正弦、余弦函数性质2
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件(人教版)
学习新知
注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有 x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定 义域无下界； (2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
在数学当中，有没有周期现象？
学习新知 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔 2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
(2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x ∵正弦函数的最小正周期为2π ，
所以，2T 2得T 2
2 ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π
课堂小结
函数 性质
y=sinx
y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
最大值
仅当x 2k , k Z
2
时取得最大值1
最小值
仅当
x
2k , k Z
时取2得最小值-1
奇偶性
奇函数
仅当
x 2k , k Z
时取得最大值1
仅当
x (2k 1) , k Z
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）（18张PPT）课件
45
5
4
例3
求函数
y
sin
1 2
x
新π3 知，x探 究2π，2π的单调递增区间．
解π，2π
，则 z
2π ，4π 33
．
因为
y
sin
z，z
2π 3
，4π 3
的单调递增区间是
z
π 2
，π 2
，
且由 π ≤ 1 x π ≤ π 得 5π ≤ x ≤ π ，
22 32 3
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
新知探究
问题1 对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？
前面学习了正弦函数和余弦函数的周期性和奇偶性， 今天继续学习其他性质：单调性和最值。
单 调 性
观察图象，完成下面的表格:
-1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1
2
，3
2
-
2
，
2
-
2
2k
,
2
（1）sin( π )与sin( π ) ；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（1）因为 π π π 0 ， 2 18 10
正弦函数y＝sinx在区间 π2，0 上单调递增，
所以 sin( π ) sin( π ) ．
18
10
新知探究
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
π 2
2kπ，π 2
2kπ ，k
Z
π 2
2kπ，3π 2
2kπ ，k
Z
x π 2kπ，k Z 2
x 3π 2kπ，k Z 2
余弦函数 x kπ，k Z ( π kπ，0) ，k Z 2
课件2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
o
2
3
x
-1
想一想
通过观察，我们发现正弦函数、余弦函数的 图像也是具有周期性的，那么严谨来说，何 为周期性呢，周期又是怎么得到的呢?
知识点2：
周期的定义
x 对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当
取定义域内的每一个值时，都有 f (x T ) f (x)，
那么函数 f (x) 就叫做周期函数，
知识点1：
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义．
y
o
x
X
X+2π
X
X+2π
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规 律性？
正弦曲线
-2
-
余弦曲线
-2
-
y
1 y sin x , x R
x
o
2 3
4
-1
y 1 y cos x , x R
再见
注意:
1.定义是对定义域中的每一个x值来说的,
只有个别的x值满足:f (x T ) f (x)
不能说T 是y f (x)的周期.
例如 : sin(
4
) sin ,
2
4
但是sin( ) sin .
32
3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
T 2
若0则
T 2
课堂练习
求下列函数的最小正周期
(1) f (x) sin(2 x )
5
(2) f (x) 1 cos( x)
2 32
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．知识点一、正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二、正弦、余弦函数的单调性当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1.·正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？类型一、求正弦、余弦函数的单调区间 例1求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．跟踪训练1求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间．类型二、正弦、余弦函数单调性的应用 命题角度1利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π.跟踪训练2cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．跟踪训练3已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]类型三、正弦、余弦函数的值域或最值例4求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域．跟踪训练4已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－12．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 14．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.1．4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ， 解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数，∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1， 当t ＝1时，y max ＝72， 故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．(3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1. 若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 余弦函数的最大值与最小值答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ， ∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.。
正弦函数、余弦函数的性质
1 变式2 : 求函数y cos( x ), x [2,2] 2 3 的单调递减区间 .
2 4 ( , ) 3 3
例2、求使下列不等式成立 x的集合 : 的
3 (1) sin x ( x R ); 2
( 2) 2 2 cos x 0( x R ).
5 3 ＋４kπ, 3 +4kπ］
， sin( x ), x [2 ,2 ] 2 3 的单调递增区间.
练习
1 练习 、求函数y cos( x )的单调递减 1 2 3 2 4 区间. (4k ,4k )
1 例3、求函数y sin( x )的单调递增 2 3 区间. 1 例4、求函数y cos( x )的单调递减 2 3 区间.
