数学分析简明教程答案09
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第九章再论实数系
§1
实数连续性的等价描述
1．求数列}{n x 的上、下确界（若}{n x 无上（下）确界，则称)(-∞∞+是}{n x 的上（下）确界）：
（1）n
x n 1
1-
=；（2）])2(2[n
n n x -+=；
（3）)3,2,1(1
1,122 =+==+k k x k x k k ；（4）n
n x n n 1])1(1[+-+=；
（5）n
n n n
x )1(21-+=；
（6）3
2cos 11π
n n n x n +-=
．解（1）0}inf{,1}sup{==n n x x ；（2）-∞=+∞=}inf{,}sup{n n x x ；（3）1}inf{,}sup{=+∞=n n x x ；（4）0}inf{,3}sup{==n n x x ；（5）1}inf{,5}sup{==
n n x x ；
（6）2
1
}inf{,1}sup{-
==n n x x ．2．设)(x f 在D 上定义，求证：(1))}({inf )}({sup x f x f D
x D
x ∈∈-=-；
(2))}({sup )}({inf x f x f D
x D
x ∈∈-=-．
证明(1)设a x f =)}(inf{，则D x ∈∀，都有a x f ≥)(，因而a x f -≤-)(，又由于
0>∀ε，都D x ∈∃ε，使得εε+-a x f )(，因此
)}({inf )}({sup x f x f D
x D
x ∈∈-=-.
(2)设b x f D
x =∈)}({sup ，则D x ∈∀有b x f ≤)(，从而b x f -≥-)(，又由于,
0>∀ε都D x ∈∃ε，使得εε->b x f )(，从而εε+-<-b x f )(，因此
)}({sup )}({inf x f x f D
x D
x ∈∈-=-.
3．设E sup =β，且E ∉β，试证自E 中可选取数列}{n x 且n x 互不相同，使
β=∞
→n n x lim ；又若E ∈β，则情形如何？
证明由已知条件知E sup =β且E ∉β，因而(1)E x ∈∀，有β (2)0>∀ε，都存在E x ∈ε，使得εβε->x ．由(1)、(2)知： 对1=ε，存在E x ∈1，使得ββ<<-11x ； 对},21min{1x -=βε，E x ∈∃2，使得ββ<<-221 x 并且112)(x x x =-->ββ； 对},31min{2x -=βε，E x ∈∃3，使得ββ<<-23 1 x 并且223)(x x x =-->ββ； … 如此继续下去，得数列}{n x 且n x 互不相同，并且β=∞ →n n x lim ． 若E ∈β，则结论不真，如⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧=n E 1，则1sup =E ，但没有n x 互不相同的数列}{n x ，使1lim =∞ →n n x ． 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于∞+的数列必有下确界，趋于∞-的数列必有上确界． 证明(1)由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其必有上确界和下确界； (2)设+∞=∞ →n n x lim ，则N ∃，当N n >时0>n x ，因而}0,,,,min{21N x x x 是数列 }{n x 的下界，由确界原理知数列}{n x 存在下确界； (3)设-∞=∞ →n n x lim ，则N ∃，当N n >时0 }{n x 的上界，由确界定理知数列}{n x 存在上确界． 5．试分别举出满足下列条件的数列： （1）有上确界无下确界的数列； （2）含有上确界但不含有下确界的数列；（3）既含有上确界又含有下确界的数列； （4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 解（1）有上确界无下确界的数列，如}{}{n x n -=有上确界1}sup{-=n x ，但无下确界； （2）含有上确界但不含有下确界的数列，如取⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧=n x n 1}{，则该数列含有它的上确界 1}sup{=n x ，但下确界0}inf{=n x ，该数列不含有0； （3）既含有上确界又含有下确界的数列，如⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧-+=n x n n )1(1}{，既含有上确界1，又 含有下确界0； （4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限，如 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧∈=-∈+==++. ,213;,121Z k k n n Z k k n n x n 则数列}{n x 有上确界3和下确界0，该数列}{n x 上含其上、下确界3和0． §2实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4． 证明设数列}{n x 有界，即存在R b a ∈,，使得对N n ∈∀，都有b x a n ≤≤．下证}{n x 有收敛子列． （1）若}{n x 存在子列}{k n x 是常数列，则}{k n x 是}{n x 的收敛子列． （2）若}{n x 不存在是常数列的子列，下证}{n x 有收敛子列，为此设}|{N n x X n ∈=，则X 是无限点集． 反设}{n x 没有收敛的子数列，则],[b a x ∈∀都不是}{n x 的任一子数列的极限，因此对 ],[b a x ∈∀，都存在开区间),(x x x v u I =，使得x I x ∈且X I x 是有限集（否则对包含x 的任一开区间),(x x v u 都有X 的无穷项，则x 是}{n x 的某一子列的极限），因此所有开区间 x I 构成闭区间],[b a 的一个开覆盖Ω，由有限覆盖定理知存在有限数m ，使