随机过程在金融中的应用8随机积分—Ito积分

xm )

t
F (t,
x1,
x2 ,,
xm )
首页
Fi (t, x)

Fi (t, x1, x2 ,, xm )

xi
F (t, x1, x2 ,, xm )
Fij (t,
x)

Fij
(t, x1, x2,,
xm )

2 xix j
F (t,
x1,
x2,, xm )
都是连续函数．
a
解
对[a,b] 的一组分点：
a t0 t1 tn b
n m1kaxn (tk tk1)
n
In W (tk1)[W (tk ) W (tk1)] [W 2 (t0 ) W (t0 )W (t1)
k 1
W 2 (t1) W (t1)W (t2 ) +… W 2 (tn1) W (tn1)W (tn )]
k 1
i j
n
E(Wk 4 2Wk 2 tk tk 2 ) k 1
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n
(E[Wk 4 ] E[2Wk 2 tk ] E[tk 2 ]) k 1 n (3tk 2 2tk 2 tk 2 ) k 1
首页
n
n
2 tk 2 2n tk 2n (b a)
2
2n
n k 1
(W (tk ) W (tk1))2
1 [W 2 (b) W 2 (a)] 1 (b a)
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2
2
注 表明Ito随机积分不同于黎曼积分
因为如果W (t) 是普通函数，积分不能有 1 (b a) 2
二、Ito积分的性质
b
b
性质1 若 Ito 积分 X (t)dW (t) ， Y (t)dW (t) 存在 则
k 1
k 1
n 0
0 因为 W (tk ) ~ N (0, tk )

E[W
3tk
(t
k
)]4 x2e

1
2x2tk
2tk dx


x4e
x2 2 t k
dx

3tk E[W (tk
)]2
2tk
例1
试求(I )
b
W (t)dW (t)
例2 求随机微分 d (W 2 (t))
解 由例１可知
t
W
(t)dW
(t)

1W
2 (t)

1
t
0
2
2
即
W 2 (t) t
2
t
W (t)dW (t)
0
由随机微分的定义
d (W 2 (t)) dt 2W (t)dW (t)
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定理3 Ito公式
设 f (t, X (t)) 是关于 t 和随机过程｛X (t) ,t T ｝
所以由Ito公式得
f XX (t, X (t)) 2t
d(tW 2 (t)) [W 2 (t) t]dt 2tW (t)dW (t)
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定理4 设普通函数 F (t, x) F (t, x1, x2 ,, xm ) 及其导数
F0 (t,
x)

F0 (t,
x1,
x2 ,,
i, j 1,, m
如果随机过程X i (t)有随机微分
dXi (t) Ai (t)dt Bi (t)dW (t)
则 Y (t) F(t, X (t)) F(t, X1(t), X 2 (t),, X m (t)) 有随机微分
m
dY (t) {F0 (t, X (t)) [Fi (t, X (t)) Ai (t)]
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第二节 Ito积分的理论
Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不 可预测的随机增量的总和。
一、Ito积分的定义
布朗运动
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维纳过程{W (t) ，t 0 } E[W (t)] 0
Var[W (t) W (s)] 2 | t s |
R(s,t) 2 min( s,t)
的二次微分函数， 若 X (t) 的随机微分是
dX (t) A(t)dt B(t)dW(t)
则 Y (t) f (t, X (t)) 在Ｔ上也有随机微分， 且
dY (t) [ ft(t, X (t)) f X (t, X (t)) A(t)

1 2
f XX (t, X (t))B2 (t)]dt
作和式
n n m1kaxn (tk tk1)
In X (tk1)[W (tk ) W (tk1)]
k 1
如果均方极限
l.i.m n
In
存在
则称 此极限为 X (t) 关于W (t) 的 Ito 积分，
记为
b
(I )a X (t)dW (t)
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注意 在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式
则 X (t) 关于W (t) 的 Ito 积分存在且唯一 首页
定理2 则
设{W (t) ,t 0 }是维纳过程
对[a,b] 的一组分点： a t0 t1 tn b
n m1kaxn (tk tk1)
n
l . i . m
n k1
(W (tk ) W (tk1 )) 2 (b a)
如 1 果 1
W (t)
W (t) /
标准布朗 运动
定义1
设{ X (t) ,t [a,b] }为二阶矩过程，0 a b 。
W (t) 是标准布朗运动 满足
R(s,t) min(s,t)
Var[W (t) W (s)] | t s |
对[a,b] 的一组分点 a t0 t1 tn b
证 令 Wk W (tk ) W (tk1) tk tk tk1
则
n
n
E[ Wk 2 (b a)]2 E[ (Wk 2 tk )]2
k 1
k 1
n
E(Wk 2 tk )2 E[(Wi2 ti )(Wj2 t j )
其中 A(s) 为二阶矩过程且均方可积, B(s) 满足定理 1 的条件
则第二个积分作为Ito积分存在，且 X (a) 与W(t) ,t a 相互独立
这时 称(1)式定义的随机过程 X (t) 有(Ito)随机微分
并记为
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A(t)dt B(t)dW (t)
dX (t) A(t)dt B(t)dW(t)
例4
考虑Ito方程
dX (t) 1 X (t)dt X (t)dW (t)

