)3()2381()43(321q l M F q lM F q F W δδδδ++−+=Q MF Q F Q 3−==。
典型例题(B-1) 受集中载荷简支梁的虚功原理求解
⎫ ⎡⎛ ∂ 2 u ∂ 2 v ⎞ 1 − μ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2u ⎞ ⎤ ⎪ + + 2 ⎟ ⎥ + bx ⎬ δ u μ ⎢⎜ 2 ⎟+ ⎜ ∂x∂y ⎠ 2 ⎝ ∂x∂y ∂y ⎠ ⎦ ⎪ ⎣⎝ ∂x ⎭
⎫ ⎡⎛ ∂ 2 v ∂ 2u ⎞ 1 − μ ⎛ ∂ 2u ∂ 2 v ⎞ ⎤ ⎪ ⎞ + + 2 ⎟ ⎥ + by ⎬ δ v ⎟ dxdy μ ⎢⎜ 2 ⎟+ ⎜ ⎟ ∂x∂y ⎠ 2 ⎝ ∂x∂y ∂y ⎠ ⎦ ⎪ ⎣⎝ ∂y ⎭ ⎠ ⎡ ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 − μ ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎤ ⎢ nx ⎜ + μ ⎟ + n y ⎜ + ⎟⎥ δ u ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ∂x
mπ x , l mπ ˆ x =l / 2 = δ cm sin δv 2 ˆ = δ cm sin δv
这时梁的虚应变能为
l
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
(B-2)
δ U = ∫ EI ⋅ ⎜ 0
⎛ d 2 v ⎞ ⎛ d 2δ v ⎞ dx ⋅ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
2 2
寻找galerking加权残值法的试函数时先考虑满足力边界条件bcp较为方便设b18它满足处弯矩和剪力为零的条件即有限元分析及应用研究生课程清华大学b19把b18式积分二次可得b20调整两个积分常数a和b使满足则得到galerkin加权残值法的试函数b21代入b15式取sinsinb22可解出eieib23代回b21式得cleib24它比精确解大08显然比最小势能原理的一级近似解b23好这是因为这里所取的试函数性能较好它满足了所有的边界条件而前面最小势能原理求解所用的试函数只满足位移边界条件但要寻找要求高的试函数非常困难
附录Ⅱ-莫尔定理
ql 2 8
l 2
ql 3 24
M c1
M c2
5 l 84
5l 32
可求得中点C 的挠度
ql 2 8
1 • •2
1
A
B
C
wc
1 EI
1 M c1 2 M c2
2 ql3 5l 5ql4
EI 24 32 384EI
l
M c1 4
M c2
5l 16
例题，已知: q，a,EI.
求: θC
A
虚功Wext与内力所作的虚功Wint
是相等的
力状态
即有：
Wext=Wint
A
F 1
C
B
这一原理称之为虚功原理.
M (x)
M (x)
x dx
二、莫尔定理
外力的虚功:
Wext FΔ 1 Δ
全梁的内虚功:
Wint l Mxdθ
注意：对梁而言,剪力和轴力 的影响均忽略不计
1 l Mxdθ
l Mxdθ
(2)求B点的水平位移,在B点加水平单位力1如图 (c)所示.
M（x ) F( R R cos ) M（x) 1 (R R cos )
xB
l
M sM sds
EI
2 0
F（R R cos）( R R cos )Rd （ 3
EI
4
2 ) FR3 ( ) EI
三、图形互乘法
M (x)M (x)dx
(1)求B点的垂直位移,在B点加垂直单位力1如图 (b)所示.
B BF
B1
φ
φ
A
Rφ
φ1
φ
φ
φ
A
Rφ
虚功原理
P A cos cos cos Q B sin( )
(选 D)
应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题： 1．判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约 束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包 含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动 力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便 将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视之为主 动力。 2 ．根据问题所给的条件，确定系统的自由度数 , 同 时选适当的参数作为确定系统位置的广义坐标。如果题 设条件便于用广义坐标表出各个主动力作用点的坐标， 则用分析法求解较为方便。如果题设条件不便于应用分 析法，则可应用几何法求解。
δW = aλg ?δy1
bλg ?δy2
0
a b [ag sin 0 bg (a sin 0 cos 0 )] 0 0 2 2
0 0
a2 b2 sin 0 ab sin 0 cos 0 0 2 2
故：
3、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为F， 已知 ，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力的 AC BC 大小Q与角 的关系为（ ）
A、
Ftg
B、
Fctg
C、
F tg 2
D、
F ctg 2
解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个 机构为研究对象, 系统自由度为1，选 角为广义坐标。依虚 功原理有：
1 2 2 2 D D T2 m1 ( x y xD 2 ) V2 m1 g y D 2 1 2 C T3 m2 y V3 m2 gy C 2
x B a sin x D a sin
取微商：
09虚功原理和结构的位移计算--习题
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
D
9.22 求C点的挠度。已知P＝9kN，q＝15kN/m，梁为18号工字 钢，I＝1660cm4，h＝18cm，E＝2.1×108kPa。 q P 【解】 A B
C
0.9m 8.1 1.5m 1.5m (16.875)
CV
D
A
B
C
12.825
M P (kN· m)
y 3a ()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
Rc ( 1 )
K 1 A 1
( )
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
9.31 静定多跨梁支座移动如图所示，计算D点的竖向位移1 、水平位移2 、转角3。
A
2cm
0.01弧度 3m 1cm
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
本章小结
本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算 一方面是计算结构位移的需要，另一方面又为超静定结构的内 力计算做准备。 （1）虚功原理是力学中的基本原理。虚功和虚功方程的特点 是力系与位移无关。所以，在有一组给定的力系时，可以虚设 一位移状态，求未知的约束力；在有一组给定的变形时，可以 虚设一力系状态，求未知的位移。 （2）位移计算的方法是单位荷载法。单位荷载法计算位移的 基本公式是 K ( Nd Qd M d ) Rk ck
1
A
B 2/3
4 4
M (m)
