根式函数最值问题解法例析
对直线上的动点P对直线上的动点P,直线外定点AB,求PA+PB最小等问题
对直线上的动点P ，直线外定点A 、B ，求PA+PB 最小和|PA-PB|最大问题问题1：要在河边修一个水站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使水管最短？这是一个生活中的一个路程最短的问题，不妨设张村对应的点为A ，李庄对应的点为B ， 水泵站在直线l 上，这就转化为定直线上一动点到直线同侧两个定点的距离和最小的问题，怎么办呢？众所周知，若A 、B 两点在直线l 的两侧，根据“两点之间线段最短”，只要连AB ，与l 的交点就是所要找的P 点。
但现在A 、B 两点位于直线的同侧，怎样将其中一点转化到直线的另一侧呢？进行轴对称的知识，将点对称的方法则呼之欲出。
解法如下：（1）作A 关于l 的对称点A ′；（2）连接A ′B 交直线于P ，那么P 就是所求的点。
这是为什么呢？除了“两点之间线段最短”这种解释之外，我们也可以根据“三角形两边之和大于第三边”证明。
我们不妨在直线l 上另取一点P ′,连接PA,PA ′,PB, P ′B ，显然PA+PB= A ′B ， 根据“三角形两边之和大于第三边”A ′B< A ′P ′+B P ′，所以PA+PB< A ′P ′+B P ′ 故PA+PB 最短。
评注：在路程最短问题的作图中，对直线同侧的问题往往运用轴对称的知识，转化为直线异侧的问题来解决。
问题2：已知点A(0, -1),B(2,2),P 为x 轴上一动点，求P 到A 、B 的距离之差的绝对值最大值。
解法如下：（1）作A 关于l 的对称点A ′；（2）连接A ′B 交直线于P ，那么P 就是所求的点。
张村李庄水泵站 PAB B A ′P A l P ′同理，我们不妨在直线l 上另取一点P ′,连接P ′A ′, 连接A ′B 并延长交x 轴于P ，显然PB －PA= A ′B ，根据“三角形两边两边之差小于第三边”，| P ′B －P ′A|= | P ′B －P ′A ′| <A ′B ，所以 故|PB －PA|最短。
带根号的函数最值问题
带根号的函数最值问题数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。
当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。
这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。
1. 单调性一致情况y x = （x ∈[1,2]）分析：这个函数，分成两部分。
x也是增的。
这个函数y x =于是，最大值最小值就在端点时取到。
min max y 12y ==2.单调性不一致的根号中一次项情况y x = (x ∈[0,1])分析：单调性不一致，首先考虑换元法令2[0,1]),x=1-t ∈max min 3,14y y ==3．根号中出现二次项情况y x =（x ∈[-1,1]）分析：单调性很难判断。
这时候首先考虑换元法方法一：三角换元我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。
设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈,利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。
cos sin )4y x θθπθ==+=+值域就是[1-方法二：移项平方这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。
但有时候，它是那么的吃力不讨好。
y x y x =-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x222x 210yx y -+-=由于x 存在，判别式大于等于22248(1)840[y y y y =--=-≥∈但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1 [1y ∈-方法三：求导求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。
本文大部分题目可以用求导解决。
'1y x y == 令y ’≥0解得[x ∈-，不过这个过程颇为艰辛于是易得[1y ∈-4.双根号明显数形结合的情况y =分析：明显可以看作两点间距离公式类型。
这类题难度不大。
但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。
函数求值域的方法
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
根式函数值的计算
2020年8月Aug. ,2020第36卷第4期Vol. 36, No. 4滨州学院学报Journal of Binzhou University根式函数值的计算张萍萍，潘雪燕(滨州学院理学院，山东滨州256603)摘要：作为一类多值函数,根式函数在单值解析分支上函数值的计算一直是教学的难点， 也是文献中争议颇多的问题之一。
从教材的两个例题出发，研究一个有限支点的根式函数和多 个有限支点的根式函数，给出计算函数值的一般方法及其证明，所得结果正面回答和推广了有关 文献的问题和解法。
关键词：单值解析分支;根式函数；支割线；支点中图分类号：0174. 5 文献标识码：A DOI ： 10.13486/j. cnki. 1673 - 2618.2020.04.0140引言复变函数论产生于十八世纪，全面发展于十九世纪。
二十世纪以来，复变函数论广泛应用于理论物 理、弹性物理、天体力学等领域，也与微分方程、概率论、计算数学、拓扑学等数学分支的关系日益密切，同 时发展出复变函数逼近论、多复变函数论、广义解析函数等新的数学分支。
时至今日，作为一个解决问题 的强有力工具，复变函数论不仅是数学各专业的必修课程，其基础内容也成为很多理工科专业的必选课 程。
复变函数的主要研究对象是解析函数,包括单值函数、多值函数和几何理论。
多值函数的研究主要围 绕黎曼曲面和单值化问题展开，这种做法能够深入揭示多值函数的本质，具有特殊的重要意义。
复变函数中的多值函数一直是教学的难点口切，文献［口指出，学生感到困惑的问题集中在：函数多值 性的本质、关于单值分支的不唯一性、支点和支割线的概念三个方面。
笔者认为，根本原因在于学生对单 值解析分支的确定和函数值的计算缺少直观的理解。
多校学生使用的教材是钟玉泉先生编著的《复变函 数论》，目前已更新到第四版页，因此本文选取该教材中的两个典型例题，对一类多值函数一根式函数的 求值展开讨论，所得结果回答和推广了部分文献中的问题和解法。
第二章 函数、导数及其应用
[例1] 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求 函数y的最小值． [思路点拨] 化简后采用换元转化为二次函数的最值问 题，利用配方法解决． [解] y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋ 2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. 因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时， ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.
[答案] 9
[点评]
利用基本不等式法求解最值的关键在于确定
定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等
式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用
符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数
解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出
常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函
[例3]
1 4 函数f(x)＝x＋ (0<x<1)的最小值为________． 1－x
[思路点拨] 通分 ―→ 换元 ―→ 化简 ―→ 找定值 ―→ 求定值
1－x＋4x 3x＋1 1 4 [解析] f(x)＝x＋ ＝ ＝ ， 1－x x1－x －x2＋x t－1 令t＝3x＋1，则x＝ 3 ，t∈(1,4)， t t 9t f(x)变为g(t)＝ ＝ 1 5 4 ＝ －t2＋5t－4 ＝ t－12 t－1 －9t2＋9t－9 ＋ － 3 3 9 ， 4 －t＋ t ＋5 4 4 9 因为t∈(1,4)，所以5>t＋ t ≥4,0<－ t＋ t ＋5≤1， 4 －t＋ t ＋5 ≥9，所以f(x)的最小值为9.