小结
1.正余弦函数的最值 2.正弦函数及余弦函数的单调
性与奇偶性
作业
课本40页练习
2
＋2kπ 2
＋2kπ
时
时取得
最小值-1 最大值1,当且仅当x=
值-1
对余弦函数当且仅当x= (2k+1)π 时取得
(2k－1)π
时取得最小
新课
记忆方法:
y
sin x 1 sin x 0 cos x 1
o
y
cos x 0 cos x 1
x
sin x 0
o
x
y sin x
]
y
2
3 2
2
o
2
3 2
2
x
余弦函数在每个闭区间[2k ,2k ]( k Z )上都是增函数, 在每一个闭区间[2k ,2k
正弦函数、余弦函数的性质(2) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
的取值有何关系？若A<0呢？
2.如何求形如=( + ) +B， ∈ （或
=( + ) +B， ∈ ）的结构形式函数的最
大（最小）值及其对应的的取值？
课堂活动二（分组讨论，小组协作，展示点评）
例2.不通过求值，比较下列各组数的大小：
−1 + 1 = 0．
(2)令 = 2，使函数 = −3sin， ∈ 取得最大值的的集合，
就是使 = sin， ∈ 取得最小值的的集合{| = − + 2, ∈ }．
由2 = =
−
2
+ 2，得 =
−
4
+ ．
2
所以，使函数 = −3sin2， ∈ 取得最大值的的集合是{| = − +
列问题：
1.在它的每个单调区间上，函数值如何变化？
2.函数的最大值、最小值分别是什么？
3.取到最大值和最小值时的值是多少？
把你探究所得结果及其它性质填入表格。
正弦函数
定义域
值域
图像
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调递增区间
单调递减区间
最大值点
最小值点
余弦函数
新知
应用
课堂活动一（分组讨论，小组协作，展示点评）
2
(2) 2 + 2cos ≥ 0( ∈ )
问题七：三角不等式是常见不等式，我们该怎样求解呢？
追问一： 前面我们是如何求解一元二次不等式呢？
结合二次函数图像求解.
追问二： 你是否可以助三角函数图像解三角不等式？请你试试.
3
【高中数学必修四】第1章 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线． 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1] [－1,1]单调性在⎣⎡ －π2＋2k π，π2 ]＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎡ π2＋2k π，3π2＋ ]2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增， 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确．类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2. 2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 答案 D解析 因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2. 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 A3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4．(2017·九江高一检测)y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为() A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 A 解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.6．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3 B.8π3C ．2πD ．4π 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 C解析 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12， 且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3， 故可得，最大值与最小值之和为2π.7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23 C ．2 D ．3考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 10．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 原式可化为y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，只需求f (x )＝13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间． 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)要求函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .13．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.四、探究与拓展14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则() A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
5.4.2正弦函数余弦函数性质课件(人教版)
x
x
4
k,
k
Z.
最小值为-3.
三角函数单调性
例3（课本p206）.不计算，比较下列函数值的大小
(1)sin( )和sin( )
18
10
(2)cos( 23 )和cos( 17 )
5
4
解（1）因为 0，
2 10 18
正弦函数 y = sin x 在区间
2
,0
上单调递增。所以
(2) y 3sin 2x, x R
解：这两个函数都有最大值、最小值. (1)使函数 y cos x 取1得, x最 R大值的 的集合为x
x x 2k,k Z, 最大值为 11 2.
使函数 y cos x 取1得, x最小R 值的 的集合为x
x x 2k, k Z, 最小值为 11 0.
三角函数的最值
解：（2）令z ，2x 使函数 y 3sin z, z R取得最大值的
z 的集合是
z
z
2
2k,
k
Z,
由 2x z 2k，得 x k.
2
4
因此使函数 y 3sin 2取x, 得x 最R大值的 的集合为x
x
x
4
k, k Z.
最大值为3.
同理使函数 y 3sin 2取x, 得x 最R小值的 的集合为x
人教202XA版
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)
÷
目录
01
学习目标
CONTENTS
03
教学过程
02
复习回顾
04
学以致用
01
学习目标
1.掌握正余弦函数一个周期上的单调性 和整个定义域上的单调性.