t AM t0 AN h 10 1 20 1 0.00001 ( 6 4 4 4) 0.18 2 0.18 2 0.0000115 6 1 0.0165m 1.65cm
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
rC
rA
M
W F M F N r C 0
y
y
x l sin
y l cos
广义坐标 —— 确定质点
广义坐标 系位形的独立参变量。
x1 a sin y1 a cos x2 a sin b sin y2 a cos b cos
,广义坐标
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。 用 q1，q2，…表示。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。
非定常约束－约束方程中显含时间的约束：
f(r i， t) 0 i ,1 ,2 ,,n ( 质 ) ； 点 1,数 ,s 2 ( 约 , )束
x O
v
x2y2(l0v)t2
M
y
3. 单面约束与双面约束
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。
虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍 方程， 又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍 的方法。这些理论构成分析力学的基础。
§5.1.1 约束及其分类
约 束——物体运动所受到的限制
1. 几何约束与运动约束
几何约束
x
O
l A A0
y
在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的 位形。
N=3n—s
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的 函数形式
xi xi(q1,q2,qk,t) yi yi(q1,q2,qk,t)(i1,2,,n) zi zi(q1,q2,qk,t)
§5.2.1 虚位移和理想约束
1. 虚 位 移
y A rA
M
质点系在给定瞬时，
为约束所允许的无限
小位移——虚位移
中所作的虚功的和等于零——虚位移原理
Fi ——主动力 FNi——约束反力 ri——虚位移
∑Fi · ri = 0
Fi Fxii Fyi j Fzik ri xii yi j zik
ri xii yi j zik
(F xix i F yiy i F zizi) 0
上式称为虚位移原理的解析表达式
虚功原理
※ 引言 ※ 约束及其分类 ※ 自由度和广义坐标 ※ 虚位移和理想约束 ※ 虚位移原理 ※ 以广义坐标表示的质点系平衡条件 ※ 质点系在有势力作用下的平衡问题 ※ 结论与讨论
引言
虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题， 是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束 的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚 位移原理求解比列平衡方程更方便。
y
yB
B
y
C
vC
O R
x x
C*
xC R 0 可以积分为 xC R 0
圆轮所受约束为完整约束。
A
yA
vA
O
xA
xB
x
xA xB xA yA yB yA
约束方程不可积分，所以导弹 所受的约束为非完整约束。
§5.1.2 广义坐标与自由度
O
x
l
A(x, y)
O
x
a
A(x1, y1)
b
B(x2, y2)
（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个； （2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
3. 理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我 们把这种约束系统称为理想约束。
解： 取系统为研究对象
rA
A
Байду номын сангаас
∑Fi · ri = 0
M
rB
W F M F r B 0O
F
由运动学关系可知：
rArB
rA
r
B
W F M F rB (M r F )rA 0
FM/r
例 题 2 已知：菱形边长为a ,
D
螺距为h，顶角为2 ，主动力偶为M.
求： 物体C所受到的压力。
B
A
解： (1) 取系统为研究对象
y
O
B
x
yB 0(双面约)束
y
x
O
B
yB 0(单面约)束
3. 单面约束与双面约束
O
l A A0
y
x
约束方程？
单面约束还是双面约束？
O
x
l A
A0 y
x2 y2 l2(双面约) 束
x2 y2 l2(单面约) 束
4. 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束。
O
rB Fx
B
（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；
（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； （3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同； （4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
虚位移与实位移的区别和联系
实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。
f(x,y)x2y2l20
运动约束
在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限 制它们运动的速度。
y
B
y
yB
C
vC
O R
x x
C*
f x R 0
A
yA
vA
O
xA
xB
x
xA xB xA yA yB yA
2. 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束：
f(r i) 0 i ,1 ,2 ,,n (质) ； 点 1数 ,,s 2 (约 , )束
应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采 用以下方法：
（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对 坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
例 题1
已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量。
求： 平衡时F与M 间的关系。
∑FNi · ri = 0
§5.2.2 虚功原理（虚位移原理 ）
Fi + FNi = 0
Fi · ri + FNi · ri = 0
∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0 ∑FNi · ri = 0
m1 Fi mi FNi
m2 ri
∑Fi · ri = 0
对于具有理想约束的质点系，其平衡条件 是：作用于质点系的主动力在任何虚位移
f(r i) 0 i ,1 ,2 ,,n (质) ； 点 1数 ,,s 2 (约 , )束
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。
f(r i， r i) 0 i ,1 ,2 ,,n ( 质 ) ； 点 1,数 ,s 2 ( 约 , )束
4. 完整约束与非完整约束