根式的形式演变与求最值的方法
￣１ 一 ２ 一 ｚ ／Ｏ ３ 。一 ｚ＋ ￣２ （ ５ ／ 一 一 ） ，
令 “一 ￣ 一（ ／ ２ ｚ～５ —ｚ～５则原问题 ）， ，
转 化 为在条 件 ＋ ＝ ２（ 。 ≥ Ｏ 下 ， Ｙ— Ｕ ） 求 ＋
＋ ５的 范 围 ．
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由２ 一１ ０得定义域为ｌ ＋。／ ｘ ≥ ， Ｌ 专， 。 ． １
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解 Ｙ＝￣ ［百再百＋ ／
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［ ）｝√ 一）÷ √一 ＋（专＋］ （号＋ ｚ 。 √ 一）（ ） （ （ － （ 。。 。 － 。 ＋ 专＋ ｚ 一 号 一 √一 ＋ 『２ 号 ｕ 一 ， － ， ） ［ 一 一 令 一 √ 一Ｉ （ ＿ ＋ （ ． ＋。萋 ｚ 耋 一＿ ） ） 故 数 值 为一，号ｕ－，Ｃ． 函 的 域 ［２ ）ＥＪ ｘ 一 ＋３ ） 如果 在例 Ｉ中是 两个 根 式相 加 就变 为 √ｚ＿ ＋。号 ， 看 在 角 标 （ 萋 （ ） 可 成 直 坐 －＿ 一 一） 这
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２ Ｃ ＯＳ０ ２。
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￣１ 一 ２ ／０ ３一ｚ 。一 Ｘ＋ ￣２一 （ ／ ｚ一 ５ 。 ）， 令 ｚ～ ５一 √ ｃ Ｓ （ ２ Ｏ ０≤ ０ ７ ， Ｙ一 ５ ０ ≤ 【则 ） ＋
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类型 ２ Ｙ＝ ＋ ｄ＋ ￣ ＋ ＋ Ｃ ／
例 ２ 求 函数 Ｙ— ＋ Ｃ１ｘ一 ２ 一 ｚ 的值 ０ ３
高中数学-运用两点间的距离公式求最值解题方法谈
运用两点间的距离公式求最值两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式．根据题设条件，构设点的坐标，利用两点间的距离公式，数与形相结合，可以使一些代数问题得到直观、形象、简捷、合理的解答．现就两点间的距离公式在求最值中的应用举例说明．一、求函数的最值例１求函数y =分析：本题含有两个根式，切不可把两个无理式的最小值的和作为函数y 的最小值，因为这两个根式各自的最小值是在不同的x 处取得的．如果从代数的角度考虑，其解答将会比较繁琐，仔细观察式子的结构，改变式子的表示形式：y =，易联想到两点间的距离公式，从而将代数问题转化为几何问题来解决．解：如图1，在平面直角坐标系内，设点Ｍ（2，3），(51)N -，，(0)P x ，．则y =M P P N MN =+≥5==，即y ≥5（其中等号在Ｍ，Ｐ，Ｎ三点共线时成立），∴min 5y =．评注：此题若用纯代数知识求解，则比较麻烦，但联想到利用两点间的距离公式，就会茅塞顿开．例2求函数()f x y ，最小值．分析：式子中出现了四个根式、两个变量，且根式中皆为平方和的形式，联想两点间的距离公式，则可简化解答过程．解：如图2， ()f x y ，表示在平面直角坐标系中的动点()P x y ，到定点(00)A ，，(10)B ，，(01)C ，，(11)D ，的距离之和．而APD △中，PA PD AD +≥，当且仅当点P 在线段AD 上时等号成立；CPB △中，PC PB BC +≥，当且仅当点P 在线段BC 上时等号成立，所以PA PD PC PB AD BC ++++=≥Ｐ为AD 与BC 的交点时， f （x ，y ）取得最小值P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭．二、求距离的平方和的最值例3 已知点(21)A ，，(22)B ，，点00()P x y ，满足y =2x ，求22PA PB +取得最小值时点P 的坐标．分析：利用两点间距离公式将22PA PB +表示为()f x y ，的形式，再消元得一个关于x （或y ）的二次函数，最后求值．解：由已知点00()P x y ，满足002y x =，结合两点间的距离公式，得 2222220000(2)(1)(2)(2)PA PB x y x y +=-+-+-+-220000288265x x y y =-++-+2200002888625x x x x =-++-⨯+200102013x x =-+2010(1)3x =-+，当01x =时，22PA PB +取得最小值3，此时点P 的坐标为（1，2）．评注：对于几何中的平方和的最值问题，常是先由两点间的距离公式建立二元函数()f x y ，，然后通过消元转化为关于x （或y ）的函数f （x ）（或f （y ）），再求解．一般地，对于根式内能化成两个完全平方式之和的问题，均可借助于两点间的距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也是这类题型解法的创新之处．以上仅介绍了两点间的距离公式在求最值中的应用，而两点间的距离公式的应用是十分广泛的，随着学习的深入，它在其他方面的应用将会逐渐展现．。
二次根式函数
二次根式函数二次根式函数，顾名思义，就是含有二次根式的函数。
在数学中，根式是指变量的某个幂次的方根，而二次根式即方根的幂次为2。
二次根式函数的一般形式可以表示为：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次根式函数在数学中有着重要的地位和作用，它具有广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等各个领域。
本文将围绕二次根式函数展开详细的阐述，探讨它的性质、图像、求解方法以及实际应用等方面。
首先，我们来探讨二次根式函数的性质。
二次根式函数是一个二次函数，它的图像一般为一个抛物线。
具体来说，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
当抛物线的顶点坐标为(h,k)时，可以通过二次根式函数的标准式来求得：h=-b /(2a)，k=f(h)=ah^2+bh+c。
顶点坐标可以帮助我们判断抛物线的开口方向以及图像的位置。
其次，我们来研究二次根式函数的图像。
通过观察二次根式函数的标准式，我们可以得出一些重要的结论。
首先，a决定了抛物线的开口方向和形状。
其次，b决定了抛物线在x轴方向上的平移。
最后，c决定了抛物线在y轴方向上的平移。
通过调整这三个系数的值，我们可以得到不同形状和位置的抛物线图像。
接下来，我们来讨论如何求解二次根式函数的零点。
零点即函数取到0的点，也就是方程f(x)=0的解。
对于二次根式函数来说，可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法来求解。