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
正弦函数 余弦函数
正弦函数余弦函数正弦函数和余弦函数是数学中的两个重要概念，它们是周期函数的典型代表，具有广泛的应用。
下面将详细介绍正弦函数和余弦函数的概念、性质、应用等方面。
一、正弦函数的概念正弦函数是指在单位圆上，以逆时针方向从 x 轴正半轴开始，向左绕过的弧长对应的 y 坐标值。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
正弦函数可以用函数表达式sin x来表示。
正弦函数和余弦函数之间存在着很紧密的关系。
根据勾股定理可知，在一个半径为 r 的圆形中，当夹角为θ 时，正弦值等于斜边的长度除以半径，余弦值等于邻边的长度除以半径。
因此，对于同一个角度，正弦函数和余弦函数的数值可以相互计算。
sinθ = opposite / hypotenuse1. 周期性正弦函数和余弦函数都具有周期性，即在一定的间隔内，函数值呈现出重复的规律。
正弦函数和余弦函数的周期均为2π。
2. 偶函数和奇函数余弦函数是一个偶函数，即cos(-x) = cos(x)，而正弦函数是一个奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
3. 值域正弦函数和余弦函数的值域均为[-1,1]，它们的最大值为1，最小值为-1。
4. 对称性正弦函数和余弦函数是以坐标原点为中心的轴对称函数。
正弦函数和余弦函数在科学和工程领域中有着广泛的应用。
这里介绍一些典型的应用：1. 声波和电磁波正弦函数和余弦函数可以用来描述声波和电磁波的周期性变化。
声波和电磁波的波长和频率与正弦函数和余弦函数的周期和角频率有着密切的关系。
2. 振动物理学中的振动可以用正弦函数和余弦函数来描述。
例如，弹簧振子、单摆等的运动都可以用正弦函数或余弦函数描述。
3. 信号处理信号处理领域中经常使用正弦函数和余弦函数对信号进行分析和处理，例如傅里叶变换、离散余弦变换等。
4. 几何学正弦函数和余弦函数在几何学中也有广泛的应用，例如三角形的求解中就会涉及到正弦函数和余弦函数。
5. 统计学正弦函数和余弦函数在统计学中也有一些应用，例如周期性随时间变化的数据可以使用正弦函数和余弦函数进行拟合和分析。
正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)
对称性的应用
在解决数学问题时，可以利用 正弦函数和余弦函数的对称性 简化计算过程。
在物理和工程领域，正弦函数 和余弦函数的对称性也有广泛 的应用，例如振动分析、交流 电分析等。
在图像处理中，可以利用正弦 函数和余弦函数的对称性进行 图像的变换和滤波等操作。
05
正弦函数、余弦函数的最 值问题
最值的定义
优化问题
在某些优化问题中，可以 利用单调性来简化计算或 找到最优解。
03
正弦函数、余弦函数的奇 偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)， 则称f(x)为奇函数。
偶函数
如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)， 则称f(x)为偶函数。
正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数
单调递减
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对 于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单调递 减。
正弦函数、余弦函数的单调区间
正弦函数
在区间$( - infty , - frac{pi}{2})、 (frac{pi}{2}, + infty)$上单调递增， 在区间$( - frac{pi}{2},frac{pi}{2})$上 单调递减。
最小正周期
正弦函数的最小正周期
对于函数y=sin(x)，其最小正周期为2π。
余弦函数的最小正周期
对于函数y=cos(x)，其最小正周期为2π。
02
正弦函数、余弦函数的单 调性
单调性的定义
单调递增
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单调 递增。
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(2)》课件
课前预习
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预习教材 P37－38 完成下面问题： 知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
__[_－__1_,_1_] __
__[_－__1_,1_]___
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正弦函数
余弦函数
单 调 性
在[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_] (k∈Z) 上递增，在_[π2_＋__2_k_π_，__3_2π_＋__2_kπ]
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解得a＝12， b＝1.
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
∴ymax＝2，ymin＝－2，T＝2π．
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规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋ k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为 常数，A≠0，ω≠0)． (2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C (A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大 值、最小值的求法来求(换元法)．
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方向 3 含参数的最值问题 【例 3-3】 若函数 y＝a－bcos x(b>0)的最大值为32，最小值为
－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期． 解 ∵y＝a－bcos x(b>0)， ∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12． 由aa＋－bb＝＝32－，12，
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6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质2
由sin
x
y 1 1,得 1
y
2
1
(sin x 1) y 1
sin x 1
cos x 1
解不等式有
y
1 2
故函数的值域为
,
1 2
求值域
例8判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例7 求下列函数的值域 y= sin x 2
解 由y sin x 2 得到
sin x 1
sin x 1
正余弦函数的有界性
( y 1)sin x y 2
(上式中y 1,否则有0 3)
所以sin x y 2
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
(3) y= ( tan 7 )sinx
6
解：
0 tan 7
tan
3 1
6
63
单调减区间为 [2k ,2k ],(k Z )
2
2
单调增区间为 [2k ,2k 3 ],(k Z )
2
2
(4)
y log 1
cos( x
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
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它 有 几 层 含
义： – 1. ； 奇偶；2.函数名变与不变； 3.符号确定 . 第二级 y A sin( x )、y A cos( x ), x R 的周 2.正、 余弦型函数 • 第三级 2π 期 T= ；ω – 第四级 3. 在 学 习 函 时，我们研究函数的性质包含的内容 »数 第五级 是： 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性 ； 4. 我 们 研 究 函 数 性 质 的 主 要 方 法 代数法、几何法 是： 、 . ▲请感悟表内外的知识网络（建议自己在电脑自作） ，主动复习 教材中相关知识，并将 不很熟悉的各知识内容填写在横线上或空白处
学习过程
数学必修4—第一章
–
x y 2 cos (1) 第二级 3
(2) y 2 sin2x
max max
(1) x x 6k 3 , k Z • 第三级 解：
时y (2) x k / 4, k Z 时y – x 第四级
挖掘拓展 – 第二级 你对这些性质还有哪些感悟呢？如：能
• 第三级 说正弦函数在第四、一象限是增函数，在第二、三象限
– 第四级 是减函数吗 ？为什么？能举例说明吗？对余弦函数 » 第五级
呢？等 .