2
X (0) 1
取 f (t, x) ln x
由Ito公式得
df
dX (t) f (t, X (t))dt g(t, X (t))dW (t)

X (t0 )

X0
称为Ito随机微分方程
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与Ito随机微分方程等价的Ito随机积分方程
t
t
X (t)
X0
t0
f (s, X (s))ds
g(s, X (s))dW(s)
t0
其中右边第一个积分是均值积分，第二个积分是Ito积分
a
a
b
b
b
（1） a (X (t) Y (t))dW (t) a X (t)dW (t) a Y (t)dW (t)
（2）
b
c
b
X (t)dW (t) X (t)dW (t) X (t)dW (t)
a
a
c
证明 与黎曼积分相仿（略）
acb
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t
性质2 设维纳过程Y (t) X (s)dW (s) ， a 则 Y (t) 的均值和相关函数为
n
即
Yn X (tk )[W (tk ) W (tk1)]
k 1
tk [tk1, tk ]
原因是 当tk 在[tk1, tk ] 中任意选择时，Yn 的均方极限将不存在
所以这里取固定的左端点。
定理1 设 X (t) 均方连续，且对任意 s1, s2 tk1 tk 及 s1 s2 tk1 ( X (s1), X (s2 ), W (s2 ) W (s1 )) 与W (tk ) W (tk1) 相互独立
பைடு நூலகம்
此表示式为一近似式，其精确公式为
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
二、Ito积分的重要性
首先
随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要 理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解 Ito积分。
其次
在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔， 得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积 分就可以给出近似值的精确形式。
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f X (t, X (t))B(t)dW (t)
例3 求随机微分 d (tW 2 (t))
解 设 f (t, X (t)) tW 2 (t)
因为 dX (t) 0dt 1 dW (t) dW (t)
ft(t, X (t)) W 2 (t) f X (t, X (t)) 2tW (t)
即若用微分方程
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt ,
代表资产价格 St 的动态行为， 那么能否对两边取
积分，即
t
t
t
0 dSu 0 a(Su , u)du 0 (Su , u)dWu
也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？
为解释此项积分的含义，需引进Ito积分
i 1

1 2
m
[ Fij
i, j1
(t,
X
(t))
Bi
(t
)B
j
(t
)]}dt
m
{ [Fi (t, X (t))Bi (t)]}dW (t)
i 1
注 是复合函数链式微分法则在随机微分中的表现， 称为Ito公式
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四、Ito随机微分方程
设｛W (t) ,t T ｝是布朗运动，
则在Ito积分和微分的基础上建立的随机微分方程


1 [W 2
2 (t0 )

n k 1
(W (tk ) W (tk1 )) 2 W 2 (tn )]
故
1 [W 2 (b) W 2 (a)] 2
1 n 2 k 1
(W (tk ) W (tk1))2
(I )
b
W (t)dW (t)
a
1 [W 2 (b) W 2 (a)] 1 l.i.m

E
t t
h
X
(s)dW
(
s)
2

th E{X 2 (s)}ds 0 （h 0 ） t
故Y (t) 关于 t 是均方连续
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三、Ito微分法则
设二阶矩过程 X (t) (a t b )满足
t
t
X (t) X (a) a A(s)ds a B(s)dW (s) （1）
则上等式改写为
th
th
Sth St a(St , t) t du (St , t) t dWu
即
Sth St a(St , t)h (St , t)[Wth Wt ]
或
St a(St , t)h (St , t)Wt
这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式
但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不
断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的
函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微
分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分—
Ito积分，建立积分方程。
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前面讨论的随机微分等式，其中的项 dSt、dWt
都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出
Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。
第八章 随机积分 — Ito积分
第一节 引 言 第二节 Ito积分的理论 第三节 Ito积分的特征 第四节 Ito定理及应用 第五节 更复杂情况下的Ito公式
第一节 引 言
一、 Ito积分的导出
在物理现象中是用微分方程来描述其模型，
而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微 分与积分的关系，建立相应的积分方程。
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也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义
即有
th
th
Sth St t a(Su , u)du t (Su , u)dWu
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其中h为一定的时间间隔。
若 a(Su , u) 和 (Su ,u) 是 Su 和 u 的平滑函数，
即当 h 很小，它们在u [t,t h] 内变化都不大
E[Y (t)] 0
RY (t1, t2 )
min(t1,t2 ) X 2 (s)ds
0
证明 略
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性质3 证明
b
若 X (t)dW (t) 存在，
则
a
t
Y (t) a X (s)dW (s)
存在且关于t是均方连续的。
at b
E{[Y (t h) Y (t)]2}