其中，最常用的方法是求根公式，即利用二次根式函数的标准式来计算根的值。
对于一般的二次根式函数，它的零点可以表示为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
通过求解零点，我们可以找到函数的交点、顶点等重要信息，从而更好地理解函数的性质和特点。
最后，我们来探讨二次根式函数在实际应用中的作用。
二次根式函数在物理学中常常用于描述自由落体运动、抛体运动等。
在经济学中，二次根式函数可以用于分析市场需求、供应等关系。
在工程学中，二次根式函数可以用于建模和优化设计等方面。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.在0.1，﹣3，和这四个实数中，无理数是（）A．0.1B．﹣3C．D．【答案】C【解析】在0.1，﹣3，和这四个实数中，无理数有：【考点】无理数2.读取表格中的信息，解决问题.a=b+2c b=c+2a c=a+2b满足的n可以取得的最小整数是．【答案】7．【解析】由，，，….∵，∴.∴.∵36＜2014＜37，∴n最小整数是7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.二次根式化简；3.不等式的应用．3.计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】原式=（）2+×=+=2．故选：A．【考点】1、特殊角的三角函数值；2、实数的计算4.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2【答案】D【解析】根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故选D．【考点】二次根式有意义的条件5.在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14C．D．【答案】D．【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是小数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数，选项正确析.故选D．【考点】无理数.6.二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x<1B．x≥1C．x≤-1D．x<-1【答案】B．【解析】根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1．故选B．考点: 二次根式有意义的条件．7.下列计算正确的是 ()A．－＝B．＝－＝1C．÷(－)＝－1D．＝3【答案】A【解析】∵－＝2－＝∴A对．∵＝＝∴B错．∵÷(－)＝＝＝＋1∴C错∵＝＝＝3－1∴D错．选A.8.计算：·－＝________．【答案】2【解析】原式＝－＝3－＝2.9.下列各式中，正确的是 ()A．＝－3B．－＝－3C．＝±3D．＝±3【答案】B【解析】因为－＝－＝－3，所以选B.10. 9的算术平方根是( )A．3B．±3C．81D．±81【答案】A.【解析】9的算术平方根是.故选A.考点: 算术平方根．11.已知则.【答案】【解析】因为所以所以，故.12.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】A．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B．，故本选项正确；C．3与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D. ，，故本选项错误.故选B.考点: 二次根式的运算与化简.13.的值等于（）A．4B．－4C．±4D．【答案】A.【解析】根据42=16,可得.故选A．【考点】算术平方根.14.的算术平方根是（）A．4B．C．2D．【答案】C.【解析】根据算术平方根的定义解答即可．∵∴4的算术平方根是2.故选C.考点:算术平方根．15.观察分析下列数据，按规律填空：（第n个数）.【答案】.【解析】寻找规律:可写为.【考点】探索规律题(数字的变化类).16.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、与不是同类二次根式，无法合并，B、，C、，均错误；D、，本选项正确.【考点】二次根式的混合运算17.下列计算，正确的是A．B．C．D．【答案】C.【解析】A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误；C、，该选项正确；D、，故本选项错误.故选C.考点: 二次根式的混合运算.18.计算【答案】.【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.试题解析：考点: 二次根式的混合运算.19.计算：＝．【答案】7.【解析】直接根据二次根式的性质与化简进行计算即可．.故填7.【考点】二次根式的性质与化简．20.已知：a.b.c满足,求：（1）a,b,c的值；（2）试问以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由.【答案】（1）a=2,b=5,c=3;（2）能构成三角形,周长=.【解析】（1）几个非负数的和为零,要求每一项为零,由题,a-2=0,b-5=0,c-3=0,a=2 ,b=5,c=3;（2）能构成三角形的条件是两边之和大于第三边,由题,,而,所以能构成三角形,周长=. 试题解析：（1）由题,∴a-2=0,b-5=0,c-3=0,∴a=2,b=5,c=3;（2）∵,,∴能构成三角形,三角形的周长=.【考点】1.非负数的性质;2.三角形三边的关系.21.下列二次根式中，取值范围是的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须，因此，取值范围是的是. 故选C．【考点】二次根式和分式有意义的条件.22.若，,求.的值【答案】4【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，把a2b+ab2的因式分解为ab(a-b)，再代入计算即求解为4.试题解析：解：∵，∴∴【考点】1、二次根式的混合运算.2、因式分解.23.如果，那么= ．【答案】-2【解析】根据题意，可得=0，∣b-2∣=0，从而得到a+1=0，a=-1，b-2=0，b=2，ab=-2.因为二次根式为非负数，一个数的绝对值为非负数，由几个非负数的和为零，要求每一项都为零，即=0，∣b-2∣=0，而零的二次根式为0,0的绝对值为0，从而得到a+1=0，b-2=0，解得a=-1，b=2，ab=-2.【考点】几个非负数的和为零，要求每一项都为零.24.若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间【答案】B【解析】先根据四边形的面积公式列出算式，求出高的值，再估算出无理数，即可得出答案：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=。
