高中数学必修1函数及其表示题型总结

函数及其表示

考点一

求定义域的几种情况

①若 f(x) 是整式，则函数的定义域是实数集

R ；

②若 f(x) 是分式，则函数的定义域是使分母不等于

0 的实数集；

③若 f(x) 是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合；

④若 f(x) 是对数函数，真数应大于零。

⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若 f(x) 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题

考点二

映射个数公式

m

Card(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 n

。简单说成“前指后底” 。

方法技巧清单 方法一

函数定义域的求法

1．（2009 江西卷文）函数 y x

2

3x 4 的定义域为

（

）

x

A ． [ 4,1]

B ． [ 4, 0)

C ． (0,1]

D ． [ 4, 0) (0,1]

解析

由

x 0 得

4

x 0 或 0

x 1,故选 D.

3x 4

x

2

2．（2009 江西卷理）函数 y

ln( x 1)

的定义域为

()

x

2

3x 4

A ． (

4, 1)

B ． (

4,1)

C ． (

1,1) D ． ( 1,1]

x 1 0

x 1 1 x 1

.故选 C

解析

由

3x 4 0

4 x

1

x

2

3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数

y

1

(

)

有相同定义域的是

x

A . f (x) ln x

B. f ( x)

1 C. f ( x) | x |

D. f ( x) e

x

x

1 x 0. f ( x )

ln x 的定义域 x

1 x ≠ 0； f ( x) | x |的定义域是

解析 由 y

可得定义域是

0 ； f (x)

的定义域是

x

x

x R; f (x) e x

定义域是 x

R 。故选 A.

lg( 4

x ) ．答案

4.（2007 年上海） 函数 y

的定义域是

x

3

2

x x 4 且 x

3

5.求下列函数的定义域。① y= x 2

x

1

x 1 1 x

x 2 .② y=

.③y=

x

x

6.已知函数 f(x) 的定义域为 1,5 ，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1) 的定义域。

方法二 函数概念的考察

x 1 x 3

和 y

x 3

D. y

0 和y

1

C. y

1

x

x

x

2．函数 y=f(x) 的图像与直线

x=2 的公共点个数为 A.0个 B.1个

C. 0个或 1个

D. 不能确定

2

1,0.1,2

3．已知函数 y=

x

2 定义域为

，则其值域为

方法三

分段函数的考察

ⅰ 求分段函数的定义域和值域

2x+2 x

1,0

1 求函数 f(x)=

1 x x

0,2

的定义域和值域

2

3

x

2,

x

2

R) ， f ( x)

g ( x) x 4,x g ( x),

2（ 2010天津文数） 设函数 g (x)

2(x

{

g ( x) x,x g( x).

则 f (x) 的值域是

（A ）

9

,0

(1,

)

（ B ） [0,

)

（C ） [

9 , ) （ D ）

9

,0

(2, )

4

4

4

f ( x) x

2

2 (x 4), x x

2

2

x 2

2, x

1或 x

2

【解析】依题意知

x 2 2 x, x x 2

2

，

f ( x)

x

2

2 x, 1 x 2

ⅱ求分段函数函数值

3．（2010 湖北文数） 3.已知函数 f ( x)

log 3 x, x 0

1

2x

, x

，则

f ( f (

))

9

A.4

B.

1

C.-4

1

4

D-

4

【解析】根据分段函数可得

f ( 1 ) lo

g 3 1

2 ，则 f ( f ( 1 ))

f ( 2) 2

2

1 ，所以 B 正确.

9

9

9

4

ⅲ解分段函数不等式

4.（2009 天津卷文）设函数

f ( x)

x

2

4x 6, x 0 则不等式 f ( x)

f (1) 的解集是（

）

x 6, x

A. ( 3,1) (3, )

B. ( 3,1) (2, )

C. ( 1,1) (3, )

D. ( , 3) (1,3)

答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当

x

0 ， f ( x) 2 f (1) 3令 f (x) 3,

解得 x 1, x 3。当 x 0 ， x 6

3, x

3 故 f ( x)

f (1)

3 ，解得

3

x 1或 x 3

5．（2009 天津卷理）已知函数

f ( x)

x 2

4x,

x

0 若 f (2 a 2

) f (a), 则实数 a

4x x 2

,

x

(,1)(2,) B ( 1,2) C (2,1)(,2) (1,)