‹#›
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三、典例赏析
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式
例 1.（教材 P38 例 3，请同学们先做在看教材的解答） – 第二级
的单调性单调递减 、
； 推 、对称轴中
k Z 1 、 2k , k Z 时，最大值为： 2k , k Z 时，最小值为-1； 余弦函数， 在 R 上的单调性不存在 、 在区间 2k ,2k 上
(k Z )
x k , k Z
单调递增 2 k ,2 k 在区间 上的单调性
单击此处编辑母版标题样式
一、学习准备
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式
前面我们学习了函数、三角函数等相关知 识，请同学们回顾后完成下列填空：
‹#›
单击此处编辑母版标题样式
一、学习准备
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式 1. 你 怎 样 理 解 诱 导 公 式 口 诀 ，
‹#›
二、学习探究
单击此处编辑母版标题样式
奇函数 f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)
学习过程
数学必修4—第一章
探究猜想 你能结合上面的知识（特别是观察正、余弦函数的图 • 象） 单击此处编辑母版文本样式 ，大胆的猜想或推导正、余弦函数具有哪些性质后，在阅读教材
– 第二级 并完成下面内容： 正 弦 函 数 的 奇 偶 性 ： ； 推 • 第三级 证： ； – 第四级 »的 第五级 正弦函数 对称轴： x k , k Z 、 对 称 轴 中 2 (k ,0), k Z ； 心： x 2k , k Z 时，最大值为： 、 正弦函数，当 x 2 当 x x 2k , k Z 时，最小值为 ； 2 正弦函数，在 R 上的单调性 、在区间 不存在
单击此处编辑母版标题样式
学习目标与重点
数学必修4—第一章
重点 正、余弦函数的奇、偶性、单调性、最值、对称性．
‹#›
难点与学法
难点提示
单击此处编辑母版标题样式
正、余弦函数奇、偶性和单调性的理 • 单击此处编辑母版文本样式
数学必修4—第一章
– 第二级 解与应用. • 第三级 学法提示
– 第四级 1.请同学们课前将学案与教材结合进行自主学习（对教材中的文 » 第五级
字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解 答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思 考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准 备；
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、 “举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、 “总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、 ‹#› 敢于讲解与表达.
‹#›
单击此处编辑母版标题样式
二、学习探究
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
‹#›
二、学习探究
单击此处编辑母版标题样式
偶函数
；
学习过程
数学必修4—第一章
• 单击此处编辑母版文本样式 余 弦 函 数 的 奇 偶 性 ：
f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x) – 第二级 证： 余 函数的对称轴： •弦 第三级 k 心： ( – 第四级 ； , 0) 2 » 第五级 x 余弦函数，当 当x
• 第三级 解：
– 第四级 » 第五级
解后解
法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？函数 取得最值时，对应的 x 的值有多少个？其表达式唯一吗
‹#›
单击此处编辑母版标题样式
三、典例赏析
变式练习 求下列函数的最值及取得最值时 x 的集合 • 单击此处编辑母版文本样式
-1
1
2 k 2
, k 2 上的单调性 2
3 2 k , 2 k 在区间 上的单调性 2 2
单调递增 单调递减
、
(k Z )
‹#›
单击此处编辑母版标题样式
二、学习探究
学习过程
数学必修4—第一章
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数学必修4—第一章
1． 4．3正弦函数、余弦函数的 – 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
性质（2）
成都经开区实验高级中学
刘杰名师工作室
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目标
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1.会根据函数的解析式、 诱导公式、 图像探究正、 余弦函数的奇偶性、对称性、单调性、最值等；能 单击此处编辑母版文本样式 求正、余弦型函数的单调区间、最值、对称中心（或 – 第二级 对称轴）等； 2.通过探究性学习，激发同学们学习数学的兴趣和 • 第三级 积极性，陶冶同学们的情操，培养同 – 第四级 » 第五级 学们坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇 于创新的精神.