根的判别式求不定式最值的应用举隅
㊀㊀㊀㊀㊀１４６㊀根的判别式求不定式最值的应用举隅根的判别式求不定式最值的应用举隅Һ李哲杉㊀（厦门市公安局海沧分局刑侦大队技术科，福建㊀厦门㊀３６１０２６）㊀㊀ʌ摘要ɔ不定式的最值问题是中学数学中一类常见的问题，其中倒数型已知式最值问题难度较大，它在物理学并联电阻公式㊁工程问题㊁路程问题及几何图形问题中皆有广泛的应用．本文提出一种求解此类问题的方法 根的判别式法，并对其求解过程进行逐步剖析，结合实际问题阐明这种方法的实用性与简便性．ʌ关键词ɔ倒数型已知式；根的判别式法；实用性与简便性一㊁利用根的判别式法求倒数型已知式下不定式的最值例１㊀已知１ａ＋１ｂ＝１１５，ａ，ｂ均为正整数，求出ａ＋ｂ的最大值．解㊀ȵ１ａ＋１ｂ＝１１５，ʑａ＋ｂａｂ＝１１５，令ａ＋ｂ＝ｋ．㊀①则有ａｂ＝１５ｋ，ʑａ，ｂ是一元二次方程ｘ２－ｋｘ＋１５ｋ＝０的两个实数根．在方程ｘ２－ｋｘ＋１５ｋ＝０中，Δ＝ｋ２－６０ｋ．根据求根公式知ａ，ｂ＝ｋʃｋ２－６０ｋ２．㊀②ȵａ，ｂ均为正整数，ʑΔ必须为完全平方数．令Δ＝ｎ２（ｎ为非负整数）．于是ｋ２－６０ｋ＝ｎ２．㊀③在关于ｋ的一元二次方程ｋ２－６０ｋ－ｎ２＝０中，同理Δᶄ＝６０２＋４ｎ２＝４（ｎ２＋９００），㊀④进而ｋ＝３０ʃｎ２＋９００．㊀⑤由于ｋ＝ａ＋ｂ为正整数，同理可知Δᶄ为完全平方数，即ｎ２＋９００为完全平方数．令ｎ２＋９００＝ｍ２（ｍ为非负整数），由此可整理得（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）＝９００．㊀⑥又ｍ，ｎ为非负整数，故ｍ＋ｎȡｍ－ｎȡ０，进而（ｍ－ｎ）２ɤｍ２－ｎ２ɤ９００，所以ｍ－ｎɤ３０．设ｍ－ｎ＝ｙ（０ɤｙɤ３０，且ｙ正为整数）．由⑥式知ｙ为９００的因数，因此ｍ－ｎ＝ｙ＝１，２，３，４，５，６，９，１０，１２，１５，１８，２０，２５，３０．ｍ＋ｎ＝９００ｙ＝９００，４５０，３００，２２５，１８０，１５０，１００，９０，７５，６０，５０，４５，３６，３０．于是ｍ＝１２ｙ＋９００ｙ()．㊀⑦又ｍ为非负整数，故ｙ＋９００ｙ为偶数，所以ｙ＝２，６，１０，１８，３０，９００ｙ＝４５０，１５０，９０，５０，３０．由④⑤⑥得ｋ＝３０ʃｍ．㊀⑧由①⑦⑧得ａ＋ｂ＝３０ʃ１２ｙ＋９００ｙ()，所以ａ＋ｂ{}ｍａｘ＝３０ʃ１２ｙ＋９００ｙ(){}ｍａｘ．当ｙ＝２，９００ｙ＝４５０时，ｙ＋９００ｙ有最大值，联立②③④⑤⑥得：ａ＝１５＋ｍʃｎ２，ｂ＝１５＋ｍ∓ｎ２，其中ｍ－ｎ＝２，ｍ＋ｎ＝４５０．因此，ａ＝２４０，ｂ＝１６，{或ａ＝１６，ｂ＝２４０．{此时ａ＋ｂ取得最大值２５６．ａ，ｂ的整数解如下表：ｙ２６１０１８３０ａ，ｂ解组１６，２４０１８，９０４５，６０３５，４０３０，３０ａ＋ｂ２５６１０８１０５７５６０对于１ａ＋１ｂ＝１ｃ已知式类型，以上解法经电脑程序验证无误．若不直接求最值可以把上式化为１ａ＝１ｃ－１ｂ＝ｂ－ｃｂｃ⇒ａ＝ｂｃｂ－ｃ＝ｂｃ＋ｃ２－ｃ２ｂ－ｃ＝ｃｂ－ｃ()＋ｃ２ｂ－ｃ＝ｃ＋ｃ２ｂ－ｃ．在此基础上，根据ｃ为已知值，ｃ２的因子也为已知值，令ｂ－ｃ等于ｃ２的因子，求出ｂ，从而求出ｃ．二㊁常见应用在涉及整数数据的倒数型已知式问题的求解中，根的判别式法具有良好的应用．如物理学中并联电阻公式：１Ｒａ＋１Ｒｂ＝１Ｒ；工程问题中，甲㊁乙两人承包一项工程，两人合作恰好需要ｃ天，若甲单独做恰好需要ａ天，而乙恰好需要ｂ天，求ａ＋ｂ的取值范围；路程问题中的平均速率问题：ｓｖ１＋ｓｖ２＝２ｓｖ，以及相应的几何图形问题等．１．初中数学物理电学中的并联电阻公式并联电路电压特点是由于在并联电路中，各支路两端分别相接且又分别接入电路中相同的两点之间（如下图），所以各支路两端的电压都相等．导体并联后相当于增大了导体的横截面积，因此，并联导体的总电阻小于任何一个支路导体的电阻，总电阻的倒数等于各并联导体的电阻倒数之和，即１Ｒ＝１Ｒ１＋１Ｒ２＋ ＋１Ｒｎ．例２㊀要设计一个双灯泡并联的ＬＥＤ灯管，要求该ＬＥＤ灯管的电阻为１２Ω，如何选择两支路的灯泡可以使得㊀㊀㊀１４７㊀㊀两灯泡的电阻之和最大？解㊀不妨设两支路灯泡的电阻分别为Ｒ１，Ｒ２，由已知有１Ｒ１＋１Ｒ２＝１１２，所以Ｒ１＋Ｒ２Ｒ１Ｒ２＝１１２，令Ｒ１＋Ｒ２＝ｋ，则Ｒ１Ｒ２＝１２ｋ．于是Ｒ１，Ｒ２是一元二次方程ｘ２－ｋｘ＋１２ｋ＝０的两个正整数根．该一元二次方程的根的判别式Δ＝ｋ２－４８ｋ．所以Ｒ１，Ｒ２＝ｋʃｋ２－４８ｋ２．由于Ｒ１，Ｒ２均为正整数，所以Δ必须为完全平方数．令Δ＝ｋ２－４８ｋ＝ｎ２（ｎ为非负整数）．在关于ｋ的一元二次方程ｋ２－４８ｋ－ｎ２＝０中，同理Δᶄ＝４８２＋４ｎ２＝４（ｎ２＋５７６），进而ｋ＝２４ʃｎ２＋５７６．由于ｋ为两电阻之和，故为正整数，同理Δᶄ为完全平方数，即ｎ２＋５７６为完全平方数．令ｎ２＋５７６＝ｍ２（ｍ为非负整数），由此可整理得（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）＝５７６．又ｍ＋ｎȡｍ－ｎȡ０，进而（ｍ－ｎ）２ɤｍ２－ｎ２ɤ５７６，所以ｍ－ｎɤ２４．设ｍ－ｎ＝ｙ（１ɤｙɤ２４，且ｙ正为整数），即ｍ＋ｎ＝５７６ｙ．因此，ｙ＝１，２，３，４，６，８，１２，２４，ｍ＋ｎ＝５７６ｙ＝５７６，２８８，１９２，１４４，９６，７２，４８，２４．我们知道，ｋ最大⇔ｎ最大⇔ｍ最大⇔５７６ｙ最大⇔ｙ最小．又ｍ，ｎ均为非负整数，且由上面两式可得ｍ－ｎ＝ｙ，ｍ＋ｎ＝５７６ｙ知：ｍ＝ｙ２＋２８８ｙ为整数，所以ｙ可取到的最小值为２，也就是说当ｙ＝２时，两电阻之和取得最大值，此时ｍ＝１４５，ｎ＝１４３．进而｛Ｒ１＋Ｒ２｝ｍａｘ＝ｋｍａｘ＝２４＋１４３２＋５７６＝１６９，此时Ｒ１＝１５６，Ｒ２＝１３，{或Ｒ１＝１３，Ｒ２＝１５６．{综上所述，当两支路选择电阻分别为１５６Ω与１３Ω的灯泡时，可以使得两支路电阻之和最大，其最大电阻为１６９Ω．２．应用举例 ２００３年全国数学联赛题例３㊀试求出这样的四位数，它的前两位数字和后两位数字分别组成的两位数之和的平方恰好等于这个四位数．解㊀设这个四位数的前两位数为ａ（１０ɤａɤ９９），后两位数为ｂ（１０ɤｂɤ９９）．依题意得ａ＋ｂ()２＝１００ａ＋ｂ，化简得ａ２＋（２ｂ－１００）ａ＋ｂ２－ｂ＝０．关于ａ的一元二次方程中，根据求根公式，得ａ＝５０－ｂʃ（ｂ－５０）２－（ｂ２－ｂ）．因为ａ为正整数，所以可令（ｂ－５０）２－（ｂ２－ｂ）＝ｍ（ｍ为正整数）．化简得ｂ＝２５００－ｍ２９９＝（５０＋ｍ）（５０－ｍ）９９．因为９９＝１１ˑ３ˑ３ˑ１，ｂ为正整数，所以５０＋ｍ或５０－ｍ必能被１１整除．①设５０＋ｍ＝１１ｋ，因为ｍ为正整数，所以ｋȡ５．当ｋ＝５，ｍ＝５，ｂ＝２５时，代入解得ａ＝３０或ａ＝２０，即此时这个四位数为３０２５或者２０２５；当ｋ＝６，ｍ＝１６时，ａ，ｂ无解；当ｋ＝７，ｍ＝２７时，ａ，ｂ无解；当ｋ＝８，ｍ＝３８时，ａ，ｂ无解；当ｋ＝９，ｍ＝４９，ｂ＝１时，代入解得ａ＝９８或ａ＝０（舍去），即此时这个四位数为９８０１；当ｋȡ１０时，因为ｂ＝（５０＋ｍ）（５０－ｍ）９９＝１１ｋ（１００－１１ｋ）９９＜０，不符合题意．②同理，设５０－ｍ＝１１ｋᶄ，因为５０－ｍ为正整数，所以ｋᶄ＝１，２，３，４，同①分析讨论得，无论ｋᶄ＝１，２，３，４，ａ，ｂ皆无解．综上所述，这个四位数只能是９８０１或３０２５或２０２５．三㊁模型总结形如１ｘ＋１ｙ＝１ｃ（ｘ，ｙ均为正整数，ｃɪＮ∗，且为常数）的倒数型已知式下求解两变量之和ｘ＋ｙ的最大值问题，由上面的几个例子我们可以抽象出一个数学模型：设ｘ＋ｙ＝ｋ，ｘｙ＝ｃｋ，可得ｘ，ｙ为关于ｔ的一元二次方程ｔ２－ｋｔ＋ｃｋ＝０的两个正整数根．进而ｘ，ｙ＝ｋʃｋ２－４ｃｋ２为正整数，可得ｋ２－４ｃｋ＝ｎ２（ｎɪＺ），将其转化为关于ｋ的一元二次方程ｋ２－４ｃｋ－ｎ２＝０，可得ｋ＝２ｃ＋４ｃ２＋ｎ２（舍去负根）为正整数，于是４ｃ２＋ｎ２＝ｍ２（ｍɪＺ且ｍʂｎ）⇒（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）＝４ｃ２．在上式中，要使得ｋ最大，即令ｎ，ｍ取得最大，故ｍ－ｎ应取最小．又ｍ＋ｎ与ｍ－ｎ同奇偶，且二者之积为偶，即二者皆为偶数，因此｛ｍ－ｎ｝ｍｉｎ＝２．此时，ｍ＋ｎ＝２ｃ２，ｍ－ｎ＝２{⇒ｍ＝ｃ２＋１，ｎ＝ｃ２－１{⇒ｋ＝２ｃ＋４ｃ２＋（ｃ２－１）２＝（ｃ＋１）２，同时，两未知整数ｘ，ｙ＝（ｃ＋１）２ʃ（ｃ＋１）４－４ｃ（ｃ＋１）２２＝ｃ２＋ｃ，ｃ＋１，{或ｃ＋１，ｃ２＋ｃ．{总结原理：形如１ｘ＋１ｙ＝１ｃ（ｘ，ｙ均为正整数，ｃɪＮ∗，且为常数）的已知式下两未知数之和ｘ＋ｙ的最大值为（ｃ＋１）２，当且仅当两未知数为ｃ２＋ｃ与ｃ＋１时取得．ʌ参考文献ɔ［１］洪联平． 倒数型 分式方程的解法［Ｊ］．中学生数学，２０１３（０４）：２６．［２］唐先进．巧解 倒数型无理方程 ［Ｊ］．初中生数学学习，１９９７（１０）：４６－４８．［３］彭代光．一元二次方程判别式与韦达定理的应用［Ｊ］．中小学数学（初中教师版），２０１７（１２）：３８－３９．［４］常思源．谈谈判别式的解题功能［Ｊ］．数理化解题研究，２０１７（１１）：４０－４１．［５］王卫东．确定参数取值范围的方法［Ｊ］．数学通报，１９９０（０６）：２７－３０．［６］柯连平．用判别式法求根式函数的值域［Ｊ］．西南师范大学学报（自然科学版），１９８７（０１）：１０６－１１１．。
根式函数最值求法大放送
根式函数最值求法大放送雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学㊀２１００４４)摘㊀要:根式函数最值的求解对学生而言是比较困难的.本文介绍了几类根式函数特别是双根式函数的最值的求法.关键词:根式函数ꎻ单调性ꎻ换元ꎻ平方ꎻ几何意义ꎻ数量积ꎻ分子有理化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６７－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:雷亚庆(１９７２－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀含根式函数的最值问题具有灵活性强㊁难度大的特点ꎬ很多同学望而生畏ꎬ往往不知道从哪入手ꎬ尤其是双根式函数更是难点.实际上根式函数没有想象的那么可怕ꎬ只要我们认真分析题意ꎬ注意条件的应用ꎬ养成正确的解题习惯ꎬ即可找到合理恰当的解法ꎬ使此类问题顺利加以解决ꎬ下分类举例说明.㊀㊀一㊁利用函数单调性例１㊀求函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域.解析㊀易求得函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１定义域为[１ꎬ＋¥)ꎬ由于函数ｙ＝ｘ－１和ｙ＝ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)为增函数ꎬ所以ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)上单调递增.当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值２.所以函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域为[２ꎬ＋¥)例２㊀(重庆高考)ｆ(ｘ)＝５ｘ２－２ｘ＋２ｘ－５ｘ＋４的最小值.解㊀定义域为(－¥ꎬ０]ɣ[４ꎬ＋¥)ꎬ显然函数在(－¥ꎬ０]上单调递减ꎬ在[４ꎬ＋¥)上单调递增.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍｉｎｆ(０)ꎬｆ(４){}＝ｆ(０)＝４.㊀㊀二㊁利用换元去根号１.换元消去根号例３㊀(２００６年江苏改编)求函数ｙ＝１－ｘ２＋１－ｘ＋ｘ＋１的最大值.解㊀求得定义域为:ｘ－１ɤｘɤ１{}.设ｔ＝１＋ｘ＋１－ｘꎬ所以ｔ２＝２＋２１－ｘ２ɪ[２ꎬ４].所以ｔ的取值范围是[２ꎬ２].由ｔ２＝２＋２１－ｘ２得１－ｘ２＝１２ｔ２－１ꎬ所以ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１(２ɤｔɤ２).因为ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１在[２ꎬ２]上单调递增ꎬ所以当ｔ＝２即ｘ＝０时函数有最大值３.２.三角换元化掉根号例４㊀求ｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ的值域.分析㊀求根式函数的值域是一个难点ꎬ特别是双根式函数ꎬ实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话ꎬ就会发现隐藏的解题信息ꎬ利用三角代换ꎬ就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.解㊀由已知得:４ɤｘɤ５所以可设ｘ＝４＋ｃｏｓ２θ(０ɤθɤπ２).ʑｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ＝ｃｏｓ２θ＋３ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π６)(０ɤθɤπ２).ȵ０ɤθɤπ２ꎬʑπ６ɤθ＋π６ɤ２π３ꎬʑ１２ɤｓｉｎ(θ＋π６)ɤ１ꎬʑ函数的值域为[１ꎬ２].７６㊀㊀三㊁利用平方去根号例５㊀求ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ的值域.解析㊀求得定义域为[１ꎬ２].把ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ两边平方得ｙ２＝１＋２(ｘ－１)(２－ｘ)＝１＋－ｘ２＋３ｘ－２(１ɤｘɤ２).因为ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｇ(ｘ)＝－ｘ２＋３ｘ－２ɪ[０ꎬ１４]ꎬ所以ｙ２ɪ[１ꎬ３２].又因为ｙȡ０ꎬ所以ｙɪ[１ꎬ６２].㊀㊀四㊁利用几何意义１.构造距离例６㊀求函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３的最小值.解㊀ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３＝(ｘ＋１)２＋(０－１)２＋(ｘ－２)２＋(０－３)２.设点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬＡ(－１ꎬ１)ꎬＢ(２ꎬ３)ꎬ问题转化为:在ｘ轴上找一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＢ最小作点Ａ关于ｘ轴对称的点Ａᶄ(－１ꎬ－１)ꎬ显然当点Ｐ为直线ＡᶄＢ与ｘ轴交点时ＰＡ＋ＰＢ有最小值即ＡᶄＢ＝５.２.构造斜率例８㊀求函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域.解㊀ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１＝１－(ｘ－１)２ｘ－(－１).构造定点Ａ(－１ꎬ０)ꎬ动点Ｐ(ｘꎬ１－(ｘ－１)２)ꎬ其中动点Ｐ在曲线ｙ＝１－(ｘ－１)２即半圆(ｘ－１)２＋ｙ２＝１(ｙȡ０)上如图２.问题转化为求直线ＰＡ的斜率的最值ꎬ由图２可知０ɤｋＰＡɤ３３.所以函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域为[０ꎬ３３].㊀㊀五㊁利用向量数量积的性质例９㊀求函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值.解㊀设ａ＝(５ꎬ１)ꎬｂ＝(ｘ－１ꎬ１０－ｘ)ꎬ则有ｙ＝ａ ｂ且ａ＝２６ꎬｂ＝３.由向量数量积的性质可知:ａ ｂɤａｂ＝３２６ꎬ当且仅当向量ａꎬｂ共线同向时取 ＝ 号.所以函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值为３２６.㊀㊀六㊁利用分子有理化例１０㊀求函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域.解㊀ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１＝(ｘ＋１－ｘ－１)(ｘ＋１＋ｘ－１)ｘ＋１＋ｘ－１＝２ｘ＋１＋ｘ－１.由例１可知ｘ＋１＋ｘ－１ɤ２ꎬ所以２ｘ＋１＋ｘ－１ɪ(０ꎬ２].即函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域为(０ꎬ２]㊀㊀七㊁构造对偶式求解例１１㊀求函数ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘ的最值.解析㊀设ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ(４ɤｘɤ２９)ꎬ则ｙ２＋ｚ２＝５０ꎬ即ｙ２＝５０－ｚ２.因为函数ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ在[４ꎬ２９]上单调递增ꎬ㊀所以当４ɤｘɤ２９时ꎬｚɪ[－５ꎬ５]ꎬ所以ｙ２＝５０－ｚ２ɪ[２５ꎬ５０].又因为ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘȡ０ꎬ所以ｙɪ[５ꎬ５２].即函数值域为[５ꎬ５２].总之ꎬ解决根式函数的最值问题时ꎬ我们要养成良好的审题和解题习惯.如审题要注意挖掘目标函数的结构和隐含信息ꎬ解函数题时一定养成先求定义域的好习惯ꎬ只要这样我们就可以通过换元ꎬ构造ꎬ把问题转化为我们熟悉的函数最值模型ꎬ从而使问题得以解决.㊀㊀㊀参考文献:[１]雷亚庆.巧用函数奇偶性解决函数零点问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１９):３５－３６.[责任编辑:李㊀璟]８６。
函数最值的解法小结20160622
函数最值的解法小结摘要：最值是中学数学中的一个重要知识点，但教材中没有系统地介绍极值的求法。
本文从11个方面探讨了求初等函数最值的一些常用有效的方法。
关键词：函数，最值，初等函数，常用解法前言中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何，在生产实践中也有广泛的应用。
中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。
因此，最值问题历来是各类考试的热点。
但教材只是零散地介绍几种求最值的方法，本文作者旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法。
1．配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解。
例1-1．求函数y =分析：欲求min y ，只需使被开方数2615x x ++的值最小，222615(69)6(3)6x x x x x ++=+++=++而2(3)6x ++是一个非负数。
取最小值的充要条件是2(3)0x +=，故当x=-3时，min y =例1-2．求函数2cos 2cos 3y x x =-+的最大值和最小值分析：不难看出函数y 的解析式是以cos x 为主元的二次三项式，考虑将其配方，则22cos 2cos 113(cos 1)2y x x x =-+-+=-+min max (cos 1)2(cos 1)6y y x y y x =====-=2．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例2-1.已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为 。
【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得⎩⎨⎧ 1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2 1－x x ＋3 .所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2 a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．3. 换元法此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值，用函数极值法处理这一类最值时，须利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再来求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定。
3.求函数最值问题常用的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内 的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否 则相反．
八、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方 法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知 的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
【例8】 已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则 的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0， 解析 由题意，得
x＋3≥0，
重难点专题03 根号型函数十二大值域问题汇总(解析版) 备战2024年高考数学重难点突破
换元法解含有根号的函数需要注意x的范围分式与根号结合可以分离参数，再利用基本不等式可以写出a-x2的形式，可以使用三角换元平方之后可以消去x2的式子，之后用y表示x，利用y与x的关系既可以求解值域平方之后可以不能消去x2的式子，可以利用基本不等式。
判断根号函数的单调性，进而求解出值域利用几何意义求解值域问题，擅长与解析几何的知识点进行结合【变式7-1】1. （2022秋f(x)=2x―3――x2+6x 【答案】[3―5,5]由图象知：当直线y=2x―3―此时|3―t|=1，解得t=3±5，由图象知1+4当直线y=2x―3―t过点A(4,0)所以t∈[3―5,5]，即f(x)的值域是点睛：本题考查利用三角代换，直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用1―x2的形式和平方关系联想到三角代换，二是由[34，9+178]【点睛】本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，平方后可以消去未知数x即可.【变式8-1】3. （多选）（2021秋·江苏苏州f(x)=|1+sin2x―1―sin2x|，则（A．f(―x)=f(x)B．f(x+π)=f(x)2C．f(x)的值域[0,2]D．f(x)≥2cos【答案】AB【分析】利用函数奇偶性、周期性定义判断选项双根式可以转化为两点间的距离公式，与解析几何进行结合求解.由图知：||CA|―|CB||当C,A,B三点共线且A在当C,A,B三点共线且B在则：①f(x)的图象是中心对称图形；②f(x)的图象是轴对称图形；则APBP′为平行四边形，故|PA对称，故函数是轴对称图形，故②正确；象关于x=32对称，且由图可知∵f(x)的图象关于x=32故④错误.三角换元，构造2θ+cos2θ=1，进行三角换元。
sin平方之后可以不能消去x2的式子，可以利用基本不等式。
【变式12-1】求函数y=【解析】令x―1=a≥0,+b的取值范围。
巧用三角换元求解根式函数问题
巧用三角换元求解根式函数问题雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学㊀２１００４４)摘㊀要:含根式的函数问题是高中数学的一个难点ꎬ本文以此展开探讨ꎬ以供师生参考.关键词:高中数学ꎻ函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００１７－０２㊀㊀含根式的函数问题对学生来说是一个难点ꎬ难就难在如何消除根号ꎬ下面介绍一类用三角代换解决的根式函数的问题ꎮ例１㊀求ｙ＝ｘ＋１－ｘ２的值域.解㊀求得－１ɤｘɤ１所以可设ｘ＝ｃｏｓθ(０ɤθɤπ)所以ｙ＝ｃｏｓθ＋１－ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π４)(０ɤθɤπ)ȵ０ɤθɤπʑπ４ɤθ＋π４ɤ５π４ʑ－２２ɤｓｉｎ(θ＋π４)ɤ１ʑ－１ɤ２ｓｉｎ(θ＋π４)ɤ２即函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ２的值域为[－１ꎬ２]例２㊀已知ａ２＋ｂ２＝１ꎬｃ２＋ｄ２＝１ꎬａｃ＋ｂｄ＝０ꎬ求ａｂ＋ｃｄ的值.解㊀由已知可设:ａ＝ｃｏｓαꎬｂ＝ｓｉｎαꎻｃ＝ｃｏｓβꎬｄ＝ｓｉｎβ所以ａｃ＋ｂｄ＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｃｏｓ(α－β)＝０ʑα－β＝π２＋ｋπ(ｋɪＺ)即:α＝β＋π２＋ｋπ(ｋɪＺ)ʑａｂ＋ｃｄ＝ｃｏｓαｓｉｎα＋ｃｏｓβｓｉｎβ＝１２ｓｉｎ２α＋１２ｓｉｎ２β＝１２ｓｉｎ２(β＋π２＋ｋπ)＋１２ｓｉｎ２β＝１２ｓｉｎ(２β＋π)＋１２ｓｉｎ２β＝０例３㊀求ｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ的值域.解㊀由已知得:４ɤｘɤ５所以可设ｘ＝４＋ｃｏｓ２θ(０ɤθɤπ２)ʑｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ＝ｃｏｓ２θ＋３ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π６)(０ɤθɤπ２)ȵ０ɤθɤπ２ʑπ６ɤθ＋π６ɤ２π３ʑ１２ɤｓｉｎ(θ＋π６)ɤ１ʑ函数的值域为[１ꎬ２]例４㊀已知ｚ>０ꎬｘ>ｚꎬｙ>ｚꎬ求证:(ｘ－ｚ)(ｙ－ｚ)＋(ｘ＋ｚ)(ｙ＋ｚ)ɤ２ｘｙ解㊀要证原不等式成立ꎬ只需证(ｘ－ｚ)(ｙ－ｚ)＋(ｘ＋ｚ)(ｙ＋ｚ)ｘｙɤ２即证:(１－ｚｘ)(１－ｚｙ)＋(１＋ｚｘ)(１＋ｚｙ)ɤ２由ｚ>０ꎬｘ>ｚꎬｙ>ｚ可得:０<ｚｘ<１ꎬ０<ｚｙ<１设:ｚｘ＝ｃｏｓαꎬｚｙ＝ｃｏｓβʑ(１－ｚｘ)(１－ｚｙ)＋(１＋ｚｘ)(１＋ｚｙ)＝(１－ｃｏｓα)(１－ｃｏｓβ)＋(１＋ｃｏｓα)(１＋ｃｏｓβ)＝２ｓｉｎ２α２ ２ｓｉｎ２β２＋２ｃｏｓ２α２ ２ｃｏｓ２β２＝２ｓｉｎα２ｓｉｎβ２＋２ｃｏｓα２ｃｏｓβ２＝２ｃｏｓ(α２－β２)ɤ２所以原不等式成立㊀㊀参考文献:[１]雷亚庆.巧用上位概念解题 以函数思想解决数列问题为例[Ｊ].新高考(高三数学)ꎬ２０１７(０３):３４－３６.㊀[责任编辑:季春阳]强化求导后的 运算 ㊀彰显数学核心素养许国行(江苏省板浦高级中学㊀２２２０２１)摘㊀要:解不等式是高中数学的Ｃ级考点之一ꎬ然而利用导数研究函数的单调性ꎬ是求解函数最值的一种重要方法ꎬ但是求导后解不等式是一个关键环节.本文对函数求导后的不等式求解情况ꎬ总结了几种情况ꎬ如直接求解ꎬ观察求解ꎬ引值求解ꎬ二次求导等.关键词:运算ꎻ求导ꎻ解不等式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００１８－０２㊀㊀一㊁直接求解型例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ２－９ｘ的单调区间.解与析㊀先令ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－６ｘ－９>０ꎬ即可直接解出该不等式的解:ｘ<－１或ｘ>３ꎬ所以函数的单调增区间为(－¥ꎬ－１)和(３ꎬ＋¥)ꎬ减区间为(－１ꎬ３).注㊀此题在求导后ꎬ解不等式ｆᶄ(ｘ)>０时ꎬ直接利用一元二次不等式知识求解即可.㊀㊀二㊁观察求解型例２㊀若对任意ｘɪ１ꎬ＋¥()ꎬ不等式ｅｘ(ｘ－１)－ｘ－ａ>０都成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解与析㊀分参后得:ｅｘ(ｘ－１)－ｘ>ａ恒成立ꎬ令ｆ(ｘ)＝ｅｘ(ｘ－１)－ｘꎬ即转化为求ａ<ｆ(ｘ)ｍｉｎ.令ｆᶄ(ｘ)＝ｘ(ｘ－１)＋ｅｘ－１>０ꎬ即ｘｅｘ－１>０ꎬ因为ｘ>１ꎬ所以ｅｘ>ｅꎬ即ｘｅｘ>１ˑｅ＝ｅꎬ即不等式ｘｅｘ－１>０在ｘɪ１ꎬ＋¥()内恒成立ꎬ从而ｆᶄ(ｘ)>０在ｘɪ１ꎬ＋¥()内恒成立ꎬ所以ｆ(ｘ)在ｘɪ１ꎬ＋¥()内单调递增ꎬ即ｆ(ｘ)>ｆ(１)＝－１ꎬ所以ａɤ－１.此题在求导后ꎬ解不等式ｆᶄ(ｘ)>０时ꎬ此不等式ｘｅｘ－１>０不是常规的一元一次不等式或一元二次不等式ꎬ不能够直接求解ꎬ需要通过观察来帮助求解ꎬ重在观察的意识和观察的方向ꎬ可观察其范围和单调性来辅助求解不等式.㊀㊀三㊁引值求解型例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ｌｎｘꎬ求证:ｆ(ｘ)>２.解与析㊀令ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１ｘ>０ꎬｅｘ>１ｘꎬ由图设ｅｘ０＝１ｘꎬ因ｅ１/２＝ｅʈ２.７８ꎬ１０.５＝２ꎬ即ｅ１/２<１０.５ꎬ又ｅ１＝ｅʈ。
三个根式和的最值例题
三个根式和的最值例题求三个根式和的最值是一个常见的数学问题。
下面我将从不同角度给出几个例题以及它们的解答，希望能够满足你的需求。
例题1:求函数f(x) = √x + √(2-x) + √(3+x)的最大值和最小值。
解答:首先，我们需要确定函数的定义域。
由于根式中的参数需要大于等于0，所以我们得到以下条件：x ≥ 0，2-x ≥ 0，3+x ≥ 0。
解得x ∈ [-3, 2]。
接下来，我们求函数的导数：f'(x) = 1/(2√x) 1/(2√(2-x)) + 1/(2√(3+x))。
为了求得最值，我们需要找到导数为零的点，即f'(x) = 0。
通过计算可以得到x = 1/2。
然后，我们计算函数在定义域的端点和关键点处的函数值：f(0) = √0 + √2 + √3 ≈ 4.146,。
f(1/2) = √(1/2) + √(2-1/2) + √(3+1/2) ≈ 4.598,。
f(2) = √2 + √(2-2) + √(3+2) ≈ 5.732.因此，函数f(x)的最大值约为5.732，最小值约为4.146。
例题2:求函数f(x) = √(x^2 4) + √(9 x^2)的最大值和最小值。
解答:首先，我们需要确定函数的定义域。
注意到根式中的参数需要大于等于0，所以我们得到以下条件：x^2 4 ≥ 0，9 x^2 ≥ 0。
解得 -3 ≤ x ≤ 3。
接下来，我们求函数的导数：f'(x) = x/√(x^2 4) x/√(9 x^2)。
为了求得最值，我们需要找到导数为零的点，即f'(x) = 0。
通过计算可以得到x = 0。
然后，我们计算函数在定义域的端点和关键点处的函数值：f(-3) = √(9 9) + √(9 9) = 0,。
f(0) = √(0 4) + √(9 0) = √(-4) + 3,。
f(3) = √(9 4) + √(9 9) = 4 + 0.因此，函数f(x)的最大值约为4 + 0 = 4，最小值约为√(-4) + 3。
根式最值问题
对于根式最值问题，我们需要考虑函数的定义域和导数，并寻找导数为零的点，这些点可能是极值点。
以根式y=√(x^2+36)+x为例，该函数的定义域为实数集，导数为
y'=[x^2+36+1/2x^(-1/2)]/√(x^2+36)，当x>1时，y'>0，函数单调递增；当x<1时，y'<0，函数单调递减。
因此，当x=1时，函数取得极小值，极小值为√(1^2+36)+1=√37。
另外，当x→±∞时，函数趋近于正负无穷大。
因此，函数y=√(x^2+36)+x的值域为(0,∞)，没有最大值和最小值。
对于其他根式最值问题，如带一个根号、中间为减号的题型或带两个根号、中间是加法的题型，可采用类似的方法进行求解。
需要注意的是，在求解过程中要保证函数的定义域为实数集。
根式的形式演变与求最值的方法
根式的形式演变与求最值的方法一次函数Y=砬+6，二次函数Y=双2+bx +c是我们最熟悉的函数，对于根式函数Y= ~／如+b，Y=~／甜2+bx+f的性质我们也容易清楚，而由它们经过加、减运算产生的新函数的问题就稍显困难．我们现在从代数形式上对此问题进行探讨，并总结出几类问解答方法．类型1 Y—kx+b士~／凹+d 例1 求函数y—z+∥五=了的值域．解法1(特殊方法或单调性方法) 由2x一1≥0，得定为l寺，+o。
1． L厶，因函数Y=z和Y=∥五=了在『专，+o。
1上都是增函数，故Y—z+∥磊=_r在 L。
， I寺，+o。
1上是数． L厶／从而y≥丢+√2×丢一1=丢，所以函数的值域为f軎，+。
1． L。
／如果原题中的函数变为Y—X一~／五『二可或 Y ／r一2x，则上面的单调性方法将失效，所以有必要寻求一般方法．解法2(一般方法：根式换元) 令~／五『=可一t(￡≥o)，y=告￡2+f+妻一寺(f+1)2(￡≥o)．当t=0时，Y。
i。
=去．所以函数的值域为I寺，+oo＼． L厶，此类问题的一般形式为Y=士 ~／凹+d，要求其值域，首先考虑单调性方法，否则可用上面解法2的“一般方法”求其值域．若此类问题中根号内的变量升高一次，则可推广为类型2 Y—b+d+~／盯2+缸+c 例2 求函数Y=z+／而i二乏阿的值域．解法l(三角换元) 因y=X+ 祈而阿=z+以=百丽，令z一5一√2cOS 0(0≤0≤，c)，则y一5+ 妲cos 0jr再sin 0= 5+2sm(外詈)· 当0=5兀-，Y。
=7；当0= ymin=5一厄1 所以函数的值域为{Y 5一厄≤Y≤7)．解法2(根式换元) 因y=z+ 们瓦j忑浔一z+以=可可，令“=∥Fii可，础5，则原问题转化为在条件U2+扩=2(“≥o)下，求y=“+ 移+5的范围．如图l，由几何意义可知，点(zl，口)在(1，1)时，=1+1+5=7；点(“，口)在(o，一厄)时，y曲= 5一厄 V 、，一‘ ＼Q(1，1) ／人．＼，《／／＼1 P面图1 此类函数的形式为Y一妇+d+“iF雨鬲，配方可有以下几种形式： (1)Y=如+d土以西干而可； (2)Y一妇+d±以西干而可； (3)Y=如+d±撕云研．都可用三角换元或根式换元转化为三角函数或解析几何求值域．对于(1)令红+f=htan 0，口∈(一号，号)；(2)令红+，一0,0∈ [o，号)u『兀，警)；(3)令髓+厂=^c。